Neurčitý integrál Vypočtěte
Z arcsin
x dx . 2
Řešení: Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme Z Z x x x dx x p √ arcsin dx = x arcsin − = x arcsin + 4 − x2 + C , 2 2 2 4 − x2 Vypočtěte
Z
x ∈ (−2, 2) .
2 ln2 x + 24 dx . x ln2 x + 9x
Řešení: Tento integrál lze převést substitucí ln x = y na integrál racionální funkce. Protože pro x > 0 jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z
¶ Z µ 2y 2 + 24 6 dy = 2+ 2 dy = y2 + 9 y +9 y ln x = 2y + 2 arctg + C = 2 ln x + 2 arctg +C, 3 3
2 ln2 x + 24 dx = x ln2 x + 9x
Z
Vypočtěte
x > 0.
Z ln2 x dx .
Řešení: Integrál nalezneme integrací per partes. Ta dává Z Z Z ¡ ¢ ln2 x dx = x ln2 x − 2 ln x dx = x ln2 x − 2 ln x + 2 dx = ¡ ¢ = x ln2 x − 2 ln x + 2 + C , x > 0 .
Vypočtěte
Z arccos
x dx . 3
Řešení: Integrál nalezneme integrací per partes. Po ní dostaneme Z Z x x x dx √ arccos dx = x arccos + . 3 3 9 − x2 Když v posledním integrálu použijeme substituci 9 − x2 = y, dostaneme Z x x p arccos dx = x arccos − 9 − x2 + C , x ∈ (−3, 3) . 3 3 Typeset by AMS-TEX 1
Vypočtěte
Z
2e3x + 24ex dx . e2x + 9
Řešení: Tento integrál lze převést na integrál racionální funkce substitucí ex = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z
¶ Z µ 2y 2 + 24 6 dy = 2+ 2 dy = y2 + 9 y +9 y ex = 2y + 2 arctg + C = 2ex + 2 arctg +C, 3 3
2e3x + 24ex dx = e2x + 9
Vypočtěte
Z
Z
x ∈ R.
x2 − 2x − 4 dx . x3 − 4x2 + 4x
Řešení: Integrovaný výraz rozložíme na parciální zlomky a dostaneme Z
¶ Z µ 1 2 2 − + − dx = x x − 2 (x − 2)2 (x − 2)2 2 = ln + + C , x 6= 0 , 2 . |x| x−2
x2 − 2x − 4 dx = x3 − 4x2 + 4x
Vypočtěte
Z √
x+1 dx . x+2
Řešení: √ Integrál lze převést substitucí x + 1 = y na integrál racionální funkce. Protože pro x > −1 jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z √
¶ 1 dy = y2 + 1 √ √ = 2y − 2 arctg y + C = 2 x + 1 − 2 arctg x + 1 + C ,
x+1 dx = x+2
Z
2y 2 dy =2 y2 + 1
Vypočtěte
Z µ 1−
Z
2x + 1 dx . x3 + 2x2
Řešení: Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Pak dostaneme Z
2x + 1 dx = x3 + 2x2
Z µ
3 1 3 + − 4x 2x2 4(x + 2) 2
¶ dx =
x > −1 .
=
Vypočtěte
¯ ¯ 3 ¯¯ x ¯¯ 1 ln ¯ − +C, ¯ 4 x+2 2x
Z
x 6= 0 , −2 .
4e3x + 42ex dx . e2x + 9
Řešení: Zavedeme substituci ex = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je hledaný integrál Z
¶ Z µ 4y 2 + 42 6 dy = 4+ 2 dy = y2 + 9 y +9 ex y +C, = 4y + 2 arctg + C = 4ex + 2 arctg 3 3
4e3x + 42ex dx = e2x + 9
Z
Vypočtěte
Z √
x ∈ R.
x+1+3 dx . x+5
Řešení: √ V integrálu zavedeme substituci x + 1 = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z √
¶ Z µ 2y(y + 3) 6y 8 dy = 2+ 2 − dy = y2 + 4 y + 4 y2 + 4 ¡ ¢ y = 2y + 3 ln y 2 + 4 − 4 arctg + C = 2 √ √ x+1 = 2 x + 1 + 3 ln(x + 5) − 4 arctg , x ≥ −1 . 2
x+1+3 dx = x+5
Z
Vypočtěte
Z 2x ln2 x dx .
Řešení: Integrál najdeme pomocí integrace per partes. Ta dává Z Z Z 2 2 2 2 2 2 2x ln x dx = x ln x − 2 x ln x dx = x ln x − x ln x + x dx = =
Vypočtěte
¢ x2 ¡ 2 2 ln x − 2 ln x + 1 + C , 2
Z
2x − 3 dx . x2 − 4x + 6
Řešení: 3
x > 0.
Integrál určíme jako součet dvou jednodušších integrálů. Platí Z Z Z 2x − 3 2x − 4 dx dx = dx + = x2 − 4x + 6 x2 − 4x + 6 (x − 2)2 + 2 ¡ ¢ 1 x−2 = ln x2 − 4x + 6 + √ arctg √ + C , 2 2 Vypočtěte
Z
x ∈ R.
4x + 4 dx . x3 − 2x2
Řešení: Integrál najdeme tak, že integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. To dává ¯ ¯ ¶ Z Z µ ¯x − 2¯ 2 4x + 4 3 2 3 ¯ ¯ dx = − − dx = 3 ln ¯ x ¯ + x + C , x 6= 0 , 2 . x3 − 2x2 x − 2 x x2 Vypočtěte
Z
x+2 dx . x3 + 2x2 + x
Řešení: Abychom našli daný integrál, rozložíme integrovanou funkci na parciální zlomky. Pak dostaneme ¶ Z Z µ x+2 2 2 1 dx = − − dx = x3 + 2x2 + x x x + 1 (x + 1)2 ¯ ¯ ¯ x ¯ ¯ + 1 + C , x 6= 0 , −1 . = 2 ln ¯¯ x + 1¯ x + 1 Vypočtěte
Z x2 e2x dx .
Řešení: Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody integrace dostaneme Z Z Z ¢ 2x 1 1 2 2x 1¡ 2 2 2x 2x x e dx = x e − xe dx = x −x e + e2x dx = 2 2 2 ¡ ¢ 1 = e2x 2x2 − 2x + 1 + C , x ∈ R . 4 Vypočtěte
Z x3
x−3 dx . − 2x2 + x
Řešení: Integrovanou funkce nejprve rozložíme na parciální zlomky a pak integrujeme. Dostaneme ¶ Z Z Z µ x−3 x−3 3 3 2 dx = dx = − + − dx = x3 − 2x2 + x x(x − 1)2 x x − 1 (x − 1)2 4
¯ ¯ ¯x − 1¯ ¯+ 2 +C, = 3 ln ¯¯ x ¯ x−1
Vypočtěte
Z
x 6= 0 1 .
√ 3− x−2 dx . x+7
Řešení: √ Substitucí x − 2 = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z
√ ¶ Z Z µ 3− x−2 2y(3 − y) 6y 18 −2 + dx = = + dy = x+7 y2 + 9 y2 + 9 y2 + 9 ¡ ¢ y = −2y + 3 ln y 2 + 9 + 6 arctg + C = 3 √ √ ¡ ¢ x−2 = −2 x − 2 + 3 ln x + 7 + 6 arctg + C , x > 2. 3
Vypočtěte
Z x ln2 x dx .
Řešení: Integrál najdeme pomocí integrace per partes. Ta dává Z
Z Z ¢ 1 x2 2 x2 ¡ 2 ln x − x ln x dx = ln x − ln x + x dx = 2 2 2 ¢ x2 ¡ 2 2 ln x − 2 ln x + 1 + C , x > 0 . = 4
x ln2 x dx =
Vypočtěte
Z
2x + 6 dx . x3 + 4x2 + 4x
Řešení: Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Pak dostaneme Z
Vypočtěte
¶ 3 3 1 − − dx = 2x 2(x + 2) (x + 2)2 ¯ ¯ 3 ¯ x ¯¯ 1 = ln ¯¯ + C , x 6= 0 , −2 . + ¯ 2 x+2 x+2
2x + 6 dx = 3 x + 4x2 + 4x
Z
Z µ
2 cosh3 x + 22 cosh x dx . sinh2 x + 9
Řešení: 5
V tomto integrálu je výhodné použít substituci sinh x = y. Protože platí cosh2 x = sinh2 x + 1 a jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je ¶ Z Z Z µ 2y 2 + 24 6 2 cosh3 x + 22 cosh x dx = dy = 2 + dy = y2 + 9 y2 + 9 sinh2 x + 9 y sinh x = 2y + 2 arctg + C = 2 sinh x + 2 arctg + C , x ∈ R. 3 3 Vypočtěte
Z
x+1 dx . x3 − 2x2
Řešení: Abychom našli daný integrál, rozložíme integrovanou funkce na parciální zlomky. Takto dostaneme ¶ Z Z µ x+1 3 1 3 − − dx = dx = x3 − 2x2 4(x − 2) 4x 2x2 ¯ ¯ 3 ¯ x − 2 ¯¯ 1 + = ln ¯¯ + C , x 6= 0 , 2 . ¯ 4 x 2x Vypočtěte
Z x2
2x − 3 dx . − 4x + 8
Řešení: Integrál budeme počítat jako součet dvou integrálů Z Z Z 2x − 3 2x − 4 dx dx = dx + = x2 − 4x + 8 x2 − 4x + 8 (x − 2)2 + 4 ¡ ¢ 1 x−2 = ln x2 − 4x + 8 + arctg + C , x ∈ R. 2 2 Vypočtěte
Z
√ 5+ x−2 dx . x+2
Řešení: √ Substitucí x − 2 = y převedeme tento integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí √ ¶ Z Z µ Z 10y 8 2y(5 + y) 5+ x−2 dx = dy = 2 + − dy = x+2 y2 + 4 y2 + 4 y2 + 4 ¡ ¢ y = 2y + 5 ln y 2 + 4 − 4 arctg + C = 2 √ √ x−2 = 2 x − 2 + 5 ln(x + 2) − 4 arctg + C , x > 2. 2 Vypočtěte
Z
cosh3 x + 7 cosh x dx . sinh2 x + 4 6
Řešení: V integrálu je výhodné zavést novou proměnnou substitucí sinh x = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je ¶ Z Z 2 Z µ cosh3 x + 7 cosh x y +8 4 dx = dy = 1+ 2 dy = y2 + 4 y +4 sinh2 x + 4 y sinh x = y + 2 arctg + C = sinh x + 2 arctg + C , x ∈ R. 2 2 Vypočtěte
Z sin2 x cos2 x dx .
Řešení: Při výpočtu tohoto integrálu lze s výhodou použít vztahy mezi goniometrickými funkcemi. Protože ¢ 1 1¡ platí sin2 x cos2 x = sin2 2x = 1 − cos 4x , je 4 8 Z Z ¢ 1 ¡ x sin 4x 2 2 sin x cos x dx = 1 − cos 4x dx = − +C = 8 8 32 ¢ 1¡ = 1 − cos3 x sin x + cos x sin3 x + C , x ∈ R . 8 Vypočtěte
Z
dx . (x − 1)2 (x + 1)
Řešení: Integrál najdeme tak, že integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Tím dostaneme ¶ Z Z µ dx 1 1 1 = − + dx = (x − 1)2 (x + 1) 4(x + 1) 4(x − 1) 2(x − 1)2 ¯ ¯ 1 ¯ x + 1 ¯¯ 1 = ln ¯¯ − + C , x 6= ±1 . 4 x − 1 ¯ 2(x − 1) Vypočtěte
Z
3x − 2 dx . x2 + 3
Řešení: Tento integrál najdeme tak, že integrovanou funkci napíšeme jako součet dvou funkcí, jejichž integrály známe. Tím dostaneme pro každé x ∈ R Z Z Z ¢ 3 3 ¡ 2 x 2x dx dx 3x − 2 dx = −2 = ln x2 + 3 − √ arctg √ + C . x2 + 3 2 x2 + 3 x2 + 3 2 3 3 Vypočtěte
Z
dx . x4 + x2 7
Řešení: Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Pak dostaneme ¶ Z µ Z dx 1 1 1 = − dx = − − arctg x + C , x4 + x2 x2 x2 + 1 x Vypočtěte
Z x2
x 6= 0 .
x3 dx . + 2x + 3
Řešení: Integrál najdeme tak, že integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Tak dostaneme ¶ Z Z µ x3 dx x+6 = x − 2 + dx = x2 + 2x + 3 x2 + 2x + 3 Z Z x2 1 2x + 2 dx = − 2x + dx + 5 = 2 2 x2 + 2x + 3 (x + 1)2 + 2 ¢ x2 1 ¡ 5 x+1 − 2x + ln x2 + 2x + 3 + √ arctg √ + C , x ∈ R . = 2 2 2 2 Vypočtěte
Z
sin x − cos x dx . sin x + cos x
Řešení: Protože derivace funkce f (x) = sin x + cos x je f 0 (x) = cos x − sin x, je výhodné použít v tomto integrálu substituci sin x + cos x = y. Pak dostaneme Z Z sin x − cos x dy dx = − = − ln |y| + C = sin x + cos x y ¯ ¯ 4k − 1 = − ln¯sin x + cos x¯ + C , x 6= π, k ∈ Z. 4 Vypočtěte
Z
dx . 2 − ex − e2x
Řešení: Tento integrál lze převést na integrál racionální funkce substitucí ex = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je ¶ Z Z Z µ 1 1 1 dx dy = = + − dy = 2 − ex − e2x y(1 − y)(2 + y) 2y 3(1 − y) 6(2 + y) ¯ 1 1 ¯ 1 = ln y − ln¯1 − y ¯ − ln(2 + y) + C = 2 3 6 ¯ ¯ ¯ 1 x 1 ¯¯ = − ln 1 − ex ¯ − ¯2 + ex ¯ + C , x 6= 0 . 2 3 6
8
Vypočtěte
Z p
1 − x2 dx .
Řešení: ³ π π´ V tomto integrálu lze použít substituci x = sin y. Protože pro x ∈ (−1, 1) a y ∈ − , je 2 2 y = arcsin x a jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z p Z Z ¢ y sin 2y 1 ¡ 2 2 1 − x dx = cos y dy = 1 + cos 2y dy = + +C = 2 2 4 1 1 p = arcsin x + x 1 − x2 + C , x ∈ (−1, 1) . 2 2 Vypočtěte
Z
ln x dx . x2
Řešení: Integrál najdeme pomocí integrace per partes. Ta dává Z Z ln x ln x dx 1 + ln x dx = − + =− +C, 2 2 x x x x Vypočtěte
x > 0.
Z x2 cos x dx .
Řešení: Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává Z Z Z x2 cos x dx = x2 sin x − 2 x sin x dx = x2 sin x + 2x cos x − 2 cos x dx = ¡ ¢ = x2 − 2 sin x + 2x cos x + C , x ∈ R .
Vypočtěte
Z x arctg x dx .
Řešení: Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává Z
Vypočtěte
Z 1 x2 arctg x − x arctg x dx = 2 2 x2 + 1 = arctg x − 2
x2 1 x2 dx = arctg x − 2 1+x 2 2 x + C x ∈ R. 2 Z
x dx . sin2 x 9
Z µ 1−
1 1 + x2
¶ dx =
Řešení: Tento integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody integrace dostaneme Z Z ¯ ¯ x dx cos x = −x cotg x + dx = −x cotg x + ln¯sin x¯ + C , x 6= kπ , k ∈ Z . 2 sin x sin x Vypočtěte
Z
x dx . 1 + x4
Řešení: V tomto integrálu je výhodné použít substituci x2 = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z Z x dx dy 1 1 1 = = arctg y + C = arctg x2 + C , x ∈ R . 1 + x4 2 1 + y2 2 2 Vypočtěte
Z x2 e−x dx .
Řešení: Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme Z Z Z ¡ ¢ x2 e−x dx = −x2 e−x + 2 xe−x dx = −e−x x2 + 2x + 2 e−x dx = ¡ ¢ = −e−x x2 + 2x + 2 + C , x ∈ R .
Vypočtěte
Z e−x cos x dx .
Řešení: Integrály tohoto typu lze najít integrací per partes. Jestliže označíme Z −x I = e cos x dx, dostaneme Z
Z e−x cos x dx = −e−x cos x − e−x sin x dx = Z ¡ ¢ −x −x = −e cos x + e sin x − e−x cos x dx = e−x sin x − cos x − I .
I=
Z Z této rovnosti dostaneme I = Vypočtěte
e−x cos x dx =
¢ e−x ¡ sin x − cos x + C, x ∈ R. 2
Z arctg x dx .
10
Řešení: Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává Z Z ¢ x dx 1 ¡ = x arctg x − ln 1 + x2 + C , arctg x dx = x arctg x − 1 + x2 2 Vypočtěte
x ∈ R.
Z arcsin x dx .
Řešení: Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí ní dostaneme Z Z p x dx √ arcsin x dx = x arcsin x − = x arcsin x + 1 − x2 + C , 1 − x2 Vypočtěte
x ∈ (−1, 1) .
Z p
1 + x2 dx .
Řešení: V tomto lze zavéstpnovou proměnnou √ integrálu √ vztahem x = sinh y. Pak je y = argsinh x = ¡ ¢ ln x + x2 + 1 a cosh y = 1 + sinh2 y = 1 + x2 . Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z p Z Z ¢ 1 ¡ y 1 2 2 1 + x dx = cosh y dy = 1 + cosh 2y dy = + sinh y cosh y + C = 2 2 2 ´ 1³ p = x 1 + x2 + argsinh x + C = 2 p ¡ ¢´ 1³ p = x 1 + x2 + ln x + 1 + x2 + C , x ∈ R . 2 Vypočtěte
Z arctg
√
x dx .
Řešení: √ Nejprve zavedeme substituci x = y. Protože pro x > 0 jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z Z √ arctg x dx = 2 y arctg y dy . Tento integrál najdeme integrací per partes. Pomocí ní dostaneme ¶ Z Z 2 Z µ √ y dy 1 2 arctg x dx = y 2 arctg y − = y arctg y − 1 − dy = 1 + y2 1 + y2 ¡ ¢ √ √ = y 2 + 1 arctg y − y + C = (x + 1) arctg x − x + C x > 0 . Vypočtěte
Z sin3 2x dx . 11
Řešení: Pro integrovanou funkci R(cos 2x, sin 2x) = sin3 2x platí R(cos 2x, sin 2x) = −R(cos 2x, − sin 2x). Proto je výhodné použít substituci cos 2x = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí Z
1 sin 2x dx = − 2
Z
3
¡
1−y
Vypočtěte
2
¢
1 dy = 2
µ
Z (x2
¶ y3 cos3 2x cos 2x −y +C = − + C , x ∈ R. 3 6 2
dx . + 1)(x − 1)2
Řešení: Integrovaný výraz rozložíme na parciální zlomky. Pak dostaneme Z
¶ Z µ dx 1 1 x 1 = − + + 2 dx = (x2 + 1)(x − 1)2 2 x − 1 (x − 1)2 x +1 ¯ 2 ¯ 1 ¯ x + 1 ¯¯ 1 = ln ¯¯ − + C , x 6= 1 . ¯ 2 4 (x − 1) 2(x − 1)
Vypočtěte
Z
√
x dx . x+4
Řešení: √ Substitucí x = y převedeme tento integrál na integrál racionální funkce. Protože pro x > 0 jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z
¶ 8 dy = y2 + 4 √ √ x y = 2y − 4 arctg + C = 2 x − 4 arctg +C, 2 2
√
x dx = x+4
Vypočtěte
Z
2y 2 dy = y2 + 4
Z µ 2−
Z
x > 0.
dx √ . x x+1
Řešení: √ Substitucí x + 1 = y převedeme tento integrál na integrál racionální funkce. Protože pro x ∈ (−1, 0) ∪ (0, +∞) jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z
¶ Z µ 1 1 2 dy = − dy = y2 − 1 y−1 y+1 ¯ ¯ ¯ ¯√ ¯y − 1¯ ¯ x + 1 − 1¯ ¯ ¯+C, ¯ ¯ = ln ¯ + C = ln ¯ √ y + 1¯ x + 1 + 1¯
dx √ = x x+1
Z
12
x ∈ (−1, 0) ∪ (0, +∞) .
Vypočtěte
Z
dx . sin x cos2 x
Řešení: Protože pro integrovanou funkci R(cos x, sin x) =
1 platí vztah sin x cos2 x R(cos x, sin x) = −R(cos x, − sin x), lze tento integrál převést substitucí cos x = y na integrál kπ racionální funkce. Protože pro x 6= , k ∈ Z, jsou splněny předpoklady věty o substituci, je 2 ¶ Z Z µ Z 1 dy 1 1 dx ¡ ¢ − =− = − − dy = sin x cos2 x 2(1 − y) 2(1 + y) y 2 y2 1 − y2 1 1−y 1 1 1 − cos x 1 = ln + + C = ln + +C = 2 1+y y 2 1 + cos x cos x ¯ x¯ 1 kπ ¯ ¯ = ln ¯tg ¯ + + C , x 6= , k ∈ Z. 2 cos x 2 Vypočtěte
Z cos x · cos 3x dx .
Řešení: ´ 1³ cos(α + β) + cos(α − β) . Pak dostaneme Pro výpočet integrálu použijeme vztahu cos α cos β = 2 Z Z ¢ 1 ¡ sin 4x sin 2x cos x · cos 3x dx = cos 4x + cos 2x dx = + + C , x ∈ R. 2 8 4
Vypočtěte
Z sin 2x · cos 5x dx .
Řešení: ´ 1³ Protože platí vztah sin α · cos β = sin(α + β) + sin(α − β) je hledaný integrál 2 Z Z ´ 1 ³ 1 1 sin 2x · cos 5x dx = sin 7x − sin 3x dx = cos 3x − cos 7x + C , 2 6 14
Vypočtěte
Z √
x ∈ R.
dx . ex + 1
Řešení: Nejprve použijeme substituci ex = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z Z dx dy √ x √ = . y y+1 e +1 13
√ Poslední integrál převedeme substitucí y + 1 = z na integrál racionální funkce. Protože y > 0 jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci. Tedy Z
¶ Z µ 2 dz 1 1 z−1 dz = ln = − +C = z2 − 1 z−1 z+1 z+1 √ x ³√ ´ e +1−1 = ln √ x + C = 2 ln ex + 1 − 1 − x + C , x ∈ R . e +1+1 Z
dx √ x = e +1
Vypočtěte
Z
√
e
x
dx .
Řešení: √ V tomto integrálu je výhodné zavést novou proměnnou y = x. Protože jsou pro x > 0 splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z e
√ x
Z dx = 2
yey dy .
Tento integrál najdeme integrací per partes. ta dává Z e
√ x
Z y
dx = 2ye − 2
Vypočtěte
ey dy = 2(y − 1)ey + C = 2
Z ex
¡√
¢ √ x−1 e x+C,
x > 0.
dx √ . + ex
Řešení: Substitucí ex/2 = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí Z
¶ Z µ 2 dy 1 1 1 =2 − + dy = y 2 (y + 1) y + 1 y y2 ¡ ¢ y+1 2 = 2 ln − + C = 2 ln 1 + e−x/2 − 2e−x/2 + C , y y
dx √ = x e + ex
Z
Vypočtěte
Z
x ∈ R.
dx √ . 3 x + x2
Řešení: √ Substitucí 3 x = y převedeme tento integrál na integrál racionální funkce. Protože pro x 6= −1, 0 jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z
dx √ =3 3 x + x2
Z
¯ ¯ ¯√ ¯ dy = 3 ln¯y + 1¯ + C = 3 ln¯ 3 x + 1¯ + C , y+1
14
x 6= −1 , 0 .
Vypočtěte
Z
√ 1+ x+1 √ dx . x+1−1
Řešení: √ Definiční obor integrované funkce je Df = (−1, 0)∪(0, +∞). Substitucí x + 1 = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z
√ ¶ Z Z µ 2 1+ x+1 2y(1 + y) √ dy = 2 y+2+ dy = dx = y−1 y−1 x+1−1 ¯ ¯ = y 2 + 4y + 4 ln¯y − 1¯ + C1 = ¯√ ¯ √ = x + 4 x + 1 + 4 ln¯ x + 1 − 1¯ + C , x ∈ (−1, 0) ∪ (0, +∞) .
Vypočtěte
Z
x3 dx . x8 + 1
Řešení: ¡ ¢ 0 Protože x4 = 4x3 , je v tomto integrálu výhodné použít substituci x4 = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z
x3 1 dx = x8 + 1 4
Z
Vypočtěte
dy 1 1 = arctg y + C = arctg x4 + C , y2 + 1 4 4
Z
x ∈ R.
x2 + 1 dx . x(x2 − 1)
Řešení: Integrál najdeme tak, že integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Takto dostaneme Z
Vypočtěte
x2 + 1 dx = x(x2 − 1)
Z µ
1 1 1 − + x−1 x x+1
Z e
√ √ x
¶
¯ 2 ¯ ¯x − 1¯ ¯+C, dx = ln ¯¯ x ¯
x 6= 0 , ±1 .
x dx .
Řešení: √ Substitucí x = y převedeme tento integrál na integrál, který najdeme integrací per partes. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí Z √ Z Z Z ¡ ¢ √ e x x dx = 2 y 2 ey dy = 2y 2 ey − 4 yey dy = 2ey y 2 − 2y + 4 ey dy = √ ¡ ¡ ¢ ¢ √ = 2ey y 2 − 2y + 2 + C = 2e x x − 2 x + 2 + C , x > 0 .
15
Vypočtěte
Z
¡ ¢ ln 1 + x2 dx .
Řešení: Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme Z
¡ ¢ ¡ ¢ ln 1 + x2 dx = x ln 1 + x2 −
Z
2x2 dx = 1 + x2 ¶ Z µ ¡ ¢ 1 2 = x ln 1 + x − 2 1− dx = 1 + x2 ¡ ¢ = x ln 1 + x2 − 2x + 2 arctg x + C , x ∈ R .
Vypočtěte
Z
arcsin x √ dx . 1+x
Řešení: 1 Tento integrál najdeme integrací per partes. Jestliže zvolíme u0 = √ a v = arcsin x, dostaneme 1+x Z Z √ arcsin x dx √ dx = 2 1 + x · arcsin x − 2 √ = 1+x 1−x √ √ = 2 1 + x · arcsin x + 4 1 − x + C , x ∈ (−1, 1) .
Vypočtěte
Z
x arcsin x √ dx . 1 − x2
Řešení: x Integrál lze najít například integrací per partes. Jestliže položíme u0 (x) = √ a v(x) = 1 − x2 √ 1 . Tedy integrace per partes dává pro x ∈ (−1, 1) arcsin x, je u(x) = − 1 − x2 a v 0 (x) = √ 1 − x2 Z Z p p x arcsin x 2 √ dx = − 1 − x arcsin x + dx = x − 1 − x2 arcsin x + C . 1 − x2 Vypočtěte
Z √
dx . 1 + 2x − x2
Řešení: Protože 1 + 2x − x2 = 2 − (x − 1)2 , je daný integrál Z √
dx 1 + 2x − x2
Z
x−1 = arcsin √ + C , 2 2 − (x − 1)2
p
dx
16
√ √ ¢ ¡ x ∈ 1 − 2, 1 + 2 .
Vypočtěte
Z
dx √ . 1+ x
Řešení: √ Substitucí x = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je ¶ 2 dy = 1+y ¡ √ √ ¢ = 2y − 2 ln(1 + y) + C = 2 x − 2 ln 1 + x + C ,
Z
dx √ = 1+ x
Z
2y dy = 1+y
Z µ 2−
Vypočtěte
x > 0.
Z 2
x5 e−x dx .
Řešení: V integrálu zavedeme nejprve substituci x2 = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, dostaneme Z Z 2 1 x5 e−x dx = y 2 e−y dy . 2 Tento integrál lze najít pomocí integrace per partes. Pak dostaneme Z
Z Z 2 1 1 x5 e−x dx = − y 2 e−y + ye−y dy = − y 2 e−y − ye−y + e−y dy = 2 2 2 −y ¡ ¢ ¢ e e−x ¡ 4 2 =− y + 2y + 2 + C = − x + 2x2 + 2 + C , x ∈ R . 2 2
Vypočtěte
Z xe
√ x
dx .
Řešení: √ V integrálu nejprve zavedeme substituci x = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, dostaneme Z
√
xe
Z x
dx = 2
Z y 3
¡ ¢ e y dy = 2e y 3 − 3y 2 + 12
y 3
y 2
e y dy = 2e y − 6
y
Z ey y dy =
Z ¡ ¢ ¡ ¢ = 2ey y 3 − 3y 2 + 6y − 12 ey dy = 2ey y 3 − 3y 2 + 6y − 6 + C = √ ¡ ¢ √ = 2e x x3/2 − 3x + 6 x − 6 + C , x > 0 .
Vypočtěte
Z cos2
√
Řešení: 17
x dx .
√ Nejprve použijeme substituci x = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z Z Z ¡ ¢ √ 2 2 cos x dx = 2 y cos y dy = y 1 + cos 2y dy = Z 1 1 1 = y 2 + y sin 2y − sin 2y dy = 2 2 2 1 1 1 = y 2 + y sin 2y + cos 2y + C = 2 2 4 √ √ 1 1√ 1 = x+ x sin 2 x + cos 2 x + C , x > 0 . 2 2 4 Vypočtěte
Z x2 sin x dx .
Řešení: Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává Z Z Z x2 sin x dx = −x2 cos x + 2 x cos x dx = −x2 cos x + 2x sin x − 2 sin x dx = ¡ ¢ = 2 − x2 cos x + 2x sin x + C , x ∈ R .
Vypočtěte
Z
dx (1 + ex )
2
.
Řešení: Substitucí ex = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je ¶ Z Z µ Z dx 1 1 1 dy = − − dy = = 2 y(1 + y)2 y y + 1 (y + 1)2 (1 + ex ) y 1 ex 1 = ln + + C = ln x − + C , x ∈ R. y+1 y+1 e + 1 ex + 1 Vypočtěte
Z
dx . e2x + ex − 2
Řešení: Substitucí ex = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je ¶ Z Z µ Z 1 1 1 dy dx = = − + dy = e2x + ex − 2 y(y − 1)(y + 2) 3(y − 1) 2y 6(y + 2) ¯ 1 1 ¯ 1 = ln¯y − 1¯ − ln y + ln(y + 2) + C = 3 2 6 ¯ 1 ¡ x ¢ x 1 ¯¯ x = − + ln e − 1¯ + ln e + 2 + C , x 6= 0 . 2 3 6 18
Vypočtěte
Z x2 ln2 x dx .
Řešení: Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává Z Z Z 2 1 2 2 1 x2 ln x dx = x3 ln2 x − x3 ln x + x2 dx = x2 ln2 x dx = x3 ln2 x − 3 3 3 9 9 ¢ x3 ¡ 2 = 9 ln x − 6 ln x + 2 + C , x > 0 . 27 Vypočtěte
Z µ
ln x x
¶2 dx .
Řešení: Integrál najdeme pomocí integrace per partes. Ta dává Z
Vypočtěte
Z Z ln2 x ln x ln2 x + 2 ln x dx ln2 x dx = − + 2 dx = − + 2 = 2 2 x x x x x2 ln2 x + 2 ln x + 2 =− + C , x > 0. x Z x arctg(x + 1) dx .
Řešení: Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává Z x2 x arctg(x + 1) dx = arctg(x + 1) − 2 x2 = arctg(x + 1) − 2 x2 = arctg(x + 1) − 2 Vypočtěte
µ
Z x ln
Z 1 x2 dx = 2 2 x + 2x + 2 ¶ Z µ 1 2x + 2 1− 2 dx = 2 x + 2x + 2 ¢ x 1 ¡ 2 + ln x + 2x + 2 + C , x ∈ R . 2 2
1+x 1−x
¶ dx .
Řešení: 1+x Definiční obor integrované funkce je určen vztahem > 0. Tedy Df = (−1, 1). 1−x Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává µ ¶ Z Z 1+x x2 1+x x2 dx x ln dx = ln − = 1−x 2 1−x 1 − x2 19
¶ Z µ x2 1+x 1 1 ln + 1− − dx = 2 1−x 2(1 − x) 2(1 + x) x2 − 1 1+x = ln + x + C , x ∈ (−1, 1) . 2 1−x =
Vypočtěte
Z
x dx . (x + 1)(x + 2)(x + 3)
Řešení: Integrál najdeme, když rozložíme integrovanou funkci na součet parciálních zlomků. Tak dostaneme Z
¶ Z µ 1 2 3 x dx = − + − dx = (x + 1)(x + 2)(x + 3) 2(x + 1) x + 2 2(x + 3) ¯ ¯ ¯ 3 ¯ ¯ 1 ¯ = − ln¯x + 1¯ + 2 ln¯x + 2¯ − ln¯x + 3¯ + C , x 6= −1 , −2 , −3 . 2 2
Vypočtěte
Z
x dx . (x + 2)(x − 1)2
Řešení: Tento integrál najdeme rozkladem na parciální zlomky. Platí Z
¶ Z µ 2 2 1 − + + dx = 9(x + 2) 9(x − 1) 3(x − 1)2 ¯ ¯ 2 ¯ x − 1 ¯¯ 1 = ln ¯¯ + C , x 6= 1 , −2 . − ¯ 9 x+2 3(x − 1)
x dx = (x + 2)(x − 1)2
Vypočtěte
Z
dx . −1
x4
Řešení: Integrál najdeme tak, že integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Tím dostaneme Z
Vypočtěte
¶ 1 1 1 − − dx = 4(x − 1) 4(x + 1) 2(x2 + 1) ¯ ¯ 1 ¯ x − 1 ¯¯ 1 = ln ¯¯ − arctg x + C , x 6= ±1 . 4 x + 1¯ 2
dx = 4 x −1
Z µ
Z
dx . x3 + 1
Řešení: 20
Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Platí Z
¶ Z µ dx 1 x−2 1 = − dx = (x + 1)(x2 − x + 1) 3 x + 1 x2 − x + 1 Z Z 1 1 2x − 1 1 dx = ln |x + 1| − dx + = 2 3 6 x −x+1 2 (x − 1/2)2 + 3/4 ¢ 1 2x − 1 1 ¡ 1 = ln |x + 1| − ln x2 − x + 1 + √ arctg √ + C , x 6= −1 . 3 6 3 3
dx = x3 + 1
Z
Vypočtěte
Z
x dx . x3 − 1
Řešení: Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Platí Z
¶ Z µ x dx 1 x−1 1 = − dx = (x − 1)(x2 + x + 1) 3 x − 1 x2 + x + 1 µ ¶ Z Z 1 1 2x + 1 3 dx = ln |x − 1| − dx + = 3 2 x2 + x + 1 2 (x + 1/2)2 + 3/4 ¢ 2x + 1 1 1 ¡ 1 + C , x 6= 1 . = ln |x − 1| − ln x2 + x + 1 + √ arctg √ 3 6 3 3
x dx = x3 − 1
Z
Vypočtěte
Z
x3 dx . x8 + 3
Řešení: ¡ ¢ 0 Protože x4 = 4x3 , je v tomto integrálu výhodné použít substituci x4 = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z
x3 1 dx = 8 x +3 4
Vypočtěte
Z
y 1 x4 dy 1 = √ arctg √ + C = √ arctg √ + C , +3 4 3 3 4 3 3
y2
Z
x ∈ R.
x dx . x8 − 1
Řešení: V tomto integrálu je výhodné použít nejprve substituci x2 = y. Protože pro x 6= ±1 jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z Z 1 dy x dx = . 8 4 x −1 2 y −1 Poslední integrál najdeme, když integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Tak dostaneme Z
x dx = x8 − 1
Z µ
1 1 1 − − 8(y − 1) 8(y + 1) 4(y 2 + 1) 21
¶ dy =
=
Vypočtěte
¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯¯ y − 1 ¯¯ 1 1 ¯¯ x2 − 1 ¯¯ 1 ln ¯ arctg y + C = ln − − arctg x2 + C , 8 y + 1¯ 4 8 ¯ x2 + 1 ¯ 4
x 6= ±1 .
Z tg3 x dx .
Řešení:
sin3 x Pro integrovanou funkci R(cos x, sin x) = tg3 x = platí R(cos x, sin x) = R(− cos x, − sin x). cos3 x 2k + 1 π, k ∈ Z, jsou splněny všechny předpoklady Proto zavedeme substituci tg x = y. Pro x 6= 2 věty o substituci, a proto je hledaný integrál ¶ Z Z 3 Z µ ¢ y dy y 1 1 ¡ tg3 x dx = = y − dy = y 2 − ln 1 + y 2 + C = 2 2 1+y 1+y 2 2 ¯ ¯ 1 2 2k + 1 = tg x + ln¯cos x¯ + C , x 6= π, k ∈ Z. 2 2 Vypočtěte
Z
sin3 x dx . cos4 x
Řešení:
sin3 x Pro integrovanou funkci R(cos x, sin x) = platí vztah R(cos x, sin x) = −R(cos x, − sin x). cos4 x Proto lze převést daný integrál na integrál racionální funkce substitucí cos x = y. Po této substituci dostaneme ¶ Z Z 2 Z µ sin3 x y −1 1 1 1 1 dx = dy = − 4 dy = − + 3 + C = cos4 x y4 y2 y y 3y 1 2k + 1 1 + + C , x 6= π, k ∈ Z. =− cos x 3 cos3 x 2 Vypočtěte
Z
cos2 x dx . sin x
Řešení:
cos2 x Protože pro integrovanou funkci R(cos x, sin x) = platí R(cos x sin x) = −R(cos x, − sin x), sin x lze převést tento integrál na integrál racionální funkce substitucí cos x = y. Protože pro x 6= kπ, k ∈ Z, jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je ¶ Z Z µ Z 1 1 y2 cos2 x dx = − dy = 1 + − dy = sin x 1 − y2 2(y − 1) 2(y + 1) ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 1 − y ¯¯ 1 ¯¯ 1 − cos x ¯¯ = y + ln ¯¯ ln + C = cos x + +C = 2 1 + y¯ 2 ¯ 1 + cos x ¯ ¯ x¯ ¯ ¯ = cos x + ln ¯tg ¯ + C , x 6= kπ , k ∈ Z . 2
22
Vypočtěte
Z cotg2 x dx .
Řešení: Integrál lze najít tak, že upravíme integrovanou funkci. Platí Z
¶ Z Z µ cos2 x 1 − sin2 x 1 dx = dx = − 1 dx = sin2 x sin2 x sin2 x = − cotg x − x + C , x 6= kπ , k ∈ Z . Z
cotg2 x dx =
Vypočtěte
Řešení: Protože
Z
e3x + 1 dx . ex + 1
e3x + 1 = e2x − ex + 1, je ex + 1 Z 3x Z ¡ 2x ¢ e +1 1 dx = e − ex + 1 dx = e2x − ex + x + C , ex + 1 2
Vypočtěte
Z
x ∈ R.
dx . sin x + 2 cos2 x 2
Řešení: Protože pro integrovanou funkci R(cos x, sin x) =
1 platí vztah sin2 x + 2 cos2 x R(cos x, sin x) = R(− cos x, − sin x), na integrál racionální funkce substitucí µ lze tento integrál převést ¶ 2k − 1 2k + 1 tg x = y. Protože na intervalech π, π , k ∈ Z, jsou splněny všechny předpoklady 2 2 věty o substituci, platí Z Z dx dy 1 y = = √ arctg √ + C = y2 + 2 sin2 x + 2 cos2 x 2 2 1 tg x 2k + 1 = √ arctg √ + C , x 6= π, k ∈ Z. 2 2 2 Vypočtěte
Z
2x · 3x dx . 9x + 4x
Řešení:
¡ ¢x µ ¶x 3/2 2x · 3x 3 = = y. Protože Protože platí rovnost x , je výhodné použít substituci ¡ ¢ 2x x 9 +4 2 3/2 +1 jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí Z x x Z 2 ·3 1 1 dy ¡ ¢ dx = = arctg y + C = x x 2 9 +4 y +1 ln 3 − ln 2 ln 3/2 23
=
1 arctg ln 3 − ln 2
Vypočtěte
µ ¶x 3 +C, 2
x ∈ R.
Z sin3 x dx .
Řešení: Protože pro integrovanou funkci R(cos x, sin x) = sin3 x platí R(cos x, sin x) = −R(cos x, − sin x), je výhodné použít substituci cos x = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí ¶ µ 3 Z Z ¡ ¢ cos3 x y 3 2 −y +C = − cos x + C , x ∈ R . sin x dx = − 1 − y dy = 3 3 Vypočtěte
Z
√ x2 3 1 − x dx
Řešení: √ Integrál převedeme substitucí 3 1 − x = y na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z Z Z √ ¡ ¢ ¡ 3 ¢ 3 3 2 2 3 dy = −3 y − 2y 6 + y 9 dy = x 1 − x dx = −3 y 1 − y 3 6 3 = − y 4 + y 7 − y 10 + C = 4 7 10 ¢¡ ¢4/3 3 ¡ 9 + 12x + 14x2 1 − x +C, =− 140 Vypočtěte
Z
x ∈ R.
sin x · cos3 x dx . 1 + cos2 x
Řešení:
sin x · cos3 x platí R(cos x, sin x) = −R(cos x, − sin x). 1 + cos2 x Proto lze převést tento integrál na integrál racionální funkce substitucí cos x = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Pro integrovanou funkci R(cos x, sin x) =
Z
Vypočtěte
¶ Z 3 Z µ sin x · cos3 x y dy y dx = − = −y + dy = 1 + cos2 x 1 + y2 1 + y2 ¢ ¢ 1 ¡ 1 1 ¡ 1 = − y 2 + ln 1 + y 2 + C = − cos2 x + ln 1 + cos2 x + C , 2 2 2 2
Z
√
x ln2 x dx .
Řešení: 24
x ∈ R.
Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí ní dostaneme Z Z √ 2 4 √ x ln2 x dx = x3/2 ln2 x − x ln x dx = 3 3 Z 2 8 8 √ x dx = = x3/2 ln2 x − x3/2 ln x + 3 9 9 2 8 16 = x3/2 ln2 x − x3/2 ln x + x3/2 + C , x > 0 . 3 9 27 Vypočtěte
Z
´ ³ p ln x + 1 + x2 dx .
Řešení: Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí ní dostaneme Z ³ ´ ³ ´ Z p p x dx 2 2 √ = ln x + 1 + x dx = x ln x + 1 + x − 1 + x2 ³ ´ p p = x ln x + 1 + x2 − 1 + x2 + C ,
Vypočtěte
Z
x ∈ R.
xex dx . (x + 1)2
Řešení: Integrovaný výraz upravíme na tvar Z
xex dx = (x + 1)2
Z µ
ex ex − x + 1 (x + 1)2
Nyní použijeme integrace per partes. Zvolíme-li u0 = ex a v = Pak tato metoda integrace dává Z
Vypočtěte
xex dx = (x + 1)2
Z µ
ex ex − x + 1 (x + 1)2
Z
¶ dx =
¶ dx .
1 1 , je u = ex a v 0 = − . x+1 (x + 1)2
ex +C, x+1
x 6= −1 .
(x + 1) dx . x2 + x + 1
Řešení: Integrovanou funkci napíšeme pomocí součtu dvou funkcí, jejichž integrály jsou známy, tj. Z Z Z 1 1 2x + 1 dx (x + 1) dx = dx + = x2 + x + 1 2 x2 + x + 1 2 (x + 1/2)2 + 3/4 ¢ 1 ¡ 1 2x + 1 = ln x2 + x + 1 + √ arctg √ + C , x ∈ R. 2 3 3
25
Vypočtěte
Z √
dx . 1 − 2x − x2
Řešení: Protože je 1 − 2x − x2 = 2 − (x + 1)2 dostaneme Z √
dx = 1 − 2x − x2
Z
dx
x+1 = arcsin √ + C , 2 2 − (x + 1)2
p
Vypočtěte
Z √
Řešení:
"µ 2
Protože 2x − x + 2 = 2 Z √
1 x− 4
¶2
1 dx =√ 2 2 2x − x + 2
2x2
√ ¡ √ ¢ x ∈ − 2 − 1, 2 − 1 .
dx . −x+2
# 15 + , je 16
Z
4x − 1 1 +C = = √ argsinh √ 2 15 (x − + 15/16 µ ¶ 1 4x − 1 p 2 √ + 2x − x + 2 + C1 , x ∈ R . = √ ln 2 2 2
Vypočtěte
dx
p
1/4)2
Z
√ 5− x−2 dx . x+2
Řešení: √ Substitucí x − 2 = y převedeme daný integrál na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, platí Z
√ ¶ Z Z µ 5− x−2 2y(5 − y) 10y 8 dx = dy = −2 + 2 + dy = x+2 y2 + 4 y + 4 y2 + 4 ¡ ¢ y = −2y + 5 ln y 2 + 4 + 4 arctg + C = 2 √ √ ¡ ¢ x−2 + C , x > 2. = −2 x − 2 + 5 ln x + 2 + 4 arctg 2
Vypočtěte
Z
4x2 dx . 1 − x4
Řešení: Integrál najdeme tak, že funkci f (x) rozložíme na parciální zlomky. To dává Z
4x2 dx = 1 − x4
Z
4x2 dx = (1 − x)(1 + x)(1 + x2 ) 26
Z µ
1 1 2 + − 1 − x 1 + x 1 + x2
¶ dx =
¯ ¯ ¯1 + x¯ ¯ − 2 arctg x + C , = ln ¯¯ 1 − x¯ Vypočtěte
Z
x 6= ±1 .
4x + 4 dx . x3 − 2x2
Řešení: Integrál najdeme tak, že integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Platí ¯ ¯ ¶ Z µ Z ¯x − 2¯ 2 3 3 2 4x + 4 ¯ ¯ + + C , x 6= 0 , 2 . dx = − − dz = 3 ln ¯ x3 − 2x2 x − 2 x x2 x ¯ x Vypočtěte
Z
4ex dx ¡ ¢¡ ¢. 2x e + 2ex + 1 ex − 1
Řešení: Integrál lze substitucí ex = y pževést na integrál racionální funkce. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je Z Z 4ex dx 4 dy ¡ ¢¡ ¢= = (y − 1)(y + 1)2 e2x + 2ex + 1 ex − 1 ¯ ¯ ¶ Z µ ¯y − 1¯ 1 1 2 ¯ ¯+ 2 +C = = − − dy = ln ¯ y − 1 y + 1 (y + 1)2 y + 1¯ y + 1 ¯ x ¯ ¯e − 1¯ ¯ ¯ + 2 + C , x 6= 0 . = ln ¯ x e + 1 ¯ ex + 1 Vypočtěte
Z arccos 4x dx .
Řešení: Integrál najdeme integrací per partes. Ta dává Z Z 4x dx √ arccos 4x dx = x arccos 4x + = 1 − 16x2 µ ¶ 1p 1 1 = x arccos 4x − 1 − 16x2 , x ∈ − , . 4 4 4 Vypočtěte
Z
4x2 dx . 1 − x4
Řešení: Integrál najdeme pomocí rozkladu integrované funkce na parciální zlomky. Pak dostaneme ¶ Z Z µ 4x2 dx 1 1 2 = + − dx = 1 − x4 1 + x 1 − x 1 + x2 27
¯ ¯ ¯1 + x¯ ¯ − 2 arctg x + C , = ln ¯¯ 1 − x¯
Vypočtěte
Z
x 6= ±1 .
¡ ¢ ln2 4 − 2x dx .
Řešení: Nejprve zavedeme novou proměnnou substitucí y = 4 − 2x a pak použijeme integraci per partes. Protože pro x < 2 jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, dostaneme Z
Z Z ¡ ¢ 1 y 2 2 ln 4 − 2x dx = − ln y dy = − ln y + ln y dy = 2 2 Z ¢ y 2 y¡ = − ln y + y ln y − dy = − ln2 y − 2 ln y + 2 + C = 2 2 ´ ¡ ¢³ 2 = x − 2 ln (4 − 2x) − 2 ln(4 − 2x) + 2 + C , x < 2 . 2
Vypočtěte
Z √
x+1 dx . x + 10
Řešení: √ Zavedeme substituci x + 1 = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituce, je Z √
¶ 18 dy = y2 + 9 √ √ y x+1 = 2y − 6 arctg + C = 2 x + 1 − 6 arctg +C, 3 3
x+1 dx = x + 10
Vypočtěte
Z
2y 2 dy = y2 + 9
Z µ 2−
Z
2x2 − 8x − 8 dx . x3 − 4x
Řešení: Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Tak dostaneme Z
Vypočtěte
¶ Z µ 2 2 2 − + + dx = x−2 x x+2 ¯ ¯ ¯ x(x + 2) ¯ ¯ + C , x 6= 0 , ±2 . = 2 ln ¯¯ x−2 ¯
2x2 − 8x − 8 dx = x3 − 4x
Z
6 dx . e2x + 4ex + 3
Řešení: 28
x > −1 .
Tento integrál převedeme na integrál racionální funkce substitucí ex = y. Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci, je ¶ Z Z Z µ 3 1 6 dx 6 dy 2 = = − + dy = e2x + 4ex + 3 y(y + 1)(y + 3) y y+1 y+3 = 2 ln y − 3 ln(y + 1) + ln(y + 3) + C = ¡ ¢ ¡ ¢ = 2x − 3 ln ex + 1 + ln ex + 3 + C , x ∈ R .
Vypočtěte
Z
x2 − 2x − 4 dx . x3 − 4x2 + 4x
Řešení: Integrovanou funkci rozložíme na parciální zlomky. Tak dostaneme ¶ Z Z µ x2 − 2x − 4 1 2 2 dx = − + − dx = x3 − 4x2 + 4x x x − 2 (x − 2)2 2 (x − 2)2 + + C , x 6= 0 , 2 . = ln |x| x−2 Vypočtěte
Z x2
p
9 − x2 dx .
Řešení: Jedna z možností, jak najít tento integrál je substituce x = 3 sin y. Po této substituci dostaneme Z Z Z p 81 x2 9 − x2 dx = 81 sin2 y cos2 y dy = sin2 2y dy = 4 Z ¢ 81 ¡ 81 81 = 1 − cos 4y dy = y− sin 4y + C = 8 8 32 ¡ ¢ 81 81 y− sin y cos y 1 − 2 sin2 y + C = = 8 8 ¢p 81 x 1 ¡ = arcsin − x 9 − 2x2 9 − x2 + C , x ∈ (−3, 3) . 8 3 8 Vypočtěte
µ
Z arccotg
1 2−x
¶ dx .
Řešení: Integrál najdeme pomocí integrace per partes. Pak dostaneme µ ¶ Z Z 1 1 x dx arccotg dx = x arccotg + = 2−x 2−x x2 − 4x + 5 Z Z 1 1 (2x − 4) dx dx = x arccotg + + 2 = 2−x 2 x2 − 4x + 5 (x − 2)2 + 1 ¢ 1 ¡ 1 + ln x2 − 4x + 5 + 2 arctg(x − 2) + C , = x arccotg 2−x 2 29
x 6= 2 .
Vypočtěte
Z
4x4 dx . 1 − x4
Řešení: Integrál najdeme pomocí rozkladu integrované funkce na parciální zlomky. Po ní dostaneme Z
4x4 dx = 1 − x4
Z µ −4 +
4 1 − x4
¶
Z µ
dx = −4x + ¯ ¯ ¯1 + x¯ ¯+C, ¯ = −4x + 2 arctg x + ln ¯ 1 − x¯
Vypočtěte
Z arccos
1 1 2 + + 1 − x 1 + x 1 + x2
¶ dx =
x 6= ±1 .
x dx. 2
Řešení: Integrál najdeme pomocí integrace per partes. Ta dává Z
x x arccos dx = x arccos + 2 2
Vypočtěte
Z Ã
Z √
x dx x p = x arccos − 4 − x2 + C , x ∈ (−2, 2) . 2 4 − x2
4 2−x +¡ ¢2 2 1 − x2 x − 4x + 8
! dx.
Řešení: Integrál najdeme pomocí rozkladu integrované funkce na parciální zlomky. Tím dostaneme Z Ã
! ! Z Ã 4 2 2−x 2 2(x − 2) +¡ + −¡ ¢2 dx = ¢2 dx = 1 − x2 1−x 1+x x2 − 4x + 8 (x − 2)2 + 4 ¯ ¯ ¯1 + x¯ 2 ¯ ¯+ = 2 ln ¯ + C , x 6= ±1 . 1 − x ¯ x2 − 4x + 8
30
