Matriks. Pengertian. Lambang Matrik

Matriks

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

Pengertian Definisi: Matrik adalah susunan bilangan atau fungsi

yang diletakkan atas baris dan kolom serta diapit oleh dua kurung siku. Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau elemen matrik. Lambang matrik dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan huruf kecil. Matrik mempunyai ukuran yang disebut Ordo yang menyatakan banyak baris x banyak kolom


Lambang Matrik Secara umum sebuah matrik dapat ditulis:

⎡ a11 ⎢a A = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣a m1

a12 a 22 M am2

L a1n ⎤ L a 2 n ⎥⎥ M ⎥ ⎥ L a mn ⎦

atau penulisan yang lebih singkat :

[ ]

A= aij

dengan i=1, 2, ..., m dan j=1, 2, ..., n. Indek pertama (i) menyatakan baris ke-i dan indeks kedua (j) menyatakan kolom ke-j. Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

1

Contoh Matriks A= ⎡ 2 ⎢ ⎣π

− 2 0,23451 3 1032 7

⎡x2 + 1

B= ⎢

⎣ sin x

4 80

0 ⎤ ⎥ − 13 ⎦

− 2 ln x ⎤ ⎥ e 3 x +1 ⎦

Dalam contoh di atas ordo(A)= 2x5 dan ordo(B)=2x2 a23= 1032 b23= tidak ada b21= sin x


Persamaan Matrik jika ordonya sama dan entri yang seletak bernilai sama, matrik A dan B adalah sama ditulis A=B Contoh: 2a ⎡ Jika A= ⎢

⎣1

3⎤ 4b⎥⎦

dan

⎡−2 3c ⎤ ⎥ ⎣ c 3+b⎦

B= ⎢

dan A=B, maka a = -1, b = 1, dan c = 1.


Jenis Matriks (1/7) Matrik Bujursangkar Î banyak baris = banyak kolom

⎡ a 11 A = ⎢⎢ a 21 ⎣⎢ a 31

a 12 a 22 a 32

a 13 ⎤ a 23 ⎥⎥ a 33 ⎦⎥

Diagonal Utama

Matrik Segitiga Atas,

matrik bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol

⎡a11 ⎢0 ⎢ ⎢ M ⎢ ⎣0

a12 L a1n ⎤ a 22 L a 2 n ⎥⎥ M O M ⎥ ⎥ 0 L a nn ⎦

⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

2 − 1 8⎤ 3 6⎥⎥ 4 9⎥ ⎥ 0 0 1⎦ 0 0


2

Jenis Matriks (2/7) Matrik Segitiga Bawah,

matrik bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utama bernilai nol

Matrik Diagonal,

⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣a n1

0 a 22 M an2

0 ⎤ ⎡0 0 0 0 ⎥⎥ ⎢⎢0 4 0 O M ⎥ ⎢3 2 − 6 ⎥ ⎢ L a nn ⎦ ⎣0 − 7 5 9

L L

0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦

matrik bujursangkar yang semua entri di luar diagonal utama bernilai nol 0 L 0 ⎤ ⎡ 5 9 0 0 0⎤ ⎡a 11

⎢0 ⎢ ⎢ M ⎢ ⎣0

0 ⎥⎥ O M ⎥ ⎥ L a nn ⎦

a 22 L M 0

⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0⎥⎥ 0 − 6 0⎥ ⎥ 0 0 0⎦ 4

0


Jenis Matriks (3/7) Matrik Satuan,

matrik diagonal yang entri pada diagonal utama bernilai satu, lambang: In, n menyatakan ordo matrik satuan ⎡1 0 0 ⎢0 1 0 ⎡1 0 0 ⎤ ⎢ 1 0⎤ ⎡ I2= ⎢ ⎥ ⎢0 1 ⎥ I4= ⎢0 0 1 I3= ⎢0 1 0⎥ ⎣ ⎦ ⎢ Matrik skalar, ⎢⎣0 0 1⎥⎦ ⎣0 0 0 matrik diagonal yang semua entri pada diagonal utama bernilai sama, asalkan tidak nol. atau c≠0. Efek dari perkalian sebarang matrik dengan matrik skalar adalah seperti mengalikan matrik sebarang tersebut dengan skalar c.

0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦


Jenis Matriks (4/7) ⎡ c 0 L 0⎤ ⎢0 c L 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ M M O M ⎥ =c ⎢ ⎥ ⎣0 0 L c ⎦

⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢M ⎢ ⎣0

Matrik Nol,

0 L 0⎤ 1 L 0⎥⎥ M O M ⎥ = cIn ⎥ 0 L 1⎦

matrik yang semua entrinya nol. Dengan lambang: O jika ordo dipentingkan ditulis O35 untuk menyatakan matrik nol dengan ordo 3x5

0 0 0⎤ ⎢0 0 0 ⎥ ⎦ ⎣

O23= ⎡

⎡0 ⎢ O53= ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢0 Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona ⎢⎣0 [email protected]

0 0 0 0 0

0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0⎥⎦

3

Jenis Matriks (5/7) Matrik Invers,

matrik bujursangkar A disebut mempunyai invers, jika terdapat matrik B, sehingga memenuhi BA=AB=I, lambang: invers matrik B biasanya dinyatakan oleh A-1 Untuk matrik berordo 2x2, telah diberikan rumus pencariannya, yaitu:

1 ⎡ d − c⎤ ⎡a c ⎤, maka A-1 = ad − bc ⎢⎣− b a ⎥⎦ ⎥ ⎣b d ⎦

A= ⎢

⎡ 4 − 3⎤ ⎡− 4 3 ⎤ 1 ⎡2 3⎤, maka A-1 = = A= ⎢ ⎥ 2.4 − 3.3 ⎢⎣− 3 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 − 2⎥⎦ ⎣ 3 4⎦ Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

Jenis Matrik (6/7) Untuk mencari invers matrik bujursangkar dengan ordo lebih dari 2, akan dibicarakan pada bagian berikutnya. Metode yang digunakan ada dua, yaitu: menggunakan matrik elementer (eliminasi Gauss-Jordan) dan menggunakan determinan bersama dengan matrik adjoin. Namun dasar untuk menghitungnya tetap harus memperhatikan eliminasi Gauss dan definisi determinan.


Contoh Apakah matrik di bawah ini termasuk: matriks

segitiga atas, segitiga bawah, diagonal, ataukah skalar?

⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0 0 0 0

0 0 0 0

0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦


4

Jawab Termasuk matrik segitiga atas Termasuk matrik segitiga bawah Termasuk matrik diagonal Bukan matrik skalar, karena entry pada diagonal utama nol semua, walaupun sama semua


Jenis Matriks (7/7) Matrik Simetri, yaitu

matriks bujursangkar yang memenuhi sifat A = AT

⎡ 3 ⎢ 1 ⎢ ⎢⎣ − 2

1 5 4

− 2⎤ 4 ⎥⎥ 0 ⎥⎦

Matrik Skew-Simetri,

matrik bujur sangkar yang memenuhi syarat AT = -A.


Contoh Jika matrik A di bawah ini termasuk matrik skew-simetri, tentukan a, b, dan c ⎡0 1 0⎤

A= ⎢ a

Jawab:

⎢ ⎣⎢ b

0 c

2 ⎥⎥ 0 ⎦⎥

⎡0 a b ⎤ ⎡ 0 −1 0 ⎤ ⎥= ⎢ ⎥ = -A ⎢ 0 c ⎥ ⎢−a 0 −2⎥ ⎢⎣0 2 0⎥⎦ ⎢−b −c 0 ⎥ ⎣ ⎦

AT= ⎢1

Sehingga didapat persamaan-persamaan: a = -1, b = 0, c = -2, 1= -a, 0 = -b, 2 = -c, berarti: a = -1, b = 0, dan c = -2 Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

5

Operasi Matriks Penjumlahan Matrik Perkalian Matrik dengan Skalar Transpos Matrik Perkalian Dua Matrik Trase Matrik


Penjumlahan matrik Jika A=[aij], dan B=[bij] Jumlah matrik A dan B ditulis: C=A+B Syarat: ordo A = ordo B Aturan: cij=aij+bij {entri yang seletak dijumlahkan}


Contoh ⎡ 4 − 3⎤ − 12 2 −5⎤ ⎡3 12 − 2 4 ⎤ ⎥ , B= ⎢ 3 1 − 7⎥ , C= ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ ⎣ 7 435 10⎦ ⎣ ⎦

A= ⎡⎢

Hitung: A+B, B+C Jawab: ⎡− 12

2

−5⎤

1 1 ⎡312 − 2 4 ⎤ ⎡− 2 +3 2 2+(−2) −5+4 ⎤ ⎢ ⎥ 3 1 −7⎥⎦ = ⎣ 7+3 4 5 +1 10+(−7)⎦

A+B= ⎢ 7 4 3 10⎥ + ⎢ 3 5 ⎣ ⎦ ⎣

3 0 −1⎤ A+B= ⎡ ⎢10 53 3 ⎥ 5 ⎦ ⎣ B+C=tidak terdefinisi, karena ordo C ≠ ordo B

back Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

6

Perkalian dengan Skalar A=[aij] dan k skalar, maka: kA=[kaij] {semua entri dikalikan dengan k} (-4)

7 ⎡312 −2 4 ⎤ = ⎡(−4). 2 (−4).(−2) (−4).4 ⎤ ⎢ 3 1 −7⎥ ⎢ (−4).3 (−4).1 (−4).(−7)⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

=

⎡−14 8 −16⎤ ⎢−12 −4 28⎥ ⎣ ⎦

Akibat: -A = (-1)A, sehingga A – B = A + (-B) back Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

Transpos matrik A=[aij], i=1, 2, ..., n ; j=1, 2, ..., m Jika B=AT , dan B=[bji], maka bji = aji A=

⎡− 2 ⎢ 3 ⎢ ⎣⎢ 5

AT =

{kolom matrik A menjadi baris matrik AT} 7 ⎤ − 3 ⎥⎥ 4 ⎦⎥

⎡− 2 3 5 ⎤ ⎢ 7 − 3 4⎥ ⎣ ⎦

back Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

Perkalian dua Matrik A =[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m B=[bjk], k=1, 2, ..., p {banyak kolom A=banyak baris B} C=AB cik=ai1b1k + ai2b2k + …+aimbmk=

r ai

m

∑a b j =1

ij jk

vektor baris ke-i dari matrik A

r bk vektor kolom ke-k dari matrik B entri matrik C adalah: cik =

r r a i bk


7

Contoh Perkalian Matrik (1/ 2) 2⎤ , dan C=AB 1 ⎥⎥ ⎢⎣ − 2 − 6 7 ⎥⎦

⎡ 0 −3 1 4 ⎤ A= ⎡ ⎢ 2 −1 −5⎥ , B= ⎢⎢ 1 ⎣ ⎦

3 4

⎡2⎤ ⎢1 ⎥ ⎥ = 4 – 1 – 35 = -32 ⎢⎣ 7 ⎥⎦

c23=[2 − 1 − 5]⎢

⎡0⎤

c21= [2 −1 −5] ⎢⎢ 1 ⎥⎥ = 0 – 1 + 10 = 9 ⎣⎢− 2⎦⎥

⎡2⎤ c13= [− 3 1 4] ⎢1⎥ = ⎢ ⎥ ⎢⎣7 ⎥⎦

-6 + 1 + 28 = 23


Contoh Perkalian Matrik (2/2) c21= [− 3

⎡3⎤ 1 4]⎢ 4 ⎥= ⎢ ⎥ ⎣⎢− 6⎦⎥

-9 + 4 – 24 = -29

⎡ 0 1 ⎦ ⎢− 2 ⎣

C=AB =⎡⎢−3 1 4 ⎤⎥ ⎢ 2 −1 −5 ⎢ ⎣

3 4 −6

2⎤ 1 ⎥⎥ 7 ⎦⎥

⎡−7 −29 23⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ 9 32 −32⎦


back

Trase matrik A=[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., n {harus matrik bujur sangkar} Trase(A)=a11 + a22 + …+ ann {penjumlahan dari seluruh entri pada diagonal utama} ⎡ 2 A =⎢ 3 ⎢ ⎣⎢ − 4

0 −2 1

3⎤ 5 ⎥⎥ , 1 ⎦⎥

trase(A)= 2 – 2 + 1 = 1


8

Sifat-sifat Operasi Matrik (1/4) Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

A+B=B+A {sifat komutatif} (A+B)+C=A+(B+C) {sifat asosiatif} A+O=O+A=A {sifat matrik nol, identitas penjumlahan} A+(-A)= -A+A=O {sifat negatif matrik} k(A+B)=kA+kB {sifat distributif terhadap skalar k} (k+l)A=kA+lA {sifat distributif terhadap skalar k dan l} (kl)A=k(lA) {sifat asosiatif terhadap perkalian skalar} 1A=A {sifat perkalian dengan skalar 1 (satu)}

Kedelapan sifat ini, nantinya akan dinyatakan sebagai aksioma (kebenaran tanpa perlu dibuktikan) sebagai syarat berlakunya Ruang Vektor Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

Sifat-sifat Operasi Matrik (2/4) 9.

AB≠BA

{tidak berlaku komutatif perkalian} {sifat asosiatif} AI=IA=A {sifat matrik satuan, identitas perkalian} AO=OA=O {sifat matrik nol} (A+B)T = AT + BT {sifat transpos matrik terhadap penjumlahan} Jika AB=O, tidak dijamin berlaku: A=O atau B=O atau BA=O (kA)B=k(AB)=A(kB)

10. (AB)C=A(BC) 11. 12. 13. 14. 15.


Contoh AB≠BA ⎡ − 1 2 ⎤ ⎡ 4 1 ⎤ ⎡0 − 5 ⎤ AB = ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣ 0 3 ⎦ ⎣ 2 − 2 ⎦ ⎣6 − 6 ⎦ ⎡4 1 ⎤ ⎡− 1 2⎤ ⎡− 4 11 ⎤ BA = ⎢ ⎥ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎣ 2 − 2 ⎦ ⎣ 0 3 ⎦ ⎣ − 2 − 2⎦ Sehingga: AB≠BA


9

Contoh AB=0 ⎡0 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤ A=⎢ ⎥ B = ⎢3 − 4⎥ 2 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 1 0 ⎤ ⎡ 0 0 ⎤ ⎡0 0 ⎤ AB = ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥, berarti AB=O ⎣ 2 0 ⎦ ⎣ 3 − 4 ⎦ ⎣0 0 ⎦ Tetapi

⎡0 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤ = ⎡ 0 0 ⎤ BA = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ , berarti BA≠O ⎣ 3 − 4 ⎦ ⎣ 2 0 ⎦ ⎣ − 5 0⎦


Sifat-sifat Operasi Matrik (3/4) 16. trase(A+B) = trase(A) + trase(B) 17. trase(AT) = trase(A) 18. trase(kA) = k trase(A) 19. trase(Inxn) = n


Sifat-sifat Operasi Matrik (4/4) 20. (A+B)C=AC+BC 21. C(A+B)=CA+CB 22. (AB)T = BTAT

{urutan operasi dibalik}

23. (kA)T=kAT 24. An = AA … A, jika n ≠0, dan I, jika n=0 Sebanyak n 25. ArAs=Ar+s, jika r dan s bilangan asli

⎡d1 k ⎢ 26. D k = ⎢ 0 ⎢ M ⎢ ⎣⎢ 0

0 d2

k

M 0

0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ M ⎥ k⎥ L d n ⎦⎥ L L


10

Contoh Tambahan (1/3) ⎡2 − 1⎤ Jika A = ⎢ ⎥, dan B = ⎣1 3 ⎦ T ⎛ ⎡6 0 ⎤ ⎞ ⎡6 (A + B)T = ⎜⎜ ⎢ ⎥ ⎟⎟ = ⎢0 8 1 ⎣ ⎦⎠ ⎝⎣ AT + BT =

⎡4 1 ⎤ ⎢7 − 2 ⎥ ⎣ ⎦ 8⎤ 1⎥⎦

⎡4 7 ⎤ ⎡ 2 1⎤ ⎡1 25 ⎤ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣1 − 2⎦ ⎣− 1 3⎦ ⎣4 − 5⎦

B TA T = ⎢

⎡ 2 1⎤ ⎡4 7 ⎤ ⎡6 8⎤ ⎢− 1 3⎥ + ⎢1 − 2⎥ = ⎢0 1⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ T

⎛⎡ 1 4 ⎤⎞ ⎡1 (AB)T = ⎜ ⎢ ⎟ ⎜ 25 − 5⎥ ⎟ = ⎢4 ⎦⎠ ⎝⎣ ⎣

25 ⎤ − 5⎥⎦

⎡ 2 1⎤ ⎡4 7 ⎤ ⎡ 9 12 ⎤ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣− 1 3⎦ ⎣1 − 2⎦ ⎣− 1 − 13⎦

A TB T = ⎢


Contoh Tambahan (2/3) (½B)T =

⎛ ⎡ 2 12 ⎤ ⎞ ⎟ ⎜⎢ ⎜ 7 −1⎥ ⎟ ⎦⎠ ⎝⎣ 2

T

⎡2

= ⎢ 1

⎣

2

7 2⎤ −1⎥⎦

⎡2 − 1⎤ ⎡4 1 ⎤ A= ⎢ ⎥, dan B = ⎢7 − 2⎥ ⎣1 3 ⎦ ⎣ ⎦

⎡4 7 ⎤ ⎡ 2 7 2 ⎤ ⎥ ⎥ = ⎢1 ⎣1 − 2⎦ ⎣ 2 − 1⎦

½ BT = ½ ⎢

⎡− 4 2 ⎤ ⎥ ⎣ − 2 − 6⎦

–2 A = ⎢

⎡− 2

–2IA = ⎢ ⎣0

0 ⎤ ⎡2 − 1⎤ ⎡− 4 2 ⎤ = − 2⎥⎦ ⎢⎣1 3 ⎥⎦ ⎢⎣− 2 − 6⎥⎦ Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

Contoh Tambahan (3/3) ⎡2 − 1⎤ ⎡2 − 1⎤ ⎡3 − 5⎤ ⎥⎢ ⎥= ⎣1 3 ⎦ ⎣1 3 ⎦ ⎢⎣5 8 ⎥⎦

A2 = AA= ⎢

⎡3 − 5⎤ 8 ⎥⎦ ⎣

A3 = A2A = ⎢ 5

⎡2 − 1⎤ A= ⎢ ⎥, dan B = ⎣1 3 ⎦

⎡4 1 ⎤ ⎢7 − 2 ⎥ ⎣ ⎦

⎡2 − 1⎤ ⎡ 1 − 18⎤ ⎢1 3 ⎥ = ⎢18 19 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

trase(A) = 2 + 3 = 5 trase(B) = 4 + (-2) = 2

6 0⎤ ) = 6 + 1 = 7 trase(A+B) = trase( ⎡ ⎢8 1⎥ ⎣ ⎦ Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona [email protected]

11

Tantangan 1 A.

Jika ⎡ 1 A=⎢ ⎣− 3

0 ⎤ ⎡ 12 1 3 − 5⎤ 2⎤ B = ⎢ 0 − 2⎥ C = ⎡ 4 ⎢ ⎥ ⎢− 3 0 1 ⎥ ⎥ 0⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣ − 1 3 ⎥⎦ ⎡2 0 ⎤ E=⎢ ⎥ ⎣0 −3⎦

⎡ 0 − 2 1⎤ D = ⎢⎢−1 3 4⎥⎥ 1 ⎣⎢ 2 0 1⎥⎦

Hitunglah: BA, AB E2, E3, E100, A2 + 2A + I,(A+I)2, (BC - D)T, CTBT– DT, 3C(BA), C(3B)A, (CB)(3A), trase(A + E)

1. 2. 3. 4. 5. 6.


Tantangan 2 B. Tentukan persamaan-persamaan dalam variabel-

variabel x, y, z, dan w, yang terbentuk, sehingga berlaku persamaan matrik di bawah ini: ⎡ x

2x

⎤

⎢ ⎣ z

z

⎥ ⎦

⎡ 45 ⎡2 1 − 1 7⎤ ⎢ y − y + z ⎥⎥ = - ⎢ ⎢6 8 0 3⎥ ⎢ 3 ⎣ ⎦ ⎢ x + w w − 2 y + x⎥ ⎣

46 ⎤ 87 ⎥⎦


Tantangan 3 C. D. E.

Tentukan syarat agar berlaku: (A + B)2=A2 + 2AB + B2, jika A dan B berordo 2x2 Tentukan syarat agar berlaku: A2 – B2 = (A - B)(A + B), jika A dan B berordo 2x2 Tentukan persamaan-persamaan dalam variabel-variabel x, y, dan z, sehingga persamaan memenuhi persamaan matrik berikut:

⎡x + y 3x + y ⎤ ⎢x + z x + y −2z⎥ ⎣ ⎦

= ⎡− 1

⎢9 ⎣

1 ⎤ − 17⎥⎦


12

Tantangan 4 F.

G.

H.

Tunjukkan bahwa Sistem Persamaan Linier :

2 x − 3 y = 1⎫ ⎬ x + 4 y = 2⎭

dapat dinyatakan sebagai persamaan AX=B [petunjuk: tentukan matrik A, X dan B] Jika matrik A, X, dan B hasil dari soal di atas tentukan invers A atau A-1 dan tentukan solusi persamaan AX=B, dengan mengingat sifat I = AA-1 . Tunjukkan bahwa, jika A matrik skew-simetri, maka trace(A)=0


Tantangan 5 I.

J. K. L. M.

Buktikan jika D matrik diagonal, maka Dk adalah matrik diagonal yang entri-entrinya adalah entri pada diagonal utama D dipangkatkan k. Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik S = ½ (A + AT) adalah matrik simetri. Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik R = ½ (A - AT) adalah matrik skew-simetri. Dari kedua matrik pada dua soal di atas, tunjukkan berlaku hubungan A = S + R. Jika A matrik bujursangkar 2x2, tunjukkan bahwa AAT berbentuk matrik simetri.


13

Matriks. Pengertian. Lambang Matrik

Recommend Documents