Integrálszámítás II. Parciális integrálás 1. a) d) g) i) l) o) 2. a) c)
R
xex dx
b)
R
(x + 1)(e2x − 2e−x ) dx
e)
R
ex sin x dx
R
arctg x dx
R
R
x2 cos 2x dx
2x (sin 2x − 3 cos x) dx
R
x2 ex dx
c)
x sin x dx
f)
R
R
(3x2 − 2x)e2x dx x cos x dx
(1 − x2 )(sin 2x − 2 cos 3x) dx R 2x R −x j) e cos x dx k) e sin x cos x dx R R m) x ln x dx n) (2x + 1) ln2 x dx R p) arcsin x dx
h)
R
π
R1
0 R2
R
3x
xe dx e−2x cos 3x dx
b) d)
0
R2
0 R2
3x cos 2x dx (x2 + 1) ln x dx
1
Helyettesítéses integrálás R √ 1. a) x x + 1 dx Z √ x d) x−2+ √ dx x−2 √ √ √ Z 1+ x+ 3x+ 6x √ g) dx 6 x + x7 R √ j) cos x dx 2. a)
Z1 0
x2 √ dx (x + 1) x + 1
π2 4
c)
R
π2 16
sin
√
x dx
Z
x √ b) dx x+1 √ Z √ 3 x+ x √ e) dx 6 x5 Z ex h) dx e2x + 1 R √ k) sin 3 x dx b)
Z1
e2x + ex dx ex + 2
0
d)
R8 0
√
e
2x
dx
x+1 √ dx 3 x−2 √ Z x √ f) dx 4 x−1 Z e2x i) dx ex + 1 R √x l) e dx c)
Z
Integrálszámítás III. Racionális függvények integrálása 1. a)
Z
a)
Z
c)
Z
e)
Z
g)
Z
i)
Z
x3 − 3 dx x2 + 1 1 dx 2 x + 2x + 5 8 dx 2 x − 3x + 2 5x + 31 dx x2 + 2x − 3 2x2 + 3x − 10 dx (x2 + 4)(x − 6) 5x2 + 15x + 37 dx (x2 + 6x + 13) (x − 2)
b) b) d) f) h) j)
8x + 38 dx (x − 4)(x + 1)(x + 3) Z 5 x − 5x4 − x3 + 21x2 − 25x + 12 dx c) x3 − 5x2 + 4x Z −5x2 + 10x − 13 3. a) dx b) (x − 3)(x − 1)2 Z2 3 4x + 22x2 + 40x + 20 c) dx (x + 3)2 (x2 + 1) 2. a)
Z
10 dx −1 Z 7 dx 2 4x + 12x + 10 Z 6x − 20 dx 2 x − 4x − 12 Z 13x − 10 dx 14x2 − 23x + 3 Z 8x2 − 28x + 14 dx (x2 + 1)(x − 9) Z −8x2 + 8x − 4 dx (9x2 − 6x + 5) (x + 1) Z 3x3 − 7x2 − 39x − 54 b) dx x2 − 3x − 10 Z 3 x + 2x2 + 7x − 1 d) dx x4 + 5x2 + 4 Z 2x2 − 14x + 12 dx (x − 2)2 (x + 2) Z
x2
0
Irracionális függvények integrálása R √ √ 2 x3 − 4 3 x − 1 dx R√ c) 4 − x2 dx R√ e) −x2 − 2x dx Z 4x − 3 √ 2. a) dx 9 − 4x2 1. a)
b) d) f) b)
R√
R√
R√ Z
1 − x2 dx 1 − 3x2 dx
−x2 + 6x − 5 dx
√
10 − x dx −x2 − 6x − 5
Integrálszámítás IV. Trigonometrikus függvények integrálása 1. a) d)
R
R
sin4 x cos x dx
b)
sin2 x dx
e)
π
2. a)
R2
8
4 sin x cos x dx
b)
R
R
Rπ
2 cos6 x sin x dx
c)
cos4 x dx
f)
7 cos x sin x dx
1 3. a) dx sin x Z cos x c) dx 2 sin x + cos x + 2
8 sin2 x cos2 x dx
R3
c)
12 sin4 2x cos x dx
b)
Z
1 dx cos x
d)
Z
6 dx 4 sin x − 3 cos x + 5
π
π
Z2
b)
Z3
1 dx sin x + cos x + 1
π 6
0
2π 3
Z
2 sin x + cos x + 3 dx 2 cos x + 2
5. a)
R
tg2 x dx
d)
R
4
c)
R
0
Z
4. a)
8 sin4 x cos3 x dx
π
2
π 4
0
R
π 3
b)
R
tg3 2x dx
1 + sin x dx sin x(1 + cos x)
c)
ctg 3x dx
e)
tg4 x dx
π
π
R6
R
2
tg 2x dx
f)
R2
ctg3 x dx
π 4
0
Exponenciális függvények integrálása 1. a)
Z
c)
Z1 0
11e2x − 20ex − 15 dx e2x − 2ex − 3 6 − ex − 8e2x dx 2e2x + 5ex − 3
b)
Z
2e2x + ex + 4 dx e2x + 1
Az integrálszámítás alkalmazásai I. Területszámítás 1. Számítsa ki a görbe és az x-tengely közé zárt területet a megadott intervallumban: 1 a) y = x2 − 3x + 7 [−1, 2] b) y = + sin x [0, π] 2 c) y = ex − 1 [−1, 1] 2. Számítsa ki az alábbi paraméteres alakban megadott görbe és az x-tengely közötti területet a megadott intervallumban: a) x = 2 cos t, b) x = t − sin t,
y = sin t,
[0, π]
y = 1 − cos t,
[0, 2π]
3. Számítsa ki az adott görbék által határolt korlátos síkrész területét: a) y = 6x − x2 − 7, y = x − 3 b) y = 2x2 ex , y = −x3 ex
Forgástestek térfogata 1. Számítsa ki az adott görbeívnek az x-tengely körüli megforgatásával kapott forgástest térfogatát: h πi 1 2 , 0, a) y = 4 − x , [−2, 2] b) y = √ cos x 6 √ −x c) y = xe , [0, 1] 2. Forgassuk meg az y = ex , y = e−x és az x = 1 egyenlet˝u görbék által határolt véges tartományt az x-tengely körül! Mekkora a keletkezett forgástest térfogata? Mekkora annak a forgástestnek a térfogata, amelyet úgy nyerünk, hogy ugyanezen síkidomot az y-tengely körül forgatjuk meg? 3. Számítsa ki a következ˝o paraméteresen megadott görbeívek x-tengely körüli megforgatásával kapott forgástestek térfogatát: h πi a) x = ch t, y sh t t ∈ [1, 4] b) x = cos t, y = sin 2t, t ∈ 0, 2
Az integrálszámítás alkalmazásai II. Ívhossz számítása 1. Számítsa ki a görbeív hosszát a megadott intervallumban: x√ 3 x + 12, a) y = 2x 2 , [0, 11] b) y = 6 π 2π c) y = ln sin x, , 3 3
[−11, −3]
2. Számítsa ki az alábbi paraméteresen megadott görbeív hosszát a megadott intervallumban: 1 1 a) x = t2 , y = t − t2 , t ∈ 0, 3 3 b) x = et sin t,
y = et cos t,
t ∈ [0, ln 2]
Egyéb 1. Számolja ki, hogy az I (t) = sin 2t (A) er˝osség˝u áram mennyi h˝ot fejleszt π másodperc alatt az R = 24Ω ellenálláson.
Közelít˝o integrálás 1. Számítsa ki az
R1 √
1 + x2 dx értékét Trapéz- és Simpson-formulával, el˝oször 4, majd 8
0
részre való felosztást alkamazva.
Improprius integrálok Integrálás végtelen intervallumon R∞
1. a)
−2x
e
dx
b)
Z∞
e)
Z∞
dx x ln2 x
f)
Z∞
dx √ ex + ex
i)
dx 1 + 4x2
l)
− ln 2
d)
Z∞
√
g)
(x2
x dx + 1)3
0
(2x + 3) e1−x dx
h)
1
j)
−1 R
c)
Z∞
sh x dx ch2 x
Z∞
x2
0
2
R∞
x dx 1 + x2
x2 e2x dx
k)
−∞
0 Z∞
0
dx + 2x + 2
0
R0
ex+1 dx
R∞
xe−
−∞ x2 2
dx
−∞
−∞
Adott intervallumon nem korlátos függvény integrálása 1. a)
Z1 0
e)
R1 0
dx √ 1−x
ln x dx
b)
Z1
f)
Z1
0
−1
π
dx 1 − x2
c)
Z2
dx 1 − x2
g)
Z1
0
0
cos x √ dx sin x dx dx x ln2 x
d)
Z4
dx √ x+ x
h)
Zπ
tg x dx
0
0
Differenciálegyenletek I. 1. Döntse al, hogy az alábbi differenciálegyenletek hányadrend˝uek, illetve azt is, hogy lineárisak-e: ex y′ + y · = x arccos x 4x2 sin x b) y ′′ = 5y ′ − 4 a) y ′′ · tg x −
c) y (4) · ln y + sin y ′′ = 0
2. Döntse el, hogy az y ′′ = y + x2 differenciálegyenletnek megoldásai-e az f (x) = 2x2 , illetve g(x) = −x2 − 2 − ex függvények! 3. Határozza meg integrálással az y ′′′ = 1 differenciálegyenlet általános megoldását, majd az y(0) = 1, y ′(0) = 0, y ′′(0) = −1 kezdeti feltételeket kielégít˝o partikuláris megoldását! 4. Adja meg az alábbi szétválasztható változójú differenciálegyenletek általános megoldását! Ha adott valamilyen feltétel, akkor írja fel az ezt kielégít˝o partikuláris megoldást is! a) y ′ = 2xy 2,
1 2 y(0) = 1
y(1) = −
b) x3 dy = y 3 dx, c) y ′ sin x = y ln y
5. Írja fel az alábbi els˝orend˝u lineáris homogén differenciálegyenletek általános megoldását: a) y ′ sin x − y cos x = 0 1 b) y ′ + 2 y=0 x −1 6. Oldja meg az állandó variálásának módszerével az alábbi els˝orend˝u lineáris inhomogén differenciálegyenleteket: y = x2 − 1 x+1 x b) xy ′ + y = cos 2 1 c) x2 y ′ + y = x · e x · ln x y d) xy ′ + =1 ln x a) y ′ −
7. Határozza meg az állandó variálásának módszerével az alábbi els˝orend˝u lineáris differenciálegyenletek adott feltételt kielégít˝o partikuláris megoldását: a) y ′ + y tg x = −2 cos3 x, b) y ′ −
x x2 √ y = , 1 + x2 1 + x2
y(0) = 1 y(0) = −2
c) y ′ −
x2
3 y = 1, +x−2
y(0) = 3
8. Oldja meg próbafüggvény módszerrel az alábbi állandó együtthatójú els˝orend˝u lineáris differenciálegyenleteket: a) y ′ + y = sin x b) y ′ − 2y = 4x
c) 2y ′ + y = 10(e2x + e−x ) 25 d) y ′ − 4y = cos 3x + 2 4 9. Oldja meg próbafüggvény módszerrel az alábbi állandó együtthatójú els˝orend˝u differenciálegyenletek, figyelve a rezonanciára: a) y ′ − 2y = e2x + x
b) y ′ − 4y = sh 4x
Differenciálegyenletek II. 1. Adja meg az alábbi állandó együtthatójú másodrend˝u lineáris, homogén differenciálegyenletek általános megoldását: a) d)
y ′′ − 2y ′ − 3y = 0 y ′′ + 4y = 0
b)
y ′′ + 5y ′ = 0
e)
y ′′ − 2y ′ + 10y = 0
c)
y ′′ − 6y ′ + 9y = 0
2. Oldja meg próbafüggvény-módszerrel az alábbi másodrend˝u lineáris inhomogén differenciálegyenleteket: a)
y ′′ + y = 3x2
c)
y ′′ + 2y ′ + y = −10 cos 2x − 5 sin 2x d)
e)
b)
y ′′ − 16y = 13ex sin x
f)
4y ′′ + y = 85(e−x − e2x ) y ′′ + y = (x + 1)e−x
y ′′ − 2y ′ = −15x · cos x
3. Oldja meg próbafüggvény-módszerrel az alábbi másodrend˝u lineáris inhomogén differenciálegyenleteket: a) c)
y ′′ − 2y ′ − 3y = 6(e−x − x)
y ′′ − 4y ′ + 4y = e2x + 4x
b) d)
y ′′ + 9y = sin 3x − cos 3x
y ′′ − 3y ′ = 2ex + (6x + 5)e3x
4. Adja meg a következ˝o differenciálegyenleteknek az adott feltétel(eke)t kielégítô partikuláris megoldását: 1 ′′ ′ 2 = −1 − e a) y + 2y = 12x − 2 y(0) = 0 y − 2 b)
y ′′ + y = 2 cos x
c)
y ′′ − y ′ = x · ex
y(0) = −3 y(0) = 0 y ′ (0) = −
1 4
Laplace-transzformáció Képezze a következ˝o függvények Laplace-transzformáltját: 1. a) e2t f) sh 3t
b) e3t+1 g) ch 6t
2. a) e3t − 5−t + 2et c) sin 3t · cos 5t 3. a)
b)
sin 2t + sin3 t sin t
4. a) e2t sin 3t c) e3t (2 sin t − 3 cos 4t) 5. a)
t sin t
b)
3t cos 2t
e) cos 3t j) −8t6
3 sin 4t−2 cos 2t+sh t+8 ch 4t 4t3 − 2t2 + 7t − 3
b) d)
e4t − 3e2t − 4e−t 2et
d) sin 2t i) 5t4
c) e−5t h) t2
c)
2t2 − 7t + 6 t−2
b) e3t cos 7t d) 3e6t (4t3 − 3t2 + 2t − 4) c)
t2 · sh 3t
d)
t2 (2 sin 3t − cos t)
e)
t ch 3t
Határozza meg a következ˝o függvények inverz Laplace-transzformáltját: 1. a) e) 2. a)
1 s s2
b) 7 −4
4s + 1 2 s + 3s − 4
f) b)
2 s−1 s 2 s −9
c) g)
2s2 + 11s − 6 s3 − s2 − 6s
c)
3 +1 s−3 s2 − 1
s2
d)
s2 − 13s + 6 (s2 + 4)(s + 6)
s2
d)
s +4
4s2 − 21s + 29 (s − 1)(s − 3)2
Határozza meg a következ˝o differenciálegyenletek, illetve differenciál-egyenletrendszerek megadott kezdeti feltételhez tartozó partikuláris megoldását Laplace-transzformáció alkalmazásával: 1. a) y ′ + 3y = −8e5x y(0) = 4 c) y ′ + 2y = 10 sin 4x y(0) = 0 e) y ′ − y = 4x · e−x y(0) = 0
b) y ′ − 5y = 25x y(0) = 1 d) y ′ + 3y = 2 cos x y(0) = 0 f) y ′ − 3y = e3x − 2 y(0) = −2
2. a) y ′′ + 9y = 9 y(0) = 0 y ′ (0) = 1 ′′ ′ x b) y + 3y + 2y = 12e y(0) = 0 y ′ (0) = 2 c) y ′′ + 4y ′ = 68 sin x y(0) = 0 y ′ (0) = 0 d) y ′′ + y ′ = x2 + 2x y(0) = 4 y ′ (0) = −2 x˙ − y = 2e2t − t − 1 x(0) = 1 3. a) y˙ + 2x = 2e2t + 1 y(0) = 1 x˙ + y˙ = et + cos t − sin t x(0) = 1 b) x˙ − x − y = − sin t − 1 y(0) = 2
Numerikus sorok 1. Vizsgálja meg az alábbi számsorok konvergenciáját. Ha konvergensek, akkor számítsa ki az összegüket: ∞ 1 + 3k + 5 k P 15k k=1 ∞ 3k+1 P d) k k=0 2 ∞ P g) (−1)k · 0, 1
∞ 3k+1 P k k=0 2 k ∞ P a2 e) a2 + 2 k=0 ∞ P h) (−1)k · 0, 1k+1
a)
b)
k=0
c) f)
∞ 3k+1 P 2k k=0 2 k ∞ P 2b , (b 6= 10) b − 10 k=0
k=0
2. Határozza meg a következ˝o sorok összegét résztörtekre bontással: a)
1 k=1 k(k + 1)(k + 2) ∞ P
b)
∞ k P ( 1) k k=3 ( 3)
3. A konvergencia szükséges feltételét felhasználva mutassa meg, hogy a következ˝o sorok divergensek: r 5k ∞ ∞ ∞ ∞ P P P P 5k + 1 k k+1 3k a) b) c) d) k k k=1 5k + 2 k=1 k=1 k · 2 k=1 2k − 1 4. Mutassa meg, hogy a következ˝o (harmonikus sorra visszavezethet˝o) sor divergens: ∞ k P (1 ) k k=2 (2)
5. A majoráns és a minoráns kritérium alkalmazásával döntsük el, hogy a következ˝o sorok közül melyik konvergens és melyik divergens: ∞ ∞ ∞ P P P 1 1 1 b) c) a) 2k−1 2 k=1 (k + 1)(k + 4) k=1 k + 1 k=1 (2k − 1)2 ∞ ∞ ∞ P 1+k P P 1 k+1 e) f) d) 2 2 k=1 1 + k k=1 (k + 2)k k=0 k − 4k + 5 ∞ ∞ ∞ P P P π 1 1 h) i) g) tg 4k k=1 3k − 1 k=1 ln(k + 1) k=1 ∞ P 1 √ j) k 2 + 2k k=1 6. Döntse el hányadoskritérium segítségével, hogy a következ˝o sorok konvergensek-e: a) e)
∞ 2k P k=0 k! ∞ k! P k k=1 k
b) f)
∞ 2k P k k=1 k ∞ (k + 1)! P k k=1 2 · k!
∞ k! P 2 k=1 k k ∞ P 2 g) k· 3 k=1
c)
d) h)
∞ (k + 1)(k + 2) P k! k=0 ∞ P k k k=1 2
7. A gyökkritérium alkalmazásával döntse el, hogy a következ˝o sorok konvergense-e: ∞ √ ∞ 1 ∞ 2k P P P k k b) a) kp , ahol 0 < p < 1 c) k k k=1 k=1 k k=1 k 2k k k k2 ∞ sin ∞ ∞ P P P k k+1 2 d) e) f) k k+2 k=1 k + 2 k=1 10k + 2 k=1 g)
∞ (arctg k)k P k−1 k=1 (k + 2)2
8. Integrálkritérium alkalmazásával döntse el, hogy a következ˝o sorok konvergensek-e: ∞ k+1 ∞ ∞ P P P 3 1 a) b) c) 2 2 2 k=2 k · ln k k=1 k + 1 k=2 k · ln k ∞ ∞ 1 ∞ 1 P P P 1 √ √ f) d) , ahol α > 0 e) α k + 1 (k + 1) k k=1 k=1 k k=1 ∞ ∞ ∞ P P P 1 1 1 i) g) h) 2 2 k=1 (k + 1) ln (k + 2) k=2 k ln k k=1 k + 1 ∞ k P j) k k=1 e 9. Vizsgálja meg a következ˝o váltakozó el˝ojel˝u sorokat konvergencia szempontjából: a) c)
1 2k − 1 k=1 ∞ P 2k + 1 (−1)k 2 k +k k=1 ∞ P
(−1)k+1
b) d)
∞ (−1)k P k2 k=1 ∞ P (−1)k · k=0
√
k+1
0, 01
Függvénysorok 1. Határozza meg a következ˝o függvénysorok konvergenciatartományát és összegfüggvényét: k ∞ ∞ ∞ ∞ P P P P e−x x x 6= 1 b) e−kx c) tgk x d) a) 2 k=0 k=0 k=2 k − 1 k=1 x − 1 2. Határozza meg a következ˝o hatványsorok konvergenciatartományát: ∞ ∞ ∞ 1 ∞ kk P P P P 2k−1 k k a) k!xk b) x c) x d) xk k k k! 2k − 1 k 5 k=1 k=1 k=0 k=1 ∞ k+2 ∞ k! P P e) xk f) (x − 1)k k k k=1 k=1 k 3. Írja fel az alábbi függvények x0 -körüli harmadrend˝u Taylor-polinomját: ln x a) f (x) = 2x x0 = 1 b) f (x) = 2 x0 = e x 1 π x0 = d) f (x) = x7 − x2 x0 = 1 c) f (x) = sin x 2 4. Írja fel az alábbi függvények Maclaurin-sorát és határozza meg, hogy az melyik tartományban állítja el˝o a függvényt: 1 2 a) f (x) = sin 3x b) f (x) = x c) f (x) = x3 e2x d) f (x) = ln(2 − x) 2 e 5. Az x0 = 0 körüli harmadrend˝u Taylor-polinom alkalmazásával adja meg az alábbi függvények közelít˝o értékét a megadott x1 helyen és adjon fels˝o becslést a közelít˝o érték hibájára: √ a) f (x) = ex x1 = −0, 1 b) f (x) = 3 1 + x x1 = 0, 1 c) f (x) = cos x x1 = 0, 2 d) f (x) = arctg 2x x = 0, 1 6. Az integrandus x0 = 0 körüli negyedfokú Taylor-polinomjának alkalmazásával adja meg az alábbi integrálok közelít˝o értékét és adjon fels˝o becslést a közelít˝o érték hibájára: Z0,2 0,3 R −x2 sin 2x a) dx b) e dx x 0 0
7. Az integrandus x0 = 0 körüli Taylor-polinomjának alkalmazásával számítsa ki az alábbi integrálok közelít˝o értékét úgy, hogy a pontos értékt˝ol való eltérés legfeljebb 10−6 legyen: Z0,2 x Z0,5 0,6 R √ e −1 sin x a) dx b) 1 + x2 dx c) dx x x 0,4 0,1
0
Függvénysorok 1. Határozza meg a következ˝o függvénysorok konvergenciatartományát és összegfüggvényét: k ∞ ∞ ∞ ∞ P P P P e−x x −kx k a) x 6= 1 b) e c) tg x d) 2 x−1 k=0 k=0 k=2 k − 1 k=1 2. Határozza meg a következ˝o hatványsorok konvergenciatartományát: ∞ ∞ ∞ 1 ∞ kk P P P P 2k−1 k k a) k!xk b) x c) x d) xk k k k=1 k k=1 5 k! k=0 k=1 2k − 1 ∞ k+2 ∞ k! P P e) xk f) (x − 1)k k k k=1 k=1 k 3. Írja fel az alábbi függvények x0 -körüli harmadrend˝u Taylor-polinomját: ln x a) f (x) = 2x x0 = 1 b) f (x) = 2 x0 = e x 1 π c) f (x) = x0 = d) f (x) = x7 − x2 x0 = 1 sin x 2 4. Írja fel az alábbi függvények Maclaurin-sorát és határozza meg, hogy az melyik tartományban állítja el˝o a függvényt: 1 2 a) f (x) = sin 3x b) f (x) = x c) f (x) = x3 e2x d) f (x) = ln(2 − x) 2 e 5. Az x0 = 0 körüli harmadrend˝u Taylor-polinom alkalmazásával adja meg az alábbi függvények közelít˝o értékét a megadott x1 helyen és adjon fels˝o becslést a közelít˝o érték hibájára: √ a) f (x) = ex x1 = −0, 1 b) f (x) = 3 1 + x x1 = 0, 1 c) f (x) = cos x x1 = 0, 2 d) f (x) = arctg 2x x = 0, 1 6. Az integrandus x0 = 0 körüli negyedfokú Taylor-polinomjának alkalmazásával adja meg az alábbi integrálok közelít˝o értékét és adjon fels˝o becslést a közelít˝o érték hibájára: Z0,2 0,3 R −x2 sin 2x a) dx b) e dx x 0 0
7. Az integrandus x0 = 0 körüli Taylor-polinomjának alkalmazásával számítsa ki az alábbi integrálok közelít˝o értékét úgy, hogy a pontos értékt˝ol való eltérés legfeljebb 10−6 legyen: Z0,2 x Z0,5 0,6 R √ e −1 sin x a) dx b) 1 + x2 dx c) dx x x 0,4 0,1
0
Fourier-sorok Fejtse Fourier-sorba a következ˝o függvényeket: π π 1 ha − < x ≦ 2 2 és ∀x ∈ R esetén f (x + 2π) = f (x) 1. f : R → R, f (x) = 0 ha π < x ≦ 3π 2 2 6 ha 0 < x < π 2. f : R → R, f (x) = és ∀x ∈ R esetén f (x + 2π) = f (x) 0 ha −π < x < 0 x ha 0 < x < π 3. f : R → R, f (x) = és ∀x ∈ R esetén f (x + 2π) = f (x) 0 ha −π < x < 0 π ha 0 ≦ x < π 4. f : R → R, f (x) = és ∀x ∈ R esetén f (x + 2π) = f (x) x + π ha −π ≦ x < 0
Többváltozós függvények I. 1. Határozza meg a következ˝o függvények értelmezési tartományát: p b) f (x; y) = p ln(x + y) a) f (x; y) = 1 − x2 − y 2 √ √ c) f (x; y) = x + y d) f (x; y) = 4 y − x2
2. Határozza meg a következ˝o függvények megadott értékekhez tartozó szintvonalainak egyenletét: a) z = 2x + 3y + 2 b) z = x2 + y 2
z1 = 2,
z2 = 10
z1 = 1, z2 = 9
c) z = x2 − y 2 z1 = 2, z2 = 8 p √ d) z = 4x2 + y 2 z1 = 3, z2 = 5
3. Határozza meg a következ˝o többváltozós függvények parciális deriváltfüggvényeit: a) f (x; y) = x2 − 6x2 y + y 3 c) f (x; y) = cos y x
b) d)
f (x; y) = ln xy + ex f (x; y; z) = ln xyz
2 −y
4. Határozza meg az alábbi függvények parciális deriváltjait a megadott P0 pontban: a) c)
2 π ex z = ln p 3 ; P0 1; 2 sin y x+y z = arctg ; P0 (1; 0) 1 − xy
b)
z = tg(x2 − 2y) ;
5. Határozza meg a következ˝o függvények teljes differenciálját: a) f (x; y) = √
1 √ x− y
x+y
b) f (x; y) = e 1−xy c) f (x; y) = sin2 x + x cos y
P0 (2; 2)
Többváltozós függvények II. 1. Számítsa ki az alábbi kétváltozós függvények iránymenti deriváltját az adott v irányvektorú egyenes mentén az adott P0 pontban: π π √ 1 3; −1 ; P a) f (x; y) = ; v − ; 0 cos2 (x − y) 4 r 2 r √ π π b) f (x; y) = sin (x2 + y 2) ; v 3; 1 ; P0 ; 2 3 ln x ln y c) f (x; y) = − ; v (−3; 4) ; P0 (e; e2 ) ln y ln x 2. Határozza meg a következ˝o függvények széls˝oértékeit: 2 a) f (x; y) = (5 + 2x − y) · ex b) f (x; y) = exy x c) f (x; y) = 5 − x2 + 4x − y 2 d) f (x; y) = e 2 · (x + y 2) 1 e) f (x; y) = x2 + y 2 + xy + y + f) f (x; y) = x3 + y 3 − 3xy 3 3. Határozza meg a z = xy − 1 felületnek az origóhoz legközelebb es˝o pontját! 4. Egy derékszög˝u háromszög rövidebbik befogójának hosszát a = 5 ± 0, 1 cm-nek mértük, másik befogójának hosszát pedig b = 12 ± 0, 2 cm-nek. Becsülje meg, hogy mekkora abszolút, illetve relatív hibával számítható ki a) az átfogó hosza; b) a háromszög területe; c) tg β, ahol β a b oldallal szemközti szög! 5. A véges növekmények tétele segítségével adjon közelítést az alábbi kétváltozós valós függvények megadott pontban felvett értékére egy olyan közeli pontból kiindulva, ahol a függvényérték könnyen számolható: a) f (x; y) = ln (x2 − y 3 ),
P (3, 02; 1, 96)
b) f (x; y) = (xy)2 − 2(y + 2x)3 ,
P (−1, 98; 3, 01)
6. Számítsa ki az alábbi kétváltozós függvények kett˝os integrálját a megadott T tartományon: x y T = (x; y) − 1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2 a) f (x; y) = 1 − − 3 4 n πo b) f (x; y) = x · sin y T = (x; y) 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 √ 54y T = (x; y) 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ arctg x c) f (x; y) = 1 + x2 n o sin x π d) f (x; y) = 3 T = (x; y) 0 ≤ x ≤ , cos x ≤ y ≤ 2 cos x y 3
7. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kett˝os integrálját a csúcsaival megadott sokszögtartományon: a) f (x; y) = ex−y x b) f (x; y) = − 2 y
A(0; 0), B(1; 1), C(0; 2) A(2; 2), B(2; 3), C(4; 4)
8. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kett˝os integrálját azon a korlátos tartományon, amelyet a következ˝o egyenletekkel megadott görbék határolnak: a) f (x; y) = y · ex b) f (x; y) =
y (1 + x)2
x = y,
1 x = y2 3
x = −y,
x = y2,
y=−
1 2
