Robert Marˇ´ık – Funkce
1 x ln x
Za´kladnı´ elementa´rnı´ funkce
ex sin x arcsin x
Robert Marˇ´ık
cos x arccos x
27. cˇervna 2006
tg x arctg x
Abstrakt
Du˚lezˇite´ vzorce Home Page
V tomto dokumentu jsou uvedeny za´kladnı´ vlastnosti nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ıch za´kladnı´ch elementa´rnı´ch funkcı´. (Trivia´lnı´ funkce, jako druha´ odmocnina a pod. jsou vynecha´ny. Take´ je vynecha´n naprˇ. kotangens, protozˇe se nejdna´ o nic jine´ho nezˇ prˇevra´cene´ hodnota tangensu.)
Print Title Page
◭◭
◮◮
◭
◮
Page 1 of 11 Go Back Full Screen Close Quit
1 Dom( ) = R \ {0}, x 1 Im( ) = R \ {0}, x pru˚secˇ´ık s osou x ani y nenı´
1 x ln x
1 1 = −x−2 = − 2 x Zx 1 dx = ln |x| + C x
ex
1 lim+ = ∞ x→0 x 1 lim− = −∞ x→0 x 1 lim = 0 x→∞ x 1 lim =0 x→−∞ x
arccos x
1 je funkce, ktera´ je prosta´, nenı´ Tato funkce je inverznı´ sama k x ohranicˇena´ ani monotonnı´, skla´da´ sobeˇ, tj. platı´ se vsˇak ze dvou veˇtvı´, z nichzˇ 1 1 kazˇda´ je (sama o sobeˇ) klesajı´cı´. ⇐⇒ x = . y= x y Funkce ma´ svislou asymptotu x = 0 a vodorovnou asymptotu y = 0.
Robert Marˇ´ık – Funkce
1 1. Prˇevra´cena´ hodnota y = ′ x
sin x arcsin x cos x
tg x arctg x Du˚lezˇite´ vzorce
Home Page Print Title Page
◭◭
◮◮
◭
◮
Page 2 of 11 Go Back Full Screen Close Quit
Dom(ln) = (0, ∞), Im(ln) = R, pru˚secˇ´ık s osou x: x = 1
1
Z
1 x
Robert Marˇ´ık – Funkce
2. Prˇirozeny´ logaritmus y = ln x
ln x
ln x dx = x ln x − x + C
ex sin x
ln 1 = 0, ln e = 1, ln ex = x pro vsˇechna x ∈ R ln(0+) = lim+ ln(x) = −∞ x→0
ln ∞ = lim ln(x) = ∞ x→∞
´ je exponencia´lnı´ ln je funkce, ktera´ je rostoucı´, Inverznı´ funkcı x konka´vnı´ a prosta´, ma´ svislou funkce y = e . Tedy asymptotu x = 0 y = ln x ⇐⇒ ey = x. 1 (ln x)′ = x
arcsin x cos x arccos x tg x arctg x Du˚lezˇite´ vzorce
Home Page Print Title Page
◭◭
◮◮
◭
◮
Page 3 of 11 Go Back Full Screen Close Quit
Dom(exp) = R, Im(exp) = (0, ∞), nema´ pru˚secˇ´ık s osou x, pru˚secˇ´ık s osou y je y = 1
x ′ x (e Z ) =e ex dx = ex + C
exp je funkce, ktera´ je rostoucı´, ohranicˇena´ zdola a konvexnı´. Ma´ vodorovnou asymptotu y = 0 v −∞
ln x ex sin x arcsin x
0
e = 1, eln x = x pro vsˇechna x > 0 e−∞ = lim ex = 0 ∞
1
1 x
Robert Marˇ´ık – Funkce
3. Exponencia´lnı´ funkce y = ex
e
x→−∞ x
= lim e = ∞ x→∞
Inverznı´ funkcı´ je funkce y = ln x. Tedy
cos x arccos x tg x arctg x Du˚lezˇite´ vzorce
Home Page Print
y=e
x
⇐⇒ ln(y) = x.
Title Page
◭◭
◮◮
◭
◮
Page 4 of 11 Go Back Full Screen Close Quit
Robert Marˇ´ık – Funkce
1 x
4. Sinus y = sin x
ln x ex
2π
π
sin x arcsin x
Dom(sin) = R, Im(sin) = [−1, 1], sin je ohranicˇena´, licha´, 2πperiodicka´ funkce pru˚secˇ´ıky s osou x jsou cˇ´ısla tvaru x = kπ, kde k je libovolne´ cele´ cˇ´ıslo.
lim sin x neexistuje x→±∞
x sin x
0 0
π 3 √ 3 2
π 2 1
tg x arctg x Du˚lezˇite´ vzorce
Home Page Print
y = sin x ⇐⇒ arcsin y = x.
(sin Z x) = cos x sin x dx = − cos x + C π 4 √ 2 2
arccos x
Funkce sin nenı´ prosta´, je vsˇak prosta h π ´ π inaprˇ´ıklad na intervalu − , a na tomto intervalu ma´ 2 2 inverznı´ funkci y = arcsin x. Tedy
′
π 6 1 2
cos x
2π 3 √ 3 2
3π 4 √ 2 2
5π 6 1 2
π
Title Page
◭◭
◮◮
◭
◮
Page 5 of 11 Go Back
0
Full Screen Close Quit
Dom(arcsin) h= [−1, 1], π πi Im(arcsin) = − , 2 2
−1
1
π − arccos x 2 1 (arcsin x)′ = √ 1 − x2
ln x
Inverznı´ funkcı´ k fucnki arcsin je funkce sin. Tedy
cos x
arcsin x =
ex sin x arcsin x
arccos x tg x
y = arcsin x ⇐⇒ sin y = x. x
arcsin je licha´, rostoucı´ a ohranicˇena´ funkce
Robert Marˇ´ık – Funkce
1 x
5. Arkussinus y = arcsin x
arcsin x
0 0
1 2 π 6
√
2 2 π 4
√
3 2 π 3
arctg x Du˚lezˇite´ vzorce
1
Home Page Print
π 2
Title Page
◭◭
◮◮
◭
◮
Page 6 of 11 Go Back Full Screen Close Quit
Robert Marˇ´ık – Funkce
1 x
6. Kosinus y = cos x
ln x ex
2π
π
sin x arcsin x
lim cos x neexistuje Dom(cos) = R, x→±∞ Im(cos) = [−1, 1] Funkce cos je prosta´ pouze naprˇ´ıPru˚secˇ´ıky s osou x jsou cˇ´ısla tvaru klad na intervalu [0, π] a ma´ zde inπ x = + kπ, kde k je cele´ cˇ´ıslo. verznı´ funkci y = arccos x. Tedy 2 cos je ohranicˇena´, suda´, 2πperiodicka´ funkce. y = cos x ⇐⇒ arccos y = x. (cos x)′ = − sin x Z cos x dx = sin x + C x
0
cos x
1
π 6 √ 3 2
π 4 √ 2 2
π 3 1 2
π 2 0
2π 3 1 − 2
3π 4 √
−
2 2
5π 6 √
−
3 2
π −1
cos x arccos x tg x arctg x Du˚lezˇite´ vzorce
Home Page Print Title Page
◭◭
◮◮
◭
◮
Page 7 of 11 Go Back Full Screen Close Quit
Dom(arccos) = [−1, 1], Im(arccos) = [0, π]
arccos x =
Robert Marˇ´ık – Funkce
1 x
7. Arkuskosinus y = arccos x
ln x
π − arcsin x 2
ex sin x
1 (arccos x) = − √ 1 − x2 ′
cos x
Funkce arccos je prosta´ a jejı´ inverze je y = cos x. Tedy
π 2
−1
arcsin x
1
arccos je klesajı´cı´ a ohranicˇena´ funkce
x
0
arccos x
π 2
√
2 2 π 2
√
3 2 π 6
tg x arctg x
y = arccos x ⇐⇒ cos y = x. 1 2 π 3
arccos x
Du˚lezˇite´ vzorce Home Page
1
Print Title Page
0
◭◭
◮◮
◭
◮
Page 8 of 11 Go Back Full Screen Close Quit
1 x
π π Dom(tg) = R\{ +k ; k ∈ Z}, tg je licha´, π-periodicka´ funkce 2 2 Im(tg) = R 1 (tg x)′ = − 2 cos x Z tg x dx = − ln | cos x| + C π π − 2 2 π Funkce tg je prosta naprˇ´ıh´ pouze π πi a ma´ klad na intervalu − , 2 2 zde inverznı´ funkci y = arctg x. Tedy sin x tg x = y = tg x ⇐⇒ arctg y = x. cos x pru˚secˇ´ıky s osou x jsou stejne´ jako u funkce sinus.
ln x
x
0
tg x
0
π √6 3 3
π 4 1
π 3 √ 3
π 2
Robert Marˇ´ık – Funkce
8. Tangens y = tg x
ex sin x arcsin x cos x arccos x tg x arctg x Du˚lezˇite´ vzorce
Home Page Print Title Page
◭◭
◮◮
◭
◮
Page 9 of 11 Go Back
undef.
Full Screen Close Quit
π 2
1 x
Robert Marˇ´ık – Funkce
9. Arkustangens y = arctg x
ln x ex sin x arcsin x cos x arccos x
1 (arctg x)′ = 1 + x2
Dom(arctg) = R, h π πi Im(arctg) = − , 2 2 Funkce arctg je prosta´ a jejı´ inpru˚secˇ´ıkem s osou x je bod x = 0, verznı´ funkcı´ je funkce y = tg x. protozˇe arctg 0 = 0 Tedy arctg je rostoucı´, prosta´ a ohranicˇena´ funkce y = arctg x ⇐⇒ tg y = x. π arctg ∞ = lim arctg x = x→∞ 2 √ π √ 3 arctg(−∞) = − 3 x 0 1 2 3 Funkce ma´ vodorovnou asymptotu π π π π π arctg x 0 y = v +∞ a y = − v −∞. 2 3 6 2 2
tg x arctg x Du˚lezˇite´ vzorce
Home Page Print Title Page
◭◭
◮◮
◭
◮
Page 10 of 11 Go Back Full Screen Close Quit
Robert Marˇ´ık – Funkce
1 x
10. Du˚lezˇite´ vzorce
ln x
ln x + ln y = ln(xy) x ln x − ln y = ln y r ln x = ln xr
exxey = ex+y e = ex−y ey r (ex ) = erx
ex sin x arcsin x cos x arccos x
sin(x + 2π) = sin x sin(−x) = − sin(x) sin(2x) = 2 sin x cos x sin2 x = 1 − cos2 x 1 − cos(2x) sin2 x = 2 sin(x) = sin(π − x)
cos(x + 2π) = cos x cos(−x) = cos(x) cos(2x) = cos2 x − sin2 x cos2 x = 1 − sin2 x 1 + cos(2x) cos2 x = 2
tg x arctg x Du˚lezˇite´ vzorce
Home Page Print Title Page
◭◭
◮◮
◭
◮
Page 11 of 11 Go Back Full Screen Close Quit
