BAB XVI. INTEGRAL
10. ∫ cos n (ax+b)sin(ax+b) dx = 11. ∫ 2 sin ax cos bx dx = ∫ sin
A. Integral Tak Tentu
k x n +1 + c ; n ≠ -1 n +1 1 2. ∫ (ax + b) n dx = (ax+b) n+1 + c ; a ≠ 0 dan n ≠ -1 a (n + 1) 1 3. ∫ dx = ln|x| + c x 4. ∫ ( f ( x)dx ± g ( x)dx) = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx 1. ∫ k x n dx =
sin x dx + c
d sin x cos x dx 4. ∫ ctgx dx = ∫ dx = ln |sin x| + c dx = ∫ sin x sin x
1 cos (ax+b) + c a 1 6. ∫ cos(ax + b) dx = sin (ax+b) + c a
∫ sin(ax + b) dx = -
8. ∫ ctg (ax + b) dx =
1 ln|cos(ax+b)| + c a
1 ln|sin(ax+b)| + c a
9. ∫ sin n (ax+b) cos(ax+b) dx =
14. ∫ c sec 2 x dx = - ctg x + c 1 15. ∫ c sec 2 (ax+b)dx = - ctg (ax+b)+ c a
3. Rumus-rumus Integral yang lain
d − cos x sin x 3. ∫ tan x dx = ∫ dx = ∫ dx dx = - ln |cos x| + c cos x cos x
7. ∫ tan(ax + b) dx = -
1 tan (ax+b)+ c a
17. ∫ c tan x csecx dx = -csec x + c
1. ∫ sin x dx = - cos x dx + c
5.
13. ∫ sec 2 (ax+b)dx =
16. ∫ tan x secx dx = sec x + c
2. Rumus Integral Fungsi Trigonometri
∫ cos x dx =
( a + b) ( a − b) x dx + ∫ sin x dx 2 2
12. ∫ sec 2 x dx = tan x + c
1. Rumus Integral Fungsi Aljabar
2.
1 cos n+1 (ax+b) +c a(n + 1)
1 sin n+1 (ax+b) +c a(n + 1)
1 2 x 1 a arc sin ( ) + x a 2 − x 2 + c 2 a 2 x x ( x = a sin θ ; sin θ = ; θ = arc sin ( ) ) a a 1 1 2. ∫ a 2 + x 2 dx = a 2 ln |x + a 2 + x 2 | + x a 2 + x 2 +c 2 2 1.
∫
a 2 − x 2 dx =
3.
∫
x 2 − a 2 dx = -
4.
∫
5.
∫
6.
∫
1 2 a ln |x + x 2 − a 2 | 2 1 + x x2 − a2 + c 2
dx a2 − x2 dx a +x 2
2
dx
x = arc sin ( ) + c a = ln |x +
a2 + x2 | + c
= ln |x +
x2 − a2 | + c
x −a 1 dx x+a ln | 7. ∫ 2 = | +c 2 a −x 2a x−a 2
2
www.belajar-matematika.com - 1
16. SOAL-SOAL INTEGRAL
1 = 2
1
1+
u +C 1 1+ 2 3 1 2 2 . u +C =2 3 3 1 2 2 = - (9 − x ) + C 3 1 =(9 − x 2 ) 9 − x 2 + C 3
EBTANAS1995 1. Hasil dari ∫ (3x 2 – 8x + 4) dx adalah … A. x 3 – 8x 2 + 4x + C B. x 3 – 4x 2 + 4x + C C. 3x 3 – 4x 2 + 4x + C D. 3x 3 – 8x 2 + 4x + C E. 6x 3 – 8x 2 + 4x + C
Jawabannya adalah A
jawab:
UMPTN1991
∫
3 8 (3x 2 – 8x + 4) dx = x 3 − x 2 + 4 x + C 3 2 3 = x − 4x 2 + 4x + C
Jawabannya adalah B EBTANAS2001 2. Hasil
∫x
9 − x 2 dx = ….
1 1 (9 − x 2 ) 9 − x 2 + 9 − x2 + C 3 9
jawab: Misal u = 9 - x 2 du = - 2x dx −
3.
∫
sin 2 x cos x dx = …. D. sin 3 x + C
A. 2 sin x. cos x + C 1 B. cos 3 x + C 3 1 C. sin 3 x + C 3
E. cos x - cos 3 x + C
Jawab:
1 A. − (9 − x 2 ) 9 − x 2 + C 3 2 B. − (9 − x 2 ) 9 − x 2 + C 3 2 C. (9 − x 2 ) 9 − x 2 + C 3 2 2 D. (9 − x 2 ) 9 − x 2 + (9 − x 2 ) 9 − x 2 + C 3 9
E.
1 2
cara 1:
∫ sin ∫
n
(ax+b) cos(ax+b) dx =
sin 2 x cos x dx =
=
∫
∫
(sin x) 2 cos x dx u 2 du
1 3 u +c 3 1 sin 3 x + c = 3
9 − x 2 x dx 1
1 sin 3 x + c 3
∫ = ∫
sin 2 x cos x dx =
1 du = x dx 2
9 − x 2 dx =
1 sin 3 x + c (2 + 1)
Cara 2: Misal: u = sin x du = cos x dx
=
∫x
1 sin n+1 (ax+b) +c a(n + 1)
1
1 1 = ∫ u 2 . − du = - ∫ u 2 du 2 2
Jawabannya adalah C
www.matematika-sma.com - 1
EBTANAS2000 6. Hasil ∫ cos 2x. sin 5x dx = ….
UAN2003 4. Hasil ∫ x sin(x 2 +1) dx = … A. – cos (x 2 +1) + C
1 cos (x 2 +1) + C 2 E. -2 cos (x 2 +1) + C D.
B. cos (x +1) + C 1 C. − cos (x 2 +1) + C 2 2
1 1 cos 7 x + cos 3x + c 14 6 1 1 cos 7 x − cos 3x + c B. 14 6 1 1 C. cos 7 x − cos 3x + c 14 6 1 1 D. cos 7 x + cos 3x + c 14 3 A. -
jawab: u = x 2 +1 du = 2x dx
∫
E.
x sin(x +1) dx = 2
∫
=
1 sin u du Æ (karena du = 2x dx) 2
1 1 cos 7 x − cos 3 x + c 14 3
Jawab :
1 cos u + c 2 1 = - cos (x 2 +1) + c 2
2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 1 sin (A+B) + sin (A-B) sin A cos B = 2
Jawabannya adalah C
cos 2x. sin 5x = sin 5x cos 2x 1 = { sin (5x + 2x) + sin (5x – 2x) } 2
=-
UAN2003 1 sin x dx = … 5. ∫ 2 x
1 +c x 1 D. cos + c x
A. sin x 2 + c
C. sin
B. cos x + c Jawab: Misal ; 1 u= = x −1 x du = - x
∫
=-
1 x dx = 2
sin x
−2
E. cos x 2 + c
=
1 ( sin 7x + sin 3x ) 2
∫
cos 2x. sin 5x dx
1 1 sin 7x dx + ∫ sin 3x dx 2 2 1 1 1 1 = - . cos 7x + - . cos 3x + c 2 7 2 3 =
∫
=1 dx x2
∫
sin u du
1 1 . cos 7x - cos 3x + c 14 6
Jawabannya adalah B
UN2006 4
7. Nilai dari = cos u + c = cos
1 +c x
∫ 0
A. 10 B. 8
Jawabannya adalah D www.matematika-sma.com - 2
2x + 2 x 2 + 2x + 1
C. 6
dx =…
D. 5
E. 4
Jawab:
EBTANAS1991 π 2
2x + 2 = 2 (x+1)
2x + 2
∫
x 2 + 2x + 1
0
∫
sin(2x- π ) dx =
0
( x + 1) 2 = x+1
x 2 + 2x + 1 = 4
9.
A. -1
dx
B. -
1 2
C. 0
D.
1 2
E. 1
Jawab: π
2( x + 1) dx = x +1
4
=
∫ 0
4
∫
2
∫
2 dx
sin(2x- π ) dx
0
0
π
4
= 2x | = 2.4 – 0 = 8
2 1 = - cos (2x- π ) | 2 0
0
Jawabannya adalah B = -
1 1 cos ( π - π ) – (- cos(0 - π ) ) 2 2
= -
1 1 cos 0 – (- cos - π ) 2 2
=-
1 1 1 1 . 1 + . -1 = - = -1 2 2 2 2
UAN2007 3
8. Diketahui
∫
(3x 2 + 2x + 1 ) dx = 25, nilai
a
A. -4
B. -2
C. -1
D. 1
1 a=… 2
E. 2
Jawab: 3
∫
3
* cos 0 = 1, * cos - π = cos( π – 2 π ) = - cos 2 π = - cos 360 = - 1 )
(3x 2 + 2x + 1 ) dx = x 3 + x 2 + x |
a
a
= 27 + 9 + 3 - (a 3 + a 2 + a )
jawabannya adalah A
= 39 - (a 3 + a 2 + a ) = 25
UN2006 10. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = x 2 - 2 dan garis y – x – 4 = 0 adalah….
(a 3 + a 2 + a ) = 14 Kita lakukan uji coba nilai (trial & error) : Masukkan nilai 1 Æ a 3 + a 2 + a = 3 Æ tidak memenuhi 2 Æ a 3 + a 2 + a = 8 + 4 + 2 = 14 Æ memenuhi 3 2 -2 Æ a + a + a = -8 + 4 -2 = -6 Æ tidak memenuhi 1 maka a = 2, sehingga a = 1 2 Jawabannya adalah D
5 satuan luas 6 5 B. 11 satuan luas 6 A. 10
C. 20
5 satuan luas 6 5 E. 21 satuan luas 6
D. 20
3 satuan luas 6
Jawab: y = x 2 - 2 ….(1) y – x – 4 = 0 ⇔ y = x + 4 ….(2)
www.matematika-sma.com - 3
substitusi (1) dan (2) :
UN2007 11. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah ….. satuan luas :
x + 4 = x2 - 2 ⇔ x2 - x - 6 = 0 ⇔ (x - 3 ) (x +2 ) = 0 titik potong di x = 3 (batas atas) dan x = -2 (batas bawah) sketsa gambar untuk melihat posisi kurva dan garis, pd gambar terlihat posisi di atas adalah garis, sehingga untuk menghitung luasnya adalah persamaan garis dikurangi kurva (kondisi sebaliknya apabila kurva di atas garis)
A. 20
5 6
C. 7
1 2
B. 13
1 2
D. 6
1 6
E. 5
5 6
jawab: Titik potong kurva dan garis : 3
∫
(y2 – y1) dx
−2 3
=
∫
(x + 4) –( x 2 - 2) dx
−2
3
∫
=
9 - x2 = x + 3 ⇔ x2 + x – 6 = 0 ⇔ (x + 3 ) ( x – 2) = 0
(x +4 - x 2 + 2) dx
−2
Titik potongnya adalah x = -3 (batas bawah) dan x = 2 ( batas atas) luasnya =
3
=
∫
(- x 2 + x + 6) dx
−2
====-
3 1 3 1 2 x + x + 6x | 3 2 −2 1 1 (27 − (−8)) + (9 − 4) + 6(3-(-2)) 3 2 1 1 (35) + (5) + 6(5) 3 2 − 70 + 15 + 180 125 35 5 = + + 30 = 3 2 6 6
= 20
5 satuan luas 6
2
∫
(pers .kurva – pers garis) dx
−3
2
=
∫
(9-x 2 ) – (x +3) dx
−3
2
=
∫
(9 - x 2 - x – 3) dx
−3
2
=
∫
(6 - x 2 - x) dx
−3
= 6x Jawabannya adalah D
1 3 1 2 2 x - x | 3 2 −3
www.matematika-sma.com - 4
= 6 (2-(-3) ) -
=6.5 -
= 30 -
substitusi (1) dan (2)
1 1 (8 − (−27)) - (4 − 9) 3 2
x2 = 2 – x ⇔ x2 + x – 2 = 0 ⇔ (x + 2 ) (x – 1 ) = 0 x = -2 (batas bawah) atau x = 1 (batas atas) (lihat pada gambar)
1 1 (35) - (−5) 3 2
35 5 180 − 70 + 15 + = 3 2 6
Mencari volume :
125 5 = 20 = 6 6
V= π Jawabannya adalah A =π UAN2002 12. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan garis x + y – 2 = 0 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 0 . Volume benda putar yang terjadi adalah… A. 15 B. 15 C. 14 D. 14 E. 10
2 π 3 2 π 5 3 π 5 2 π 5 3 π 5
satuan volume satuan volume satuan volume satuan volume satuan volume
Jawab:
=π
1
∫
(y 2
∫
{ (2-x) 2 - (x 2 ) 2 } dx
∫
((4 - 4x + x 2 ) - x 4 } dx
2
- y 1 2 ) dx
−2 1
−2 1
−2
= π
1
∫
(4 – 4x + x 2 -x 4 ) dx
−2
=π
1
∫
(- x 4 + x 2 - 4x + 4) dx
−2 1 1 5 1 3 x + x - 2x 2 + 4x) | 5 3 −2 1 1 = π {(- (1 − (−32)) + ( (1-(-8))-2(1-4)+4(1-(-2))} 5 3
= π (-
1 1 = π {(- 33 + 9 - 2 . (-3) + 4 .3 ) 5 3 33 + 3 + 6 + 12 ) 5 − 33 + 105 33 = π (+ 21) = π 5 5 72 2 π satuan volume =π = 14 5 5
= π (-
jawabannya adalah D
Mencari titik potong: y = x 2 …(1) x + y – 2 = 0 ⇔ y = 2 – x ..(2) www.matematika-sma.com - 5
UN2007 13. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x 2 +4 dan y=-2x + 4 diputar 360 0 mengelilingi sumbu y adalah…. A. 8 π satuan volume 13 B. π satuan volume 2 C. 4 π satuan volume 8 D. π satuan volume 3 5 E. π satuan volume 4
y (y - 4) = 0 didapat y = 0 atau y = 4 ( terlihat pada gambar) mencari Volume: karena diputar terhadap sumbu y rumusnya menjadi: 4
∫
V= π
(x 1 2 - x 2 2 ) dy
0
=π
4
∫
{ (4-y) –
0
=π
Jawab:
4
∫
4-y –
0
=π
4
∫ 0
= =
=
=
π 4
π 4
π 4
(16 − 8 y + y 2 ) } dy 4
(16 − 4 y − 16 + 8 y − y 2 ) } dy 4
4
∫
(4y - y 2 ) dy
0
1 3 4 y ) | 3 0
( 2y 2 -
(32 -
π 32 4 3
=
π 96 − 64 64 ( ) )= 3 4 3 8 π satuan volume 3
Mencari titik potong: Persamaan kurva y= -x 2 + 4 ⇔ x 2 = 4 – y …(1) persamaan garis y = -2x + 4 ⇔ 2x = 4 – y 4− y ..(2) x= 2 substitusi (1) dan (2) (4 − y ) 2 =4–y 4 (4-y) 2 = 16 – 4y 16 – 8y + y 2 = 16 – 4y 16 - 16- 8y+ 4y+ y 2 =0 - 4y + y 2 = 0 y2 - 4 y = 0
(4 − y ) 2 } dy 4
x2 = 4 – y ⇔
12.
www.matematika-sma.com - 6
∫a
8.
2
1 dx x = arc tan| | + c 2 a +x a a. Jika f(x) > 0 (Kurva di atas sumbu x)
4. Integral Parsial
∫ u dv = uv - ∫ v du Didapat dari : y = u.v dimana u = g(x) dan v = h(x) y’ = u’ v + u v’ = v u’ + u v’
b
L=
∫ f ( x) dx a
dy dv du = v. +u. dx dx dx
b. Jika f(x) < 0 (Kurva di bawah sumbu x)
(dikalikan dx)
dy = v du + u dv d (u.v) = v du + u dv
∫ d (u.v) = ∫ v du + ∫ u dv u.v = ∫ v du + ∫ u dv
∫ u dv
b
= uv - ∫ v du
L = - ∫ f ( x) dx = a
a
∫ f ( x) dx b
B. Integral Tertentu b
∫ f ( x) dx = F(x) | a
c. Jika f(x) > 0 dan f(x) < 0 (Kurva sebagian berada di bawah sumbu x dan sebagian lainnya berada di atas sumbu x)
b
= F(b) – F(a)
a
1. Luas Daerah Antara Kurva dan Sumbu- sumbu Koordinat
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x dan garis-garis x = a dan x = b serta x =g(y), sumbu y dan garis-garis y = a dan y = b dapat dibedakan sbb c
L = - ∫ f ( x) dx + a
a
=
∫ c
b
∫ f ( x) dx c
b
f ( x) dx +
∫ f ( x) dx c
www.belajar-matematika.com - 2
d. jika g(y) > 0 (kurva berada di sebelah kanan sumbu y)
i b
L=
∫ g ( y) dy
c
L = - ∫ g ( y ) dy +
a
a
e. jika g(y) < 0 (kurva berada di sebelah kiri sumbu y) =
b
∫ g ( y) dy c
a
b
c
c
∫ g ( y) dy + ∫ g ( y) dy
2. Luas Daerah Antara Dua Kurva
a. Di atas sumbu x
b
L = - ∫ g ( y ) dy = a
a
∫ g ( y) dy b
f. jika g(y) < 0 dan g(y) > 0 (kurva sebagian berada di sebelah kiri sumbu y dan sebagian lainnya berada sebelah kanan sumbu y)
L=
b
b
b
a
a
a
∫ y2 dx - ∫ y1 dx = ∫ ( y 2 − y1) dx
www.belajar-matematika.com - 3
b. Di bawah sumbu x
b
L = - ∫ y2 dx a
b
b
b
a
a
a
{ - ∫ y1 dx } = ∫ y1 dx - ∫ y2 dx
b
= ∫ ( y1 − y 2) dx a
c. Di sebelah kanan sumbu y
L=
b
b
b
a
a
a
∫ x2 dy - ∫ x1 dy = ∫ ( x2 − x1) dy
3. Volume Benda Putar
a. Diputar terhadap sumbu x maka, V= π
b
∫y
2
dx
a
b. Diputar terhadap sumbu y maka, V= π
b
∫ x dy 2
a
www.belajar-matematika.com - 4
