ALAPDERIVÁLTAK (c) 0
(sin x) cos x
(arcsin x)
( x n ) n x n1
(cos x) sin x
(arccos x)
1
( x ) ( x n ) n
1
1 n 1 x n
(e x ) e x (a x ) a x ln a 1 (ln x) x 1 1 (log a x) x ln a
1 cos 2 x 1 (ctgx ) sin 2 x (shx) chx (tgx )
1 1 x2 1
1 x2 1 (arctgx ) 1 x2
(chx) shx
(thx )
DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK
1 ch 2 x
Példák
1. (c f ) c f
(5 x 3 ) 5 3x 2
f f 2.
x5 5x 4 7 7
c
c
3. ( f g ) f g
( x 2 ln x) 2 x
4. ( f g ) f g f g
( x 3 ln x) 3x 2 ln x x 3
f
5. g
c
6. f
f g f g g2 c f f2
7. f ( g ( x)) f ( g ( x)) g ( x)
x2 ln x
1 x
2 x ln x x 2
1 x
1 x
ln 2 x
2 5 5 3x 3 3 2 x 2 x 2 1 ln( x 3 5 x) 3 (3x 2 5) x 5x
TÉTEL: A lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele Ha f differenciálható az x0 helyen és f -nek lokális szélsőértéke van az x0 helyen, akkor f ( x0 ) 0 .
lok. min/max
f0
f 0 lok. min f 0 f ( x0 ) 0 és f ( x0 ) 0 akkor x0 lokális minimum, ha pedig f ( x0 ) 0 és f ( x0 ) 0 akkor x0 lokális maximum. f 0 lok max f 0 www.easymaths.hu FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT a matek világos oldala ©Mosóczi András TÉTEL: A lokális szélsőérték létezésének elégséges feltétele Ha f kétszer differenciálható az x0 helyen valamint
.
1
MONOTONITÁS ÉS KONVEXITÁS
f
+
–
0
monotonitás
lok. max
f konvexitás
0
+
lok. min
–
0
+
konkáv
Inflexio
konvex
A TELJES FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT MENETE f ( x)
4x x 34
1.LÉPÉS: ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
Df
Ez tulajdonképpen a kikötés: páros
ez itt 0
log ez itt 0
páratlan
ez itt bármi
tört nevező 0
Most nincs gyök és nincs logaritmus, de tört van, tehát x 3 2.LÉPÉS DERIVÁLÁS
f x
4 x 3 4 x 4x 3 x 38 4
3
A deriváltat kicsit rendbe rakjuk, kiemelünk, egyszerűsítünk
4 x 3 4 x 4x 3 x 3 4 x 3 4 x 4 x 3 4 x 12 16 x 12 x 12 x 38 x 38 x 38 x 35 3
3
www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András .
3
3
FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT
2
3.LÉPÉS A DERIVÁLT ELŐJELÉNEK VIZSGÁLATA
12 x 12 0 x 1
f ( x)
12 x 12 x 35
x 3 0 x 3
-
Egyenként berajzoljuk a tényezők előjelét.
+
-1
-
3
Ha negatív, azt szaggatott vonallal, ha pozitív, azt folytonos vonallal.
4.LÉPÉS MÁSODIK DERIVÁLT
12 x 12 12 x 35 12 x 12 5x 34 f ( x) 5 x 310 x 3
A második deriváltat is kicsit rendbe rakjuk, kiemelünk, egyszerűsítünk
x 3 12 x 3 12 x 12 5 12 x 3 12 x 12 5x 3 10 x 3 x 310 5
4
4
easymaths.hu 4 x 3 12 x 36 60 x 60 48 x 96 x 310 x 36
5. LÉPÉS A MÁSODIK DERIVÁLT ELŐJELE
f ( x)
48x 96 x 36
48x 96 0 x 2
x 3 0 x 3
Egyenként berajzoljuk a tényezők előjelét.
-
-2
+
3
+
Ha negatív, azt szaggatott vonallal, ha pozitív, azt folytonos vonallal.
Az első derivált előjeléből a függvény növekedésére és csökkenésére következtethetünk, a második derivált előjeléből pedig a konvexitásra. Mindezt összefoglaljuk egy remek táblázatban.
www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András .
FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT
3
AZ ELSŐ ÉS A MÁSODIK DERIVÁLT ELŐJELÉT BELERAKJUK EGY TÁBLÁZATBA
,2
x 2
2,1
-
-
-
f monotonitás
x 1
0
1,3 +
lok.min
f
-
0
konvexitás
+
+
-
sz. sz.
+
inflexio
6. LÉPÉS HATÁRÉRTÉK
3;
x3
+
sz. sz.
Df SZÉLEIN
4x 0 x x 34
4x 0 x x 34
lim
4x 20 4 x3 x 3 0
lim
lim
7.LÉPÉS RAJZ
-2
-1
3
easymaths.hu Feladatok Határozzuk meg az alábbi függvények monotonitási szakaszait, lokális szélsőérték helyeit, konvex konkáv szakaszait és inflexiós pontjait! 6.1.
f ( x) 4 x e6 x
6.2.
f ( x)
2x 3 x 2
6.3. A derivált előjelének vizsgálatához közös nevezőre kell hozni. Az „üres karika” nem maximum és nem inflexiós pont. 1
f ( x) xe x 6.4. Adja meg az alábbi függvény monotonitási szakaszait, valamint konvex, konkáv szakaszait és inflexiós pontjait! Írja föl az érintő egyenletét az x0 4 abszcisszájú pontban!
f ( x) 2 ln( x 3) x 3 www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András
2
.
FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT
4
6.5.Az „üres karika” nem maximum és nem inflexiós pont.
f ( x)
x 1 x2
6.6. A derivált előjelének vizsgálatához közös nevezőre kell hozni. Az „üres karika” nem maximum és nem inflexiós pont.
f x
3x (4 x) 2
6.7. A derivált előjelének vizsgálatához közös nevezőre kell hozni. Az „üres karika” nem maximum és nem inflexiós pont.
f x x 2
9 x3
6.8. A derivált előjelének vizsgálatához közös nevezőre kell hozni. Az „üres karika” nem maximum és nem inflexiós pont. Írja föl az érintő egyenletét az x0 2 abszcisszájú pontban!
f x x 2
8 x2
6.9. Adja meg az alábbi függvény monotonitási szakaszait! Írja föl az érintő egyenletét az x0 1 abszcisszájú pontban!
x 2 x 10 x2
f ( x)
Határozzuk meg az alábbi függvények monotonitási szakaszait, lokális szélsőérték helyeit, konvex konkáv szakaszait és inflexiós pontjait! 6.10.
f ( x) ln( x 1) 2 ln( x 1) 2
6.11.
f ( x)
6.12.
f ( x) x 2
6.13.
f ( x) xe x
x3 4 x2 1 x2
6.14.
f ( x) xe 2 x
6.15.
f ( x) e 4 x 2 x
6.16.
f ( x) xe x
6.17.
f x xe
2
2
2 x2
www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András .
6.18.
f x x 2 e x
ex 1 x x 6.20. f x ( x 2) 3 7x 6.21. f x ( x 7) 2 6.19.
f ( x)
6.22.
1 x f x 1 x
6.23.
f x x 2 ln x
6.24.
f x x ln x 2
6.25.
f ( x) x ln
4
1 x
FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT
5
6.26. 6.27. 6.28.
6.29.
f ( x) x 2 ln x 2
6.32.
x f ( x) arctg x 4
6.33.
ex x f ( x) arctg x arctg e x
6.34.
f ( x) 3 x 1 3 x 1
6.35.
f ( x) sin 4 x cos 4 x
6.36.
f ( x) 2 cos x sin 2 x
f ( x) x 4 4 x 3 12
f ( x)
f ( x)
x
3x 2
x
4
2
4x 2
12
2
6.30.
f ( x) arctg x 2
6.31.
f ( x) arctg e x 1
2
2
6.37. Írjuk föl az
f ( x) x 3 2 x 25 függvény azon érintőjének egyenletét, amely a függvény grafikonját negatív abszcisszájú pontban érinti, és párhuzamos az y=14x-7 egyenessel! 6.38. Írjuk föl az
f ( x) x 2 7 x 6 függvény azon érintőjének egyenletét, amely a függvény grafikonját pozitív abszcisszájú és 14 ordinátájú pontban érinti! 6.39. Írjuk föl az
f ( x) e 2 x 6 x függvény azon érintőjének egyenletét, amely párhuzamos az y=8x-16 egyenessel! 6.40. Írjuk föl az
f ( x) e x 5 függvény azon érintőjének egyenletét, amely merőleges az y=2x+1 egyenesre! 6.41. Milyen α paraméter esetén halad át az alábbi függvény grafikonjához a P(0;1) pontban húzott érintő a Q(4;13) ponton?
f ( x) e x ln x 2 1
6.42. Milyen α paraméter esetén halad át az alábbi függvény grafikonjához az x0=1 abszcisszájú pontban húzott érintő a Q(3;-3) ponton?
f ( x) e x1 x 2 3 6.43. Milyen α paraméter esetén halad át az alábbi függvény grafikonjához az x0=5 abszcisszájú pontban húzott érintő a Q(3;e) ponton?
f ( x) x e x4
www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András .
FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT
6
