MATRIKS A. PENGERTIAN Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom. 2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang. 3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom. NOTASI MATRIKS Matriks kita beri nama dengan huruf besar seperti A, B, C, dll. Matriks yang mempunyai i baris dan j kolom ditulis A=(aij ), artinya suatu matriks A yang elemen-elemennya aij dimana indeks i menyatakan baris ke-i dan indeks j menyatakan kolom ke-j dari elemen tersebut. Secara umum : Matriks A=(aij ), i=1, 2, 3,…..m dan j=1, 2, 3,……., n yang berarti bahwa banyaknya baris m dan banyaknya kolom n. − 1 − 3 2 12
Contoh :
A=
Ukuran matriks Jumlah baris Jumlah kolom
B=
2x2 2 2
− 3 − 4
C= (2 3 12 − 1)
2x1 2 1
1x4 1 4
Matriks yang hanya mempunyai satu baris disebut MATRIKS BARIS, sedangkan matriks yang hanya mempunyai satu kolom disebut MATRIKS KOLOM. Dua buah matriks A dan B dikatakan SAMA jika ukurannya sama (mxn) dan berlaku aij = bij untuk setiap i dan j B. OPERASI PADA MATRIKS PENJUMLAHAN MATRIKS Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(aij ) dan B=(bij ) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij ) yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang letaknya sama. Contoh : 3 1 4 2
1 0 2 1 0 5
0 2 1 3
B=
A=
3 1
0 2
3 1
1 0 2 1 0 5
3 + 0 1 + 2
C=
maka
3 3
+ = = A+B = 4 + 1 2 + 3 1 3 4 2 5 5
+ A+C = 4 2
tidak terdefinisi (tidak dapat dicari hasilnya) karena matriks A dan C mempunyai ukuran yang tidak sama.
Materi Kuliah MATRIKS
Halaman 1
PENGURANGAN MATRIKS Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berlainan maka matriks hasil tidak terdefinisikan. Contoh : 3 4 4 5
0 2
dan
A=
3 4
B = 3 4
0 2
maka
3 − 0 4 − 2
3 2
= – = A – B = 4 − 3 5 − 4 4 5 3 4 1 1
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij ) maka matriks kA=(kaij ) yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Contoh : 1 2 3 0 − 1 5
1
2
2
3
4
6
= maka 2A= 2 0 − 2 10 0 − 1 5
A=
Pada perkalian skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B)=kA+kB. Contoh : 0 1 2 − 1
A=
3 4 1 1
B= 0
1
dengan k=2, maka 3 4
3 5
k(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B
6 10 0
= + = 2 2(A+B) = 2 6 3 0 2 − 1 1 1 0
1
3 4
0
2
6 8
6 10 0
= + 2 + 2A+2B = 2 = 6 1 1 2 − 1 4 − 2 2 2
PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS Beberapa hal yang perlu diperhatikan : 1. Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif ( A x B ≠ B x A ). Ada beberapa pasangan matriks yang hasil kalinya berlaku komutatif. 2. Syarat perkalian adalah banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua. 3. Jika matriks A berukuran mxp dan matriks B berukuran pxn maka perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran mxn dimana cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ………………….+ aipbpj
Materi Kuliah MATRIKS
Halaman 2
3 Contoh : 1) A= (3 2 1) dan B= 1 0
maka A1x3 x B3x1 = C1x1
(matriks AxB berupa matriks 1 baris dan 1 kolom) 3 A x B= (3 2 1) x 1 = ( 3x3 + 2x1 + 1x0 ) = ( 9 + 2 + 0 ) = (11) 0 3 3 2 5 dan E = 1 maka D2x3 x E3x1 = F2x1 (2 baris 1 kolom) 2) D = 1 0 4 0
9 + 2 + 0 3x3 + 2x1 + 5x0 = = D x E = 3 + 0 + 0 1x3 + 0x1 + 4x0
11 3
Beberapa Hukum Perkalian Matriks : 1. Hukum Distributif, A(B+C) = AB + AC 2. Hukum Assosiatif, A.(B.C) = (A.B).C 3. Tidak Komutatif, A.B ≠ B.A (pada umumnya) 4. Jika A.B = 0, maka beberapa kemungkinan (i) A=0 dan B=0 (ii) A=0 atau B=0 (iii) A≠0 dan B≠0 5. Bila A.B = A.C belum tentu B = C C. TRANSPOSE MATRIKS Jika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn maka transpose dari A adalah matriks AT berukuran nxm yang didapat dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT. Contoh : 11 A = 3
maka AT = (11 3)
3 1 3 2 5 T maka B = 2 0 B = 1 0 4 5 4
Beberapa Sifat Matriks Transpose : (i) (A+B)T = AT + BT (ii) (AT)T = A (iii) k(AT) = (kA)T (iv) (AB)T = BT AT Buktikan sifat-sifat transpose diatas !
Materi Kuliah MATRIKS
Halaman 3
D. JENIS-JENIS MATRIKS KHUSUS Berikut ini diberikan beberapa jenis matriks selain matriks kolom dan matriks baris (i)
MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol Sifat-sifat : 1. A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 2. A x 0=0, begitu juga 0 x A=0.
(ii)
MATRIKS PERSEGI/BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33, ….ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A tersebut. Contoh : Matriks berukuran 2x2 1 A = 2 2 B = 8 0
(iii)
0 elemen-elemen pada diagonal utamanya adalah 1 dan 3 3
3 1 6 5 elemen-elemen pada diagonal utamanya adalah 2, 6, dan 9 7 9 Diagonal utama
MATRIKS PERSEGI ISTIMEWA a. Bila A dan B merupakan matriks-matriks persegi sedemikian sehingga AB=BA maka A dan B disebut COMMUTE (saing). b. Bila A dan B sedemikian sehingga AB = – BA maka A dan B disebut ANTI COMMUTE. c. Matriks M dimana Mk+1 = M untuk k bilangan bulat positif disebut matriks PERIODIK. d. Jika k bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga Mk+1 = M maka M disebut PERIODIK dengan PERIODE k. e. Jika M2 = M maka M disebut IDEMPOTEN. f. Matriks A dimana Ap = 0 untuk p bilangan bulat positif, disebut dengan matriks NILPOTEN. g. Jika p bilangan positif bulat terkecil sedemikian hingga Ap=0 maka A disebut NILPOTEN dari indeks p.
(iv)
(v)
MATRIKS DIAGONAL, utamanya nol. 1 0 Contoh : A= 0 2 0 0
adalah matriks persegi yang semua elemen selain diagonal 0 0 3
MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah 1. Matriks Identitas dilambangkan dengan huruf I. 1 0 0 1 0 I = Contoh : I = 0 1 0 0 1 0 0 1 Sifat-sifat matriks identitas : 1. A x I = A 2. I x A = A
Materi Kuliah MATRIKS
Halaman 4
(vi)
MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya sama tetapi bukan nol atau satu. Contoh : 4 0 0 A= 0 4 0 0 0 4
(vii) MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal utamanya = 0. 1 0 A= 0 0
3 2 1 2 2 3 0 3 0 0 0 5
(viii) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas diagonal utamanya = 0. 1 4 A= 1 1
0 0 2 0 2 3 3 2
0 0 0 1
(ix)
MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks yang sama dengan transposenya. 1 2 0 1 2 0 T Contoh : A= 2 3 1 dan A = 2 3 1 0 1 1 0 1 1
(x)
MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang transposenya adalah negatif dari matriks tersebut. Maka AT=-A dan aij=-aij, elemen diagonal utamanya = 0 Contoh : 0 1 −3 0 0 −1 3 0 0 − 4 − 2 4 2 1 −1 0 T maka A = A= 0 1 −3 4 3 − 4 0 − 1 0 − 2 −1 0 0 2 1 0
(xi)
MATRIKS TRIDIAGONAL, adalah matriks persegi yang semua elemennya = 0 kecuali elemen-elemen pada diagonal utama serta samping kanan dan kirinya. Contoh : 1 2 0 0 1 2 3 0 A= 0 2 3 4 0 0 4 5
Materi Kuliah MATRIKS
Halaman 5
E.
DETERMINAN MATRIKS Pada matriks persegi, dikenal istilah determinan. Determinan dari matriks A dilambangkan dengan det(A) atau |A|. a b maka det(A) = |A| = ad – bc Pada matriks persegi ordo 2x2, misalnya A = c d a Pada matriks persegi ordo 3x3, misalnya B = d g dengan + + + - - -
Cara Carrus :
a d g
b c a b e f d e h i g h
b c e f maka det(B) = |B| dapat dihitung h i
det(B) = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi atau det(B) = aei + bfg + cdh – (ceg + afh + bdi)
Contoh : 2 3 2 3 maka det(A) = = a. Matriks A = 5 9 5 9 1 2 3 1 2 3 b. Matriks B = 4 5 6 maka det(B) = 4 5 6 = 7 8 9 7 8 9
Catatan : Jika det(A) = 0 maka matriks A disebut Matriks Singular Jika det(A) ≠ 0 maka matriks A disebut Matriks Non-Singular MINOR(Minor) DAN KOFAKTOR(Cofactor)
Minor elemen aij (dilambangkan dengan Mij ) yaitu determinan yang didapatkan dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks awalnya.
Kofaktor elemen aij (dilambangkan dengan cij ) = (−1 )i+j Mij 2 3 1 Contoh : Matriks A = 5 4 6 . Tentukan semua minor dan kofaktor dari A 9 7 8 Jawab : Minor-minor dari A M11 =
M21 =
M31 =
4 6 = 4.8 – 6.7 = –10 7 8 3 1
M12 =
= 3.8 – 1.7 = 17
M22 =
3 1 = 3.6 – 1.4 = 14 4 6
M32 =
7 8
Materi Kuliah MATRIKS
5 6
= 5.8 – 6.9 = –14
M13 =
5 4 = 5.7 – 4.9 = –1 9 7
= 2.8 – 1.9 = 7
M23 =
2 3 = 2.7 – 3.9 = –13 9 7
2 1 = 2.6 – 1.5 = 7 5 6
M33 =
2 3 = 2.4 – 3.5 = –7 5 4
9 8 2 1 9 8
Halaman 6
Kofaktor-kofaktor dari A c11 = (–1)1+1.M11 = 1.(–10) = –10
c12 = (–1)1+2. M12 = –1.(–14) = 14
c13= (–1)1+3.M13= 1(–1) = –1
c21 = (–1)2+1.M21 = –1.(17) = –17
c22 = (–1)2+2. M22 = 1.(7) = 7
c23= (–1)2+3.M23= –1(–13) = 13
c31 = (–1)3+1.M31 = 1.(14) = 14
c32 = (–1)3+2. M32 = –1.(7) = –7
c33 = (–1)3+3.M33= 1(–7) = –7
M atriks K ofaktor dari A merupakan matriks yang elemen-elemennya semua kofaktor dari A. Matriks kofaktor dari matriks A dilambangkan dengan C(A) atau K(A). − 10 14 − 1 Contoh : Matriks Kofaktor dari Matriks A di atas adalah C(A) = − 17 7 13 14 − 7 − 7 Tranpose dari matriks kofaktor disebut dengan m atriks Adjoin . Latihan : 4 2 3 1. Diketahui Matriks A = 1 0 1 tentukan c21, c22, dan c23. 5 7 8
2. Tentukan matriks kofaktor dari matriks-matriks berikut : 5 3 1 a. 0 6 2 4 0 4
3 4 b. 1 − 5
3. Tentukan matriks Adjoin dari soal nomor 2 MENENTUKAN DETERMINAN MATRIKS DENGAN EKSPANSI KOFAKTOR Dengan ekspansi kofaktor, determinan matriks dapat dilakukan dengan 2 cara : Ekspansi baris ke-i Det(A) = ai1.Ci1 + ai2.Ci2 + ... + ain.Cin Ekspansi kolom ke-i Det(A) = a1j.C1j + a2j.C2j + ... + amj.Cmj 2 3 1 Contoh : Diketahui A = 5 4 6 . Tentukan Det(A) dengan ekspansi kofaktor ! 9 7 8 Jawab : Dengan ekspansi baris ke-1 maka Det(A) = a11.C11 + a12.C12 + a13.C13 Dan dari contoh soal sebelumnya diperoleh
Det(A) = 2(–10) + 3(14) + 1(–1) Det(A) = –20 + 42 – 1 = 21 Hasil yang sama akan didapatkan jika kita lakukan ekspansi baris ke-2 atau baris ke-3 ataupun dengan ekspansi kolom. (Buktikan !)
Materi Kuliah MATRIKS
Halaman 7
Latihan : Tentukan determinan matriks-matriks berikut dengan ekspansi kofaktor : 4 0 2 5 3 7 1 3 0 2 0 − 3 1 8 b. B = 7 4 0 c. C = a. A = 0 4 0 0 0 2 6 2 0 5 1 0 5 0 0 0 2 Petunjuk : Untuk mempermudah perhitungan, gunakan ekspansi baris/kolom yang mempunyai 0 (nol) terbanyak. Pertanyaan selanjutnya : • Hubungan matriks A dengan matriks B adalah .... • Kesimpulan yang kita dapatkan dari determinan matriks A dan B adalah .... • Jenis Matriks C adalah matriks .... • Cara menentukan determinan matirks C secara cepat adalah .... • Bagaimana nilai determinan matriks jika elemen-elemen pada salah satu baris/kolom bernilai nol? F.
TRANSFORMASI ELEMENTER PADA BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Transformasi baris atau kolom pada suatu matriks A dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut : 1. bij = Menukar baris ke-i dengan baris ke-j kij = Menukar kolom ke-i dengan kolom ke-j Contoh : a. Penukaran baris 1 2 0 A = 2 3 1 0 1 1
b12
2 3 1 1 2 0 0 1 1
b12(A) berarti menukar baris ke-1 matriks A dengan baris ke-2 b. Penukaran kolom 1 2 0 A = 2 3 1 0 1 1
k23
1 0 2 2 1 3 0 1 1
k13(A) berarti menukar kolom ke-2 matriks A dengan kolom ke-3 2. bi(c) = mengalikan baris ke-i dengan skalar c dimana c≠0 ki(c) = mengalikan kolom ke-i dengan skalar c dimana c≠0
(c.bi) (c.ki)
Contoh : 1 2 0 2 3 1 0 1 1 Materi Kuliah MATRIKS
b2(–2)
2 0 1 − 4 − 6 − 2 0 1 1 Halaman 8
1 2 0 2 3 1 0 1 1
1 2 0 2 3 4 0 1 4
k3(4)
3. bij(c) : Menambah baris ke-i dengan c kali baris ke-j
(bi + c.bj)
kij(c) : Menambah kolom ke-i dengan c kali kolom ke-j Contoh : 1 2 0 2 3 1 0 1 1
1 2 0 2 2 0 0 1 1
b23(-1) b2+(–1).b3
k31(2)
(ki + c.kj) 1 2 2 2 2 4 0 1 1
k3+2.k1
Catatan : Jika matriks A ditransformasikan berturut-turut dengan b23(-1) kemudian k31(2) maka dapat dituliskan dengan k31(2) b23(-1)(A)
MATRIKS EKUIVALEN Dua buah matriks A dan B disebut ekuivalen (A~B) apabila salah satunya diperoleh dari yang lain dengan transformasi-transformasi elementer terhadap baris dan/atau kolom. Kalau transformasi elementer hanya terjadi pada baris saja disebut EKUIVALEN BARIS, sedangkan jika transformasi terjadi pada kolom saja disebut EKUIVALEN KOLOM. Contoh : 4 1 0 B = 2 3 1
2 3 1 a. A = , 4 1 0
4 3 1 dan C = 4 1 0
A dan B adalah ekuivalen baris karena hanya dengan melakukan transformasi baris dari matriks A (dalam contoh ini mempertukarkan baris ke-1 dengan baris ke-2 pada matriks A atau b12), maka akan didapat matriks B. A dan C adalah ekuivalen kolom karena hanya dengan melakukan transformasi kolom dari matriks A (dalam contoh ini menambahkan kolom ke-1 dengan dua kali kolom ke-3 pada matriks A atau k13(2)), maka didapat matriks B. 5 1 3 0 dan B = 4 0 2 1
3 0 2 1 b. A = 4 1 3 1
Matriks A dan B ekuivalen karena dengan melakukan beberapa transformasi elementer dari matriks A diperoleh matriks B yaitu : 3 0 2 1 A= 4 1 3 1 A
k14(1)
4 0 2 1 k42(-1) 5 1 3 1 B
4 0 2 1 b12 5 1 3 0 C
5 1 3 0 4 0 2 1 D
Relasi ekuivalen pada matriks memenuhi sifat-sifat : 1. Reflektif A~A 2. Simetri A~B maka B~A 3. Transitif A~B dan B~C maka A~C
Materi Kuliah MATRIKS
Halaman 9
MENENTUKAN DETERMINAN MATRIKS DENGAN OBE Penggunaan metode ini sebenarnya tidak lepas dari metode ekspansi kofaktor yaitu pada kasus suatu kolom banyak mengandung elemen yang bernilai 0. Transformasi Baris dapat mempermudah menentukan determinan suatu matriks. Perhatikan sifat-sifat determinan matriks berikut : • Nilai determinan matriks segitiga merupakan perkalian dari elemen diagonalnya. • Jika ada baris/kolom yang elemennya nol semua, maka determinannya juga nol. • Jika ada suatu baris/kolom yang merupakan kelipatan dari baris/kolom lainnya, maka determinannnya nol • Det(A) = Det(AT) Dalam melakukan reduksi baris, operasi yang digunakan adalah operasi baris elementer. Pada operasi baris elementer ada beberapa operasi yang berpengaruh terhadap nilai determinan awal , yaitu : (i) Jika matriks B diperoleh dengan mempertukarkan dua baris pada matriks A maka det(B) = − det (A) (ii) Jika matriks B diperoleh dengan mengalikan konstanta k ke salah satu baris matriks A maka det (B) = k det (A) (iii) Jika matriks B didapatkan dengan menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya , maka det (B) = det (A) a b c Contoh 1 : Diketahui A = d e f dan det(A) = |A| = r. g h i Tentukan determinan dari matriks-matriks berikut :
a.
g J = d a
h i e f b c
a c. L = 2d g
b.
g K = a d
h i b c e f
2a d. M = d 3g
b c 2e 2f h i 2b
e 3h
2c f 3i
a + 2g e. N = d g
b + 2h c + 2i e f h i
2d f. P = a g − a
2e
b h −b
2f c i − c
Jawab : a. |J| = b. |K| =
c. |L| = d. |M| =
e. |N| = f. |P| =
Contoh 2 : 1 3 5 Tentukan determinan dari matirks A = 3 6 9 2 8 7
Jawab :
1 3 5 1 3 1 3 5 5 1 3 5 1 3 5 |A| = 3 6 9 = 3.1 1.2 3.3 = 3 1 2 3 = 3 0 − 1 − 2 = 3 0 − 1 − 2 2 8 7 0 2 −3 0 0 −7 2 8 7 2 8 7
...............
................
|A| = 3.1.(–1).(–7) = 21 Materi Kuliah MATRIKS
Halaman 10
Latihan : 1. Tentukan determinan matriks berikut dengan OBE berdasarkan sifat-sifat Determinan. 1 2 3 a. 4 5 6 7 8 9
2 3 5 b. 1 0 6 3 4 2
3 1 − 4 c. 6 2 8 0 5 1
4 1 5 2 1 6 3 2 d. − 4 − 8 0 − 1 0 −3 −5 4
2. Jika matriks A2x2 dengan |A| = 5 maka |3A| = .... 3. Jika matriks B3x3 dengan |B| = 4 maka |2B| = ....
G. INVERS MATRIKS Jika A dan B matriks persegi dan berlaku AB = BA = I (I adalah matriks identitas), maka dikatakan bahwa B adalah invers dari A (B = A–1) dan A adalah invers dari B (A = B–1). Dengan demikian A.A–1 = I A–1.A = I Catatan : Matriks A mempunyai invers jika A adalah matriks non-Singular (Jika A adalah matriks singular, maka A tidak mempunyai invers) Contoh 1:
2 − 5 3 5 dan B = A = −1 3 1 2 2 − 5 3 5 x =... maka A.B = − 1 3 1 2 3 5 2 − 5 x =... B.A = 1 2 − 1 3
Dari contoh di atas terlihat bahwa AB = BA = I Jadi A–1 = B dan B–1 = A
Contoh 2:
3 − 11 2 4 11 dan D = . Buktikan bahwa D = C–1 ! Diketahui C = 2 − 1 2 6
Untuk membuktikan bahwa D = C–1 dengan menunjukkan bahwa C.D = I 4 11 3 − 11 2 x = C.D = 2 2 6 − 1
1 0 0 1
Terbukti bahwa D = C–1.
Materi Kuliah MATRIKS
Halaman 11
MENENTUKAN INVERS SUATU MATRIKS 1. Menggunakan Rumus
A–1 =
1 .Adj ( A) A
|A| = Det(A) Adj(A) = Adjoin A adalah tranpose matriks kofaktor dari matriks A. Contoh 1:
2 − 2 Tentukan invers matriks A = − 4 3 Jawab : |A| = 2.3 – (–2)(–4) = 6 – 8 = –2 3 2 Adj(A) = 4 2 Untuk membuktikan jawaban kita 1 A–1 = .Adj ( A) benar yaitu dengan menunjukkan A A.A–1 = I 1 3 2 A–1 = . − 2 4 2 − 3 − 1 A–1 = 2 − 2 − 1
Contoh 2:
4 − 5 1 Tentukan invers dari B = − 1 − 3 5 2 8 − 9 Jawab :
|B| = 1
(Buktikan !)
−3 8 4 Matriks kofaktor B = − 8 4 −3 − 13 − 4 5 Adjoin B = 1 1 0 −2 0 1 1 B–1 = .Adj ( A) A –1
B
Materi Kuliah MATRIKS
5 −9 −5 −9 −5 5
−1 5 2 −9 1 −5 2 −9 1 −5 − −1 5
−
−1 2 1 − 2 1 −1
−3 8 4 = 8 4 − 3
− 13 1 − 2 −4 1 0 5 0 1
Untuk membuktikan jawaban kita benar yaitu dengan menunjukkan B.B–1 = I
− 13 − 4 5 − 13 − 4 5 1 = . 1 1 0 = 1 1 0 1 0 1 − 2 0 1 −2
Halaman 12
2. Menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan Menentukan invers matriks A dapat dilakukan dengan cara Eliminasi Gauss-Jordan terhadap matriks diperbesar [ A | I ] dimana ukuran I sama dengan ukuran A. Setelah dilakukan operasi baris elementer terhadap matriks [ A | I ] maka akan diperoleh matriks [ I | A–1 ]. Jika tidak diperoleh matriks [ I | A–1 ] dapat disimpulkan A tidak mempunyai invers. Contoh 1 : 1 5 1 0 1 5 maka matriks diperbesarnya adalah [ A | I ] = Jika matriks A = 2 11 2 11 0 1
Invers matriks A didapat dengan melakukan OBE terhadap matriks diperbesar tersebut. 1 0 11 − 5 1 5 1 0 1 5 1 0 –1 2 11 0 1 b2 – 2b1 0 1 − 2 1 b1 – 5b2 0 1 − 2 1 diperoleh [ I | A ] 11 − 5 Diperoleh A–1 = − 2 1
Contoh 2 : 4 − 5 1 Tentukan invers matriks B = − 1 − 3 5 2 8 − 9 Jawab : 1 4 −5 Matriks B yang diperbesar menjadi − 1 − 3 5 8 −9 2
1 4 −5 − 1 − 3 5 8 −9 2
Sehingga B
–1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 4 − 5 0 0 0 1
1 0 0 1 1 0 − 2 0 1
b1 – 4b2
1 0 − 5 0 1 0 0 0 1
b1 + 5b3
1 0 0 0 1 0 0 0 1
− 3 − 4 0 1 1 0 − 2 0 1 − 13 − 4 5 1 1 0 −2 0 1
b 2 + b1 0 1 b 3 − 2b1
[ I | B–1 ]
− 13 − 4 5 = 1 1 0 −2 0 1
Latihan : Tentukan Invers matriks-matriks berikut (jika ada) : 1 2 3 3 3 2 6 b. Q = c. R = 4 5 6 a. P = 8 6 − 4 − 2 7 8 9
Materi Kuliah MATRIKS
~
3 0 2 d. S = 7 4 0 1 0 5
Halaman 13
H. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DENGAN MATRIK Sebelumnya kita sudah mempelajari cara menyelesaikan sistem persamaan linier dengan cara eliminasi dan substitusi. Matriks dapat kita gunakan untuk menyelesaikan sitem persamaan linier. Sebelumnya kita harus bisa mengubah bentuk umum sistem persamaan linier menjadi bentuk matriks. Sistem persamaan linier a 1 x + b1 y = p 1 a 2 x + b 2 y = p 2
diubah menjadi
a1 a 2
b1 x p 1 = b 2 y p 2
A .x = P a 1 x + b1 y + c 1 z = p 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = p 2 a x + b y + c z = p 3 3 3 3
a1 diubah menjadi : a 2 a 3
b1 c 1 x p 1 b 2 c 2 y = p 2 b 3 c 3 z p 3
A
Dapat disingkat menjadi
. x = P
Sehingga tujuan kita adalah mencari matriks X Catatan : 1. Matriks A disebut matriks koefisien 2. Matriks X disebut matriks Solusi 3. Supaya didapat penyelesaian, maka matriks A harus non singular 1. Cara Invers Cara ini menggunakan sifat invers matriks dan sifat matriks identitas. A.A–1 = A–1.A = I dan A.I = I.A = A Pada
A.X = P maka A–1.A.X = A–1.P I.X = A–1.P X = A–1.P
Contoh : 2x + 3y = 3 Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linier 3x − 4 y = 13 2 3 x 3 = Sistem persamaan dalam bentuk matriks menjadi 3 − 4 y 13 A . X = P 2 3 sehingga A–1 A = 3 − 4
= =
Materi Kuliah MATRIKS
1 |A|
.Adj ( A )
1 − 4 − 3 − 17 − 3 2 Halaman 14
X = A–1.P
1 − 4 − 3 3 . − 17 − 3 2 13
= =
1 − 51 . − 17 17
3 = − 1 x 3 Diperoleh matriks solusi = y − 1
2. Cara Crammer a Pada sistem persamaan dua variabel 1 a 2
o Tentukan |A| =
a1 b1 a 2 b2
o Tentukan |Ax| =
p1 b1 p 2 b2
b1 x p 1 = b 2 y p 2
(mengganti kolom pertama dengan elemen matriks P)
a1 p 1 (mengganti kolom kedua dengan elemen matriks P) a2 p2 Menentukan nilai elemen matriks X dengan rumus Ax o x= A o Tentukan |Ay| =
o y=
Ay A
− 2x + 5y = −7 Contoh : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier 3x − 2y = −6 − 2 5 x − 7 = Sistem persamaan dalam bentuk matriks menjadi 3 − 2 y − 6
o |A| =
−2
5
3
−2
= 4 – 15 = –11
o |Ax| =
−7 5 = 14 + 30 = 44 −6 −2
o |Ay| =
−2 −7 = 12 + 21 = 33 3 −6
Sehingga diperoleh : o x= o y=
Ax = A
Ay A
=
x − 4 Sehingga diperoleh matriks solusi = y − 3 Materi Kuliah MATRIKS
Halaman 15
3. Cara Transformasi Baris Cara ini menggunakan aoperasi baris elementer terhadap matriks diperbesar [A|P] sehingga matriks A menjadi I dan diperoleh bentuk [I|X]. Matriks X adalah matriks solusi. x − 6y = 16 Contoh : Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan 2x + 5y = −2
1 − 6 x 16 = Sistem persamaan dalam bentuk matriks menjadi 2 5 y − 2 1 − 6 16 Matriks diperbesar [A|P] adalah 2 5 2 − 1 − 6 16 1 − 6 16 1 b2 – 2b1 2 5 − 2 0 17 − 34 ( 17 )b2
1 − 6 16 1 0 4 b1 + 6b2 0 1 − 2 0 1 − 2
x 4 Sehingga diperoleh matriks solusi = y − 2
Latihan : Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut : 5x − 2y = 11 1. − 3x − 4 y = 9 3x + 7y = −1 2. 4 x − 5y = −30 x + 3y − 2z = 1 3. 2x − y + 3z = 8 3x + 6y − z = 12
2x + 3y + z = −1 4. 2x − 5y + 3z = 3 4 x + 2y − z = 8
Materi Kuliah MATRIKS
Halaman 16
I.
SOAL LATIHAN
1. Diketahui matriks P=
3
-2
9
7
11
11
5
0
-4
2
3
7
3
5
-1
a. Berapakah ukuran matriks P? b. Tentukan mana yang merupakan baris 1, baris 2, baris 3 kolom 4, kolom 5 baris 1 c. Tentukan P11, P31, P23, P15, P35 2. Diketahui persamaan matriks sebagai berikut : 4
5
3
2
x1
6
-1
2
x2+3
x3+1
5
3
2
4
1/2x4
-1
2
5
=
Carilah x1 , x2 , x3 , x4 3. Misalkan (mxn) menyatakan ukuran matriks. Cari hasil perkalian (kalau terdefinisi) dari ukuranukuran berikut. a. (2x1)(1x3) b. (4x5)(2x3) c. (1x1)(1x3) d. (3x3)(3x4) e. (2x2)(3x2) 4. Carilah AB dan BA (jika terdefinisi) dari matriks-matriks berikut : a. A= 2 b. A=
B=
1
2
3
2
-1
B=
1
-2
0
4
5
3
2
0
-4
3
-2
6
5. Diketahui A=
-1
3
2
2
0
7
-2
3
1
B=
2
-1
-3
4
1
0
1
3
2
Tentukan a. 2A, 3B, 2A-B, 3B-A b. (2A-B)(3B-A) 6. Selidikilah bahwa AB≠BA untuk 7. Matriks A=
1
3
1
2
B=
A=
5
13
4
10
2
1
3
1
1
0
0
2
1
dan B=
1
1
0
2
1
3
0
2
1
Carilah matriks P sedemikian sehingga AP=B.
Materi Kuliah MATRIKS
Halaman 17
8. Carilah 3A2+2A-3I2, jika
A=
2
0
1
-1
T
9. Carilah A jika A a.
-2
4
7
1
3
0
5
b.
1
1
-2
3
0
-1
-2
c.
4
2
0
1
1
3
2
3
d.
1
0
-1
0
2
7
1
2
3
5
1
6
10. Matriks A adalah matrik idempoten jika A =A. Tunjukan bahwa matriks idempoten!
0
2
-1
3
5
1
-3
-5
-1
3
5
11. Periksalah apakah matriks A dan B berikut ekuivalen a. A=
b. A=
3
1
2
4
2
0
1
3
1
3
5
1
2
0
3
5
5
4 3
12. Diketahui A=
dan B=
dan B=
1
2
3
1
2
1
3
1
4
2
0
3
5
1
2
0
3
0
0
0
1
4
1
0
2
1
3
0
1
Matriks B dihasilkan dari sederetan transformasi elementer b31(-1), b2(2), b12, k41(1), k3(2) terhadap A. Carilah B.
Materi Kuliah MATRIKS
Halaman 18
