¾ MATRIKS •
Definisi: Matriks Æ Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut
(1)
⎡ a11 a12 ⎢a ⎢ 21 a22 ⎢....... ...... ⎢ ⎣ am1 am 2
a1n ⎤ a2 n ⎥⎥ ....... ........⎥ ⎥ ....... amn ⎦ ....... .......
•
Susunan diatas disebut matriks m x n karena memiliki m baris dan n kolom.
•
Bilangan/fungsi aij disebut elemen-nya dengan i menunjukkan baris dan j kolom
•
Matriks tidak memiliki nilai numerik
•
Matriks merupakan suatu cara sederhana untuk menyajikan suatu susunan (tabel) dari bilangan-bilangan
•
Pada saatnya (1) akan disebut ”matriks [aij], m x n”, atau ”matriks A = [aij], m x n” Æ cukup menuliskan ”matriks A” saja
Contoh 5: Berikut ini adalah matriks ⎡2 3 7⎤ (a) ⎢ ⎥ ⎣1 − 1 5 ⎦
⎡1 3 1 ⎤ (b) ⎢⎢2 1 4⎥⎥ ⎢⎣4 7 6⎥⎦
(c) (3 1 7 )
Matriks (a) dapat dipandang sebagai matriks koefisien dari sistem persamaan linear 2x + 3y + 7z = 0 x – y + 5z = 0 atau sebagai matriks lengkap dari sistem persamaan linier tak-homogen 2x + 3y = 7 x–y=5
1
Matriks Bujur Sangkar •
Setiap matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama (m = n) disebut matriks bujur sangkar. Sebuah matriks bujur sangkar dengan m baris dan n kolom sering disebut matriks bujur sangkar.
•
Dalam suatu matriks bujur sangkar, elemen-elemen a11, a22, ..., ann disebut elemen diagonal. Jumlah elemen-elemen diagonal suatu matriks bujur sangkar A disebut trace A
Matriks Sama •
Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] disebut sama ( A = B) jika dan hanya jika keduanya berordo sama dan setiap elemen yang seletak sama, yaitu jika dan hanya jika aij = bij (i = 1,2, ..., m; j = 1,2, ..., n)
Matriks Nol •
Matriks yang semua elemennya nol disebut matriks nol
OPERASI MATRIKS JUMLAH MATRIKS •
Definisi Jika A = [aij] dan B = [bij] dua matriks m x n, maka jumlah (selisih)-nya, A ± B didefinisikan sebagai matriks C = [cij], m x n, dengan tiap elemen C adalah jumlah (selisih) elemen A dan B yang seletak. Jadi A ± B = [aij ± bij]
•
Dua matriks berordo sama disebut bersesuaian untuk penjumlahan atau pengurangan. Dua matriks berordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
2
•
Definisi: Jika k sebarang skalar maka kA = Ak adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k.
•
Dengan asumsi bahwa matriks A, B, dan C adalah bersesuaian untuk penjumlahan, kita nyatakan: a) A + B = B + A
(hukum komutatif)
b) A + (B + C) = (A + B) + C
(hukum asosiatif)
c) k (A + B) = k A + k B d) Terdapat suatu matriks D sedemikian sehingga A + D = B
PERKALIAN •
Definisi: Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n maka hasil kali adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan Æ Perhatikanlah operasinya adalah baris dengan kolom; tiap elemen baris dikalikan dengan elemen kolom padanannya dan kemudian hasil kali itu dijumlahkan. Contoh 6: ⎡ a11 A • B = ⎢⎢ a 21 ⎣⎢ a31
•
a12 ⎤ ⎡b a 22 ⎥⎥ ⎢ 11 b a32 ⎥⎦ ⎣ 21
⎡ a11b11 + a12 b21 b12 ⎤ ⎢ = a 21b11 + a 22 b21 b22 ⎥⎦ ⎢ ⎢⎣ a31b11 + a 32 b21
a11b12 + a12 b22 ⎤ a 21b12 + a 22 b22 ⎥⎥ a 31b12 + a 32 b22 ⎦⎥
Hasilkali AB terdefinisi atau A bersesuaian terhadap B untuk perkalian, hanya jika banyakanya kolom A sama dengan banyak baris B. Namun ingat, B tidak perlu bersesuaian terhadap A untuk perkalian
3
•
Dengan anggapan bahwa A, B, dan C bersesuaian untuk jumlah dan hasil kali yang ditunjukkan, kita mempunyai e) A (B + C) = AB + AC f) (A + B) C = AC + BC g) A (BC) = (AB) C Akan tetapi h) AB = BA i) AB = 0 tidak perlu membawakan A = 0 atau B = 0 j) AB = AC tidak perlu membawakan B = C
Matriks Satuan •
Matriks bujur sangkar A yang elemen-elemennya aij = 0 untuk i > j disebut segituga atas; matriks bujur sangkar A yang elemen-elemnnya aij = 0 untuk i < j disebut segitiga bawah.
•
Sedangkan matriks yang disamping segitiga atas juga segitiga bawah disebut matriks diagonal. Matriks diagonal akan seringkali ditulis sebagai D = diag (a11, a22, a33, ..., ann) ⎡a11 ⎢0 ⎢ D=⎢0 ⎢ ⎢ ... ⎢⎣ 0
•
0 a 22
0 0
0
a33
...
...
0
0
0 ⎤ 0 ⎥⎥ ... 0 ⎥ ⎥ ... ... ⎥ 0 a nn ⎥⎦ ... ...
Jika dalam matriks diagonal D diatas a11 = a22 = ... = ann = k, maka D disebut matriks skalar. Jika k = 1 maka disebut matriks satuan (matriks identitas)
•
Dalam matriks satuan, jika ukurannya penting untuk ditekankan, maka akan dituliskan In untuk matriks satuan n x n
4
Balikan Matriks (Invers). •
Definisi: Diberikan matriks bujur sangkar A. Jika terdapat matriks bujur sangkar A-1 yang memenuhi hubungan A-1A = AA-1 = I,
maka A-1 disebut invers kebalikan dari A
•
Teorema 2. Jika baik B maupun C adalah invers matriks A maka B = C
•
Teorema 3. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yang ukurannya sama, maka a) AB dapat dibalik b) (AB)-1 = B-1A-1
•
Teorema. 4. Jika A adalah matriks kuadrat dan r serta s adalah bilangan bulat, maka ArAs = Ar + s
•
(Ar)s = Ars
Teorema 5. Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka: a) A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1=A b) An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n untuk n = 0, 1, 2, ... c) Untuk setiap skalar k yang taksama dengan nol, maka kA dapat dibalik dan (kA)-1 = 1/k (A-1)
•
Teorema 6. Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat dilakukan, maka a) (At)t = A b) (A+B)t = At + Bt c) (kA)t = kAt, dimana k adalah sebarang skalar d) (AB)t = BtAt
•
Transpose sebuah hasil kali matriks sama dengan hasil kali transposnya dalam urutan kebalikannya
5
¾ MATRIKS ELEMENTER DAN METODE UNTUK MENCARI A-1 •
Definisi: Sebuah matriks n x n dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan (identitas) n x n yakni In dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tunggal Contoh 7. Di bawah ini kita daftarkan empat matriks elementer dan operasi-operasi yang menghasilkannya ⎡1 0 ⎤ (i) ⎢ ⎥ ⎣0 − 3⎦
Kalikan baris kedua I2 dengan -3
•
⎡1 ⎢0 (ii) ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 0 0 1
0 0 1 0
0⎤ 1⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦
Pertukarkan baris kedua dan baris keempat dari I4
⎡1 0 3 ⎤ (iii) ⎢⎢0 1 0⎥⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
Tambahkan tiga kali baris ketiga dari I3 pada baris pertama
Teorema 7. Jika matriks elementer E dihasilkan dengan melakukan sebuah operasi baris tertentu pada Im dan jika A adalah matriks m x n, maka hasil kali EA adalah matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada A. Contoh 8. Tinjaulah matriks ⎡ 1 0 2 3⎤ A = ⎢⎢2 − 1 3 6⎥⎥ ⎢⎣1 4 4 0⎥⎦
Dan tinjaulah matriks elementer yang dihasilkan oleh penambahan 3 kali baris pertama dari I3 ke baris ketiga.
6
⎡1 0 0 ⎤ E = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ ⎢⎣3 0 1⎥⎦
Hasil kali EA adalah ⎡ 1 0 2 3⎤ EA = ⎢⎢2 − 1 3 6⎥⎥ ⎢⎣4 4 10 0⎥⎦
yang persis sama seperti matriks yang dihasilkan bila kita menambahkan 3 kali baris pertama dari A ke baris ketiga •
Jika operasi baris elementer diterapkan pada matriks satuan I untuk menghasilkan matriks elementer E, maka terdapat operasi baris kedua yang bila diterapkan pada E, akan menghasilkan kembali I. Misalnya jika E kita peroleh dengan mengalikan baris ke-i dengan konstanta c yang tak sama dengan nol, maka I dapat diperoleh kembali jika baris ke-i dari E dikalikan dengan 1/c. Berbagai kemungkinan didaftarkan dalam tabel berikut:
Tabel 1. Berbagai kemungkinan pada Operasi Baris Elementer pada I Menghasilkan E dan sebaliknya Operasi baris pada I yang menghasilkan E Operasi baris pada E yang menghasilkan I Kalikanlah baris i dengan c ≠ 0
Kalikanlah baris i dengan 1/c
Pertukarkan baris i dan baris j
Pertukarkan baris i dan baris j
Tambahkan c kali baris i ke baris j
Tambahkan – c kali baris i ke baris j
Operasi-operasi di ruas kanan dari tabel ini dinamakan operasi invers dari operasi-operasi yang bersesuaian di ruas kiri •
Teorema 8. Setiap matriks elementer dapat dibalik, dan inversnya adalah juga matriks elementer
7
•
Teorema 9. Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen, yakni semuanya benar atau semuanya salah a) A dapat dibalik b) AX = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial c) A ekivalen baris terhadap In. Contoh 9. Carilah invers dari ⎡1 2 3⎤ A = ⎢⎢2 5 3⎥⎥ ⎢⎣1 0 8⎥⎦
Perhitungan adalah sebagai berikut: 3 # 1 0 0⎤ ⎡1 2 ⎢0 1 − 3 # − 2 1 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣0 − 2 5 # − 1 0 1⎥⎦ ⎡1 2 3 # 1 0 0 ⎤ ⎢0 1 − 3 # − 2 1 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣0 0 − 1 # − 5 2 1⎥⎦
Tambahkan 2 kali baris kedua pada baris ketiga
0 0⎤ ⎡1 2 3 # 1 ⎢0 1 − 3 # − 2 1 0 ⎥⎥ ⎢ ⎢⎣0 0 1 # 5 − 2 − 1⎥⎦
Kalikan baris ketiga dengan -1
3⎤ ⎡1 2 0 # − 14 6 ⎢0 1 0 # 13 − 5 − 3⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣0 0 1 # 5 − 2 − 1⎥⎦
Tambahkan 3 kali baris ketiga pada baris kedua dan -3 kali baris ketiga pada baris pertama
⎡1 0 0 # − 40 16 9 ⎤ ⎢0 1 0 # 13 − 5 − 3⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣0 0 1 # 5 − 2 − 1⎥⎦
Tambahkan -2 kali baris kedua pada baris pertama
A-1
8
Jika matriks tidak dapat dibalik, maka menurut bagian (c) dari teorema 9, tidaklah mungkin ekivalen baris pada In; berarti matriks tersebut berbentuk eselon baris tereduksi yang sedikit-dikitnya mempunyai sebuah baris bilangan nol.
¾ HASIL SELANJUTNYA MENGENAI SISTEM PERSAMAAN DAN KETERBALIKAN •
Teorema 10. Jika A adalah matriks n x n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks B yang berukuran n x 1, sistem persamaan AX = B mempunyai persis satu pemecahan, yakni, X = A-1 Contoh 10. Tinjaulah sistem persamaan linear x1 + 2x2 + 3x3 = 5 2x1 + 5x2 + 3x3 = 3 x1
+ 8x3 = 17
Dalam bentuk matriks, maka sistem ini dapat dituliskan sebagai AX = B, di mana ⎡1 2 3⎤ A = ⎢⎢2 5 3⎥⎥ , ⎢⎣1 0 8⎥⎦
⎡ x1 ⎤ X = ⎢⎢ x2 ⎥⎥ , ⎢⎣ x3 ⎥⎦
⎡3⎤ B = ⎢⎢ 5 ⎥⎥ ⎢⎣17 ⎥⎦
Dari contoh 9 telah diperlihatkan bahwa A dapat dibalik dan ⎡− 40 16 9 ⎤ A = ⎢⎢ 13 − 5 − 3⎥⎥ ⎢⎣ 5 − 2 − 1⎥⎦ −1
Menurut teorema 10 maka pemecahan sistem tersebut adalah
9
⎡− 40 16 9 ⎤ ⎡ 5 ⎤ ⎡ 1 ⎤ X = A B = ⎢⎢ 13 − 5 − 3⎥⎥ ⎢⎢ 3 ⎥⎥ = ⎢⎢− 1⎥⎥ atau x1 = 1, x2 = -1, x3 = 2 ⎢⎣ 5 − 2 − 1⎥⎦ ⎢⎣17 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ −1
•
Teorema 11. Misalkan A adalah matriks kuadrat a) Jika B adalah kuadrat yang memenuhi BA = I , maka B = A-1 b) Jika B adalah kuadrat yang memenuhi AB = I , maka B = A-1
•
Teorema 12. Jika A adalah sebuah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan yang berikut ekivalen satu sama lain a) A dapat dibalik b) AX = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial c) A ekivalen baris kepada In d) AX = B konsisten untuk tiap-tiap matriks B yang berukuran n x 1
Contoh 11. Kondisi-kondisi apakah yang harus dipenuhi oleh b1, b2, dan b3 supaya sistem persamaan di bawah ini konsisten?
x1 + x2 + 2x3 = b1 x1
+ x3 = b2
2x1 + x2 + 3x3 = b3 Pemecahan. Matriks yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah ⎡1 1 2 b1 ⎤ ⎢1 0 1 b ⎥ 2⎥ ⎢ ⎢⎣2 1 3 b3 ⎥⎦
10
yang dapat direduksi terhadap bentuk eselon baris sebagai berikut: B2’ Æ B2 + (-1) B1 B3’ Æ B3 + (-2) B1
B2’ Æ (-1) B2
B3’ Æ B2 + B3
2 b1 ⎤ ⎡1 1 ⎢0 − 1 − 1 b − b ⎥ 2 1 ⎥ ⎢ ⎢⎣0 − 1 − 1 b3 − 2b1 ⎥⎦
b1 ⎤ 2 ⎡1 1 ⎢0 1 1 b1 − b2 ⎥⎥ ⎢ ⎢⎣0 − 1 − 1 b3 − 2b1 ⎥⎦
b2 ⎤ ⎡1 1 1 ⎢0 1 1 b1 − b2 ⎥⎥ ⎢ ⎢⎣0 0 0 b3 − b2 − b1 ⎥⎦
Jelaslah sekarang dari baris ketiga di dalam matriks tersebut bahwa sistem tersebut mempunyai sebuah pemecahan jika dan hanya jika b1, b2, dan b3 memenuhi kondisi: b3 – b2 – b1 = 0
atau b3 = b1 + b2
Dengan cara lain, maka AX = B konsisten jika dan hanya jika B adalah matriks yang berbentuk: ⎡ b1 ⎤ B = ⎢⎢ b2 ⎥⎥ ⎢⎣b1 + b2 ⎥⎦
dimana b1 dan b2 sebarang
Contoh 12. Kondisi apa yang harus dipenuhi oleh b1, b2, dan b3 agar sistem persamaan di bawah ini menjadi konsisten:
11
x1 + 2x2 + 3x3 = b1 2x1 + 5x2 + 3x3 = b2 x1
+ 8x3 = b3
Pemecahan. Matriks yang diperbesar adalah
⎡1 2 3 b1 ⎤ ⎢2 5 3 b ⎥ 2⎥ ⎢ ⎢⎣1 0 8 b3 ⎥⎦
Dengan mereduksi ini terhadap bentuk eselon baris tereduksi akan menghasilkan (Buktikan): ⎡1 0 0 − 40b1 + 16b2 + 9b3 ⎤ ⎢0 1 1 13b1 − 5b2 − 3b3 ⎥⎥ ⎢ ⎢⎣0 0 0 5b1 − 2b2 − b3 ⎥⎦
Dalam kasus ini tidak ada pembatasan pada b1, b2, dan b3; yaitu bahwa sistem yang diberikan oleh AX = B mempunyai pemecahan yang unik x1 = -40b1 + 16b2 + 9b3,
x2 = 13b1 – 5 b2 – 3 b3,
x3 = 5b1 – 2b2 – b3
untuk semua B
12
