Nama
: Pramitha Surya Noerdyah
NIM
: 125100300111022
Kelas/Jur
: L/TIP
A. Integral Integral dilambangkan oleh “ ʃ ” yang merupakan lambang untuk menyatakan kembali F(X )dari F-1 (X). Hitung integral adalah kebalikan dari hitung diferensial. Jika F(X) = 2x-3 maka F-1(X) = 3 -2 x-3-1 = 6x2. Apabila prosesnya dibalik, yaitu dari F-1(x) ke F(x) maka dinamakan pengintegralan. 1. Integral Tak Tentu Integral Tak Tentu adalah suatu bentu pecahan yang masih mengandung bilangan C yang sifatnya sembarang. Antipendeferensialan adalah operasi untuk mendapatkan himpunan semua antiturunan daru suatu fungsi yang diberikan. Lambang ʃ menyatakan operasi antidiferensialan yang pertama kali diperkenalkan oleh leibniz. Pengintergralan dari fungsu f(x) dilambangkan dengan ʃ f(x) dx. Secara umum, integral tak tentu dari f(x) didefinisikan sebagai berikut.
ʃ f(x) dx =F(x) + c dengan , ʃ = operasi anti turunan atau lambang integral c = konstanta integrasi f(x) = fungsi integran, fungsi yang akan dicari anti turunannya F(x) = fungsi hasil integral Sifat-sifat Integral Tak Tentu Hasil dari suatu integral tak tentu dapat ditentukan dengan mencari suatu fungsi yang memenuhi F’(x) = f(x). Sekarang kita akan
1
menggunakan beberapa rumus dan sifat-sifat khusus yang dapat digunakan untuk menghitung integral tak tentu dari suatu fungsi aljabar. Sifat-sifat itu sebagai berikut. 1. ʃ k dx = kx + c 2. ʃ xn dx =
+ c, dengan n ≠ -1
3. ʃ k f(x) dx = k ʃ f(x) dx 4. ʃ [f(x) ± g(x)] dx = ʃ f(x) dx ± ʃ g(x) dx
a. Intergral Tak Tentu Fungsi Aljabar Rumus Rumus Integral Tak Tentu 1) ʃ dx = x + c 2) ʃ a dx = ax + c 3) ʃ axn dx =
Xn + 1 + c, n ≠ -1
4) ʃ a f(x) dx = a ʃ f(x) dx 5) ʃ [ f(x) ± g(x) ] dx = ʃ f(x) dx ± ʃ g(x) dx Contoh soal : Selesaikan integral berikut. 1. ʃ 2x dx 2. ʃ x3 dx 3. ʃ (4x + 4) dx 4. ʃ (2x2 + 5x + 1) d 5. ʃ √ Jawab : 1. ʃ 2x dx = x2 + c 2. ʃ x2 dx = 3. ʃ (4x + 4) dx = 4. ʃ (2x2 + 5x + 1) dx
= =
2
5. ʃ √
= ʃ (3x)1/2 dx =
dx
=2
b. Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri Telah dijelaskan bahwa operasi integral merupakan operasi anti. Jadi, apabila kita hendak menentukan integral fungsi trigonometri maka kita perlu memahami turunan dari fungsi trigonometri. Rumus Intehral Tak Tentu Fungsi Trigonometri sebagai berikut. 1) ʃ cos x dx = sin x + c 2) ʃ sin x dx = - cos x + c 3) ʃ tan x dx = - ln [cos x] + c 4) ʃ cos (ax + b) dx = - sin (ax + b) + c 5) ʃ sin (ax + b) dx = - cos (ax + b) + c Contoh Soal : Tentukan Inegral berikut ini. 1. ʃ cos 2x dx 2. ʃ (3 sin x) dx 3. ʃ tan 4x dx 4. ʃ cos (2x + 5) dx 5. ʃ (2 sin + cos x) dx Jawab : 1. ʃ cos 2x dx
= ʃ cos 2x dx
= sin 2x + c 2. ʃ (3 sin x) dx = - 3 cos x + c 3. ʃ (x + tan x) dx
= x2 + ln [sec x] + c
3
4. ʃ cos (2x + 5) dx
= sin (2x + 5) + c
5. ʃ (2 sin x + cos x) dx = -2 cos x + sin x + c
c. Integral Parsial Integral parsial atau pengintegralan sebagian berdasar pada suatu fungsi hasil kali. Misalkan F(x) = uv dengan u = f(x) dan v = g(x) F’(x)
(
= (
)
+v
)
d(uv) = uv’ dx + vu’ dx uv’ dx = d(uv) – vu’ dx
Integralkan kedua ruas maka diperoleh : ʃ uv’ dx = uv - ʃ vu’ dx
atau
ʃ u dv = yv - ʃ v du
2. Integral Tentu Integral tentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tentu memiliki batas untuk variabel integrasi x. Notasi untuk integral tentu sebagai berikut.
a ʃb f(x) dx Bentuk umum integral tentu sebagai berikut. b aʃ f(x)
dx = F(b) – F(a)
dengan Fn(x) = f(x) Sifat-sifat Integral Tentu Misalkan, f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang terintegralkan pada [a,b] dan k suatu konstanta maka berlaku.
a
ʃa f(x) dx = 0
a
ʃb f(x) dx = - bʃa f(x) dx
a
ʃb k. f(x) dx = k. a ʃb f(x) dx ± a ʃb g(x) dx
a
ʃb [f(x) ± g(x)] dx = a ʃb f(x) dx ± a ʃb g(x) dx
4
a
ʃb f(x) dx = a ʃt f(x) dx + t ʃb f(x) dx
dengan a < t < b
a
ʃb f(x) dx ≥ 0
jika f(x) ≥ 0 pada interval [a,b]
a
ʃb f(x) dx ≤ 0
jika f(x) ≤ 0 pada interval [a,b]
B. Teknik Integral Subtitusi Jika suatu permasalahan integral tidak dapat diselesaikan dengan cara biasa, dapat dilakukan cara subsitusi yaitu mengubah integral yang diberikan ke bentuk ekuivalennya. Contoh : Hitung integral berikut ʃ (x2 – 8)6x dx Jawab : Misalkan, u = x2 -8 sehingga ʃ(x2-8)6x dx
= 2x atau x. Dx = du
= ʃu6 . . du = ʃu6 du = . u7 + C = =
u7 + C
(x2-8)7 + C
Jadi, nilai ʃ(x2-8)6x dx adalah
(x2-8)7 + C
C. Aplikasi Integral a. Apllikasi Integral Tentu Untuk Menghitung Luas Daerah Misalkan, sebuah bus melaju dengan kecepatan tetap 15 m/s selama selang waktu 20 sekon, dibenrikan oleh fungsi sebagai berikut
r(t) = f(t) = 15
( 0 < t < 20 )
Dengan t diukur dalam detik dan f(t) dalam meter per sekon. Kemudian, jarak total yang telah ditempuh bus selama selang waktu yang diberikan adalah (15) (20 - 0) atau 60 meter (kecepatan x selang waktu = jarak).
5
Perhatikan kurva r dibawah ini.
Pada kurva diatas dapat dilihat bahwa jarak total ini tepat sama dengan luas daerah persegi panjang di bawah kurva f, di atas sumbu t, di sebelah kiri t = 0, dan di sebelah kanan t = 20. Perhatikan kurva ke 2 di bawah ini.
Pada kurva di atas menunjukkan kecepatan nyata dari sebuah bus tertentu selama selang waktu 20 sekon. Perhatikan bahwa kecepatan busa tidaklah tetap yang berarti fungsi r(t) tidaklah tetap atau fungsu f bukanlah fungsi terapan. b. Menggunakan Integral Tentu untuk Menghitung Luas Daerah Sebelumnya telah di bahas untuk kurva y = f(x), dengan f(x) > 0 dalam selang [a,b] maka integral tentu ∫
( )
menyatakan luas
daerah antara kurva y = f(x), sumbu – x (garis y = 0), garis vertikal x = a dan x b. Secara umum, pernyataan ini diilustrasikan pada
6
Dengan A = ∫
( )
c. Menentukan Luas Daerah Antara Kurva Smbu – X
Dari kegiatan 1.9, dapat kita lihat betapa penting menggambar sketsa grafik y = f(x) sebelum menghitung kuat daerah yang ditanyakan dengan integral tentu. Secara umum strategi pemecahan masalah luas daerah antara kurva y = f(x) dan sumbu-x diuraikan seperti berkut. Strategi Pemecahan Masalah 1. Buatlah sketsa kurva y = f(x) yang meliput selang [a,b] yang ditanyakan 2. Perhatikan selang tempat kurva berada di atas sumbu-x atau dibawah sumbu-x 3. Hitung luas daerah di atas dan di bawah sumbu-x dengan menggunakan integral tentu secara terpisah. 4. Jika pada langka 3 terdapat luas yang negatif, abaikan tanda negatif ini dengan mempositifkannya, kemudian jumlahkan hasilnya.
7
d. Menentukan Luas Daerah Antara Dua Kurva Misalkan, konsumsi minyak sebuah negara tertentu diharapkan bertumbuh pada laju f(t) juta barrel per tahun, t tahun dari sekarang selama periode 5 tahun berikutnya. Konsumsi minyak negara tersebut selama periode yang di tanyakan diberikan oleh luas dibawah kurva f pada selang [0,5]. Selanjutnya, misalkan karena penerapan konservasi energi yang teratur, laju pertumbuhan konsumsi minyak diharapkan menjadi g(t) juta pertahun. Laju pertumbuhan konsumsi minyak diharapkan menjadi g(t) juta per tahun. Proyeksi konsumsi total minyak selama periode 5 tahun diberikan oleh luas daerah dibawah kurba pada selang [0,5].
Keterangan : Gambar 1.19 Pada laju konsumsi f(t) juta barrel per tahun, konsumsi total minyak diberikan oleh luas daerah dibawah kurva f. Gambar 1.20 Pada laju konsumsi g(x) juta barrel pertahun, konsumsi total minyak diberikan oleh luas daerah di bawah kurva g. Oleh karena itu, daerah yang diwarnai S terletak di antara kurva f dan g pada selang [0.5] memberikan jumlah minyak yang akan dihemat selama periode 5 tahun karena konversi energi yang teratur. Akan tetapi, luas S diberikan oleh daerah dibawah kkurva f pada [0,5] dikurangi daerah di bawah kurva g pada [0,5].
8
Perhatikan gambar kurva dibawah ini.
∫
( )
–∫
( ) ∫ [ ( )
( )]
Contoh masalah ini menunjukkan beberapa masalah praktis yang dapat diselesaikan dengan menentukan daerah di antara dua kurva, yang pada gilirannya dapat ditentukan dengan menghitung integral tentu yang sesuai. e. Rumus Kreatif untuk Luas Daerah antara Dua Kurva yang Berpotongan pada Dua Titik Luas daerah A yang di bentuk oleh dua titik potong antara : 1. Kurva parabola f : y = ax2 + bx + c dan garis g.y = mx + n 2. Kurva parabola f : y = ax2 + bx + c dan parabola g.y = px2 + qx + r Dapat dihitung dengan menggunakan rumus kreatif :
Luas A =
√
Dengan A dan D
berturut-turut adalah koefisien suku x2 dan
diskriminan dari persamaan kuadrat gabungan. Persamaan kuadrat gabungan
adalah
persamaan
kuadrat
yang
mengeliminasi nilai y dari kedua fungsi f dan g.
9
diperoleh
dengan
Daftar Pustaka Herawati. 2007. Matematika SMA kelas XII IPS dan Bahasa Jilid 3. Bandung : Grafindo Indriani, Gina. 2007. Think Smart Matematika kelas XII SMA program IPS dan Bahasa. Bandung : Grafindo Johanes, dkk. 2007. Kompetensi Matematika 3 program IPS. Jakarta : Yudistira Kanginan, Marthen. 2007. Matematika SMA kelas XII IPA Semester 1. Bandung : Grafindo Kuntarti, dkk.2006. Matematika SMA dan MA 3A kelas XII IPA Semester 1. Jakarta : ESIS Untoro, Joko. 2007. Buku Pintar Matematika SMA. Jakarta : Wahyu Media Valberg, Dale.2003. Kalkulus edisi kedepalapan. Jakarta : Erlangga
10
