Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks

Matriks - 1: Beberapa De…nisi Dasar – Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016

MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U

Agustus 2015

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

1 / 31

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1

Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya.

2

Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.

3

Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke @telkomuniversity.ac.id.

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

2 / 31

Bahasan

1

Beberapa De…nisi Dasar

2

Kesamaan Matriks, Jumlah dan Selisih Matriks

3

Perkalian Matriks

4

Struktur Aljabar Matriks

5

Latihan Aljabar Matriks

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

3 / 31


Bahasan

1


2


3

Perkalian Matriks

4


5


MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

4 / 31


De…nisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom.

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

5 / 31


De…nisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata “beberapa” mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom.

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

5 / 31


De…nisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata “beberapa” mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut.

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

5 / 31


De…nisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata “beberapa” mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut.

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

5 / 31


De…nisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata “beberapa” mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ].

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

5 / 31


De…nisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata “beberapa” mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ]. Bentuk umum matriks berukuran m n. 2

MZI (FIF Tel-U)

6 6 6 6 6 6 6 6 4

Matriks - 1

Agustus 2015

5 / 31


De…nisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata “beberapa” mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ]. Bentuk umum matriks berukuran m n. 2 a11 6 6 6 6 6 6 6 6 4 MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

5 / 31


De…nisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata “beberapa” mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ]. Bentuk umum matriks berukuran m n. 2 a11 a12 6 6 6 6 6 6 6 6 4 MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

5 / 31


De…nisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata “beberapa” mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ]. Bentuk umum matriks berukuran m n. 2 a11 a12 a1j 6 6 6 6 6 6 6 6 4 MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

5 / 31


De…nisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata “beberapa” mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ]. Bentuk umum matriks berukuran m n. 2 a11 a12 a1j a1n 6 6 6 6 6 6 6 6 4 MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

5 / 31


De…nisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata “beberapa” mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ]. Bentuk umum matriks berukuran m n. 2 a11 a12 a1j a1n 6 a21 a22 a a 2j 2n 6 6 .. .. .. .. . . . . 6 . . . . . . 6 6 6 6 4 MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

5 / 31


De…nisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata “beberapa” mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ]. Bentuk umum matriks berukuran m n. 2 a11 a12 a1j a1n 6 a21 a22 a a 2j 2n 6 6 .. .. .. .. . . . . 6 . . . . . . 6 6 ai1 ai2 6 6 4 MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

5 / 31


De…nisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata “beberapa” mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ]. Bentuk umum matriks berukuran m n. 2 a11 a12 a1j a1n 6 a21 a22 a a 2j 2n 6 6 .. .. .. .. . . . . 6 . . . . . . 6 6 ai1 ai2 a a ij in 6 6 .. .. .. .. .. .. 4 . . . . . . MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

5 / 31


De…nisi Matriks Matriks Matriks (matrix, plural: matrices) adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat yang terdiri atas beberapa baris dan kolom. Kata “beberapa” mensyaratkan suatu matriks setidaknya memuat 1 baris dan 1 kolom. Bilangan yang ada di dalam matriks, dikatakan sebagai entri (atau komponen) dari matriks tersebut. Ukuran (# baris) (# kolom) suatu matriks dikatakan sebagai orde (atau ukuran) dari matriks tersebut. Matriks diapit dengan kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ]. Bentuk umum matriks berukuran m n. 3 2 a11 a12 a1j a1n 6 a21 a22 a2j a2n 7 7 6 6 .. .. . .. 7 .. .. .. 7 6 . . . . . 7 6 7 6 ai1 ai2 a a ij in 7 6 6 .. . . .. . . .. .. .. .. 7 5 4 . . am1 am2 amj amn MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

5 / 31


Matriks Persegi, Diagonal Utama, dan Trace Matriks biasanya ditulis dengan huruf besar (dan cetak tebal). Jika A adalah suatu matriks berukuran m n, maka kita dapat menulis A = [aij ]. Kita nyatakan entri dari suatu matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan aij atau (A)ij .

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

6 / 31


Matriks Persegi, Diagonal Utama, dan Trace Matriks biasanya ditulis dengan huruf besar (dan cetak tebal). Jika A adalah suatu matriks berukuran m n, maka kita dapat menulis A = [aij ]. Kita nyatakan entri dari suatu matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan aij atau (A)ij . Matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya dikatakan sebagai matriks persegi. Diagonal utama pada suatu matriks persegi adalah entri-entri aii matriks tersebut.

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

6 / 31


Matriks Persegi, Diagonal Utama, dan Trace Matriks biasanya ditulis dengan huruf besar (dan cetak tebal). Jika A adalah suatu matriks berukuran m n, maka kita dapat menulis A = [aij ]. Kita nyatakan entri dari suatu matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan aij atau (A)ij . Matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya dikatakan sebagai matriks persegi. Diagonal utama pada suatu matriks persegi adalah entri-entri aii matriks tersebut. 2 3 a11 a12 a1n 6 a12 a21 a2n 7 6 7 6 .. .. .. 7 .. 4 . . . . 5 an1

an2

ann

Untuk setiap matriks persegi A berorde n,

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

6 / 31


Matriks Persegi, Diagonal Utama, dan Trace Matriks biasanya ditulis dengan huruf besar (dan cetak tebal). Jika A adalah suatu matriks berukuran m n, maka kita dapat menulis A = [aij ]. Kita nyatakan entri dari suatu matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan aij atau (A)ij . Matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya dikatakan sebagai matriks persegi. Diagonal utama pada suatu matriks persegi adalah entri-entri aii matriks tersebut. 2 3 a11 a12 a1n 6 a12 a21 a2n 7 6 7 6 .. .. .. 7 .. 4 . . . . 5 an1

an2

ann

Untuk setiap matriks persegi A berorde n, trace dari A, dinotasikan dengan tr A, dide…nisikan sebagai jumlah semua entri diagonal utama A. tr A = a11 + a22 +

+ ann =

n X

aii .

i=1

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

6 / 31


Matriks Identitas

Matriks Identitas Matriks identitas adalah matriks 1 dan entri lainnya bernilai 0. 2 2 3 1 0 0 6 1 0 [1], , 4 0 1 0 5, 6 4 0 1 0 0 1

persegi yang entri diagonal utamanya semuanya

3 1 0 0 0 0 1 0 0 7 7, . . . 0 0 1 0 5 0 0 0 1 Kita notasikan matriks identitas berukuran berorde n dengan In jika n memang sigini…kan dan perlu ditulis. Jika tidak, cukup dengan I saja.

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

7 / 31


Transpos dari Matriks

De…nisi Misalkan A = [aij ] adalah suatu matriks berukuran m n, transpos dari A dinotasikan dengan AT , merupakan matriks berukuran n m dan dide…nisikan sebagai AT = [aji ]. Dengan perkataan lain baris-baris matriks AT adalah kolom-kolom matriks A, T dan kolom-kolom 2 matriks 3 A adalah baris-baris matriks A. 2 3 Misalkan A = 4 1 4 5, B = 1 3 5 , dan C = [8], maka 5 6 AT =

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

8 / 31



De…nisi Misalkan A = [aij ] adalah suatu matriks berukuran m n, transpos dari A dinotasikan dengan AT , merupakan matriks berukuran n m dan dide…nisikan sebagai AT = [aji ]. Dengan perkataan lain baris-baris matriks AT adalah kolom-kolom matriks A, T dan kolom-kolom 2 matriks 3 A adalah baris-baris matriks A. 2 3 Misalkan A = 4 1 4 5, B = 1 3 5 , dan C = [8], maka 5 6 AT =

2 3

1 4

MZI (FIF Tel-U)

5 6

, BT =

Matriks - 1

Agustus 2015

8 / 31



De…nisi Misalkan A = [aij ] adalah suatu matriks berukuran m n, transpos dari A dinotasikan dengan AT , merupakan matriks berukuran n m dan dide…nisikan sebagai AT = [aji ]. Dengan perkataan lain baris-baris matriks AT adalah kolom-kolom matriks A, T dan kolom-kolom 2 matriks 3 A adalah baris-baris matriks A. 2 3 Misalkan A = 4 1 4 5, B = 1 3 5 , dan C = [8], maka 5 6 2 3 1 2 1 5 AT = , BT = 4 3 5, dan CT = 3 4 6 5

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

8 / 31



De…nisi Misalkan A = [aij ] adalah suatu matriks berukuran m n, transpos dari A dinotasikan dengan AT , merupakan matriks berukuran n m dan dide…nisikan sebagai AT = [aji ]. Dengan perkataan lain baris-baris matriks AT adalah kolom-kolom matriks A, T dan kolom-kolom 2 matriks 3 A adalah baris-baris matriks A. 2 3 Misalkan A = 4 1 4 5, B = 1 3 5 , dan C = [8], maka 5 6 2 3 1 2 1 5 AT = , BT = 4 3 5, dan CT = [8]. 3 4 6 5

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

8 / 31


Matriks Diagonal

De…nisi (Matriks diagonal) Suatu matriks persegi D dikatakan sebagai matriks diagonal bila semua entri matriks yang tidak berada pada diagonal utama bernilai 0. Yang manakah yang merupakan matriks diagonal? 2 2 3 1 3 0 0 6 0 0 0 2 0 A= ,B= , C = 4 0 1 0 5, D = 6 4 0 0 0 0 0 0 0 2 0

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

0 2 0 0

0 0 3 0

3 7 0 7 7. 0 5 4

Agustus 2015

9 / 31


Matriks Diagonal

De…nisi (Matriks diagonal) Suatu matriks persegi D dikatakan sebagai matriks diagonal bila semua entri matriks yang tidak berada pada diagonal utama bernilai 0. Yang manakah yang merupakan matriks diagonal? 2 2 3 1 3 0 0 6 0 0 0 2 0 A= ,B= , C = 4 0 1 0 5, D = 6 4 0 0 0 0 0 0 0 2 0 Yang termasuk matriks diagonal adalah A, B, dan C. Matriks diagonal karena

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

3 0 0 7 2 0 0 7 7. 0 3 0 5 0 0 4 D bukan matriks

Agustus 2015

9 / 31


Matriks Diagonal

De…nisi (Matriks diagonal) Suatu matriks persegi D dikatakan sebagai matriks diagonal bila semua entri matriks yang tidak berada pada diagonal utama bernilai 0. Yang manakah yang merupakan matriks diagonal? 2 2 3 1 3 0 0 6 0 0 0 2 0 A= ,B= , C = 4 0 1 0 5, D = 6 4 0 0 0 0 0 0 0 2 0 Yang termasuk matriks diagonal adalah A, B, dan C. Matriks diagonal karena (D)14 = 7 6= 0.

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

3 0 0 7 2 0 0 7 7. 0 3 0 5 0 0 4 D bukan matriks

Agustus 2015

9 / 31


De…nisi Suatu matriks persegi U = [uij ] disebut matriks segitiga atas bila semua entri “di kiri” (atau “bawah”) diagonal utamanya bernilai 0. Dengan perkataan lain uij = 0 bila i > j. Serupa dengan hal ini, matriks persegi L = [ìj ] disebut matriks segitiga bawah bila semua entri “di kanan” (atau “atas”) diagonal utamanya bernilai 0. Dengan perkataan lain ìj = 0 bila i < j. Bentuk umum matriks segitiga atas berorde 4

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

4

Agustus 2015

10 / 31


De…nisi Suatu matriks persegi U = [uij ] disebut matriks segitiga atas bila semua entri “di kiri” (atau “bawah”) diagonal utamanya bernilai 0. Dengan perkataan lain uij = 0 bila i > j. Serupa dengan hal ini, matriks persegi L = [ìj ] disebut matriks segitiga bawah bila semua entri “di kanan” (atau “atas”) diagonal utamanya bernilai 0. Dengan perkataan lain ìj = 0 bila i < j. Bentuk umum matriks segitiga atas berorde 4 2 a11 a12 a13 6 0 a22 a23 6 4 0 0 a33 0 0 0

4 3 a14 a24 7 7. a34 5 a44

Bentuk umum matriks segitiga bawah berorde 4

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

4

Agustus 2015

10 / 31


De…nisi Suatu matriks persegi U = [uij ] disebut matriks segitiga atas bila semua entri “di kiri” (atau “bawah”) diagonal utamanya bernilai 0. Dengan perkataan lain uij = 0 bila i > j. Serupa dengan hal ini, matriks persegi L = [ìj ] disebut matriks segitiga bawah bila semua entri “di kanan” (atau “atas”) diagonal utamanya bernilai 0. Dengan perkataan lain ìj = 0 bila i < j. Bentuk umum matriks segitiga atas berorde 4 2 a11 a12 a13 6 0 a22 a23 6 4 0 0 a33 0 0 0

4 3 a14 a24 7 7. a34 5 a44

Bentuk umum matriks segitiga bawah berorde 4 4 2 3 a11 0 0 0 6 a21 a22 0 0 7 6 7 4 a31 a32 a33 0 5 . a41 a42 a34 a44 MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

10 / 31


Matriks Simetris

De…nisi Suatu matriks persegi A = [aij ] dikatakan simetris jika A = AT , atau setara dengan aij = aji untuk setiap i; j. Bentuk umum matriks simetris berorde 4

MZI (FIF Tel-U)

4

Matriks - 1

Agustus 2015

11 / 31


Matriks Simetris

De…nisi Suatu matriks persegi A = [aij ] dikatakan simetris jika A = AT , atau setara dengan aij = aji untuk setiap i; j. Bentuk umum matriks simetris berorde 4 4 2 3 a b c 6 a d e 7 6 7, 4 b d f 5 c e f

entri

tidak kita pedulikan, a; b; c; d; e; f 2 R.

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

11 / 31


Latihan Periksa apakah matriks-matriks berikut adalah matriks simetris atau bukan 2 3 2 3 1 0 3 0 0 0 2 0 A = , B = 4 0 2 8 5, C = 4 0 2 1 5, 0 0 3 8 3 0 0 0 2 3 2 3 1 0 9 3 1 0 0 0 6 0 1 2 1 7 6 0 0 0 0 7 7 6 7 D = 6 4 9 2 0 0 5, E = 4 0 0 0 0 5 3 1 2 1 0 0 0 0 Solusi:

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

12 / 31


Latihan Periksa apakah matriks-matriks berikut adalah matriks simetris atau bukan 2 3 2 3 1 0 3 0 0 0 2 0 A = , B = 4 0 2 8 5, C = 4 0 2 1 5, 0 0 3 8 3 0 0 0 2 3 2 3 1 0 9 3 1 0 0 0 6 0 1 2 1 7 6 0 0 0 0 7 7 6 7 D = 6 4 9 2 0 0 5, E = 4 0 0 0 0 5 3 1 2 1 0 0 0 0

Solusi: yang termasuk matriks simetris adalah A (karena AT = A), B (karena BT = B), dan E (karena ET = E).

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

12 / 31


Bahasan

1


2


3

Perkalian Matriks

4


5


MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

13 / 31


Kesamaan Dua Matriks De…nisi Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, ketika ukuran dari A dan B sama, serta setiap entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut sama. 1 2 3 1 2 7 Apakah A = dan B = sama? 4 5 6 4 5 6

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

14 / 31


Kesamaan Dua Matriks De…nisi Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, ketika ukuran dari A dan B sama, serta setiap entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut sama. 1 2 3 1 2 7 Apakah A = dan B = sama? Tidak, karena 4 5 6 4 5 6 (A)13 6= (B)13 .

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

14 / 31


Kesamaan Dua Matriks De…nisi Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, ketika ukuran dari A dan B sama, serta setiap entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut sama. 1 2 3 1 2 7 Apakah A = dan B = sama? Tidak, karena 4 5 6 4 5 6 (A)13 6= (B)13 . 0

1 Apakah A = @ 2 3

MZI (FIF Tel-U)

4 5 6

1 0 7 1 8 A dan B = @ 2 9 3

Matriks - 1

4 5 6

1 7 8 A sama? 9

Agustus 2015

14 / 31



1 0 1 4 7 1 Apakah A = @ 2 5 8 A dan B = @ 2 3 6 9 3 (A)ij = (B)ij untuk setiap 1 i; j 3.

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

4 5 6

1 7 8 A sama? Ya, karena 9

Agustus 2015

14 / 31



1 0 1 4 7 1 Apakah A = @ 2 5 8 A dan B = @ 2 3 6 9 3 (A)ij = (B)ij untuk setiap 1 i; j 3. Apakah A =

1 2 6 7

MZI (FIF Tel-U)

3 8

dan B =

1 6

Matriks - 1

4 5 6

2 7


3 8

0 0

sama?

Agustus 2015

14 / 31



1 0 1 4 7 1 Apakah A = @ 2 5 8 A dan B = @ 2 3 6 9 3 (A)ij = (B)ij untuk setiap 1 i; j 3. 1 2 3 dan B = 6 7 8 3, sedangkan B berorde 2

Apakah A = berorde 2

MZI (FIF Tel-U)

4 5 6

1 2 6 7 4.

Matriks - 1


3 8

0 0

sama? Tidak, karena A

Agustus 2015

14 / 31


Jumlah dan Selisih Matriks De…nisi Jika A dan B adalah matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri yang bersesuaian pada A dan B. Serupa dengan hal ini, selisih A B adalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan mengurangkan entri-entri pada B dari entri-entri pada A yang bersesuaian. Dalam notasi matriks, jika A dan B berukuran sama, maka (A + B)ij = (A)ij + (B)ij dan (A B)ij = (A)ij (B)ij . Sebagai contoh, kita memiliki 1 2 3 4 5 6 + = 4 5 6 7 8 9

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

15 / 31


Jumlah dan Selisih Matriks De…nisi Jika A dan B adalah matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri yang bersesuaian pada A dan B. Serupa dengan hal ini, selisih A B adalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan mengurangkan entri-entri pada B dari entri-entri pada A yang bersesuaian. Dalam notasi matriks, jika A dan B berukuran sama, maka (A + B)ij = (A)ij + (B)ij dan (A B)ij = (A)ij (B)ij . Sebagai 1 2 4 5 dan 4 5 7 8

contoh, kita memiliki 3 4 5 6 + = 6 7 8 9 6 9

MZI (FIF Tel-U)

1 4

2 5

3 6

5 11

7 13

9 15

=

Matriks - 1

Agustus 2015

15 / 31


Jumlah dan Selisih Matriks De…nisi Jika A dan B adalah matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri yang bersesuaian pada A dan B. Serupa dengan hal ini, selisih A B adalah matriks yang entri-entrinya diperoleh dengan mengurangkan entri-entri pada B dari entri-entri pada A yang bersesuaian. Dalam notasi matriks, jika A dan B berukuran sama, maka (A + B)ij = (A)ij + (B)ij dan (A B)ij = (A)ij (B)ij . Sebagai 1 2 4 5 dan 4 5 7 8

contoh, kita memiliki 3 4 5 6 + = 6 7 8 9 6 9

MZI (FIF Tel-U)

1 4

2 5

3 6

=

5 11 3 3

7 13 3 3

9 15 3 3

Matriks - 1

.

Agustus 2015

15 / 31


Perkalian Matriks dengan Bilangan Real Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan real.

De…nisi Jika A adalah suatu matriks dan k 2 R, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri matriks A dengan k. Dalam notasi matriks, bila A = [aij ], maka (kA)ij = k (Aij ) = kaij . Sebagai contoh, kita memiliki

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

16 / 31



De…nisi Jika A adalah suatu matriks dan k 2 R, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri matriks A dengan k. Dalam notasi matriks, bila A = [aij ], maka (kA)ij = k (Aij ) = kaij . Sebagai contoh, kita memiliki 3

1 2 3 4 5 6

MZI (FIF Tel-U)

=

Matriks - 1

Agustus 2015

16 / 31




1 2 3 4 5 6

MZI (FIF Tel-U)

=

3 12

6 15

9 18

,

Matriks - 1

Agustus 2015

16 / 31




1 2 3 4 5 6

MZI (FIF Tel-U)

=

3 12

6 15

9 18

,

1 3

2

3 3 6 4 9 12 5 = 15 18

Matriks - 1

Agustus 2015

16 / 31




1 2 3 4 5 6

=

3 12

6 15

9 18

,

Catatan: kita akan menulis ( 1) A =

MZI (FIF Tel-U)

1 3

2

3 2 3 6 1 4 9 12 5 = 4 3 15 18 5

3 2 4 5. 6

A.

Matriks - 1

Agustus 2015

16 / 31

Perkalian Matriks

Bahasan

1


2


3

Perkalian Matriks

4


5


MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

17 / 31

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852) Jika matriks A berukuran m AB berukuran

MZI (FIF Tel-U)

r dan matriks B berukuran r

Matriks - 1

n, maka matriks

Agustus 2015

18 / 31

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852) Jika matriks A berukuran m r dan matriks B berukuran r n, maka matriks AB berukuran m n dan untuk setiap 1 i m dan 1 j n (AB)ij =

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

18 / 31

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852) Jika matriks A berukuran m r dan matriks B berukuran r n, maka matriks AB berukuran m n dan untuk setiap 1 i m dan 1 j n (AB)ij = (A)i1 (B)1j +

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

18 / 31

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Cara Standar Perkalian Matriks - Gotthold Eisenstein (1823-1852) Jika matriks A berukuran m r dan matriks B berukuran r n, maka matriks AB berukuran m n dan untuk setiap 1 i m dan 1 j n (AB)ij = (A)i1 (B)1j + (A)i2 (B)2j +

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

18 / 31

Perkalian Matriks


MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

+

Agustus 2015

18 / 31

Perkalian Matriks


MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

+ (A)ir (B)rj =

Agustus 2015

18 / 31

Perkalian Matriks


+ (A)ir (B)rj =

r X

(A)ik (B)kj .

k=1

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

18 / 31

Perkalian Matriks


+ (A)ir (B)rj =

r X

(A)ik (B)kj .

k=1

Ilustrasi cara menghitung (AB)ij 2 a11 a12 a1r 6 a21 a22 a2r 6 6 .. .. .. . .. 6 . . . 6 6 ai1 ai2 air 6 6 .. .. .. .. 4 . . . . am1 am2 amr MZI (FIF Tel-U)

3

72 7 76 76 76 74 7 7 5

b11 b21 .. .

b12 b22 .. .

br1

br2

Matriks - 1

..

.

b1j b2j .. . brj

..

.

b1n b2n .. . arn

3 7 7 7 5

Agustus 2015

18 / 31

Perkalian Matriks

Syarat Perkalian Matriks

Diberikan dua matriks A dan B, syarat agar AB terde…nisi adalah: (# kolom A) = (# baris B). Sebagai ilustrasi, hasil kali matriks berikut

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

19 / 31

Perkalian Matriks

Syarat Perkalian Matriks

Diberikan dua matriks A dan B, syarat agar AB terde…nisi adalah: (# kolom A) = (# baris B). Sebagai ilustrasi, hasil kali matriks berikut 2 3 4 1 4 3 1 2 4 4 0 1 3 1 5 2 6 0 2 7 5 2 tidak dide…nisikan (mengapa?).

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

19 / 31

Perkalian Matriks

Contoh Perkalian Matriks

Tentukan nilai2x. 4 1 2 4 4 0 2 6 0 2 x=

MZI (FIF Tel-U)

3 1 4 3 1 3 1 5= 7 5 2

x

Matriks - 1

Agustus 2015

20 / 31

Perkalian Matriks


Tentukan nilai2x. 4 1 2 4 4 0 2 6 0 2 x = (2 4) +

MZI (FIF Tel-U)

3 1 4 3 1 3 1 5= 7 5 2

x

Matriks - 1

Agustus 2015

20 / 31

Perkalian Matriks


Tentukan nilai2x. 3 4 1 4 3 1 2 4 4 0 1 3 1 5= 2 6 0 2 7 5 2 x = (2 4) + (6 3) +

MZI (FIF Tel-U)

x

Matriks - 1

Agustus 2015

20 / 31

Perkalian Matriks


Tentukan nilai2x. 3 4 1 4 3 1 2 4 4 0 1 3 1 5= 2 6 0 2 7 5 2 x = (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26.

MZI (FIF Tel-U)

x

Matriks - 1

Agustus 2015

20 / 31

Perkalian Matriks


Tentukan nilai2x. 3 4 1 4 3 1 2 4 4 0 1 3 1 5= 2 6 0 2 7 5 2 x = (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26. 1 2 x=

2 6

4 0

2

4 4 0 2

MZI (FIF Tel-U)

x

3 1 4 3 1 3 1 5= 7 5 2

x

Matriks - 1

Agustus 2015

20 / 31

Perkalian Matriks


Tentukan nilai2x. 3 4 1 4 3 1 2 4 4 0 1 3 1 5= 2 6 0 2 7 5 2 x = (2 4) + (6 3) + (0 5) = 26. 1 2

2 6

4 0

x = (1 3) +

2

4 4 0 2

MZI (FIF Tel-U)

x

3 1 4 3 1 3 1 5= 7 5 2

x

Matriks - 1

Agustus 2015

20 / 31

Perkalian Matriks



x

3 4 1 4 3 4 0 1 3 1 5= 2 7 5 2 x = (1 3) + (2 1) + 1 2

2 6

4 0

2

MZI (FIF Tel-U)

x

Matriks - 1

Agustus 2015

20 / 31

Perkalian Matriks



x

3 4 1 4 3 4 0 1 3 1 5= 2 7 5 2 x = (1 3) + (2 1) + (4 2) = 13. 1 2

2 6

4 0

2

MZI (FIF Tel-U)

x

Matriks - 1

Agustus 2015

20 / 31

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom.

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

21 / 31

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

21 / 31

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran 1 1. Matriks 1 1 juga analog dengan bilangan real.

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

21 / 31

Perkalian Matriks


rc =

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

21 / 31

Perkalian Matriks


rc =

MZI (FIF Tel-U)

r1

r2

rk

Matriks - 1

Agustus 2015

21 / 31

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran 1 1. Matriks 1 1 juga analog dengan bilangan real. 2 3 c1 2 3 k 6 c2 7 X 6 7 rk 6 . 7 = 4 rc = r1 r2 rj cj 5 . 4 .. 5 j=1 ck Dengan fakta di atas, bila A adalah matriks berorde m n dan c adalah matriks kolom dengan n baris (berorde n 1), maka Ac adalah matriks

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

21 / 31

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran 1 1. Matriks 1 1 juga analog dengan bilangan real. 2 3 c1 2 3 k 6 c2 7 X 6 7 rk 6 . 7 = 4 rc = r1 r2 rj cj 5 . 4 .. 5 j=1 ck

Dengan fakta di atas, bila A adalah matriks berorde m n dan c adalah matriks kolom dengan n baris (berorde n 1), maka Ac adalah matriks kolom dengan m baris (berorde m 1). Secara serupa, bila r adalah matriks baris dengan m kolom (berorde 1 m) dan B adalah matriks berorde m n, maka rB adalah matriks

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

21 / 31

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Matriks Baris dan Matriks Kolom Matriks baris adalah matriks yang hanya memuat 1 baris, matriks kolom adalah matriks yang hanya memuat 1 kolom. Jika r adalah matriks baris dengan k kolom dan c adalah matriks kolom dengan k baris, maka keduanya dapat dikalikan dan hasil perkaliannya adalah matriks berukuran 1 1. Matriks 1 1 juga analog dengan bilangan real. 2 3 c1 2 3 k 6 c2 7 X 6 7 rk 6 . 7 = 4 rc = r1 r2 rj cj 5 . 4 .. 5 j=1 ck

Dengan fakta di atas, bila A adalah matriks berorde m n dan c adalah matriks kolom dengan n baris (berorde n 1), maka Ac adalah matriks kolom dengan m baris (berorde m 1). Secara serupa, bila r adalah matriks baris dengan m kolom (berorde 1 m) dan B adalah matriks berorde m n, maka rB adalah matriks baris dengan n kolom (berorde 1 n). MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

21 / 31

Perkalian Matriks

Perkalian Matriks – Meninjau Kolom

Diberikan matriks A yang berorde m kita menulis B sebagai B= dengan bi (1 i dihitung sebagai

b2

bn

n, jika

,

n) adalah matriks kolom dengan r baris, maka AB dapat AB =

MZI (FIF Tel-U)

b1

r dan matriks B yang berorde r

Ab1

Ab2

Matriks - 1

Abn

.

Agustus 2015

22 / 31

Perkalian Matriks

Contoh

Tentukan nilai2x dan 4 1 2 4 4 0 2 6 0 2

y. 3 1 4 3 1 3 1 5= 7 5 2

x y

.

Tinjau bahwa

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

23 / 31

Perkalian Matriks

Contoh

Tentukan nilai2x dan 4 1 2 4 4 0 2 6 0 2 Tinjau bahwa

MZI (FIF Tel-U)

x y

y. 3 1 4 3 1 3 1 5= 7 5 2 =

1 2

2 6

4 0

x y 2 4

3 1 1 5= 7

Matriks - 1

.

27 4

.

Agustus 2015

23 / 31

Perkalian Matriks

Latihan Perkalian Matriks

Latihan Periksa apakah matriks-matriks berikut dapat dikalikan, jika dapat dikalikan tentukan 2 hasilnya. 3 1 2 1 2 1 1 3 1 1 A = 4 3 1 5, B = ,C= ,D= 0 1 0 0 1 2 1 0 1 1

AB

2

BA

3

BC

4

CD

5

DC

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

24 / 31

Perkalian Matriks

Solusi: 1

AB =

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

25 / 31

Perkalian Matriks

Solusi: 1

2

1 AB = 4 3 0

MZI (FIF Tel-U)

3 2 1 5 1

1 0

2 1

1 0

=

Matriks - 1

Agustus 2015

25 / 31

Perkalian Matriks

Solusi: 1

2

2

1 AB = 4 3 0

3 2 1 5 1

1 0

2 1

1 0

2

1 = 4 3 0

4 7 1

3 1 3 5 0

BA =

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

25 / 31

Perkalian Matriks

Solusi: 1

2

2

1 AB = 4 3 0 BA =

1 0

MZI (FIF Tel-U)

3 2 1 5 1

2 1

1 0

2

1 = 4 3 0

1 2 1 0 1 0 2 3 1 2 4 3 1 5= 0 1

Matriks - 1

4 7 1

3 1 3 5 0

Agustus 2015

25 / 31

Perkalian Matriks

Solusi: 1

2

1 AB = 4 3 0

2

BA =

3

BC =

1 0

MZI (FIF Tel-U)

3 2 1 5 1

2 1

1 0

2

1 = 4 3 0

1 2 1 0 1 0 2 3 1 2 4 3 1 5= 0 1

7 3

Matriks - 1

4 7 1 5 1

3 1 3 5 0

Agustus 2015

25 / 31

Perkalian Matriks

Solusi: 1

2

1 AB = 4 3 0

3 2 1 5 1

2

BA =

1 0

2 1

1 0

3

BC =

1 0

2 1

1 0

MZI (FIF Tel-U)

2

1 = 4 3 0

1 2 1 0 1 0 2 3 1 2 4 3 1 5= 0 1 1 0

3 1

7 3

4 7 1 5 1

3 1 3 5 0

,

Matriks - 1

Agustus 2015

25 / 31

Perkalian Matriks

Solusi: 1

2

3

4

2

1 AB = 4 3 0 BA =

1 0

3 2 1 5 1

2 1

1 0

2

1 = 4 3 0

1 2 1 0 1 0 2 3 1 2 4 3 1 5= 0 1

7 3

4 7 1 5 1

3 1 3 5 0

1 2 1 1 3 , tidak dapat dikalikan karena banyak kolom 0 1 0 0 1 pada B tidak sama dengan banyak baris pada C. BC =

CD =

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

25 / 31

Perkalian Matriks

Solusi: 1

2

3

4

2

1 AB = 4 3 0 BA =

1 0

3 2 1 5 1

2 1

1 0

2

1 = 4 3 0

1 2 1 0 1 0 2 3 1 2 4 3 1 5= 0 1

7 3

4 7 1 5 1

3 1 3 5 0

1 2 1 1 3 , tidak dapat dikalikan karena banyak kolom 0 1 0 0 1 pada B tidak sama dengan banyak baris pada C. 1 3 1 1 CD = = 0 1 2 1 BC =

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

25 / 31

Perkalian Matriks

Solusi: 1

2

3

4

5

2

1 AB = 4 3 0 BA =

1 0

3 2 1 5 1

2 1

1 0

2

1 = 4 3 0

1 2 1 0 1 0 2 3 1 2 4 3 1 5= 0 1

7 3

4 7 1 5 1

3 1 3 5 0

1 2 1 1 3 , tidak dapat dikalikan karena banyak kolom 0 1 0 0 1 pada B tidak sama dengan banyak baris pada C. 1 3 1 1 7 4 CD = = 0 1 2 1 2 1 BC =

DC =

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

25 / 31

Perkalian Matriks

Solusi: 1

2

3

4

5

2

1 AB = 4 3 0 BA =

1 0

3 2 1 5 1

2 1

1 0

2

1 = 4 3 0

1 2 1 0 1 0 2 3 1 2 4 3 1 5= 0 1

7 3

4 7 1 5 1

3 1 3 5 0


DC =

1 2

MZI (FIF Tel-U)

1 1

1 3 0 1

=

Matriks - 1

Agustus 2015

25 / 31

Perkalian Matriks

Solusi: 1

2

3

4

5

2

1 AB = 4 3 0 BA =

1 0

3 2 1 5 1

2 1

1 0

2

1 = 4 3 0

1 2 1 0 1 0 2 3 1 2 4 3 1 5= 0 1

7 3

4 7 1 5 1

3 1 3 5 0


DC =

1 2

MZI (FIF Tel-U)

1 1

1 3 0 1

=

1 2

4 7

Matriks - 1

Agustus 2015

25 / 31


Bahasan

1


2


3

Perkalian Matriks

4


5


MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

26 / 31


Struktur Aljabar Matriks: Penjumlahan dan Perkalian Skalar Teorema Misalkan A, B, dan C adalah sembarang matriks berukuran m n dan a; b 2 R. Misalkan pula 0 menyatakan matriks m n yang seluruh entrinya bernilai 0. Maka 1

0 + A = A + 0 = A (matriks 0 adalah identitas penjumlahan)

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

27 / 31




2

A + B = B + A (sifat komutatif penjumlahan)

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

27 / 31




2


3

(A + B) + C = A + (B + C) (sifat asosiatif penjumlahan)

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

27 / 31




2


3


4

A + ( A) = ( A) + A = 0, ingat kembali bahwa

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

A = ( 1) A

Agustus 2015

27 / 31




2


3


4


5

(a + b) C = aC + bC dan (a

MZI (FIF Tel-U)

b) C = aC

Matriks - 1

A = ( 1) A

bC

Agustus 2015

27 / 31




2


3


4


5


6

a (B + C) = aB + aC dan a (B

MZI (FIF Tel-U)

b) C = aC C) = aB

Matriks - 1

A = ( 1) A

bC aC

Agustus 2015

27 / 31




2


3


4


5


6


7

a (bC) = (ab) C

MZI (FIF Tel-U)

b) C = aC C) = aB

Matriks - 1

A = ( 1) A

bC aC

Agustus 2015

27 / 31




2


3


4


5


6


7

a (bC) = (ab) C

8

a (BC) = (aB) C = B (aC).

b) C = aC C) = aB

A = ( 1) A

bC aC

Silakan hayati teorema di atas. Bukti cukup mudah namun terlalu panjang untuk dibahas di sini. MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

27 / 31


Struktur Aljabar Matriks: Sifat Matriks Nol

Matriks nol, yaitu 0, memiliki sifat berikut.

Teorema Jika 0 adalah matriks nol berukuran m berukuran m n, maka 1

n dan A adalah sembarang matriks

0A = 0

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

28 / 31





0A = 0

2

A + 0 = A dan A

MZI (FIF Tel-U)


0=A

Matriks - 1

Agustus 2015

28 / 31





0A = 0

2

A + 0 = A dan A

3

Jika c 2 R dan cA = 0, maka

MZI (FIF Tel-U)


0=A

Matriks - 1

Agustus 2015

28 / 31




Teorema Jika 0 adalah matriks nol berukuran m berukuran m n, maka


1

0A = 0

2

A + 0 = A dan A

3

Jika c 2 R dan cA = 0, maka c = 0 atau A = 0.

0=A

Bukti teorema cukup mudah, silakan buktikan sendiri jika Anda masih penasaran.

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

28 / 31


Struktur Aljabar Matriks: Perkalian Matriks

Teorema Jika A adalah matriks berorde m r, B matriks berorde r n, dan C matriks berorde n p, maka A (BC) = (AB) C (sifat asosiatif perkalian matriks). Karena urutan perkalian tidak berpengaruh, kita dapat mengabaikan tanda kurung yang ada.

Teorema Jika operasi-operasi matriks berikut terde…nisi, maka kesamaan-kesamaan matriks berikut selalu dipenuhi untuk sembarang matriks A, B, dan C. 1

A (B + C) = AB + AC dan (A + B) C = AC + BC

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

29 / 31


Struktur Aljabar Matriks: Perkalian Matriks

Teorema Jika A adalah matriks berorde m r, B matriks berorde r n, dan C matriks berorde n p, maka A (BC) = (AB) C (sifat asosiatif perkalian matriks). Karena urutan perkalian tidak berpengaruh, kita dapat mengabaikan tanda kurung yang ada.

Teorema Jika operasi-operasi matriks berikut terde…nisi, maka kesamaan-kesamaan matriks berikut selalu dipenuhi untuk sembarang matriks A, B, dan C. 1

A (B + C) = AB + AC dan (A + B) C = AC + BC

2

A (B

C) = AB

AC dan (A

B) C = AC

BC

Silakan hayati teorema di atas, bukti terlalu panjang untuk dibahas di sini.

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

29 / 31



Latihan

2

3 3 0 4 1 1 Diketahui A = 4 1 2 5, B = ,C= 0 2 3 1 1 memang dapat dihitung) matriks hasil operasi berikut: 1

AB

2

3CA

3

ABC

4

4BC + 2C

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

4 1

2 5

. Tentukan (jika

Agustus 2015

30 / 31


Solusi: 1

AB =

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

31 / 31


Solusi: 1

2

3 AB = 4 1 1

MZI (FIF Tel-U)

3 0 2 5 1

4 0

1 2

=

Matriks - 1

Agustus 2015

31 / 31


Solusi: 1

2

2

3 AB = 4 1 1

3 0 2 5 1

4 0

1 2

2

12 = 4 4 4

3 3 5 5 1

3CA =

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

31 / 31


Solusi: 1

2

2

3 AB = 4 1 1 3CA =

3

MZI (FIF Tel-U)

1 3

3 0 2 5 1 4 1

4 0 2 5

3 12 3 = 4 4 5 5 4 1 3 3 0 4 1 2 5= 1 1

1 2 2

2

Matriks - 1

Agustus 2015

31 / 31


Solusi: 1

2

2

3 AB = 4 1 1 3CA =

3

MZI (FIF Tel-U)

1 3

3 0 2 5 1 4 1

4 0 2 5

3 12 3 = 4 4 5 5 4 1 3 3 0 4 1 2 5 = 3 12 9 3 1 1

1 2 2

2

Matriks - 1

6 15

2

3 4 1 1

3 0 2 5= 1

Agustus 2015

31 / 31


Solusi: 1

2

2

3 AB = 4 1 1 3CA = 3 39

3

3

1 3

3 0 2 5 1 4 1

30 21

4 0 2 5

3 12 3 = 4 4 5 5 4 1 3 3 0 4 1 2 5 = 3 12 9 3 1 1

1 2 2

2

6 15

2

3 4 1 1

3 0 2 5= 1

ABC = (AB) C =

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

31 / 31


Solusi: 1

2

2

3 AB = 4 1 1 3CA = 3 39

3

3

30 21

1 3

3 0 2 5 1 4 1

4 0 2 5

02

3 12 3 = 4 4 5 5 4 1 3 3 0 4 1 2 5 = 3 12 9 3 1 1

1 2 2

3 ABC = (AB) C = @4 1 1

MZI (FIF Tel-U)

2

3 0 2 5 1

4 0

Matriks - 1

1 2

1 A

1 3

6 15

2

4 1

2 5

3 4 1 1

3 0 2 5= 1

=

Agustus 2015

31 / 31


Solusi: 1

2

2

3 AB = 4 1 1 3CA = 3 39

3

3

30 21

1 3

3 0 2 5 1 4 1

4 0 2 5

2

3 3 0 ABC = (AB) C = @4 1 2 5 1 1 2 3 12 3 4 4 5 5 1 4 2 = 3 1 5 4 1

MZI (FIF Tel-U)

02

3 12 3 = 4 4 5 5 4 1 3 3 0 4 1 2 5 = 3 12 9 3 1 1

1 2 2

4 0

Matriks - 1

1 2

1 A

1 3

6 15

2

4 1

2 5

3 4 1 1

3 0 2 5= 1

=

Agustus 2015

31 / 31


Solusi: 1

2

2

3 AB = 4 1 1 3CA = 3 39

3

4

3

30 21

1 3

3 0 2 5 1 4 1

4 0 2 5

3 12 3 = 4 4 5 5 4 1 3 3 0 4 1 2 5 = 3 12 9 3 1 1

1 2 2

2

02

3 1 3 0 4 1 A 1 ABC = (AB) C = @4 1 2 5 0 2 3 1 1 2 3 2 3 12 3 3 45 9 4 4 5 5 1 4 2 = 4 11 11 17 5 3 1 5 4 1 7 17 13

6 15

2

4 1

2 5

3 4 1 1

3 0 2 5= 1

=

4BC + 2C =

MZI (FIF Tel-U)

Matriks - 1

Agustus 2015

31 / 31


Solusi: 1

2

2

3 AB = 4 1 1 3CA = 3 39

3

4

3

1 3

3 0 2 5 1 4 1

30 21

4 0 2 5

2

3 12 3 = 4 4 5 5 4 1 3 3 0 4 1 2 5 = 3 12 9 3 1 1

1 2 2

3 1 3 0 4 1 A 1 ABC = (AB) C = @4 1 2 5 0 2 3 1 1 2 3 2 3 12 3 3 45 9 4 4 5 5 1 4 2 = 4 11 11 17 5 3 1 5 4 1 7 17 13 4BC + 2C =

MZI (FIF Tel-U)

6 15

2

4 1

2 5

02

4

4 0

1 2

1 3

4 2 1 5

Matriks - 1

+ 2

1 3

3 4 1 1

4 1

3 0 2 5= 1

=

2 5

=

Agustus 2015

31 / 31


Solusi: 1

2

2

3 AB = 4 1 1 3CA = 3 39

3

4

3

1 3

3 0 2 5 1 4 1

30 21

4 0 2 5

2

3 12 3 = 4 4 5 5 4 1 3 3 0 4 1 2 5 = 3 12 9 3 1 1

1 2 2

3 1 3 0 4 1 A 1 ABC = (AB) C = @4 1 2 5 0 2 3 1 1 2 3 2 3 12 3 3 45 9 4 4 5 5 1 4 2 = 4 11 11 17 5 3 1 5 4 1 7 17 13 4BC + 2C = 4 24

60 12 8 40

MZI (FIF Tel-U)

6 15

2

4 1

2 5

02

4 0

4

+

1 2 2 8 6 2

1 3

4 10

4 2 1 5

+ 2

1 3

3 4 1 1

4 1

3 0 2 5= 1

=

2 5

=

= Matriks - 1

Agustus 2015

31 / 31


Solusi: 1

2

2

3 AB = 4 1 1 3CA = 3 39

3

4

3

1 3

3 0 2 5 1 4 1

30 21

4 0 2 5

2

3 12 3 = 4 4 5 5 4 1 3 3 0 4 1 2 5 = 3 12 9 3 1 1

1 2 2

3 1 3 0 4 1 A 1 ABC = (AB) C = @4 1 2 5 0 2 3 1 1 2 3 2 3 12 3 3 45 9 4 4 5 5 1 4 2 = 4 11 11 17 5 3 1 5 4 1 7 17 13 4BC + 2C = 4 24

60 12 8 40

MZI (FIF Tel-U)

6 15

2

4 1

2 5

02

4 0

4

+

1 2 2 8 6 2

1 3

4 10

4 2 1 5

= Matriks - 1

6 30

+ 2

1 3

3 4 1 1

4 1

3 0 2 5= 1

=

2 5

=

68 16 10 50 Agustus 2015

31 / 31

Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks

Recommend Documents