Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana

Berbasis Penemuan Terbimbing

= − =

D(sec x)= sec x tan x, x,

! !

( ) " + % − "( ) ′ " ( ) = #$ %→' %

Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana

Nama

: ________________________

NIm

: ________________________

Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan Dan Untuk Kehidupan

PRAKATA

K

alkulus merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa tingkat pertama

pada Prodi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat. Dari segi konsep isi perkuliahan kalkulus dapat dikatakan sudah baku, artinya tidak

banyak mengalami perubahan dalam waktu yang cukup panjang. Bagian yang secara berkala perlu direvisi adalah teknik penyajiannya. Penyusunan Buku Kerja ini bertujuan mengefektifkan proses pembelajaran. Melalui buku kerja diharapkan peran serta mahasiswa lebih dapat dioptimalkan. Selain sebagai bahan bagi dosen untuk dipakai dalam menjelaskan materi kuliah, buku kerja ini dapat dipakai mahasiswa sebagai pengganti catatan kuliah. Dengan demikian waktu pembelajaran di kelas dapat digunakan secara efektif untuk diskusi dan ceramah. Secara keseluruhan, buku kerja ini disusun berdasarkan pendekatan penemuan terbimbing.

Diharapkan melalui bimbingan mahasiswa dapat

memahami materi dikarenakan setiap konsep yang diberikan melalui langkahlangkah yang sistematis dan mahasiswa dituntut untuk aktif mengerjakan secara bermakna. Buku kerja ini disusun secara ringkas dengan tetap memperhatikan tujuan perkuliahan Kalkulus 1 dan dengan memperhatikan kebutuhan dan karakteristik mahasiswa. Harapan kami, dengan adanya buku kerja yang terstruktur ini adalah untuk menjadikan Kalkulus sebagai pelajaran yang fokus pada gagasan dasar yang berkisar kata-kata, rumus-rumus dan grafik-grafik. Menyelesaikan soal, meskipun diperlukan untuk pengembangangan keterampilan matematis seharusnya tdak menjadi fokus dalam mempelajari buku kerja ini, karena yang paling penting adalah mahasiswa memahami Kalkulus secara bermakna. Penyajian materi pada buku kerja ini, agar dapat menstimulasi pemikiran mahasiswa. selalu dimulai dengan memberikan ilustrasi, atau memberikan masalah yang kemudian dipertanyaan. Setelah mahasiswa mampu menuliskan (memahami) i

materi, agar dapat memberikan contoh yang relevan dengan teori, disajikan contoh soal, latihan terbimbing dan latihan mandiri. Seluruh latihan ini diharapkan dapat meningkatkan pemahaman terhadap materi. Buku kerja ini terdiri dari empat bagian yang sistematis. Materi pertama “1. Sistem Bilangan Riil dan Fungsi”. Topik ini memuat dasar tentang sistem bilangan riil. Pengenalan ilmu ukur analitik dalam bab ini memuat materi tradisional tentang garis lurus dan lingkaran. Definisi fungsi, operasi dengan fungsi dan jenis fungsi yang khusus juga dibicarakan. Penyajian fungsi trigonometri diberikan diperlukan sebelum digunakan sebagai contoh pada bab berikutnya. Bagian kedua “2. Limit dan Kekontinuan”. Topik ini dimulai dengan memperkenalkan definisi limit, kemudian dilanjutkan sifat-sifat limit, limit sepihak. Setelah materi limit, dilanjutkan dengan mendefinisikan fungsi kontinu baik kontinu di titik maupun kontinu selang. Bagian Ketiga” 3. Turunan”. Topik ini memuat konsep turunan yakni dari limit. Bagian Keempat “ 4. Penggunaan Turunan”. Topik ini membicarakan tentang konsep maksimum-minimum, penggunaan turunan pertama dan uji turunan kedua, dan diakhiri dengan penggambaran grafik fungsi dengan memanfaatkan sifat maksimum dan minimum. Akhir kata, semoga buku kerja ini bermanfaat bagi pemerhati Kalkulus, terkhusus mahasiswa. Jika ada kritik dan saran yang membangun. kami menerima secara terbuka. Pada kesempatan ini secara khusus diucapkan terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Ahmad Fauzan, M.Pd, M.Sc dan Ibu Dr. Armiati, yang telah banyak memberikan arahan, masukan dan ide-ide dalam menyusun dan menyelesaikan Buku Kerja ini Padang, Juni 2014 Penyusun

ii

DAFTAR ISI PRAKATA ................................................... ................................................................ .................................................... .................... ................................................................................... ................................ ................................ ................................ ................................................... ................................................... ............................................. ................................................... ............................................. ................................... ................ DAFTAR ISI ................................ ................................

i

PETUNJUK BELAJAR ................................................... ................................................................ ................................ ................................................................................... ................................ ................................ BAB 1. SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI

ix

1.1 Sistem Bilangan Riil ...............................................................................................................

1

Desimal Berulang dan Tak Berulang ............................................................................

4

Kepadatan ...............................................................................................................................

5

Urutan .......................................................................................................................................

6

Latihan Terbimbing 1.1 ....................................................................................................

7

Latihan Mandiri 1.1 ...........................................................................................................

8

iii

1.2 Pertidaksamaan .......................................................................................................................

11

Interval Tertutup dan Terbuka.......................................................................................

11

Menyelesaikan Pertidaksamaan.....................................................................................

12


14

Latihan Mandiri 1.2 ...........................................................................................................

16

1.3 Nilai Mutlak..............................................................................................................................

19

Sifat-sifat Nilai Mutlak.......................................................................................................

20

Latihan Terbimbing 1.3 ......................................................................................................

21

Mengubah Aljabar ke Bentuk yang Tidak Memuat Nilai Mutlak ........................

22


22

Pertidaksamaan Nilai Mutlak ...........................................................................................

24


26

Latihan Mandiri 1.3 .............................................................................................................

28

1.4 Sistem Koordinat Cartesius ..................................................................................................

32

Latihan Mandiri 1.4 ............................................................................................................

33

1.5 Grafik Persamaan ...................................................................................................................

35


37

Latihan Mandiri 1.5 ...........................................................................................................

39

1.6 Rumus Jarak, Lingkaran, dan Persamaan Garis ...........................................................

41

iii

Rumus Jarak...........................................................................................................................

41

Persamaan Lingkaran .........................................................................................................

42

Persamaan Garis ..................................................................................................................

43

Latihan Mandiri 1.6...........................................................................................................

47

1.7 Fungsi dan Grafiknya.............................................................................................................

50

Pengertian dan Notasi Fungsi ..........................................................................................

50

Daerah Asal (Domain) dan Daerah Hasil (Range) ...................................................

51

Grafik Fungsi .........................................................................................................................

52

Latihan Terbimbing 1.7 .....................................................................................................

54

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil .....................................................................................

57


59

Latihan Mandiri 1.7 ............................................................................................................

59

1.8 Operasi pada Fungsi ...............................................................................................................

62

Jumlah Selisih, Hasil Kali, hasil Bagi dan Pangkat ....................................................

62

Fungsi Komposisi .................................................................................................................

63

Penggeseran ...........................................................................................................................

64


65

Latihan Mandiri 1.8 ............................................................................................................

67

1.9 Fungsi Trigonometri ...............................................................................................................

70

Grafik Sinus dan Cosinus ..................................................................................................

71

Fungsi-Fungsi Trigonometri Lain...................................................................................

71

Sifat-Sifat Penting Fungsi Trigonometri.......................................................................

72

Latihan Mandiri 1.9 ............................................................................................................

72

BAB 2. LIMIT DAN KEKONTINUAN 2.1 Pengertian Limit.......................................................................................................................

75

Pemahaman Limit Secara Intuitif ....................................................................................

76

Pengkajian Mendalam Tentang Limit ............................................................................

77

Definisi Limit ..........................................................................................................................

78


80

Latihan Mandiri 2.1 ............................................................................................................

81

2.2 Sifat-Sifat Limit Fungsi ..........................................................................................................

82

Latihan Terbimbing 2.2.......................................................................................................

85

Latihan Mandiri 2.2 ..............................................................................................................

86

iv

2.3 Limit Sepihak............................................................................................................................

88

Definisi Limit Kanan ..........................................................................................................

89

Definisi Limit Kiri ................................................................................................................

89

Teorema Limit Fungsi ........................................................................................................

89


90

Latihan Mandiri 2.3 ...........................................................................................................

92

2.4 Limit Fungsi Trigonometri ...................................................................................................

94


95

Latihan Mandiri 2.4 ...........................................................................................................

96

2.5 Kekontinuan Fungsi ...............................................................................................................

98

Kekontinuan Terhapus dan Tidak terhapus...............................................................

100

Kekontinuan Sepihak .........................................................................................................

101

Kekontinuan dalam Interval............................................................................................

101


101

Sifat-Sifat Kekontinuan Fungsi .......................................................................................

102

Latihan Mandiri 2.5 ...........................................................................................................

102

2.6 Limit Tak Berhingga ..............................................................................................................

105

Definisi Limit Positif Tak berhingga .............................................................................

105

Teorema Limit Tak Hingga...............................................................................................

107


108

Latihan mandiri 2.6............................................................................................................

110

2.7 Limit Di Tak Hingga ..............................................................................................................

110

Definisi Limit di Tak Hingga ...........................................................................................

110

Sifat Limit Di Tak Hingga .................................................................................................

111


112

Latihan Mandiri 2.7 ...........................................................................................................

114

BAB 3. TURUNAN 3.1 Garis Singgung dan Kecepatan sesaat .............................................................................

115

Garis Singgung ......................................................................................................................

115

Kecepatan sesaat...................................................................................................................

118


120

Latihan Mandiri 3.1 ............................................................................................................

120

3.2 Turunan ....................................................................................................................................

122

v

Definisi Turunan..................................................................................................................

122

Notasi-Notasi Lain untuk Turunan ...............................................................................

122


125

Latihan Mandiri 3.2 ............................................................................................................

127

3.3 Turunan Sepihak .....................................................................................................................

129

Definisi Turunan Kanan ....................................................................................................

129

Definisi Turunan Kiri .........................................................................................................

129

Keterdiferensialan dan Kekontinuan ............................................................................

129


132

Latihan Mandiri 3.3 ............................................................................................................

133

3.4 Aturan Pencarian Turunan ..................................................................................................

138

Turunan Fungsi Konstanta ...............................................................................................

138

n

Turunan Fungsi f(x) = x ...................................................................................................

138

Turunan Fungsi Hasil Kali Konstanta dengan suatu fungsi, cf(x).......................

139

Turunan Jumlah Dua Fungsi, f(x) + g(x) .....................................................................

139

Turunan Hasil Kali Dua Fungsi, f(x)g(x) .....................................................................

139

() ............................................................................ ()

140


142

Latihan Mandiri 3.4 ............................................................................................................

143

3.5 Turunan Fungsi Trigonometri ............................................................................................

146

Turunan y = sin x .................................................................................................................

146

Turunan y = cos x ................................................................................................................

147

Turunan y = tan x ................................................................................................................

147

Turunan y = cot x.................................................................................................................

147

Turunan y = sec x ................................................................................................................

147

Turunan y = cosec x ............................................................................................................

148


149

Latihan Mandiri 3.5 ............................................................................................................

150

3.6 Aturan Rantai............................................................................................................................

152


153

Latihan Mandiri 3.6 ............................................................................................................

155

3.7 Turunan Tingkat Tinggi ........................................................................................................

157


159

Latihan Mandiri 3.7 .............................................................................................................

161

Turunan Hasil Bagi Dua Fungsi,

vi

3.8 Diferensial Implisit.................................................................................................................

162

Latihan Terbimbing 3.8......................................................................................................

164

Latihan Mandiri 3.8 ............................................................................................................

165

3.9 Laju Berkaitan ...........................................................................................................................

167


170

Latihan Mandiri 3.9 .............................................................................................................

171

BAB 4 PENGGUNAAN TURUNAN 4.1 Maksimum dan Minimum ....................................................................................................

175

Definisi Maksimum/Minimum ........................................................................................

176

Keberadaan Maksimum/Minimum................................................................................

178

Lokasi Maksimum/ Minimum ........................................................................................

178


182

Latihan Mandiri 4.1 ...........................................................................................................

185

4.2 Teorema Roole dan Teorema Rata-Rata ..........................................................................

191

Teorema Roole ......................................................................................................................

191

Teorema Nilai Rata-rata ...................................................................................................

193

Latihan Terbimbing 4.2 ...................................................................................................

195

Latihan Mandiri 4.2 ...........................................................................................................

196

4.3 Fungsi Naik dan Fungsi Turun Serta Uji Turunan Pertama .................................

198

Definisi Fungsi Naik/Turun .............................................................................................

199

Sifat Kemonotonan Fungsi................................................................................................

199


200

Ekstrim Lokal ........................................................................................................................

201

Pengujian Ekstrim Lokal ...................................................................................................

202


205

Latihan Mandiri 4.3 ...........................................................................................................

206

4.4 Kecekungan dan Titik Belok ...............................................................................................

210

Latihan Terbimbing 4.5 ...................................................................................................

214

Latihan Mandiri 4.4 .........................................................................................................

214

4.5 Uji Turunan kedua untuk Ekstrim Lokal ........................................................................

218

Latihan Terbimbing 4.6 ..................................................................................................

222

Latihan Mandiri 4.5 .........................................................................................................

223

4.6 Asimtot Grafik..........................................................................................................................

226

vii

Asimtot Tegak ......................................................................................................................

226

Asimtot Datar .......................................................................................................................

227

Asimtot Miring ....................................................................................................................

227


232

Latihan Mandiri 4.6...........................................................................................................

233

4.7 Aplikasi Untuk Menggambar Grafik ................................................................................

236


240

Latihan Mandiri 4.7 ..........................................................................................................

242

REFERENSI KUNCI JAWABAN LATIHAN MANDIRI

viii

.

Petunjuk Petunjuk Belajar

S

ebelum mempelajari buku kerja ini perhatikan terlebih dahulu petunjuk belajar berikut:

1. Baca dan pahami cara kerja yang ada pada buku ini secara berurutan sehingga memudahkan anda dalam memahani konsep yang disajikan. 2. Isilah bagian yang kosong sesuai dengan arahan yang diberikan. 3. Jika Anda terkendala pada suatu bagian dalam buku ini, ulangilah membacanya dengan cermat dan berulang-ulang, atau mintalah bimbingan dari dosen. 4. Kerjakan latihan terbimbing dengan mengikuti petunjuk pengerjaan yang diberikan pada setiap latihan yang diberikan 5. Kerjakan latihan yang tersedia secara mandiri. Jika anda mengalami kesulitan, pedomanilah contoh soal yang ada.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi

1. SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI

P

ada bagian ini, Anda akan mempelajari mengenai sistem bilangan riil. Sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya merupakan dasar dalam kalkulus. Sebelum membicarakan sistem bilangan riil tersebut terlebih dahulu dibicarakan bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional dan

bilangan irrasional. Tentu hal ini sudah pernah dipelajari di sekolah dasar maupun menengah. Buku kerja ini akan membimbing Anda dalam menentukan konsep dan operasi bilangan riil, mencari bilangan diantara dua bilangan riil serta menggunakan aturan pertidaksaman untuk menyelesaikan soal-soalnya. Kompetensi Utama

Mahasiswa mampu memahami konsep fungsi. Kompetensi Penunjang

Mahasiswa dapat menentukan sifat bilangan riil, menentukan bilangan rasional, menentukan himpunan penyelesaian ketaksamaan, ketaksamaan mutlak dan dapat mensketsa grafik fungsi. 1.1 Sistem Bilangan Riil Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Tetapi apakah bilangan riil itu? dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, Anda mulai dengan mengenal sistem bilangan yang tentu sudah Anda kenal seperti barisan bilangan (1) 1, 2, 3, …

(1)

1

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Kumpulan bilangan (1) biasanya dinotasikan dengan ℕ, yang sudah Anda kenal sebagai himpunan bilangan asli. sli Dengan bilangan ini Anda dapat menghitung banyak buku, teman, ataupun uang yang Anda miliki. Kemudian, jika bilangan (1) digabungkan dengan barisan bilangan negatifnya dan nol maka terbentuk barisan bilangan (2), yaitu -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

(2)

Notasikan bilangan (2) dengan ℤ, ℤ sudah Anda kenal sebagai himpunan bilangan bulat. bulat

Selanjutnya, misalkan Anda berkepentingan mengukur berat badan anggota keluarga Anda. Anda mungkin menemukan bilangan-bilangan berikut (dalam satuan kg) 50 ;

45,5 ;

60,75

(3)

Perhatikan bilangan (3), mungkin saja ditemukan bilangan-bilangan yang tidak ada pada (2). Bilangan-bilangan pada (3) dapat dinyatakan menjadi hasil bagi dua bilangan, yaitu 50 =

;

45,5 =

;

60,75 =

(4)

Jadi, bilamana Anda mencoba mengukur panjang, berat, atau tegangan listrik, bilanganbilangan (2) tidak memadai. Bilangan ini terlalu memberikan ketelitian yang cukup. Sehingga diperlukan pertimbangan hasil bagi (rasio) dari bilangan (2) seperti bilangan (4). Yang selanjutnya disebut bilangan Rasional. Rasional Himpunannya disebut himpunan bilangan rasional, disimbolkan dengan Q. Untuk mendefinisikan Q secara tepat, terlebih dahulu lakukan perhitungan pembagian

,

atau

(a

bilangan bulat sebarang) dengan

menggunakan Kalkulator. Apa yang tertera pada Kalkulator Anda? Menurut Anda, apa penyebabnya sehingga Anda tidak menemukan hasilnya?

2

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Jadi perlu diingat, jangan sekali-kali membagi dengan ____ ! Sekarang Anda sudah dapat mendefinisikan bilangan rasional secara tepat, yaitu

Q=…

Sekarang, apakah bilangan-bilangan dalam Q berfungsi mengukur semua panjang? Perhatikan Gambar 1.1 berikut:

2

1 1 Gambar 1.1

2 merupakan panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku dengan sisi-sisi 1. Jika

digunakan Kalkulator maka diperoleh

2 = 1,4142135623 … ,

yang mempunyai desimal yang tidak berulang sehingga 2 tidak dapat dinyatakan sebagai suatu hasil bagi dari dua bilangan bulat (segera pada bagian berikutnya Anda mengetahui tentang alasannya). Jadi 2 bukanlah anggota himpunan bilangan rasional. Himpunan bilangan seperti ini yang disebut dengan bilangan irrasional dinotasikan \ .

Gabungan bilangan-bilangan rasional dan irrasional disebut himpunan bilangan

riil dinotasikan dengan . Dari yang telah dipaparkan, terdapat lambang-lambang baku

notasi bilangan yaitu ℕ, ℤ, Q, ℛ\, dan ℛ.. Tuliskan kembali himpunan-himpunan

bilangan itu dengan memaparkan anggotanya dalam notasi himpunan.

ℕ = …………………………………………………………………………………………

ℤ = …………………………………………………………………………………………

Q =…………………………………………………………………………………………

3

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Perhatikan bahwa himpunan bilangan itu merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan lainnya, jelas bahwa

ℕ ⊂ ___ ⊂ ___ ⊂ ___

DESIMAL BERULANG DAN TAK BERULANG. BERULANG.

Untuk memahami bilangan desimal yang

merupakan bilangan rasional ataupun bilangan desimal yang merupakan bilangan irrasional perhatikan beberap contoh pada Tabel 1: Tabel 1.1 1.1 Contoh Bilangan rasional dan Irrasional

2,123456789…

Hasil dalam bentuk ! 1 4 1 4 2132 999 10 9 -

1,12131415…

-

Contoh Bilangan 0,25 0,25000… 2,134134134… 1,11111…

Keterangan Bilangan rasional Bilangan rasional Bilangan rasional Bilangan rasional Blangan Irrasional Bilangan Irrasional

Perhatikan contoh-contoh pada Tabel abel 1.1. Fokuskan pengamatan Anda terhadap bilangan yang desimalnya berulang (meskipun tidak berhenti). Amati juga bilangan irrasional dari desimalnya juga. Apakah desimal bilangan irrasional berhenti?apakah desimalnya berulang? Simpulkan pengamatan Anda terhadap bilangan rasional dan irrasional jika dipandang dari desimalnya pada kolom berikut

4

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Contoh 1.1 Perlihatkan bahwa x = 1.203203203….. adalah bilangan rasional! Penyelesaian. Kurangkan x dari 1000x, dan kemudian hitung x 1000x = 1203,203203 . . .

x =

1,203203 . . .

999x = 1202

#=

Maka x = 1.203203203….. disebut bilangan rasional. KEPADATAN. KEPADATAN. Sekarang ambil dua bilangan riil, misalkan saja 2 dan 4 . Ambillah sebuah bilangan antara bilangan 2 dan 4 ini.

Ambillah lagi antara 2 dan _____ (bilangan yang diambil pertama) sebuah bilangan lagi yaitu

Lakukan beberapa kali pengambilan bilangan antara 2 dan bilangan terakhir yang Anda ambil. Apakah selalu ada bilangan yang Anda ambil itu? __________. Apakah antara dua bilangan riil terdapat bilangan riil lainnya?____________. Apakah bilangan itu jumlahnya tak terhingga?____________. Perhatikan bahwa ada banyak sekali bilangan rill yang terdapat antara dua bilangan rill. Situasi inilah yang disebut padat di sepanjang garis rill. Coba Anda simpulkan tentang sifat ini

5

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi URUTAN. sifat urutan bilangan riil, menurunkan suatu konsep yang membandingkan antara bilangan riil. Sehingga diperoleh suatu bilangan riil lebih dari atau kurang dari bilangan riil lainnya. Untuk memahami ini, buatlah sebuah garis bilangan riil

Perhatikan garis bilangan riil yang Anda buat, bilangan riil bukan 0 dipisahkan sama besar menjadi dua himpunan bilangan terpisah. Misalkan diketahui dua bilangan riil x dan y. Ada tiga kemungkinan dari x dan y, yaitu: x lebih kecil dari y , ___________________, atau ___________. Ini adalah salah satu Sifat urutan bilangan riil. Agar lebih jelas, lengkapilah pernyataan berikut: (1)

Trikotomi, jika a dan b adalah bilangan-bilangan riil maka tepat satu diantara yang berikut berlaku a < b atau ____ = ____ atau ____ > ____

(2)

Ketransitifan, jika a < b dan b < c, maka ____ < ___

(3)

Penambahan, jika a < b maka __ + c < __ + c

(4)

Perkalian,

a. Jika c > 0 dan a < b maka ____< ____ b. Jika c < 0 dan a < b maka ____ > ____ Contoh 1.2 1.2. Mana dari pernyataan berikut yang benar? a. untuk semua x, x2 > 0

b. untuk semua x, x < 0 ⟹ x2 > 0 penyelesaian: a. salah. Jika dipilih x = 0, maka tidak benar bahwa x2 > 0 b. benar. Jika x < 0 maka x2 > 0

6

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBING 1.1 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan 1. Perlihatkan bahwa x = 0,399999….. adalah bilangan rasional! Petunjuk Pengerjaan: Pengerjaan Kurangkan x dari 1000x, dan kemudian hitung x sehingga diperoleh

x sebagai hasil bagi dua bilangan bulat, dengan demikian kita sudah menunjukkan x = 0,399999… merupakan bilangan rasional.

7

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 2. Apakah 2,123456789101112131415… rasional atau irrasional?(Anda seharusnya melihat suatu pola dalam barisan angka tersebut) Petunjuk pengerjaan: pengerjaan Perhatikan bilangan tersebut, pastikan apakah terdapat desimal berulang. Jika terdapat desimal berulang maka kita dapat menyatakan bilangan 2,123456789101112131415… sebagai hasil bagi dua bilangan bulat, Jika tidak, maka kita dapat memastikan bahwa bilangan tersebut adalah bilangan irrasional.

LATIHAN MANDIRI 1.1 1. Berikan bukti kebenaran untuk pernyataan berikut a. 3 adalah bilangan irrasional

b. jumlah dua bilangan rasional adalah bilangan rasional c. jika a < b maka % <

'(

< ).

Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...……………………………………………………………………………………………

8

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2. Selidiki apakah setiap pernyataan yang diberikan benar? Jika benar, buktikan kebenaran pernyataan tersebut. Tetapi jika salah berikan contoh penyangkal yang menyatakan bahwa pernyataan tersebut salah a. Jika a ≤ b maka a – 4 ≤ b – 4 b.

Jika a ≤ b maka a2 ≤ ab

Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

9

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 3. Ubahlah masing-masing desimal berulang berikut menjadi suatu hasil bagi dua bilangan bulat a. 2,56565656…..

b. 0,21717171…..

c. 3,92929292…..

Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………...…………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………...…………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………...…………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………...…………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………...……………………

10

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 1.2

Pertidaksamaan Pada urutan bilangan riil, telah diketahui bahwa antara dua bilangan riil tepat satu

antara “ = ”, atau “ < “ atau “ >” berlaku. Tanda “ = “ memberikan ciri pada persamaan. Tanda

“ <”, atau “ >” atau “ ≥ ” atau “ < ” atau “≤ “ berhubungan dengan pertidaksamaan. Jadi apa

yang disebut pertidaksamaan?

Perhatikan Gambar 1.2

Suatu titik pada sumbu dipilih untuk menyatakan bilangan 0, sebut titik asal. Pilihlah satu satuan jarak. Negatif dua (-2) misalnya adalah menyatakan suatu titik yang berjarak 2 satuan dari kiri ke titik asal, dan positif 1 menyatakan suatu titik yang berjarak 1 satuan ke kanan dari titik asal. Jadi setiap bilangan positif x1 dinyatakan oleh suatu titik yang berjarak ________________________________ dan setiap negatif x2 dinyatakan oleh suatu titik yang berjarak ____________________________. Perhatikan bahwa jika dipilih dua bilangan katakanlah a dan b , jika a < b maka titik a berada di sebelah _____ titik b. Sebaliknya juga, jika a > b maka titik a berada di sebelah ______ titik b. INTERVAL TERTUTUP DAN TERBUKA. Pertidaksamaan -2 < x < 1 mempunyai arti yang sama dengan -2 < x dan x < 1, yang menunjukkan interval terbuka yang terdiri dari semua bilangan antara -2 dan 1 tidak termasuk titik-titik ujung -2 dan 1. Dinyatakan

interval ini dengan notasi (-2,1). Sebaliknya, -2 ≤ x ≤ 1 berarti interval tertutup yang

11

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi mencakup titik-titik antara -2 dan 1 termasuk 2 dan1, yang dinyatakan dengan [-2, 1]. Lengkapi Tabel 1.2 yang menunjukkan berbagai kemungkinan interval. Tabel 1.2. 1.2. JenisJenis-Jenis Interval Penulisan Himpunan

{x: a < x < b}

Penulisan Interval

Grafik

(a, b)

{x: a ≤ x ≤ b}

{x: a < x ≤ b} {x: x ≤ b}

{x: x < b} {x: x ≥ %} {x: x > a}

ℝ HatiHati-hati: −∞ dan ∞ bukan bilangan riil, jadi

tidak pernah termasuk dalam subset

bilangan riil

MENYELESAIKAN PERTIDAKSAMAAN. Menyelesaiakan suatu pertidaksamaan

adalah

mencari semua himpunan bilangan riil yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan penyelesaian tersebut dapat dituliskan dalam bentuk notasi himpunan atau dalam notasi interval.

12

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Contoh 1.3 1.3. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 7x – 2 ≤ 9x + 3. Penyelesaian.

7x – 2 ≤ 9x + 3

⟺ 7x – 2 + 2 ≤ 9x + 3 + 2

9x ⟺ – 2x ≤ 5 ⟺ – 2x

0− 1

≥ 5.

0− 1

⟺ 7x ≤ 9x + 5 ⟺ 7x – 9x ≤ 9x + 5 –

⟺

x ≥ .−

Jadi Himpunan penyelesaian dari 7x – 2 ≤ 9x + 3 adalah HP = 23−2 , +∞1 = 5#: # ≥ . − 8

Contoh 1.4 1.4. Selesaikan pertidaksamaan -5 < 2x + 6 < 4 Penyelesaian.

-5 < 2x + 6 < 4 ⟺

-5 -6 < 2x + 6 - 6 < 4 – 6 ⟺ -11 < 2x < -2 ⟺ −

Jadi Himpunan penyelesaian dari -5 < 2x + 6 < 4 adalah HP = 5#: − Contoh 1.5. 1.5. Tentukan himpunan jawab pertaksamaan

9

<5

# < −18

< x < -1

Penyelesaian. Perhatikan pertaksamaan tersebut, jangan pernah sekali-kali mengali dengan

x karena x belum diketahui bernilai negatif atau positif. Jadi lebih baik kita nolkan salah satu ruas.

−5<0

9

: 9 9

<0

Titik-titik pembuat nol # =

dan x = 0 . Ambil titik-titik uji misalnya x = 2, x =1 dan x = -1

Jadi Himpunan penyelesaian dari 9 5

atau # < 08

9

< 5 adalah HP = 2(−∞, 0) ∪ ( , +∞1 = 5#: # >

Contoh 1.6 1.6. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2- x ≥ 6 Penyelesaian.

x2- x ≥ 6 ⟺ x2- x – 6 ≥ 0 ⟺ (x-3)(x+2) ≥ 0

13

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Titik-titik pembuat nol adalah x = 3 dan x = -2. Misalkan ambil titik uji x = 4, x = 0 dan x = -3

Jadi penyelesaian dari x2- x ≥ 6 adalah HP = 233, +∞) ∪ (−∞, −2] = C#: # ≥ 3 atau # ≤ −2D

Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini, terutama bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan.

LATIHAN TERBIMBING 1.2 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan 1. Selesaikan

9: 9'

≥ 0

Petunjuk Pengerjaan: Perhatikan pembuat nol. Gunakan titik-titik uji. Hati-hati dengan bilangan penyebut, ingatlah bahwa penyebut tidak boleh 0. Sehingga diperoleh penyelesaian

14

9: 9'

≥ 0 adalah (−∞, −2) atau 31, +∞2)

.


2. Selesaikan < # + 1 9

Petunjuk Pengerjaan: Jangan sekali-kali mengali kedua ruas dengan x, karena x belum

diketahui bilangan positif atau bilangan negatif, sehingga akan mengaburkan tanda pertidaksamaan. Tambahkan setiap ruas dengan –( x + 1), kemudian samakan penyebut sehingga diperoleh bentuk

−#2 : 9 ' 9

< 0, selanjutnya dengan cara yang sama pada

petunjuk pengerjaan pada latihan (1) diperoleh himpunan penyelesaian

(-2,0) atau (1, +∞)

9

< # + 1 adalah

15

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 3. Selesaikan 3x + 1 < x < 2x +1 Petunjuk Pengerjaan: Perhatikan bahwa pertidaksamaan a < b < c mempunyai makna yang sama dengan

a < b

dan

b < c.

Dengan menggunakan sifat ini pertidaksamaan

3x + 1 < x < 2x +1 mempunyai makna yang sama dengan 3x + 1 < x dan x < 2x +1. 1

Sehingga diperoleh penyelesaian 0−1, − 21

LATIHAN MANDIRI 1.2 Dari soal nomor 1 sampai dengan 6 berikut, tentukan himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan yang diberikan 1. 5x + 2 > x – 6 Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

16

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 2. 3 ≤ 2# − 3 ≤ 13 Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

3. 2 + x > -3 - 3x ≥ −7

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 4.

9'

<

9:

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

17

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 5.

(x -3)(x+5) > 0

Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 6. 1 – x – 2x2 ≥ 0 Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 7. Tentukan semua nilai x sehingga bilangan E#2 + 2# − 1 riil

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

18

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 2 8. Tentukan semua nilai x sehingga bilangan E2# + 5# − 3 riil

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 1.3 Nilai Mutlak Perhatikan ilustrasi pada Gambar 1.3

Kita dapat dengan mudah menentukan jarak antara -3 dan 0, yaitu _____ dan jarak antara 3 dan 0 yaitu ____. Kita dapat menyimpulkan bahwa jarak antara -3 dan 0 sama dengan jarak antara 3 dan 0. Jarak ini selalu bernilai positif. Begitu juga jarak antara dua -2 dan 4, perhatikan Gambar 1.4

19

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Jarak antara -2 dan 4 adalah ____. Secara umum, jarak antara dua bilangan sebarang x dan a selalu bernilai positif. Berapakah nilainya?

Jadi jarak antara dua bilangan x dan a dapat ditulis sebagai F# − %F, dan jarak antara x

dan titik asal dapat dituliskan sebagai F#F selalu bernilai positif. Jarak inilah yang disebut

sebagai nilai mutlak. Jadi nilai mutlak F#Fdapat didefinisikan sebagai

F#F = G

# jika # ≥ 02 −# jika # < 0

SIFATSIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK. MUTLAK. Nilai mutlak tidak menimbulkan masalah dalam proses perkalian dan pembagian, tetapi tidak begitu dalam proses penambahan dan pengurangan. Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut:

1. F#F = FKF jika dan hanya jika F#F = ± K dan x2 = y2.

2. Jika a > 0 maka

a. F#F ≤ % jika dan hanya jika −% ≤ # ≤ % dan x2 ≤ a2

b. F#F ≥ % jika dan hanya jika x ≥ a atau x ≤ −% dan x2 ≥ a2

3. Untuk setiap bilangan riil x dan y berlaku a. F#KF = F#FFKF 9

F9F

b. MNM = FNF, y ≠ 0

4. Untuk setiap bilangan riil x dan y berlaku a. F# + KF ≤ F#F + FKF

b. F# − KF ≤ F#F + FKF

20

c. F#F − FKF ≤ F# − KF

d. PF#F − FKFP ≤ F# − KF

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Contoh 1.7 1.7. Selesaikan persamaan F3# + 2F = 5 Penyelesaian

(3x + 2)2 = 25

9x2 + 12x +4 = 25 9x2 + 12x – 21 = 0 3x2 + 4x - 7 = 0 (3x + 7)(x - 1) = 0 x = 7/3 atau x =1 Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini, terutama mengenai nilai mutlak.

LATIHAN TERBIMBING 1.3 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan. pengerjaan. 1. Selesaikan persamaan F2# − 1F = F4# + 3F

Petunjuk Pengerjaan: Kuadratkan kedua ruas, nolkan salah satu ruas sehingga diperoleh sebuah persamaan kuadrat, dan selesaikan persamaan itu

21

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 2. Selesaikan persamaan F5# + 4F = −5

Petunjuk Pengerjaan: Perhatikan persamaan tersebut, ingatlah bahwa nilai mutlak menunjukkan jarak (selalu bernilai positi). Apa yang dapat Anda simpulkan.

MUTLAK.. Secara umum MENGUBAH ALJABAR KE BENTUK YANG TIDAK MEMUAT NILAI MUTLAK untuk mengubah bentuk aljabar ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak adalah dengan menggunakan sifat-sifat nilai mutlak yang telah Anda pelajari. Perhatikan Contoh 1.8. Contoh 1.8 1.8. Berdasarkan definisi nilai mutlak ubahlah F# − 5F ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak.

Penyelesaian.

F# − 5F = G

# − 5 jika # − 5 ≥ 0 2 −(# − 5) jika # − 5 < 0

=G

# − 5 jika # ≥ 52 5 − # jika # < 5

LATIHAN TERBIMBING 1.4 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan. 1. Ubahlah F5 − 10#F ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak.

Petunjuk Pengerjaan: Gunakan definisi nilai mutlak untuk mengubah bentuk aljabar ke yang tidak memuat nilai mutlak.

22

.


2. Ubahlah bentuk aljabar f(x) = 3F#F + F# − 2F ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak.

Petunjuk Pengerjaan: Ubahlah secara terpisah 3F#F dan F# + 2F. Perhatikan bahwa bentuk pertama nilai mutlak berganti tanda di x = 0 dan bentuk kedua berganti tanda di x = 2. ,

dengan batas ini bentuklah garis bilangan sehingga kita punya tiga selang bagian. Gunakan batas ketiga selang ini untuk menghitung bentuk aljabarnya sehingga diperoleh −4# + 2 jika # < 0 jika 0 ≤ # < 2 2 Q(#) = R 2# + 2 4# − 2 jika # ≥ 2

23

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK. Untuk memahami bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak, perhatikan ilustrasi berikut: Selesaikan F2# + 8F < 5.

Cara I., I Dengan menggunakan sifat nilai mutlak pertidaksamaan F2# + 8F < 5 dapat diubah

menjadi -5 < 2x + 8 < 5 sehingga diperoleh − Cara II. II Perhatikan bahwa F2# + 8F = G

bentuk ini . selesaikan satu persatu. Kasus 1, 1 x ≥ -4,

< x < −

2# + 8 jika # ≥ −4 2 , dengan memperhatikan −(2# + 8) jika # < −4

dipunyai 2# + 8 < 5 yang mempunyai penyelesaian x < − , ,jadi

V

penyelesaiannya adalah irisan antara x ≥ -4 dan x < − yaitu −T ≤ U < − W.

Kasus 2, 2 x < -4 , dipunyai -2x – 8 < 5 yang mempunyai penyelesaian x > − penyelesaiannya adalah

irisan antara x < -4

dan x > −

yaitu −

XV W

,

jadi

< # < −4..

Penyelesaian F2# + 8F < 5 merupakan gabungan dari penyelesaian dari kasus 1 dan dari kasus 2, sehingga diperoleh −

< x < −

Dari dua cara ini, buatlah kesimpulan bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak

24

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Contoh 1.9. 1.9. Tentukan penyelesaian dari F3# + 2F > 6

Penyelesaian. Dari sifat nlai mutlak, pertaksamaan F3# + 2F > 6 dipenuhi jika 3x+2 > 6

atau 3x + 2 < -6, sehingga dipunyai x > atau x < - . Jadi Penyelesaian dari F3# + 2F >

Y

6 adalah { x : x > atau x < - }

Contoh 1.10. 1.10. F# − 2F < 2# + 1

Y

Penyelesaian. Perhatikan dengan seksama pertidaksamaan tersebut, Pertidaksamaan ini

hanya bisa kita selesaikan dengan mengubah ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak. (Kenapa?)

# − 2 untuk # ≥ 22 F# − 2F = 5 2 − # untuk # < 2

Jika # ≥ 2, maka dipunyai x – 2 < 2x + 1 yang dipenuhi oleh x > 3.. Karena hanya untuk # ≥ 2 maka penyelesaian dari kasus ini adalah x > 3.

Jika x < 2 maka dipunyai 2 – x < 2x + 1 yang dipenuhi oleh x > . Karena hanya untuk

x < 2 maka penyelesaian dari kasus ini adalah

< x < 2.

Jadi penyelesaian dari F# − 2F < 2# + 1 adalah { x: x > 3 atau

<x<2}

Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

25

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi LATIHAN TERBIMBING 1.5 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan

1. F# − 5F ≤ 4 Petunjuk Pengerjaan: Gunakan sifat nilai mutlak, atau bisa juga dengan mengubah bentuk ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak.

2. 2# − 7 < F# + 1F Petunjuk Pengerjaan : hati-hati! Jangan menggunakan sifat nilai mutlak karena itu akan menjebak penyelesaian kita. Ubahlah F# + 1F bentuk yang tidak memuat nilai mutlak,

kemudian selesaikan dengan menggunakan konsep pertidaksamaan

26

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 3. F8 − 3#F ≥ F2#F Petunjuk Pengerjaan: kuadratkan kedua ruas (hal ini dibolehkan karena tanda nilai mutlak telah menjamin bahwa keduanya tidak mungkin negatif)

4. F# − 2F + 2F2# + 3F > 2 Petunjuk Pengerjaan: Ubahlah ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak, dan selesaikan kasus demi kasus.

27

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi LATIHAN MANDIRI 1.3 Untuk nomor 1 sampai dengan 3 berikut, ubahlah setiap bentuk yang diberikan ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak 1. 2F#F + F# + 3F 2. F#F + F# + 1F − F2# + 6F 3. F2F#F − # F Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

28

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Untuk nomor 4 sampai dengan 12 berikut, selesaikan pertidaksamaan tersebut 4. F# + 4F < 7

5. F2# − 5F > 3

6. F2# + 3F ≤ F# − 3F 9:

9'

7. M9'M ≤ M9:M

8. P#2 − #P ≤ 2

9. #F#F < # − 2

10. 3F#F + 2F# − 1F ≤ 7

11. (3# + 2) − 6F3# + 2F + 8 ≥ 0 12. (2# − 5) − 3F2# − 5F > 10

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

29

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

30

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

31

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 1.4

Sistem Koordinat Cartesius Gambarlah dua garis riil, satu mendatar dan satu tegak, sedemikian rupa sehingga

keduanya berpotongan pada titik-titik nol dari kedua garis tersebut. Berilah nama garis mendatar tersebut dengan sumbusumbu-y, dan perpotongan sumbu-x dan garis tegak dengan sumbukedua garis itu dengan nama titik asal O.

Dari gambar bidang yang dibuat, ada ________ bagian daerah yang dapat kita temukan. Berilah masing-masing daerah itu dengan nama Kuadran I, Kuadran II, Kuadran III, dan Kuadran IV. Kuadran I merupakan bidang yang diwakili oleh bagian sumbu-x positif dan y positif, Kuadran II diwakili oleh bagian _______________________, Kuadran III diwakili oleh bagian __________________________________, dan Kuadran IV diwakili oleh bagian _________________________________. Selanjutnya ambillah sebuah titik sebarang pada bidang itu, misalnya titik P. Misalkan Titik P diwakili oleh pasangan terurut (x,y). Nilai x mewakili nilai yang diambil dari garis mendatar (sumbu-x) dan nilai y diambil dari garis tegak (sumbu-y). Pada setiap pasangan terurut (x,y), x disebut absis dan y disebut ordinat. ordinat Pasangan itulah yang biasa disebut dengan koordinat kartesius. Jadi setiap pasangan terurut bilangan

(a,b) dapat digambarkan sebagai sebuah titik pada koordinat tersebut dan sebaliknya setiap titik pada bidang koordinat Kartesius berkorespondensi dengan satu buah pasangan bilangan (b,a). Himpunan semua pasangan bilangan terurut riil (x,y) dinamakan bidang yang dinyatakan dengan R2.

32

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Buatlah definisi untuk beberapa istilah pada Tabel 1.3: Tabel 1.3 Sumbu-x Sumbu-y Titik asal Absis Ordinat Koordinat Kartesius Bidang R2 Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN MANDIRI 1.4 Dalam soal-soal 1-4, gambarkan titik-titik yang diberikan dalam bidang koordinat 1. P(4,5), Q (2,3)

3. P(-4,5), Q (2,3)

2. P(4,5), Q (-2,3)

4. P(4,-5), Q (2,-3)

Penyelesaian

33


Dalam Soal 5 – 8, gambarlah titik P sehingga titik-titik berikut dapat digambarkan a. Titik Q sehingga garis yang melalui Q dan P tegak lurus ke sumbu x dan terbagi dua olehnya. Berikan koordinat titik Q. b. Titik R sehingga garis yang melalui P dan R tegak lurus ke sumbu y dan dibagi dua olehnya. Berikan koordinat titik R. c. Titik S sehingga garis yang melalui P dan S terbagi dua oleh titik asal. Berikan koordinat

S. 5. P(1,-2)

7. P(-1,-3)

6. P(-2,2)

8. P(0,-3)

34

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Penyelesaian

1.5

Grafik Persamaan Perhatikan persamaan y = x2- 4. Tuliskan dan lengkapilah beberapa titik-titik yang

memenuhi y = x2- 4 pada Tabel 1.4: Tabel 1.4 1.4. Beberapa pasangan titik yang memenuhi y = x2- 4

X

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Y

…

…

…

…

…

…

…

…

35

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Pasangan terurut (x,y) ini memenuhi persamaan itu. Ini berarti himpunan (x,y) merupakan himpunan penyelesaiannya pada bidang R2. Sekarang, plotlah pasangan titik itu pada sistem koordinat Kartesius, ingatlah bahwa persamaan tersebut adalah persamaan kuadrat yang grafiknya berbentuk parabola. Perkirakan sebuah kurva mulus mewakili persamaan itu.

Perhatikan bahwa grafik itu merupakan himpunan seluruh penyelesaian (x,y) yang memenuhi persamaan y = x2- 4.. Jadi, grafik suatu persamaan di R2 adalah ________________________________________________________________ Contoh 1.11. 1.11. Gambarkan sketsa grafik persamaan y = # + 4

Penyelesaian.

Persamaan y = # + 4 tak negatif. Nilai y tak

y

negatif, karena itu grafik persamaannya

berada

di

atas

sumbu

x.

Grafik

persamaannya diberikan pada Gambar 5 Contoh.

1.12

Gambarkan

persamaan y = −# + 4

sketsa

4

grafik

x

Gambar 1.5

y

Penyelesaian

Persamaan y = -# + 4

negatif. Nilai y

4

x

negatif, karena itu grafik persamaannya

berada

di bawah sumbu x. Grafik

persamaanya diberikan pada Gambar 6

36

Gambar 1.6

.


LATIHAN TERBIMBING 1.6 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan 1. Sketsalah grafik persamaan y2- x – 4 = 0 Petunjuk Pengerjaan: Perhatikan bahwa persamaan dapat dibuat dalam y2 = x + 4, oleh karena itu grafik persamaannya merupakan gabungan dari grafik pada Contoh 1.11 dan Contoh 1.12

37

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 2. Sketsalah grafik persamaan K = F# + 1F

Petunjuk Pengerjaan: Dari definisi nilai mutlak suatu bilangan diperoleh F# + 1F = G

# + 1 jika # ≥ −12 −# − 1 jika # < −1

Plotlah titik-titik yang memenuhi dua persamaan ini, perhatikan bahwa nilainya selalu positif.

3. Sketsalah grafik persamaan (x + y ) (y + x2) = 0 Petunjuk Pengerjaan: Menurut sifat bilangan riil ab = 0 jika dan hanya jika a = 0 atau b =

0, diperoleh (x + y) = 0 atau (y + x2) = 0. Koordinat yang memenuhi (x + y )(y + x2) = 0 akan selalu memenuhi (x + y ) = 0 dan (y + x2) = 0. Karena itu grafik persamaan terdiri dari dua grafik yaitu grafik (x + y) = 0 dan (y + x2) = 0.

38

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi LATIHAN MANDIRI 1.5 Untuk soal 1-10, sketsalah grafik setiap persamaan 1. y = 2x + 5

2. y = F# − 5F.

3. y = 5

4. x = -4 Penyelesaian

5. y = F#F -5 6. y = 4 + x2 7. y = 2#

9. (2x + y -1) (y + x2) = 0. 10. y2 = x

8. y =- 4 − #

39


40

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 11. a. Tuliskan persamaan yang grafiknya berimpit dengan sumbu-x. b. Tuliskan persamaan yang grafiknya berimpit dengan sumbu-y c. Tuliskan suatu persamaan yang grafiknya adalah himpunan semua titik yang terletak pada sumbu x atau sumbu y. Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 12. a. Tuliskan persamaan yang grafiknya terdiri dari semua titik yang absisnya 5 b. Tuliskan persamaan yang grafiknya terdiri dari semua titik yang ordinatnya -4. Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 1.6

Rumus Jarak, Lingkaran, dan Persamaan Garis.

RUMUS JARAK. JARAK. Sekarang Anda sudah memahami koordinat. Berdasarkan ini akan menentukan jarak antara dua titik. Perhatikan gambar berikut:

Gambar 1.7

Gambar 1.8

41

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Berdasarkan Teorema Pyhtagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat sisi miring dari sebuah sisi segitiga siku-siku adalah jumlah kuadrat dari sisi-sisi lainnya, maka jarak antara titik

(a,b) dan titik asal, yang diwakili oleh c adalah c = …. Sekarang, bagaimana jarak antara dua titik sebarang P(x1,y1) dan Q(x2,y2)

? Untuk

menjawabnya, perhatikan ilustrasi pada Gambar 1.9 Perhatikan segitiga PQR , siku-siku di R..

QR = … PR = … Karena PQ merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku tersebut maka

PQ2 = … + … Sisi miring PQ, merupakan jarak antara titik

P dan titik Q.

Gambar 1. 9

Jadi jarak antara dua titik sebarang P(x1,y1) dan Q(x2,y2) . Rumus jarak dari titik P ke Q ditulis F[F adalah

F[F = ⋯

PERSAMAAN LINGKARAN LINGKARAN.. Anda mungkin sudah pernah mempelajari lingkaran. Suatu lingkaran adalah himpunan semua titik di bidang yang berjarak sama dari suatu titik tetap.

(x,y)

Titik tetap itu dinamakan titik pusat lingkaran, dan jarak yang sama dinamakan jarijari-jari. jari Bagaimana 1

bentuk

(2,1)

dari

persamaan

lingkaran?

Untuk

menjawabnya, perhatikan ilustrasi Gambar 1.10 , 2

Gambar 1.10

42

yang menyatakan sebuah lingkaran yang berjari-jari x

2 dan titik pusat (2,1). Berdasarkan rumus jarak, jarak titik pusat (2,1) dengan titik sebarang (x,y)

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi yang berada pada lingkaran adalah E(# − 2) + (K − 1) . Lingkaran mempunyai jari-jari sebesar 2, yang merupakan jarak antara titik (x,y) dan (2,1) maka lingkaran yang dimaksud

memenuhi persamaan E(# − 2) + (K − 1) = 2, atau (U − W)W + (] − X)W = T.. Apa yang dapat disimpulkan jika pusat lingkaran itu adalah (a,b) dan berjari-jari r? Persamaan lingkaran yang berjari-jari r dan titik pusat (a, b) adalah

PERSAMAAN GARIS. GARIS. Persamaan garis tentu sudah pernah Anda pelajari di sekolah dasar ataupun di sekolah menengah. Secara umum persamaan garis diberikan oleh

Ax + By + C = 0 dengan A, B, dan C konstanta-konstanta riil. Grafik persamaannya berbentuk garis lurus yang melalui dua pasangan titik (x,y). Untuk memahami persamaan garis lebih lanjut ikuti instruksi berikut: 1. Jika A = 0, persamaan garis berbentuk ______________. Buatlah grafiknya. Apa yang dapat Anda simpulkan?

2. Jika B = 0, persamaan berbentuk _________________. Buatlah grafiknya. Apa yang dapat Anda simpulkan?

43


3.

Jika A, B tak nol. Bagaimana bentuk grafiknya? Berapakah kemiringannya? Untuk menjawab ini kerjakan instruksi berikut ini

(i) Ambil A = 2, B = 1, dan C = 4 diperoleh persamaan 2x + y + 4 = 0 ⇔ K = −W# − 4. Kemiringannya (atau biasa disebut gradien) adalah m = -2.

(ii) Ambil A = 2, B = -1, dan C = 4 diperoleh persamaan 2x - y + 4 = 0 ⇔ K = W# + 4 Kemiringannya adalah m = 2

(iii) Ambil A = -2, B = -1, dan C = 4 diperoleh persamaan -2x - y + 4 = 0 ⇔ K = −W# + 4. Kemiringannya adalah m = -2

Sketsalah masing-masing grafik. Simpulkan perbedaan ketiga grafik itu

44

.


4. Misalkan diketahui dua garis y – 2x = 0 dan 2y + x = 0. Garis pertama mempunyai

gradien m1 = 2 dan garis kedua mempunyai gradien m2 = − . Hasil perkalian gradien

garis tersebut adalah m1m2 = -1, grafik kedua garis itu saling tegak lurus. Sketsalah

kedua garis tersebut pada satu bidang. Perhatikan grafiknya. Apa yang dapat Anda simpulkan tentang garis yang tegak lurus berkaitan dengan hasil kali gradiennya?

5. Misalkan diketahui dua garis y = 2x dan y = 2x +1. Gradien masing-masing garis itu, adalah m1 = 2 dan m2 = 2. Gradien kedua garis itu sama. Sketsalah dua garis itu pada satu bidang. Bagaimana bentuk grafik kedua garis itu. Simpulkan berdasarkan gradiennya

45


Contoh 1.13. Gambarlah grafik 2x + 3y = 4 dan -3x + y = 5 pada satu bidang. Apakah garis tersebut saling tegak lurus?

Penyelesaian. Garis 2x + 3y = 4 mempunyai kemiringan _ = −

dan garis -3x + y = 5

mempunyai kemiringan _ = 3. Kedua garis ini tidak saling tegak lurus. Grafik kedua

grafik diberikan oleh Gambar 1.11:

Gambar 1.11


46

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi LATIHAN MANDIRI 1.6 1. Tentukan panjang ruas garis suatu segitiga dengan titik sudut A(-3,5), B(2,4), dan

C(-1,4) Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2. Jika suatu titik ujung ruas garis adalah (-4,2) dan titik tengahnya (3,-1), tentukan koordinat ujung lainnya dari ruas garis itu. Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

47

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 3. Tentukan suatu persamaan lingkaran yang berpusat di (1,2) dan melalui titik (3,-1) Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 4. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut, kemudian gambarkan grafiknya a. x2 + y2 – 6x – 8y + 9 = 0 b. 2x2 + 2y2 – 2x + 2y - 7 = 0 Penyelesaian …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… ……………………………………………………

48

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 5. Tentukan persamaan garis dengan syarat yang diberikan: a. Kemiringannya 4 dan melalui titik (2,-3). b. Melalui titik (-2,7) dan (6,0) c. Melalui titik (1,4) dan sejajar dengan garis 2x – 5y + 7 = 0 d. Melalui titik (-3,-4) dan sejajar sumbu y. e. Melalui titik (1,-7) dan sejajar sumbu x. Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………. 6. Diketahui garis l dengan persamaan 2y -3x = 4 dan titik P(1,-3) . Tentukan persamaan garis yang melalui P dan tegakl lurus l Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

49

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 1.7 Fungsi dan Grafiknya. Konsep fungsi sangat berperan dalam Kalkulus. Topik dalam Kalkulus misalnya limit, kekontinuan, turunan maupun integral selalu melibatkan suatu fungsi. Oleh karena itu, konsep fungsi seperti daerah asal, daerah hasil, operasi-operasi pada fungsi, fungsi komposisi dan fungsi invers sangat diperlukan. PENGERTIAN PENGERTIAN DAN NOTASI FUNGSI. FUNGSI. Untuk memahami fungsi, perhatikan ilustrasi berikut: Misalkan A = {a, b, c} dan B = { 1, 2, 3, 4}. Jika kita hubungkan himpunan A ke himpunan B , maka kita dapatkan beberapa hubungan (relasi) di antaranya

Gambar 1.12

Gambar 1.12(i) dan (iii) menyatakan suatu fungsi dari A ke B, sedangkan Gambar 12 (ii) dan (iv) tidak menyatakan suatu fungsi dari A ke B. Perhatikan masing-masing gambar itu! Apa yang membedakannya? Pada Gambar 12 (i) dan (iii) setiap anggota A mempunyai relasi dengan tepat satu anggota B. Sedangkan Gambar (ii) ada anggota A yang tidak mempunyai relasi ke B. pada Gambar (iv) meskipun setiap anggota A telah mempunyai

50

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi relasi dengan anggota B tetapi ada anggota B yang mempunyai relasi lebih dari satu. Apa yang dapat Anda simpulkan tentang fungsi?

Fungsi dinotasikan dengan simbol huruf tunggal seperti f, g atau F. Penulisan y = f(x) berarti x elemen dari A, f(x) disebut aturan pemadanannya dan y elemen B yang merupakan pasangan dari x.. Bilangan x dan y adalah peubah. Karena untuk fungsi f nilainya dinyatakan dengan x , dan karena nilai y bergantung pada pemilihan x maka x adalah peubah bebas dan y peubah tak bebas. Contoh 1.14. 1.14. Pandanglah persamaan berikut sebagai persaman y yang bergantung pada x. Tentukanlah mana yang menyatakan fungsi! a.

y = # − 2

b. x2 + y2 = 25

c. xy3 = 1 d. y2 = x

Penyelesaian Dari persamaan itu, a dan c merupakan fungsi karena untuk setiap x dipasangkan dengan tepat satu nilai y. Sedangkan b dan d tidak. Oleh karena itu b dan d bukanlah fungsi. DAERAH ASAL (DOMAIN) DAN DAERAH HASIL (RANGE). (RANGE). Untuk menyebutkan suatu fungsi secara lengkap kita harus menyatakan daerah asal (domain) dari fungsi tersebut. Perhatikan ilustrasi berikut Ilustrasi 1. Diketahui fungsi f(x) = x2. Fungsi ini terdefinisi secara baik (well defined) pada seluruh bilangan riil., Hal ini berarti fungsi itu didefinisikan untuk setiap bilangan riil yang memenuhi persamaan f(x) = x2. Jadi domain fungsi tersebut adalah Df = {x: x ∈ ℛ } dan daerah hasil Rf = { y : y ≥ 0D. Grafik fungsinya diberikan pada Gambar 1.13

51

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Ilustrasi 2 . Diketahui fungsi f(x) = x2,

-1 < x < 1 . Berbeda dengan ilustrasi 1, fungsi ini

didefinisikan secara jelas pada -1 < x < 1. Oleh karena itu Df = { x : -1 < x < 1} dan daerah hasil Rf = { y : 0 < y < 1}. Grafik fungsi diberikan pada Gambar 1.14

Gambar 1.13

Gambar 1.14

Dari dua ilutrasi ini apa yang disebut dengan Domain fungsi f dan Range fungsi f?

Jika untuk sebuah fungsi daerah asalnya tidak disebutkan maka daerah asalnya adalah himpunan bilangan riil sehingga dimana fungsi tersebut well defined, daerah asal ini disebut daerah asal alami (natural domain). GRAFIK FUNGSI. FUNGSI. Sebagaimana grafik persamaan yang telah kita pelajari, grafik fungsi f merupakan himpunan titik-titik (x,y)

di R2 sehingga (x,y) merupakan pasangan terurut

dari f .

52

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Contoh 1.15. 1.15. Diketahui fungsi f(x) = x + 2. Tentukan daerah asal Df dan daerah hasil Rf serta grafik fungsi f. Penyelesaian Fungsi ini tidak menyebutkan domain secara

y

eksplisit, sehingga domain yang dimaksud adalah domain alami, yaitu Df

= {x : x ∈ aD, dan Rf = {y : y ∈ a } . Grafik

2

y = x+2

f diberikan pada Gambar 1.15

2

x Gambar 1.15

Contoh 1.16. 1.16. Diketahui fungsi f(x) = - # + 1 Tentukan daerah asal Df dan daerah hasil

Rf serta grafik fungsi f.

Penyelesaian Fungsi ini tidak menyebutkan domain secara

y

eksplisit, sehingga domain yang dimaksud adalah domain alami, yaitu yang membuat fungsi f terdefinisi, Jadi Df = {x : x ≥ −1D,

-1

dan Rf = {y : K ≤ 0 } . Grafik f diberikan

x

pada Gambar 1.16:

-1

y = - # + 1

Gambar 1.16

53


LATIHAN TERBIMBING 1.7 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan. Tentukan daerah asal Df dan daerah hasil Rf serta grafik fungsi f.

1.

y = f(x) = 9:

Petunjuk Pengerjaan:

Fungsi y =

9:

merupakan fungsi rasional. Fungsi rasional

didefinisikan dengan penyebut tidak boleh nol

54

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 2. y = f(x) = F#F

Petunjuk Pengerjaan. y = f(x) = F#F merupakan fungsi nilai mutlak, Anda sudah mempelajari

itu pada bagian 1.3. Mulailah dengan mengubah f ke bentuk yang tidak memuat tanda nilai mutlak. Perhatikan bahwa fungsinya terdiri dari dua fungsi linier. Plotlah titik-titik yang memenuhi fungsi itu, Anda akan memperoleh sebuah grafik yang seluruhnya berada di atas sumbu-x

#2 jika # ≥ 02

3. K = Q(#) = G

1 jika x < 0 Petunjuk Pengerjaan: Fungsi f didefinisikan pada seluruh bilangan riil, tetapi dibatasi oleh x

= 0. Sketsalah x2 untuk # ≥ 0 dan 1 untuk x < 0.

55

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 4. y = f(x) = c#d

Petunjuk Pengerjaan: Fungsi f menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau

sama dengan x. Grafiknya berupa fungsi tangga. Domain dari f adalah seluruh bilangan riil dan rangenya adalah himpunan bilangan bulat.

FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL Seringkali kita memperkirakan kesimetrian grafik suatu fungsi dengan memeriksa rumus fungsi tersebut. Hal ini akan mengantarkan kita ke definisi fungsi genap dan fungsi ganjil. Untuk memahami itu ikuti intruksi berikut pada tempat yang disediakan: 1. sketsa grafik f(x) = x2 dan g(x) = x

56

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 2. Perhatikan grafik f dan g yang Anda buat. Grafik f simetris terhadap ______________ dan Grafik g simeteris terhadap _____________ 3. Lengkapi Tabel 1.5 Tabel 1.3

X

-2

-1

1

2

a

-a

f(x)= x2 g(x) = x 4. Dari Tabel 1.3, diketahui bahwa

f(2) = ______ = _____, f(1) = ______= ______, f(a) = ______= ______ g(2) = ______ = _____, g(1) = ______= ______, g(a) = ______= ______ Fokuskan pada intruksi pada poin (2) dan poin (4). Fungsi f(x) = x2 merupakan fungsi genap, dan .g(x) = x merupakan fungsi ganjil. Jadi secara umum fungsi genap mempunyai grafik yang simetris terhadap ________________ atau f(-x) = ______, dan fungsi ganjil mempunyai grafik yang simetris terhadap __________ atau g(-x) = _________. Kesimpulan 1. Fungsi genap adalah fungsi yang memenuhi _________________ 2. Fungsi ganjil adalah fungsi yang memenuhi _________________

Contoh 1.17. 1.17. Selidiki apakah fungsi berikut genap atau ganjil, atau tidak keduanya a. b.

y = x2

y = F# − 1F

c. y =c#d

Penyelesaian

57

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi a. Perhatikan bahwa f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x) oleh karena itu y = x2 merupakan fungsi genap

b. Perhatikan bahwa f(-x) = F−# − 1F% ≠ f(x) dan f(-x) = F−# − 1F ≠ -f(x) oleh karena itu fungsi nilai mutlak ini bukanlah fungsi ganjil dan bukan fungsi genap.

c. Perhatikan bahwa f(-x) = c−#d ≠ f(x) dan f(-x) = c−#d ≠ -f(x) oleh karena itu fungsi ini bukan fungsi ganjil atau fungsi genap.


LATIHAN TERBIMBING 1.8 1.8 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan. Selidiki apakah fungsi berikut genap atau ganjil atau tidak keduanya. 1. Q(#) =

#2 ' 9e

Petunjuk Pengerjaan. Carilah f(-x) kemudian perhatikan apakah f(-x) = f(x)

atau

f(-x) = -f(x) atau tidak keduanya.

58

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 2. Q(#) = cos # Petunjuk Pengerjaan. Carilah f(-x) kemudian perhatikan apakah f(-x) = f(x)

atau

f(-x) = -f(x) atau tidak keduanya.

LATIHAN MANDIRI 1.7 1. Manakah dari yang berikut yang merupakankan suatu fungsi f dengan rumus y =

f(x)? Petunjuk: Selesaikan untuk y dalam bentuk x dan perhatikan bahwa definisi fungsi mensyaratkan suatu y tunggal untuk tiap x. c. y = E4 − #2

a. x = E2K + 1

b. xy + y + 3x = 4, x ≠ −1

d. y2 + x2 = 4

Pemyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2. Diketahui f(x) = 2x -1, tentukan a. f(3)

c. f(0)

e. f(x-1)

b. f(-2)

d. f(a+1)

f. f(2x)

59

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 9

3. Diketahui f(x) = , tentukan

a. f(1) b. f(-3)

c. f(9)

e.

d. f(3+x)

i() i(9)

f. f(x+h)

Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 4. Carilah daerah asal alami masing-masing fungsi berikut a. f(z) = 2j + 3

b. g(y) =EK − 9

Penyelesaian

60

c. ℎ(#) = 9:

:#2

d. Q(#) = #2 :9:

e. H(x) = F2# + 3F

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 5. Nyatakan apakah fungsi berikut ini genap atau ganjil atau tidak keduanya. Kemudian sketsa grafiknya a. f(x) = -4 b. h(x) = 3x2 + 2x -1

c. g(x) =

9 l :

9 e '9

d. Q(#) = G

Penyelesaian

1 jika # ≥ 0 2 −1 jika # < 0

e. f(x) = F2#F

f. H( x) = −F# + 3F

1 # + 1 g. Q(#) = m 2 # −1

h. f(x) = # − 1

jika # ≤ 0 Jika 0 < # < 2 2 jika # ≥ 2

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

61

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 1.8 Operasi Pada Fungsi Seperti halnya dua bilangan a dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru, demikian juga fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan

fungsi baru f + g. JUMLAH, SELISIH, HASIL KALI, HASIL BAGI DAN PANGKAT. PANGKAT. Dua fungsi dapat dioperasikan dengan operasi jumlah,dan perkalian. Daerah asal untuk fungsi yang dihasilkan merupakan irisan dari daerah asal fungsi semula. Perhatikan contoh berikut

Contoh 1.18. 1.18. Misalkan diketahui fungsi f(x) = x dan g(x) = E9 − #2 . Tentukan f + g, f – g, o

fg, i , dan f 5. Beserta daerah asal (domain) Penyelesaian

Fungsi f(x) = x mempunyai domain seluruh bilangan riil, sedangkan g(x) = E9 − #2 . mempunyai domain [-3, 3]. Hasil dari operasi ditampilkan pada Tabel 1.3 berikut

Tabel 1.3

62

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Rumus

Domain

(f + g) (x) = x + E9 − #2

[-3, 3]

(f - g) (x) = x - E9 − #2

[-3, 3]

(f.g) (x) = x. E9 − #2 9 − #2 p (#) = # Q

f5 (x) = E9 − #2

[-3, 3] [-3, 0) atau (0,3]

[-3, 3] 9

FUNGSI KOMPOSISI. KOMPOSISI. Perhatikan dua fungsi f(x) =#2 : dan g(x) =3# dibentuk fungsi baru

(g o f) (x) = g (f(x)) = p 0#2: 1 = q#2: fungsi yang demikian disebut fungsi komposisi dari 9

Y9

f dan g.

Masalah: Bagaimana menentukan Dgof dan Rgof ?. Untuk menjawab ini perhatikan Gambar 1.17 berikut

f

Rg

Df

Df

Gambar 1.17

Rg

g

Titik-titik dari Df yang dapat dievaluasi oleh fungsi komposisi g o f adalah titik-titik yang

oleh fungsi f dipetakan ke dalam Dg. Misalkan A = Rf ∩ Dg maka

63

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Dgof = f-1 (A) dan Rgof = g(A) Contoh 1.19. 1.19. Misalkan diketahui fungsi f(x) = 1+ x2 dan g(x) = 1 − #. Tentukan g o f dan Dg o f dan R gof

Penyelesaian. g o f (x) = g (f(x)) = g(1+ x2) = E1 − (1 + #2 ) = E−#2 .

Df = (−∞, +∞) , R f = 31, +∞) , Dg = (−∞, 1] dan Rg = 30, +∞) sehingga kita mempunyai A = Rf ∩ Dg = {1} sehingga D gof = f -1(A) = {0} dan Rgof = g(A) = {0}

Contoh 1.20. 1.20. Misalkan diketahui fungsi f(x) =

Dfo g

Penyelesaian. f o g(x) = f (g(x)) =f( #) =

. 9

9

dan g(x) = #. Tentukan f o g , Dfo g dan

Dg = 30, +∞) , R g= 30, +∞) , Df = ℛ − C0D dan Rf = ℛ sehingga kita mempunyai A = Rg ∩

Df = (0, +∞) sehingga D fog = g-1(A) = (0, +∞) dan Rfog = f(A)= (0, +∞)

PENGGESERAN.. Jika diberikan grafik fungsi y = f(x). Bagaimana grafik dari f( x- a) dan PENGGESERAN grafik f(x) + a?. Untuk mengetahui ini perhatikan ilustrasi berikut Ilustrasi. Ilustrasi Perhatikan grafik-grafik berikut

Gambar 1.18

Grafik y = (x-1)2 merupakan hasil pergeseran grafik y = x2 sejauh 1 satuan ke kanan. Grafik y = (x+1)2 merupakan hasil pergeseran grafik y = x2 sejauh 1 satuan ke kiri, Grafik y = x2+ 1 merupakan hasil pergeseran grafik y = x2 sejauh 1 satuan ke atas, Grafik y = x2- 1 merupakan hasil pergeseran grafik y = x2 sejauh 1 satuan ke bawah.

64

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Prinsip yang sama berlaku dalam situasi umum. Jadi jika diketahui grafik y = f(x) dan a > 0 maka grafik

f(x – a) bergeser ____________________________________________________________ f(x + a) bergeser ____________________________________________________________ f(x) + a) bergeser ____________________________________________________________ f(x ) – a bergeser ____________________________________________________________ Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBING 1.9 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan. 1.

Diketahui f(x) = x2; g(x) = dihasilkan tersebut.

. 9

Tentukan f + g, dan

i o

dan domain dari fungsi yang

Petunjuk Pengerjaan. Perhatikan bahwa Domain hasil operasi penjumlahan, perkalian dan pembagian adalah irisan dari domain asal fungsi f dan g. Kecuali untuk

bahwa g ≠ 0.

i o

ditambahkan

65

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 2. Diketahui f(x) = x2; g(x) =

. 9

Tentukan f o g, dan g o f, serta domain dan range dari

fungsi yang dihasilkan tersebut.

Petunjuk Pengerjaan. Tentukan Df, Dg, dan Rf, kemudian tentukn A = Rg∩Df, yang menjadi

Dfog adalah g-1(A) dan Rfog = f(A).

3. Berdasarkan grafik y = x2, gambarkan grafik y = x2 + 4x + 3 Petunjuk Pengerjaan: Bentuklah y = x2 + 4x + 3 = (x +2)2 – 1. Geserlah grafik y = x2 ke kiri sejauh 2 satuan dan ke bawah sejauh 1 satuan.

66

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 4. Berdasarkan grafik y = # gambarkan grafik y = # − 3 + 2

Petunjuk Pengerjaan: Geserlah grafik y = # ke kanan sejauh 3 satuan dan ke atas sejauh 2

satuan.

LATIHAN MANDIRI 1.8 Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 3. Diberikan fungsi f dan g berikut. Dalam setiap soal tentukan fungsi yang diminta dan tentukan pula daerah asal fungsi yang diperoleh 1. f + g jika f(x) = x – 5 ; g(x) = x2 -1

2. f - g jika f(x) = E#(9 − #); g(x) = E4 − #2 3.

i o

jika f(x )=

Penyelesaian

9' 9:

; g(x) = x

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

67

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi Untuk soal nomor 4 sampai dengan nomor 6. Diberikan fungsi f dan g. didefinisikan berikut ini dan tentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi komposisi f o g, g o f, f o f dan gog.

4. f(x) = # + 1; g(x) = E4 − #2 9'

5. f(x) = ; g(x) = x 9: 6. f(x) = x2; g(x) =

Penyelesaian

9

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

68

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 7. Sketsalah grafik g(x) = F# + 3F − 4 dengan pertama menggambar h(x) = F#F dan kemudian menggesernya.

Penyelesaian …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… 8. Sketsalah grafik g(x) = x2-6x -3 dengan pertama menggambar h(x) = x2 dan kemudian menggesernya. Penyelesaian ………………………………… ………………………………… ………………………………… ………………………………… ………………………………… ………………………………… ………………………………… ………………………………… …………………………………

69

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 1.9 Fungsi Trigonometri

P 1

Perhatikan Gambar 1.19 lingkaran berjari-jari satu

t

y

satuan. Posisi titik P = (x,y) . Sudut t positif dihitung

O

x

berdasarkan arah yang berlawanan jarum jam

dengan satuan radian 1 = s radian. Y

Misalkan t menyatakan panjang busur lingkaran

Gambar 1.19

satuan dan menentukan titik P(x,y) yang tunggal. P

Ingatlah kembali definisi dari sin t , dan cos t. Maka diperoleh

Q(t) = uvw t = ⋯

1 y

dan p(t) = cos t = ⋯

O

t

x -y

Df = Dg = … dan Rf = Rg = …

Sudut t dan sudut t + 2s menentukan posisi titik P

yang sama, sehingga

Gambar 1.20

Sin (t+2s) = sin t dan cos (t + 2s) = cos t,

dikatakan fungsi tersebut periodik dengan periode 2s. Perhatikan Gambar 1. 20.

Jelaskan bahwa

sin(-t) = -sin t,

70

cos(-t) = cos t,

sin2 t + cos2t = 1

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi GRAFIK SINUS DAN COSINUS. Grafik sinus dan cosinus ditampilkan pada Gambar 21 berikut

s

s

s

s

Gambar 1.21

Empat hal dapat diperhatikan dari grafik ini, yaitu 1. Sin t dan cos t mempunyai nilai __________________ 2. Kedua grafik berulang pada setiap _______________________ 3. Grafik y = sin t simetri terhadap ___________ sehingga y = sin t adalah fungsi ganjil. Grafik y = cos t simetri terhadap ___________ sehingga y = cos t adalah fungsi genap. x

4. Grafik y = sin t sama seperti y = cos t tetapi digeser satuan ke kanan. FUNGSIFUNGSI-FUNGSI TRIGONOMETRI YANG LAIN. Tulislah fungsi trigonometri yang lain yang Anda ketahui:

71

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi SIFATSIFAT-SIFAT PENTING FUNGSI TRIGONOMETRI. TRIGONOMETRI. Sifat- sifat fungsi trigonometri berikut sering kita perlukan dan kita ketahui, yaitu: 2. 1 + tan2x = sec2x 2

7. cos2 x = (1 + cos 2x)

1. sin2x + cos2x = 1

8. Sin (x+y) = sinx cos x + cos x sin y

2

3. 1 + cot x = csc x

9. Cos (x +y) = cos x cos y – sin x sin y

9'N 9:N 1 cos 0 1 9'N 9:N 2 cos 0 1 cos 0 1 9'N 9:N -2 sin 0 1 sin 0 1

10. Sin x + sin y = 2 sin 0

4. Sin(-x) = -sin x 5. Cos(-x) = cos x

11. cos x + cos y =

6. Sin2 x = (1 – cos 2x)

12. cos x - cos y =


LATIHAN MANDIRI 1.9 1. Tentukan setiap nilai fungsi yang diberikan tanpa menggunakan kalkulator

a. Sin s

b. tan − s

Penyelesaian

c. sec s

d. cos − s

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

72

.

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 2. Periksa bahwa yang berikut ini adalah identitas a.

yz{l N ' y|} l N

=1

b. (1 + cos ~ ) (1 − cos ~ ) = uvw ~ Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 3. Sketsalah grafik y = sin 2x pada [−s, 2s]

Penyelesaian

………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… …………………………………………

73

Sistem Bilangan Riil dan Fungsi 4. Sketsalah grafik y = 2 cos t pada [−s, 2s]

Penyelesaian

………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… 5. Sketsalah grafik y = 3 + sec (x –s) pada [-5,5] Penyelesaian ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… …………………………………………

74

.

Limit dan Kekontinuan

2. LIMIT DAN KEKONTINUAN

P

ada Bab 1 telah dibahas hal-hal yang disebut prakalkulus. Hal tersebut menjadi dasar untuk membahas bagian penting dari kalkulus yaitu suatu gagasan yang membedakan Kalkulus dari ilmu-ilmu lainnya yaitu limit. imit Konsep limit fungsi merupakan dasar untuk mempelajari Kalkulus.

Kompetensi Utama Mahasiswa dapat memahami konsep limit. Kompetensi Penunjang Mahasiswa dapat 1. menyelesaikan permasalahan nilai limit serta mengetahui bentuk-bentuk limit yang ada. 2. Menentukan kekontinuan suatu fungsi. 2.1 Pengertian Limit Pernahkah Anda mendengar istilah berikut: 1. Kendaraan yang saya tumpangi hampir saja tertabrak truk. 2. Batas akhir pelaporan nilai Belum Lengkap (BL) tanggal 23 Juli. 3. Seorang buronan nyaris tertembak. Berdasarkan pernyataan-pernyataan di atas, apa yang bisa Anda simpulkan? (Ambil satu kata kunci yang bergaris bawah)

75



PEMAHAMAN LIMIT SECARA INTUITIF. INTUITIF. Perhatikan fungsi f berikut =

Fungsi ini tidak terdefinisi di x =1, kenapa?

+ − 2 −1

Tetapi bagaimana jika dilihat nilai f untuk x mendekati 1 dari arah kanan (x > 1, dan nilai f untuk x mendekati 1 dari arah kiri (x < 1)?. Perhatikan lagi fungsi

− 1 + 2 + − 2 = = + 2, ≠ 1 − 1 −1 Lengkapilah Tabel 2.1 berikut, perhatikan apa yang terjadi dengan nilai fungsi f jika x =

mendekati 1. Tabel 2.1.

X

F(x)

0.9 0.99 0.999 ⋮

1 ⋮

1.0001 1.001 1.01 1.1

Gambar 2.1

Amati Tabel 2.1 dan grafiknya pada Gambar 2.1, dapat diambil kesimpulan: 1. Jika jarak x dengan 1 kurang dari 0,1 maka jarak f(x) dengan 3 kurang dari 0,1 2. Jika jarak x dengan 1 kurang dari 0,01 maka jarak f(x) dengan 3 kurang dari 0,01 3. Jika jarak x dengan 1 kurang dari 0,001 maka jarak f(x) dengan 3 kurang dari 0,001

76

Limit dan Kekontinuan Perhatikan bahwa semakin dekat x ke 1 maka f(x) juga semakin ________ ke _____ Kesimpulan-kesimpulan 1, 2, dan 3 di atas secara matematis dapat ditulis sebagai

1. 0 < − 1 < 0.1 ⇒ − 3 < 0.1 2. 0 < − 1 < 0.01 ⇒ − 3 < ______

3. 0 < _______ < ________ ⇒ ______________ < _____

Jika bilangan-bilangan yang cukup kecil tersebut disimbolkan dengan dan , dengan

menyatakan jarak antara f(x) dengan 3, dan menyatakan jarak x dengan 1, maka dapat ditulis − 3 < asalkan 0 < − 1 <

Kondisi ini menyatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 1 adalah 3, atau dapat ditulis:

lim = 3 →!

PENGKAJIAN MENDALAM TENTANG LIMIT. LIMIT.

Perhatikan fungsi f yang terdefinisi pada

selang terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a sendiri seperti yang disajikan Gambar 2.2

Perhatikan nilai f ketika nilai x mendekati a. Masih adakah bentuk lain dari f(x) yang memenuhi definisi di atas? Jelaskan

77



Untuk memudahkan pembahasan konsep limit, perhatikan gambar 2.3: Y L+

Dari gambar 2.3 dapat dinyatakan bahwa nilai

f(x)

f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L

L

asalkan x cukup dekat ke a. Dengan kata lain jika jarak x dengan a cukup kecil maka jarak

L-

f(x) dengan L dapat dibuat sedekat mungkin. &−

x

a

Gambar 2.3

&+

Atau dapat dituliskan sebagai X

… < − ⋯ < ⋯ ⇒ − ⋯ < ⋯ Dari pernyataan diatas tersebut dapat didefinisikan limit sebagai berikut: DEFINISI LIMIT. LIMIT Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada setiap bilangan pada suatu selang terbuka yang memuat a kecuali a itu sendiri. Limit fungsi f untuk x mendekati a adalah L ditulis

lim = %

→$

Jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat > 0 sehingga

0 < − & < maka − % <

Contoh 2.1. 2.1 Carilah

lim 4 − 5

→'

Penyelesaian. Perhatikan bahwa jika x dekat ke 3 maka f(x) = 4x – 5 dekat ke 7 sehingga

lim→' 4 − 5 = 7

Contoh 2.2. 2.2 Diketahui fungsi f(x) = 4x – 1. Jika diberikan = 0.001 maka carilah suatu

> 0 sehingga jika 0 < − 2 < berlaku − 7 <

78

Limit dan Kekontinuan Penyelesaian. Terlebih dahulu dilakukan analisis pendahuluan. Akan dicari bilangan > 0

sehingga

Jadi dapat dipilih ≤

0 < − 2 < ⇒ − 7 < 0 < − 2 < ⇒ − 7 < 0.001 0 < − 2 < ⇒ 4 − 1 − 7 < 0.001 0 < − 2 < ⇒ 4 − 8 < 0.001 0 < − 2 < ⇒ 4 − 2 < 0.001 0.001 0 < − 2 < ⇒ − 2 < 4

....! maka /

akan diperoleh

0 < − 2 < ≤

Contoh 2.3. 2.3. Buktikan Penyelesaian.

0.001 0.001 ⇒ − 7 = 4 = 0.001 4 4 lim 2 − 3 = 5

→0!

Terlebih dahulu dilakukan analisis pendahuluan. Diberikan sebarang

bilangan > 0, akan dicari suatu bilangan > 0, sehingga

0 < + 1 < ⇒ − 5 < 0 < + 1 < ⇒ 2 − 3 − 5 < 0 < + 1 < ⇒ −3 − 3 < 0 < + 1 < ⇒ 3 + 1 < 0 < + 1 < ⇒ + 1 < 3 1 Bukti formal. Pilih ≤ ' maka 0 < + 1 < ≤ ⇒ − 5 = 2 − 3 − 5 = 3 + 1 < 3 = 3 3 Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

79



LATIHAN TERBIMBING 2.1 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disedikan. ahami petunjuk pengerjaan. 1.

Diketahui fungsi f(x) = 2 + 5x. Jika diberikan = 0.002 maka carilah suatu > 0

sehingga jika 0 < − 3 < berlaku − 10 <

Petunjuk pengerjaan. pengerjaan Terlebih dahulu lakukan analisis pendahuluan untuk mencari

bilangan > 0 sehingga 0 < − 3 < ⇒ − 10 < . Kemudian gantikan fungsi

f(x) ke bentuk pertidaksamaan 0 < − 3 < ⇒ 2 + 5 − 10 < . Pilih

2.

Buktikan lim→' 3 − 5 = 4

Petunjuk pengerjaan. Terlebih dahulu lakukan analisis pendahuluan. Diberikan sebarang bilangan

> 0,

akan

0 < − 3 < ⇒ − 4 <

80

dicari

suatu

bilangan

> 0,

sehingga

Limit dan Kekontinuan LATIHAN MANDIRI 2.1

1. Diketahui fungsi f(x) = 4x – 5. Jika diberikan = 0.001 maka carilah suatu > 0 sehingga jika 0 < − 2 < berlaku − 3 <

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2. Buktikan lim→ 7 = 7 Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

81

Limit dan Kekontinuan 3. Buktikan lim→2

Penyelesaian

0/


=2

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… 2.2 2.2. SifatSifat-sifat Limit Fungsi Sebagaimana yang terdapat dalam Pasal 2.1 Anda telah membuktikan limit fungsi suatu titik kadang-kadang sukar dilakukan. Untuk menghitung limit fungsi dengan metode yang mudah, Anda dapat menggunakan sifat-sifat limit fungsi yang akan dibicarakan berikut ini. Namun, sebelumnya perhatikan hal berikut:

a. lim→! 3 = 3 b. lim→0 0,001 = 0,001 Apa yang dapat Anda simpulkan dari bentuk soal (a) dan (b) kedalam bentuk sifat-sifat limit?

c. lim→/ = 4 d. lim→! = 1

82

Limit dan Kekontinuan Apa yang dapat Anda simpulkan dari bentuk soal (c) dan (d) kedalam bentuk sifat-sifat limit?

e. Jika lim→! 2 = 2 dan lim→! = 1 maka f.

lim 2 + = lim 2 + lim = 2 + 1 = 3

→!

→!

Jika lim→! 2 = 2 dan lim→! = 1 maka

→!

lim 2 − = lim 2 − lim = 2 − 1 = 1

→!

→!

→!

Apa yang dapat Anda simpulkan dari bentuk soal (e) dan (f) ke dalam bentuk sifat-sifat limit?

g. Jika lim→! 2 = 2 dan lim→! = 1 maka

lim 2 = lim 2 . lim = 2.1 = 2

→!

→!

h. Jika lim→! 2 = 2 dan lim→! = 1 maka

→!

lim 2 2 2 →! = =2 lim 3 4= →! lim 1 →!

Apa yang dapat Anda simpulkan dari bentuk soal (g) dan (h) kedalam bentuk sifat-sifat limit?

i. j.

Jika lim→! 2 = 2 maka lim→! 2 = 2 = 4

Jika lim→ 4 = 8 maka 5lim→ 4 = 78 = 2 6

6

83



Apa yang dapat Anda simpulkan dari bentuk soal (i) dan (j) kedalam bentuk sifat-sifat limit?

k. Jika 8 = ' + − maka lim px = 82 = 2' + 2 − 2 = 10 →

Apa yang dapat Anda simpulkan dari bentuk soal (k) kedalam bentuk sifat-sifat limit?

l.

; =

=

Perhatikan bahwa

ℎ =

=

; ≤ ≤ ℎ.

, definisikan fungsi-fungsi ini pada [0, +∞].

Dan limit dari g dan h pada x mendekati 1

lim→! ; = lim→! = _________

lim→! ℎ = lim→!

=

= __________

Perhatikan urutan nilai fungsi yang telah Anda buat tadi, kemudian amati nilai limit g dan h. Berdasarkan informasi ini, berapakah lim→! ? _________. Limit f yang Anda

tentukan dengan cara seperti ini disebut Teorema Apit. Apa yang dapat anda simpulkan mengenai Teorema apit

84

Limit dan Kekontinuan Contoh 2.4 Tentukan lim→' + 7 − 5 Penyelesian

lim→' + 7 − 5 = 3 + 7.3 − 5 = 9 + 21 – 5 = 25

Contoh 2.5 2.5 Tentukan lim→' Penyelesaian. lim→'

= 0? 0'

= lim→'

= 0? 0'

= 0? 0'

= lim→' + 3 = 3 + 3 = 6


LATIHAN TERBIMBING 2.2 Untuk soal 1 sampai dengan 3, tentukan nilai limit dan tunjukkan teorema yang digunakan untuk menghitungnya

1. lim→' 2 − 4 + 5 Petunjuk Pengerjaan. Pengerjaan Gantikan nilai x = 3 ke dalam fungsi limitnya

85

Limit dan Kekontinuan 2. lim@→'


/@02 2@0!

Petunjuk. Petunjuk Pengerjaan Sama halnya seperti no (1) di atas, gantikan nilai y = 3 ke fungsi

limitnya

LATIHAN MANDIRI 2.2

6 022 00' 0!'2 A/0'

1. Tentukan lim→' / 6

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… 2. Tentukan lim→/ B= 00! 6

= 0'A/

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ……………...……………………………………………………………………………………

86

Limit dan Kekontinuan 3. Tentukan limC→.

Penyelesaian

07/0C C

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… 4. Jika ℎ =

Penyelesaian

7A? 0' tunjukkan

bahwa lim→. ℎ =

! D

tetapi h(0) tidak terdefinisi

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… 5. Diketahui bahwa f adalah fungsi yang didefinisikan oleh 2 − 1, FGH& ≠ 2I = E 1, FGH& = 2

a. Tentukan lim→ dan tunjukkan bahwa lim→ ≠ 2

b. Gambarkan grafik fungsi f Penyelesian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

87



2.3. Limit Sepihak

Amati lim→$ , perhatikan nilai x pada suatu selang terbuka yang memuat a

tetapi tidak di a sendiri, yaitu pada nilai x yang mendekati a baik dari arah kiri (lebih kecil dari a) ataupun dari arah kanan (lebih besar dari a). Sebagai ilustrasi perhatikan fungsi f dengan aturan sebagai berikut: , FGH& < 1 I = E − 1, FGH& > 1 Dengan grafik fungsi pada Gambar 2.3. Dari grafik tersebut f(x) tidak ada di x = 1, tetapi kita dapat mengamati f jika

didekati dari

sebelah kiri 1 dan sebelah kanan 1 . Sekiranya jika x yang didekati dari sebelah kiri 1 maka fungsi yang terlibat adalah ___________. Pikirkan suatu nilai x yang sangat dekat ke 1 dari kiri, kita dapat menentukan bahwa nilai f akan dekat ke _________. Hasil inilah yang disebut sebagai limit kiri dari f, yang dapat ditulis lim = ____________

→!J

Sekiranya jika x yang didekati dari sebelah kanan 1 maka fungsi yang terlibat adalah ___________. Pikirkan suatu nilai x

yang sangat dekat ke 1 dari kanan, kita dapat

menentukan bahwa nilai f akan dekat ke _________. Hasil inilah yang disebut sebagai limit kanan dari f, yang dapat ditulis

lim = ____________

→!K

Perhatikan lim→!J dan lim→!K . Apakah mempunyai hasil yang sama? Jika ya

maka dapat dikatakan bahwa LMNO→P QO ada, ada dan sebaliknya jika tidak maka dikatakan

bahwa LMNO→P QO tidak ada.

Secara umum lim→$ ada jika _____________________________

88

Limit dan Kekontinuan DEFINISI LIMIT KANAN. KANAN Misalkan f suatu fungsi yang terdefenisi pada suatu selang terbuka (a,c). Maka limit f(x) untuk x mendekati a dari kanan adalah L, ditulis lim = %

→$ K

Jika untuk setiap R > 0 terdapat suatu > 0 sehingga jika 0 < − & < maka − % < R.

DEFINISI LIMIT KIRI. KIRI Misalkan f suatu fungsi yang terdefenisipada suatu selang terbuka (d,a). Maka limit f(x) untuk x mendekati a dari kiri adalah L, ditulis lim = %

→$ J

Jika untuk setiap R > 0 terdapat suatu > 0 sehingga jika 0 < & − < maka − % < R.

TEOREMA LIMIT FUNGSI. FUNGSI lim→$ ada dan sama dengan L jika dan hanya jika

lim→$K lim→$J ada dan sama dengan L. Contoh.2.6 Contoh

(1) Fungsi signum didefinisikan oleh

−1, < 0 S;T = U 0, = 0 I 1, > 0 (a) Gambarkan sketsa grafik fungsi ini (b) Tentukan lim→.J S;T jika ada (c) Tentukan lim→.K S;T jika ada (d) Apakah lim→. S;T ada?

Penyelesaian. (a)

y

(b) lim→.J S;T = −1,

1

(c)

O

x -1

lim→.K S;T = 1,

(d) lim→. S;T tidak ada

Gambar 2.4

89



Contoh 2.7 Misalkan h didefinisikan oleh

a. sketsa grafik fungsi h

ℎ = E

4 − , FGH& ≤ 1I 2 + , FGH& > 1

b. tentukan setiap nilai limit berikut, bila ada: lim→!K ℎ , lim→! ℎ

lim→!J ℎ

, dan :

Penyelesaian

(b) lim→!K ℎ = 3

(c) lim→!J ℎ = 3

(d) lim→! ℎ = 3 , karena nilai limit kiri sama dengan nilai limit kanan


LATIHAN TERBIMBING 2.3 1. Misalkan g didefinisikan oleh

, FGH& ≠ 0I ; = E 2, FGH& = 1 (a) Gambarkan skletsa grafik fungsi g (b) Tentukan lim→. ; bila ada

90

Limit dan Kekontinuan Petunjuk Pengerjaan. Pengerjaan Terlebih dahulu digambarkan grafik fungsi g tersebut, dari grafik tersebut apakah ada nilai grafik fungsinya jika x = 0?

2. Diketahui = E

3 + 2 FGH& < 4I Tentukan nilai k sehingga lim→/ ada 5 + H FGH& ≥ 4

Petunjuk Pengerjaan. Pengerjaan Tentukan nilai limit kirinya terlebih dahulu, setelah itu lakukan pencarian dari limit kanan dan dapatkan nilai k-nya.

91



LATIHAN MANDIRI 2.3 Untuk soal 1 sd 3, gambarkan sketsa grafiknya dan tentukan nilai limit yang diminta, jika ada, berikan alasan. 2, FGH& < 1 1. = U 1, FGH& = 1 I ; (a)lim→!K , (b)lim→!J , (c)lim→! −3, FGH& > 1

Penyelesaian

……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………

FGH& ≤ 2 I 2. W = E ; (a)lim→K W, (b) lim→J W, (c) lim→ W 8 − 2 FGH& > 2 Penyelesaian ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………

92

Limit dan Kekontinuan 3. Diketahui G(x) = 2 − 3 − 4 ; a. lim Penyelesaian

6K =

→

X, (b) lim→6J X, (c) lim→6 X =

=

………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ……………

4.

Tentukan lim→/ Y − 3Z bila ada

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….

93


5.


FGH& ≤ −2 Diketahui = [& + \ FGH& − 2 < < 2I Tentukan nilai a dan b sehingga 2 − 6 FGH& ≥ 2 lim→0 ada.

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2.4 Limit Fungsi Trigonometri Limit fungsi polinomial selalu dapat dicari dengan subsitusi, dan limit fungsi rasional dapat dicari dengan subsitusi selama penyebut tidak nol di titik limit. Aturan subsitusi ini juga berlaku untuk fungsi trigonometri. Hasil ini dinyatakan sebagai berikut: Teorema A. A Untuk setiap bilangan riil a di dalam daerah asal fungsi 1. lim→$ sin = sin & dan lim→$ cos = cos &

2. lim→$ tan = tan & dan lim→$ cot = cot &

3. lim→$ sec = sec & dan lim→$ csc = csc &

Dua limit lain yang sangat penting ditampilkan oleh teorema berikut:

Teorema B

lim

→.

Contoh 2.8 2.8. Buktikan lim→.

Bukti :

lim→.

94

cde

= lim→.

fgh i jkli

sin 1 − cos = 1 b&T lim =0 →.

cde

=1

= lim→.

! mne . opq

= lim→.

mne

!

. lim→. opq = 1.1 = 1

Limit dan Kekontinuan Contoh 2.9 2.9. Hitunglah lim→. Penyelesaian:

lim

→.

qrs /

SGT 4 2

= lim

→.

2 SGT 4 sin 4 = 2. lim = 2.1 = 2 →. 4 4


LATIHAN TERBIMBING 2.4

1. Tentukan hasil dari lim→.

cde t0mne opq

Petunjuk Pengerjaan. Pengerjaan Sederhanakan fungsi trigonometri tersebut sehingga didapat hasil yang limit yang sederhana.

95

Limit dan Kekontinuan 2. Tentukan hasil dari lim→.

Limit dan Kekontinuan !0uvm mne

Petunjuk.. Petunjuk Bagilah pembilang dan penyebut dengan x. Perhatikan hasil yang Anda diperoleh.

Kemudian gunakan teorema B.

LATIHAN MANDIRI 2.4 Untu soal 1 sampai dengan, hitunglah limitnya bila ada

1. lim→. mne ' qrs '

2. lim→. mne D

3. lim→.

4. lim→.

qrs6

2

cde

Penyelesaian

5. lim→.

!0uvm / 0

w

6. lim→w uvm= =

7. Lim→.

8. Lim→.

2 A' mne

mne '2 A

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

96

Limit dan Kekontinuan ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

97



2.5 Kekontinuan Fungsi Tuliskan apa saja yang Anda pikirkan ketika mendengar kata kontinu

Jika dihubungkan dengan fungsi yang kontinu, tuliskan apa yang dapat Anda artikan

Secara intuitif konsep kekontinuan fungsi sama seperti pengertian dalam bahasa seharihari yaitu tersambung atau berkelanjutan atau tidak terputus. Jadi dapat dikatakan suatu fungsi dikatakan kontinu bila grafik fungsi tersebut tidak terputus. Sebagai contoh dapat dilihat beberapa gejala yang terjadi dari tiga grafik fungsi berikut:

f(a) = L

lim = %

→& −

lim = %

→& +

f(a) = L

f(a) = M

→&

→& −

lim− = y lim = y

→& +

Berdasarkan Gambar 2.7 di atas isilah Tabel 2.2 di bawah ini

98

lim = %

lim = y

→& +

Limit dan Kekontinuan Tabel 2.2 I

ii

Iii

Nilai f(a)

lim jika ada

→$

Apakah f(a) = lim →$

Amati nilai lim dan nilai f(a), dan apakah f(a) = lim ? Dari hasil ini, tuliskan →$

beberapa perbedaan dari ketiga grafik di atas

→$

Jadi dapat disimpulkan, suatu fungsi yang kontinu di x = a memenuhi tiga syarat, yaitu (i)

__________________________________

(ii)

__________________________________

(iii)

__________________________________

Jika satu atau lebih dari ketiga syarat ini tidak terpenuhi di a maka fungsi f dikatakan ______________ di a. Contoh 2.10 2.10. Misalkan f didefinisikan:

= E

2 + 3 FGH& ≠ 1I 2 FGH& = 1

Apakah fungsi f kontinu di x = 1? Buatlah sketsa grafik fungsi f. Penyelesaian

99



Untuk mengetahui apakah fungsi f kontinu di x = 1, cek syarat kekontinuan (i)

f(1) = 2

(ii)

→!K

lim = 5 dan limJ = 5. Oleh karena itu lim = 5

(iii) f(1) ≠ lim →!

→!

→!

Karena salah satu syarat kekontinuan tidak terpenuhi, fungsi f tidak kontinu di x = 1. Sketsa grafik f dapat dilihat pada Gambar 2.8

!

Contoh 2.11 2.11. Apakah fungsi = 0 kontinu di x = 2?

Penyelesaian

Untuk mengetahui apakah fungsi f kontinu di x = 2, cek syarat kekontinuan. f(2) tidak ada Oleh karena itu f tidak kontinu di x = 2 KEKONTINUAN TERHAPUS DAN TIDAK TERHAPUS TERHAPUS.. Dari Contoh 2.10 dan Contoh 2.11

yang diberikan, ada fungsi kontinu di x = a disebabkan karena & ≠ lim→$ . Tetapi

jika kita definisikan kembali & = lim→$ maka fungsi f menjadi kontinu di x = a.

Kekontinuan seperti ini disebut ketak-kontinuan terhapus (removable discontinuity). Jika

kekontinuan suatu fungsi tidak terhapus dinamakan ketakkontinuan esensial. Dari contoh yang telah diberikan tentukan fungsi yang mana termasuk kepada kekontinuan terhapus dan mana ketak-kontinuan essensial? Kenapa?

100


KEKONTINUAN SEPIHAK. SEPIHAK. Sebelumnya Anda telah mempelajari mana limit yang kontinu kiri dan mana limit yang kontinu kanan. Definisikan kembali mana kontinu kiri dan kontinu kanan • •

Fungsi f dikatakan kontinu kiri di x = a jika __________ = ______________

Fungsi f dikatakan kontinu kanan di x = a jika__________ = ______________

KEKONTINUAN DALAM INTERVAL. INTERVAL. Fungsi f dikatakan kontinu pada interval buka (a,b) jika

f kontinu disetiap titik pada (a,b). Fungsi f dikatakan kontinu pada interval tertutup [a,b] jika f kontinu disetiap titik pada (a,b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini


Apakah fungsi = 725 − kontinu pada [-5,5]?

Petunjuk Petunjuk Pengerjaan: Pengerjaan gunakan aturan definisi kekontinuan dalam interval

101



SIFATSIFAT-SIFAT KEKONTINUAN FUNGSI (1) Suatu polinom p(x) kontinu di setiap bilangan (2) Suatu fungsi rasional

z {

kontinu pada setiap bilangan pada daerah definisinya

(3) Fungsi = kontinu pada seluruh bilangan

(4) Fungsi = 7 dengan T ∈ N kontinu pada setiap bilangan pada daerah |

definisinya

(5) Jika f dan g kontinu di titik a dan H ∈ R maka kf, f+g, f - g, f.g, f/g g ≠ 0, fn, dan |5 kontinu di a.

LATIHAN MANDIRI 2.5 Selidiki apakah fungsi-fungsi dalam nomor 1 sampai dengan nomor 5 kontinu di a yang diberikan, berikan alasan secukupnya 1. = 6 + + 1 ; & = 1 2.

= 72 − 3 ; & = 2

3. = = Penyelesaian

0

; & = 0 b&T & = 2

− FGH& < 0I ; &=0 4. W = E FGH& ≥ 0

− + 2 − 2 FGH& ≤ 1 ; & = 1 b&T & = −1I −4 + 3 FGH& > 1

5. = E

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

102

Limit dan Kekontinuan ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… …………...……………………………………………………………………………………… ………………...………………………………………………………………………………… Untuk soal-soal nomor 6 sampai dengan 8, buktikan bahwa fungsinya tidak kontinu di a. Kemudian

tentukan

ketakkontinuannya dihapuskan 6. =

7. =

apakah

terhapus,

kekontinuannya definisikan

kembali

terhapus agar

atau

essensial,

ketakkontinuannya

jika dapat

? = 0/ ;& = '0 ' '07A? ;& = 0

9 − FGH& ≤ 2 I ;& = 2 8. = E 3 + 2 FGH& > 2 Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …...……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

103



9. Sketsa suatu grafik fungsi yang memenuhi semua sifat berikut: a. Daerah definisinya [-2,4]

b. −2 = 0 = 1 = 3 = 4 = 1 c. f kontinu di seluruh Df kecuali di -2, 0, 3

d. lim→0!J = 2 , lim→.K = 2 , dan lim→'J = 1

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………… 10. Selidiki apakah fungsi = 72 − kontinu pada selang [-2,2] Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...……………………………………………………………………………………

104

Limit dan Kekontinuan 2.6 Limit Tak Berhingga =

Perhatikan Gambar 2.7, misalkan f suatu fungsi yang didefinisikan oleh

' , 0=

≠2

Tentukan nilai

lim = _________

→

Apa yang dapat Anda simpulkan dari gambar 2.9 tersebut?_________________________________ _________________________________________ _________________________________________ .Secara

umum

lim→$ = +∞

diartikan

bahwa nilai f(x) dapat dibuat lebih besar dari setiap bilangna positif M sebarang dengan memilih x cukup dekat ke a. DEFINISI LIMIT POSITIF TAK HINGGA. HINGGA. Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin pada a sendiri. Limit fungsi f untuk x mendekati a sama dengan +∞ yang ditulis

lim = +∞

→$

Jika untuk setiap bilangan besar M > 0 terdapat suatu bilangan δ > 0 sehingga jika 0 − & maka f(x) > M

Perhatikan: perlu diperhatikan bahwa penulisan +∞ bukan lambang suatu bilangan riil, oleh

karena itu penulisan lim→$ = +∞ tidak sama lim→$ = % dimana L menyatakan suatu bilangan riil. Penulisan lim→$ = +∞ ini dapat dibaca sebagai “limit f(x)

mendekati a adalah positif tak berhingga”. Kasus ini, limit tersebut tidak ada tetapi lambang +∞ menunjukkan perilaku nilai fungsi f untuk x semakin dekat a. Dengan cara yang sama, coba Anda tunjukkan perilaku fungsi berikut: −3 ; = , ≠2 − 2

105



Bagaimana nilai fungsinya jika x semakin mendekati ke 2? gambarkan grafik g tersebut!

Definisi Limit Negatif Tak Hingga. Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin pada a sendiri. Limit fungsi f untuk x mendekati a sama dengan -∞ yang ditulis

lim = −∞

→$

jika untuk setiap bilangan kecil N < 0 terdapat suatu bilangan δ > 0 sehingga jika 0 < − & < maka f(x) < N.

106


TEOREMA LIMIT TAK HINGGA Teorema A. A Jika r suatu bilangan bulat positif, maka ! ! (ii) lim→.J

(i) lim→.K

= +∞

−∞ FGH& ;&TFG I =E +∞ FGH& ;T&8 B. Misalkan a suatu bilangan riil dan lim→$ = 0 dan lim→$ ; = Teorema B

dimana c suatu konstanta tak nol. (i)

Jika c > 0 dan f(x) → 0 sepanjang nilai positif dari f(x) maka:

; =⋯ →$ (ii) Jika c > 0 dan f(x) → 0 sepanjang nilai negatif dari f(x) maka: lim

; =⋯ →$ (iii) Jika c < 0 dan f(x) → 0 sepanjang nilai positif dari f(x) maka: lim

; =⋯ →$ (iv) Jika c < 0 dan f(x) → 0 sepanjang nilai negatif dari f(x) maka: lim

; =⋯ →$ lim

Teorema B berlaku juga jika x → a diganti dengan x → a+ atau x → a – Contoh 2.12. 2.12 Tentukan lim→/K

0! 0/

Penyelesaian. Penyelesaian Karena lim→/K 2 − 1 = 7 > 0 dan lim→/K − 4 = 0 dimana x – 4 mendekati nol sepanjang nilai positif maka diperoleh 2 − 1 = +∞ limK →/ − 4 = AA

Contoh 2.13. 2.13 Tentukan lim→'K = 00'

Penyelesaian. Karena lim→'K + + 2 = 14 > 0 dan lim→'K − 2 − 3 = 0 dimana

− 2 − 3 mendekati nol sepanjang nilai positif maka diperoleh

107


Limit dan Kekontinuan + + 2 lim = +∞ →'K − 2 − 3

= AA

Contoh 2.14. 2.14 Tentukan lim→'J = 00'

Penyelesaian.

Karena lim→'J + + 2 = 14 > 0 dan lim→'J − 2 − 3 = 0 dimana − 2 − 3 = AA 00'

mendekati nol sepanjang nilai negatif maka diperoleh lim→'K =

= −∞

= 00

Contoh 2.15. 2.15 Tentukan lim→!K = A0'

Penyelesaian.

Karena lim→!K − 2 − 8 = −9 < 0 dan lim→!K + 2 − 3 = 0 dimana + 2 − 3 = 00

mendekati nol sepanjang nilai positif maka diperoleh lim→'K = A0' = −∞ Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBING 2.6 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan 1. Tentukan lim→K

7 = 0/ 0

Petunjuk Pengerjaan. Tentukan nilai dari x – 2 ketika → 2A . Kemudian faktorkan x2 – 4 =

(x-2)(x+2) dan x – 2 = 5 − 2 . Kemudian perhatikan limit penyebutnya. Perhatikan

108

Limit dan Kekontinuan apakah (x-2) mendekati 0 sepanjang nilai negatif atau positif. Sehingga diperoleh hasilnya +∞.

2. Tentukan lim→/J

YZ0/ 0/

Petunjuk Pengerjaan. Tentukan lim→/J YZ, kemudian tentukan

lim→/J YZ − 1.

Selanjutnya tentukan lim→/ − 4. Perhatikan apakah (x-4) mendekati 0 sepanjang nilai

negatif atau positif. Sehingga diperoleh hasilnya +∞.

109



LATIHAN LATIHAN MANDIRI 2.6 Untuk nomor 1 sampai dengan 5, hitunglah limit yang diberikan 1. 2. 3.

lim→2J

! 02

7'A = = D = A0 lim→0K = A'0

lim→.

A

4. lim→! 0!=

5. lim→!K

0!

7 = 0A!

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 2.7 Limit di Tak Hingga Bagian 2.6 telah dibahas mengenai limit tak hingga dimana nilai fungsi naik atau turun tak terbatas apabila variabel bebas mendekati bilangan tertentu. Sekarang akan dibahas limit fungsi apabila variabel bebas naik atau turun tak terbatas. Pandang fungsi f dengan

4 , ≠1 −1 Nilai f(x) akan mendekati 4 bila x membesar tanpa batas atau bila → ∞ = lim

→

DEFINISI LIMIT DI TAK HINGGA

(1) Misalkan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang &, +∞. Limit f(x) jika x naik tak terbatas adalah L, dituliskan

110

Limit dan Kekontinuan lim = %

→A

Apabila untuk setiap < 0 terdapat suatu bilangan N > 0 sehingga − % < jika

x>N

(2) Misalkan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang (-∞,a). Limit f(x) jika x turun tak terbatas adalah L, dituliskan

lim = %

→0

Apabila untuk setiap > 0 terdapat suatu bilangan N < 0 sehingga − % < jika

x
SIFAT LIMIT DI TAK HINGGA. HINGGA Jika r suatu bilangan positif sebarang, maka: (i) (ii)

!

lim→A = 0 lim→0

!

=0

Contoh 2.16 2.16. 16 Tentukan lim→0 Penyelesaian:

'A/

7 = 02

Bagi pembilang dan penyebut dengan 7 , yang ekivalen dengan , diperoleh 4 3 + 3 + 4 lim = lim →0 72 − 5 →0 B2 − 5 Karena → −∞ maka x < 0 dan = −. Jadi diperoleh

lim→0

'A/

7 = 02

6i

Ji B0 = i

= lim→0 Ji

A

= lim→0

i B0 = i

0'0

=

0'0. = 70.

−

' 7

=

Contoh 2.17. 2.17. Tentukan lim→A A! Penyelesaian.

Bagi pembilang dan penyebut dengan x2, diperoleh

1 = lim 1 →A + 1 →A 1 + Dari perhitungan limit penyebut diperoleh lim

111



4 −3 − 1 1 1 1 lim + = lim + lim = lim =0+0=0 →A →A →A →0 5 B2 − Jadi limit penyebut adalah 0 dan penyebut didekati 0 untuk nilai-nilai x positif. Limit pembilang adalah 1, jadi diperoleh

= +∞ →A + 1 lim


LATIHAN TERBIMBING 2.7 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan 1. Tentukan lim→A

/0' 20/

Petunjuka Pengerjaan. Bagilah pembilang dan penyebut dengan x. Dengan menggunakan sifat limit diperoleh hasilnya -1

112

Limit dan Kekontinuan 2. Tentukan lim→0

= 0A2 / 6 02

Petunjuk Pengerjaan. Bagilah pembilang dan penyebut dengan pangkat x tertinggi yang muncul pada pembilang atau penyebut, yang dalam kasus ini adalah x3. Sehingga diperoleh hasilnya 0

3. Tentukan lim→A

/A'

7' = 0/

Petunjuk Pengerjaan. Pengerjaan Pangkat tertinggi x adalah 2 dan muncul di tanda akar. Bagilah pembilang dan penyebut dengan 52 = . Sehingga diperoleh hasilnya

/ 7

113



LATIHAN MANDIRI 2.7 Tentukan hasil dari limit berikut ini ! 6 2 0A! lim→A = ' AA2 /2 A' lim→0 = 0! ! lim→0 3 + =

1. Tentukan lim→A 2. Tentukan

3. Tentukan 4. Tentukan

5. Tentukan lim→0

52 A/ A/

Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………

114

Turunan

3. TURUNAN ada bab ini dibahas sebuah konsep yang sangat fundamental dalam kalkulus,

P

yaitu konsep turunan serta beberapa hal yang berkaitan dengan turunan. Untuk memahami konsep turunan ini, Anda harus menyiapkan diri dan mengingat kembali dengan baik pemahaman tentang fungsi dan limit. Pada dasarnya pengerjaan yang berkaitan dengan turunan selalu berkaitan dengan

pengerjaan limit. Terdapat dua topik yang mengantarkan Anda kepada pemahaman mengenai konsep turunan. Topik pertama adalah gradien garis singgung, dan topik kedua adalah masalah kecepatan sesaat dalam gerak lurus suatu benda. Kedua masalah tersebut tampaknya tidak berhubungan sama sekali, tetapi segera akan diketahui bahwa kedunya merupakan perwujudan dari sebuah pemikiran yang serupa. Kompetensi Utama Mahasiswa dapat menentukan turunan suatu fungsi. Kompetensi Penunjang Mahasiswa dapat 1. menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan definisi turunan, 2. menentukan turunan berbagai bentuk fungsi, 3. menentukan turunan implisit, 4. menyelesaikan persoalan-persoalan dengan menggunakan turunan. 3.1 Garis Singgung Singgung dan Kecepatan Sesaat GARIS SINGGUNG. SINGGUNG Untuk memahami konsep garis singgung, kita mulai dengan mengikuti beberapa intruksi berikut:

115

Turunan

Turunan

1. Buat gambar suatu kurva sembarang pada bidang kartesius. 2. Buatlah sebuah garis yang menyinggung kurva itu pada suatu titik! 3. Beri nama titik itu dengan titik P

Perhatikan kurva dan garis yang Anda buat, apa yang dapat Anda pikirkan mengenai garis singgung pada satu titik?

Untuk suatu lingkaran, garis singgung di suatu titik pada lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran hanya pada titik itu. Definisi ini tidak berlaku untuk kurva sebarang. Perhatikan Gambar 3.1

i

ii

iii

Gambar 3.1 Untuk mendefinisikan pengertian garis singgung secara formal, perhatikan Gambar 3.2,

116

Turunan

Gambar 3.3

Gambar 3.2

Agar fenomena ini dapat dirumuskan secara matematis, perhatikan Gambar 3.3. Kemiringan garis tali busur yang melalui titik P (c,f(c)) dan Q(c +h, f(c+h)) biasa disebut msec merupakan perbandingan antara perubahan-y (∆) dengan perubahan-x (∆). atau dapat dirumuskan secara matematis sebagai

Perhatikan Gambar 3.3 kembali, bagaimana menentukan nilai m ? Untuk mengetahui itu, geserlah titik Q mendekati titik P, jika titik P semakin dekat ke titik Q maka

∆ = … - …

akan semakin kecil. Oleh karena itu kemiringan garis singgung di titik P = (c,f(c)) dapat dinyatakan sebagai limit dari msec, , jadi kemiringan garis singgung kurva pada titik (c,f(c)) dapat didefinisikan sebagai berikut

117

Turunan

Turunan

Contoh 3.1. 3. . Carilah persamaan garis singgung kurva f(x) = x2 + 1 di (1,2). Sketsalah grafik f beserta garis singgungnya! Penyelesaian:

1 + ℎ) − 1)

→ ℎ

1) = lim

= lim →

=

y

f(x) = x2 + 1

)

lim →

y = 2x

=2 Garis singgung kurva adalah y – 2 = 2 (x-1) atau y = 2x

(1,2)

2

Sketsa grafik f beserta garis singgungnya diberikan oleh 1

Gambar 3.4

x

Gambar 3.4 KECEPATAN SESAAT. SESAAT Perhatikan sebuah benda yang jatuh bebas, hasil percobaan menunjukkan posisinya setiap saat ) = 16 . Ingin diketahui berapa kecepatannya saat

t =1? Definisi yang digunakan adalah sebagai berikut, =

!

= lim " ∆!→

! " !

+ ∆) − ) ∆!→ ∆

= lim

Perhatikan kembali rumus kemiringan garis singgung dan bandingkan dengan kecepatan sesaat. Bagaimana bentuk rumusan matematiknya? Apakah sama?__________. Sekarang apa yang bisa Anda simpulkan

118

Turunan

Contoh 3.1. 3. . Seekor bakteri berkembang sehingga beratnya setelah t jam adalah # + 1

gram. Berapa laju perkembangannya pada saat t = 2 jam? Penyelesaian:

Misalkan Berat bakteri = p, maka p(t) = # + 1. Sehingga laju perkembangan bakteri dapat

dinyatakan sebagai

$% $!

yaitu

$% $!

= lim

∆!→

= lim

∆!→

= lim

Saat t = 2 diperoleh

$% $!

=

∆!→

%!∆!)%!) ∆!

# !∆!) &#! '

∆!

# ! !∆!∆! 2 )#! )

!∆!∆! 2 lim ∆! ∆!→

∆!

=

=2

Jadi laju perkembangan bakteri saat 2 jam yaitu 2 mg/jam Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

119

Turunan

Turunan


Cari kemiringan garis singgung terhadap = − 2 di titik (2,0), sketsa grafik y beserta

garis singgungnya

Petunjuk Pengerjaan. Carilah dengan menggunakan definisi garis singgung dan selanjutnya subsitusi absis = 2

LATIHAN MANDIRI 3.1 Dalam soal Nomor 1 sampai dengan Nomor 4, tentukan persamaan garis singgung pada kurva yang diberikan di titik yang ditentukan. Gambarkanlah sketsa kurva bersama-sama dengan garis singgungnya.

120

Turunan 1. y = x2 – 4x – 5 ; (-2,7) 2.

+

y = , ; (3,2)

3. y = (4 − 3; (3,3)

4. y = - . ; (4,8)

5. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 2x2 + 3 yang sejajar dengan garis

8x – y + 3 = 0 6. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x3 – 3x yang tegak lurus pada garis 2x +18 y - 9 = 0 Penyelesaian ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ……...………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………...…… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………

121

Turunan

Turunan

………………………………...………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 3.2

Turunan Pasal 3.1 telah menjelaskan bahwa kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat

merupakan manifestasi sebuah pemikiran dasar yang sama. Laju pertumbuhan organisme, keuntungan marginal, kepadatan kawat dan laju pemisahan adalah versi-versi lain dari konsep yang sama. Konsep ini yang menggiring kita ke definisi turunan. DEFINISI TURUNAN. TURUNAN Misalkan f suatu fungsi riil dan ∈ 01 turunan dari ditulis ′ adalah 3 ) = lim

→

+ ℎ) − ) ℎ

NOTASINOTASI-NOTASI LAIN UNTUK TURUNAN. Perumusan dari suatu bentuk turunan tidak ada

yang baku. Hal ini didasarkan pada definisi turunan yang merupakan lim∆, ∆, . Jadi ∆4

turunan dapat dirumuskan berdasarkan dari cara kita melukiskan kurva titik singgung f .

Untuk lebih mudahnya perhatikan Gambar 3.5. Gambar 3.6, Gambar 3.7

122

Turunan Dari Gambar 3.5 Sehingga

Gambar 3.5

Dari Gambar 3.6 Sehingga

diperoleh ∆ = ⋯

dan ∆ = ⋯.

diperoleh ∆ = ⋯

dan ∆ = ⋯.

…

→ …

3 ) = lim

… !→, …

3 ) = lim

Gambar 3.6 Dari Gambar 3.7 diperoleh

3 ) = lim

…

!→, …

Simbol-simbol berikut mempunyai arti yang sama

3 ) = $, = 078 = 0, 78 $4

Contoh 3.3 3.3. Gunakan definisian turunan untuk menentukan 93 :) jika diketahui

9) = ,. .

123

Turunan

Turunan

Penyelesaian: Gunakan aturan limit turunan

93 :) = lim,→; = lim,→; =

=

=

=

<,)<;) ,;

=>? @>?

,; ;.),.) lim,→; A ,.);.) . ,;C ,;) lim,→; A,.);.) . ,;C lim,→; A,.);.)C D.)

Contoh 3.4 3.4. Masing-masing fungsi berikut adalah turunan suatu fungsi, tetapi dari fungsi apa dan dititik mana? a. lim →

E ) +

= ? b. lim,→. ,.

Penyelesaian:

a. Fungsi ) = di titik x = 4

b. Fungsi ) = di titik x = 3 ,

Contoh 3.5 3.5. Carilah persamaan garis singgung terhadap ) = , di titik (1,½)

Penyelesaian:

Cari gradien garis singgung (m) dengan turunan. Dapatkan persamaan garis singgungnya dengan rumus − = − )

) − :) F = lim −: F ,→; # # >## >#

= lim,→ = = lim,→ =

=

124

=

,

G= >#) &= >#')

, , lim,→ ), ) . ,) 7,),)8 lim,→ ), ) . ,) 7,8 lim,→ ), )

Turunan . −

=−

=

substitusi titik (1,½) dan m = -½ ke − = − ) − = − − 1)

2 − 1 = 1 − 2 + − 2 = 0 Jadi persamaan garis singgungnya adalah 2y + x -2 = 0



1. Tentukan turunan dari fungsi berikut ) = (2

Petunjuk Pengerjaan. Pengerjaan. Gunakan aturan limit untuk menyelesaikannya.

125

Turunan

Turunan

2. Limit yang diberikan adalah turunan, tetapi dari fungsi apa dan di titik mana? I )? I)?

, E lim,→ ,

a. lim →

b.

Petunjuk Pengerjaan: perhatikan aturan limit.

3.

Tentukan titik-titik pada grafik = #? . + − yang kemiringan garis singgungnya

bernilai 1.

Petunjuk Pengerjaan: Pengerjaan Gunakan rumus mencari persamaan garis singgung − = −

)

126

Turunan

LATIHAN MANDIRI 3.2

1. Tentukan turunan dari fungsi berikut ) =

Penyelesaian

, , ,

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………. 2. Masing-masing fungsi berikut adalah suatu turunan, tetapi dari fungsi apa dan di titik mana?

. ) . )I

! , lim!→, !, JKL ,JKL 4 lim,→4 ,4

a. lim →

b. c.

Penyelesaian:

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

127

Turunan 3.

Turunan

Tentukan persamaan garis singgung pada = 4 − yang melalui (2,5)

Penyelesaian:

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 4.

Jika ) = −) buktikan bahwa 3 ) = − 3 )

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

128

Turunan

3.3 Turunan Sepihak Ingatlah kembali eksistensi sebuah limit. Telah diketahui bahwa limit suatu fungsi ada jika limit kiri dan limit kanannya ada dan keduanya bernilai sama. Telah dibahas pada

bagian 3.2 bahwa nilai turunan 3 M) dari suatu fungsi adalah sebuah ungkapan limit yaitu 3 M) = lim

→

M + ℎ) − M) ℎ

Dengan demikian untuk menjamin bahwa nilai turunan pertama fungsi f di titik x = a, 3 M) ada ditentukan oleh limitnya (dalam hal ini limit kiri dan limit kanannya).

DEFINISI TURUNAN KANAN. KANAN. Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi di a. Turunan kanan dari f di x = a dinyatakan

3 M) = lim>

→

M + ℎ) − M) ℎ

DEFINISI TURUNAN KIRI. KIRI. Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi di a. Turunan kiri dari f di x = a dinyatakan

3 M) = limG

→

M + ℎ) − M) ℎ

DIFFERENSIABEL. Jika nilai 3 M) = 3 M) dan ada maka dikatakan f differensiabel di x =

a.

KETERDIFERENSIALAN DAN KEKONTINUAN. KEKONTINUAN Perhatikan Gambar 3.8 & Gambar 3.9

Gambar 3.8

Gambar 3.9

129

Turunan

Turunan

Berdasarkan Gambar 3.8 dan Gambar 3.9, lengkapi tabel 3.1 Tabel 3.1

y = x2 Apakah Kontinu di x = 0 ? 3 0)

y = NN

3 0) ′ 0)

Apakah differensiabel di x =

0 Berdasarkan informasi dari Tabel 3.1 terlihat bahwa suatu fungsi yang kontinu di suatu titik tidak menjamin fungsi tersebut _____________ di titik tersebut. Tetapi sebaliknya, jika suatu fungsi ___________ di suatu titik maka fungsi tersebut ______________ di titik tersebut. Atau bisa dikatakan juga,

jika 3 :) ada , maka …

Contoh 3.6 3.6. Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan oleh: 2 − 1 , QRSM < 3W ) = O 8 − , QRSM ≥ 3 Gambarkan sketsa grafik f a. b.

Buktikan bahwa f kontinu di 3

Carilah 3 3) dan 3 3). Apakah f differensiabel di 3?

Penyelesaian

a. f(3) = 8-5 = 5. Sedangkan lim,→.> ) = lim>8 − ) = 5 dan ,→.

lim,→.G ) =

lim 2 − 1) = 5 . Jadi lim,→. ) = 5 . Oleh karena f(3) = lim,→. ) = 5 dapat

,→.G

disimpulkan f kontinu di 3.

b. 3 3) = limG

1. )1.)

→

3 3) = lim>

→

130

= limG

. ) I

→

= 2, dan

3 + ℎ) − 3) 8 − 3 + ℎ) − 5 = limG = −1

→ ℎ ℎ

Turunan Oleh karena 3 3) ≠ 3 3) dapat disimpulkan f tidak differensiabel di 3.

Grafik f diberikan oleh Gambar 3.10

Gambar 3.10 Contoh 3.7 3.7. Misalkan f fungsi yang didefinisikan oleh: 1 jika 0 < < ` W fx) = \ x 1 − Ex jika x ≥ b

a. Tentukan nilai b agar f kontinu di b

b. Apakah f differensiabel untuk nilai b yang ditemukan bagian a? Penyelesaian

a. Agar f kontinu di b, lim,→b> &1 − #cx' = lim> , ⟺ 1-#cb = e# ⟺ ` = 2

b. lim,→> &1 − x' = # c

dan

lim ,→> ,

=

.

,→b

Oleh karena itu f differensiabel di x = 2



131

Turunan

Turunan

1. Fungsi f didefinisikan sebagai berikut

+ 2 QRSM ≤ −4 W ) = O − − 6 QRSM > −4 Gambarlah sketsa grafik fungsinya. Kemudian a. Tentukan apakah f kontinu di 4

b. Carilah 3 4) dan 3 4) jika ada. Apakah f differensiabel di 4?

Petunjuk Pengerjaan. Sketsa grafik f terdiri dari dua grafik garis lurus. Tentukan

f(4), lim>) dan ,→E

lim ). Jika nilai dari dua limit ini sama dengan f(4), dapat

,→E G

disimpulkan f kontinu di 4. Jika tidak f tidak kontinu di 4. Gunakan definisi dari limit kiri

dan limit kanan untuk menentukan 3 4) dan 3 4). Jika nilainya sama dapat

disimpulkan f differensiabel.

2. Diketahui fungsi ) = 1 + N + 2N, sketsalah grafik fungsinya. Kemudian a. tentukan apakah f kontinu di 2

b. carilah 3 2) dan 3 2) jika ada

Petunjuk Pengerjaan. Ubahlah dulu f ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak, kemudian kerjakan seperti pada soal latihan terbimbing nomor 1

132

Turunan

LATIHAN MANDIRI 3.3

1. Diketahui fungsi ) = O a. Sketsalah grafik f

3 jika ≤ 2W . jika > 2

b. Apakah f kontinu di x = 2 ? c. Carilah 3 2) dan 3 2)

d. Apakah f differensiabel di x = 2?

penyelesaian:

133

Turunan

Turunan

……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

134

Turunan 2. Diketahui fungsi ) = O a. Sktesalah grafik f

jika < −1 W −1 − 2 jika ≥ −1

b. Apakah f kontinu di x = -1 ?

c. Carilah 3 −1) dan 3 −1)

d. Apakah f differensiabel di x = -1? penyelesaian: ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

135

Turunan

Turunan

3. Diketahui ) = j

− 7 jika 0 < ≤ ` + ,

jika > `

W

a. Tentukan nilai b agar f kontinu di b

b. Apakah f differensiabel untuk nilai b yang ditemukan pada bagian (a)? penyelesaian: ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 4. Carilah nilai a dan b sehingga f differensiabel di 1 jika ) = O Penyelesaian:

jika 0 < < 1 W M + ` jika ≥ 1

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

136

Turunan 5. Diketahui f(x) = (8 − .

a. Buktikan bahwa f kontinu kiri di 2

b. Buktikan bahwa 3 2) tidak ada

penyelesaian:

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 6. Diketahui f(x) = sgn x

a. Buktikan bahwa 3 0) dan 3 0) tidak ada

b. Buktikan bahwa lim,→ ) = 0 dan lim,→ ′) = 0 c. Sketsalah grafik f

Penyelesaian: ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

137

Turunan

Turunan

3.4 Aturan Pencarian Turunan Proses penemuan turunan suatu fungsi dengan menggunakan definisi biasanya agak panjang dan kadangkala rumit. Disini diungkapkan beberapa turunan fungsi yang membuat kita lebih mudah menemukan turunan suatu fungsi. Perhatikan ilustratasi berikut: TURUNAN FUNGSI KONSTANTA. KONSTANTA. Untuk menemukan turunan fungsi konstanta f(x) = c., kita gunakan definisi turunan yaitu 3 ) = lim →

1, )1,)

=…

TURUNAN FUNGSI f(x) = xn, Berdasarkan definisi turunan, 3 ) = lim →

1, )1,)

= lim →

, )l , l

.

Gunakan binomial o o o o o + ℎ)m = n p m + n p m ℎ + n p m ℎ + ⋯ + n p ℎm + n p ℎm 0 o−1 o 1 2 =…

q Catatan: n p = r

q! r!qr)!

Jadi 3 ) = lim → =⋯

= ….

= …

138

m m m m m tn p, l n p, lG# n p, lG ⋯n p, lG# n p l u, l m m

(bagilah setiap suku dengan h)

Turunan TURUNAN FUNGSI HASIL KONSTANTA DENGAN SUATU FUNGSI, cf(x) . Misalkan g(x) =

cf(x) maka berdasarkan definisi turunan, 93 ) = lim →

<, )<,)

= lim →

;1, );1,)

= ⋯.

TURUNAN JUMLAH DUA FUNGSI, FUNGSI, f(x) + g(x) . Misalkan h(x) = f(x)+g(x) maka berdasarkan definisi turunan,

ℎ3 ) = lim → = lim →

, ) ,) .

71, )<, )871,)<,)8

=⋯

(pisahkan f(x) & g(x))

=⋯

TURUNAN HASIL KALI DUA FUNGSI,

f(x). g(x) .

Misalkan h(x) = f(x).g(x) maka

berdasarkan definisi turunan, ℎ3 ) = lim → = lim →

, ) ,) .

71, ).<, )871,).<,)8

Tambahkan pembilang dengan f(x+h).g(x) – f(x+h)g(x) ℎ3 ) = lim → = lim →

= lim →

= lim →

= …

71, ).<, )81, )<,)1, )<,)71,).<,)8

71, ).<, )81, )<,)1, )<,)71,).<,)8

71, )7<, )<,)8<,)71, )1,)8 … …

+ lim →

… …

139

Turunan

Turunan

TURUNAN HASIL BAGI DUA FUNGSI, turunan,

ℎ3 ) = lim →

vw) . xw)

Misalkan h(x) =

vw) xw)

maka berdasarkan definisi

, ) ,) .

= lim → … Tambahkan pembilang dengan f(x).g(x) – f(x)g(x) ℎ3 ) = ⋯ =⋯

=⋯

Jadi dapat kita simpulkan beberapa aturan pencarian turunan: 1. Dx[c]

= …

4. Dx[f(x) + g(x)] = …

2. Dx[xn ]

=…

5. Dx [ f(x).g(x)] = … 1,)

6. DxA<,)C

3. Dx[c f(x)] = …

=…

Contoh 3.7 3.7 Carilah 0, 72 E − 38

Penyelesaian:

) = 2 E dan 9) = 3. Gunakan aturan 0, 7)8 − 0, 79)8

0, 7)8 = 8 .

dan

$

.

Contoh 3.8 3.8 Carilah $, n, y p

Penyelesaian: ) = 3

FMo

Gunakan aturan

140

0, 79)8 = 3, maka 0, 7)8 − 0, 79)8 = 8 . − 3

9) = I

z= 71,)8<,)1,)z= 7<,)8 <,))

Turunan 0, 7)8 = 0

0, 79)8 = 5 E , maka:

dan

0, 7)89) − )0, 79)8 0 I ) − 35 E ) −15 E 15 F 3 { I| = = = =− + I 9)) ) F $4

Contoh 3.9 3.9 Carilah $, jika = Penyelesaian:

, , ,

Misalkan ) = +

dan

0, 7)8 = 2 + 1

0, 79)8 = 2 , maka:

Gunakan aturan

$4 $,

=

9) = 2

z= 71,)8<,)1,)z= 7<,)8 <,))

dan

z= 71,)8<,)1,)z= 7<,)8 <,))

=

,), ,) ,)

Contoh 3.10 3.10 Carilah $, jika = E − 1) + 1)

=

E,, , E,

=

, , E,

$4

Penyelesaian:

Misalkan ) = E − 1 dan

9) = + 1

0, 7)8 = 4 . dan 0, 79)8 = 2 , maka : $4 $,

= 0, 7)89) + )0, 79)8

= 4 . ) + 1) + E − 1)2) = 4 I + 4 . + 2 I − 2 = 6 } + 4 . − 2


141

Turunan

Turunan


1. Tentukan hasil turunan dari ) = + 3 + ,

Petunjuk Pengerjaan: Pengerjaan Gunakan sifat turunan.

2. Tentukan hasil turunan dari = + 4) + 1)

Petunjuk Pengerjaan: Pengerjaan: Gunakan sifat turunan untuk perkalian fungsi, Pandanglah sebagai hasil kali dua fungsi

3.

Carilah persamaan garis singgung pada kurva = . − 4 di titik (2,4)

Petunjuk Pengerjaan: Pengerjaan Tentukan gradien garis singgung m dari y yaitu dengan menentukan nilai y’ di x= 2. Untuk menentukan persamaan garis singgung gunakan persamaan − ) = − ).

142

Turunan

4.

$4

Tentukan $, dari fungsi =

, .,I

Petunjuk Pengerjaan: Pengerjaan Gunakan sifat turun untuk hasil bagi dua fungsi

5.

Tunjukkan bahwa 07)8 = 2. ). 3 )

Petunjuk Pengerjaan: Pengerjaan: gunakan aturan hasil kali turunan

LATIHAN MANDIRI 3.4 1. Carilah turunan dari f(x) = Penyelesaian:

,? .

+

. ,?

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

143

Turunan

Turunan

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2. Tentukan hasil turunan dari ℎ~) =

Penyelesaian:

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… $4

3. Carilah $, dari fungsi = . )3 + 2) E − 3 + 1) Penyelesaian:

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

4.

Tentukan hasil dari 93 ) dari fungsi 9) =

Penyelesaian:

! 3 !I

− 1)

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

144

Turunan ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

5.

Carilah persamaan persamaan garis singgung pada kurva =

Penyelesaian:

di ,

titik (2,1)

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

6.

Carilah semua titik pada grafik =

garis =

,y

yang garis singgungnya tegak lurus dengan

Penyelesaian:

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

7.

Diketahui f(x) = .x3 + 2x2 + 5x + 5. Perlihatkan bahwa f ‘ (x) > 0 untuk setiap nilai x

Penyelesaian:

………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

145

Turunan

Turunan

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 8.

Jika f, g, dan h adalah fungsi yang turunannya ada dan (x) = f(x).g(x).h(x) buktikan

bahwa ′(x) = f(x).g(x).h’(x) + f(x).g’(x).h(x) + f ’(x). g(x).h(x)

Penyelesaian:

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 3.5 Turunan Fungsi Trigonometri Turunan fungsi trigonometri yakni sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, dan csc x dapat kita tentukan dengan menggunakan definisi turunan. Kita mungkin harus mengingat kembali bahwa

1. lim,→

2.

JKL , = 1, dan , J , lim,→ , = 0

TURUNAN y = sin x. Gunakan definisi turunan dan kesamaan

Sin (a +b) = sin a cos b + cos a sin b sehingga

3 = lim → = ….

146

m, )JKL , .

Turunan

TURUNAN y = cos x . Gunakan definisi turunan dan kesamaan

Cos(a + b) = cosa ccos os b – sin a sin b sehingga

3 = lim →

;, )J , .

= ….

q w

TURUNAN y = tan x. Gunakan fakta bahwa tan x = w. Sehingga dapat digunakan aturan

hasil bagi dua fungsi untuk menurunkan y = tan x. 3 = ⋯

TURUNAN y = cot x. Gunakan fakta bahwa cot x = w. Sehingga dapat digunakan aturan hasil bagi dua fungsi untuk menurunkan y = cot x. 3 = ⋯

147

Turunan

Turunan

TURUNAN y = sec x. Gunakan fakta bahwa sec x = . Sehingga dapat digunakan aturan

hasil bagi dua fungsi untuk menurunkan y = cot x. 3 = ⋯

Jadi dapat disimpulkan bahwa

1. 0, 7sin 8 =…

2. 0, 7cos 8 = ⋯ 3. 0, 7tan 8 = ⋯ 4. 0, 7cot 8 = ⋯

5. 0, 7sec 8 = ⋯ 6. 0, 7csc 8 = ⋯

Contoh 3.11 3.11 Diketahui ) = sin . Carilah 3 )

Penyelesaian:

Dapat digunakan aturan perkalian turunan, misalkan sehingga 0, 7)8 = 2 dan 0, 79)8 = cos

Jadi

) = dan 9) = sin ,

3 ) = 0, 7)89) + )0, 79)8 = 2 sin + cos JKL ,

$4

Contoh 3.12 3.12 Diketahui = J ,. Carilah $,

Penyelesaian:

148

Turunan Dapat

digunakan

aturan

pembagian

turunan,

misalkan

g) = 1 − 2 cos . Sehingga 0, 7)8 = cos , 0, 79)8 = 2 sin

Jadi

) = sin

dan

F 0, 7)89) − )0, 79)8 = 9)) F

=

=

=

J , J ,)JKL , JKL ,) J ,)

J ,; ,m , J ,) J ,

J ,)



1. Tentukan hasil turunan dari = 4 sin cos

Petunjuk Pengerjaan: Pengerjaan gunakan sifat perkalian turunan.

149

Turunan

Turunan

2. Perlihatkan bahwa kurva = (2 sin dan = (2 cos , 0 < < lurus di sebuah titik tertentu.

berpotongan tegak

Petunjuk Pengerjaan: Pengerjaan: tentukan gradien terlebih dahulu untuk dua kurva yang saling tegak lurus m1.m2 = -1

LATIHAN MANDIRI 3.5 3.5 1. Tentukan turunan dari f(x) = 4x2 cos x Penyelesaian: ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2. Tentukan turunan dari h(y) = y3 – 3 sec y tan y Penyelesaian: ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

150

Turunan ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 3. Tentukan 0! A

Penyelesaian:

J ! J !

C

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 4. Tentukan 0, 7 − ~Ro) + cos )8 Penyelesaian:

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… , JKL ,

5. Tentukan hasil turunan dari = J ,

Penyelesaian:

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 6. Carilah persamaan garis singgung = tan di = 0 Penyelesaian:

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

151

Turunan

Turunan

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 3.6 Aturan Rantai

$1

Misalkan = ) dan = ). Bagaimanakah menghitung $, ? $1

Ilustrasi. ) = ~Ro dan = − 2 + 1. Berapakah $,? Perhatikan Gambar 3.6

Gambar 3.11 $1

Untuk mendapatkan $, . Pertama turunkan f terhadap u, kemudian turunkan u terhadap x.

Jadi dapat disimpulkan

F = ⋯. F Yang disebut aturan rantai bersusun $4

Contoh 3.12 Tentukan $, jika = sin dimana = . − 3

Penyelesaian:

F F F = = cos ) 3 − 3) = 3 − 3)cos . − 3) F F F

Contoh 3.13 3.13 Cari 0, 7~Ro. 4)8

Penyelesaian:

Misalkan = . dan = sin dan = 4

152

Turunan Maka,

0, = 0 . 0 . 0, = 3 . cos . 4 = 3~Ro 4). cos4) . 4 = 12~Ro 4). cos4) Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBING 3.6 3.6

E , p ,E , sehingga = ,E

1. Tentukan hasil turunan = n

Petunjuk Pengerjaan: Pengerjaan Misalkan u

y = u4. Kemudian gunakan aturan rantai

153

Turunan

Turunan

2. Garis singgung terhadap kurva = cos ) di = ( akan memotong sumbu-x diposisi berapa?

Petunjuk Pengerjaan: Pengerjaan Tentukan gradien garis singgung dengan menurnkan y, kemudian tentukan persamaan garis singgungnya di

= (. Setelah itu tentukan nilai x yang

persamaan garis singgungnya sama dengan 0 (karena yang diminta adalah memotong sumbu-x)

3.

Cari 0, sin7cos )8

Petunjuk Pengerjaan: Pengerjaan Misalkan u = x2, v = sin u. Gunakan aturan rantai bersusun

154

Turunan

LATIHAN MANDIRI 3.6

1. Tentukan hasil turunan = 2 − 9) . + 4 − 5). Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… JKL ,

.

2. Tentukan hasil turunan = nJ ,p

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 3.

Tentukan turunan dari f(x) = sec3(x2 + 2x)

Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

155

Turunan

Turunan

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 4.

Tentukan turunan = ~Ro. cos . )

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 5.

Carilah persamaan garis singgung pada kurva = − 1) dititik (-2,9)

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

156

Turunan 3.7 Turunan Tingkat Tinggi

Misalkan ) suatu fungsi dan mempunyai turunan pertama 3 ). Turunan

kedua dari f adalah turunan pertama dari 3 )

F … = lim

→ … F Dengan cara yang sama turunan ketiga dan keempat dan seterusnya turunan ke-n dapat 33 ) = 0 78 =

dituliskan sebagai

$

Contoh 3.14 Hitunglah (4 + 1 $! Penyelesaian

F A4 + 1) 4)C F (4 + 1 = F F # F A4 + 1) 2)C = F ? = 2. 4 + 1) 4) #

$? 4

Contoh 3.15 Jika = sin 2 cari $,? Penyelesaian

$c 4 $, c

= −44 + 1) ?

$ # 4

dan $, #

$4 $,

= 2 cos 2 ,

$ 4 $,

= −2 sin 2,

$? 4 $, ?

= − 2. cos 2

$c 4 $, c

= 2E sin 2,

$y 4 $, y

= 2I cos 2, ….,

$ # 4 $, #

= 2 sin 2

$ 4

Contoh 3.16 Diketahui + = 1, perlihatkan bahwa = − ? $, 4 Penyelesaian

+ = 1 ⟺ = 1 −

157

Turunan

Turunan

Maka

# # F (1 − F 1 F F − = ¢ £ 1 − ) −2)¡ = A1 − ) −)C = F F 2 F F 1 − )#

Misalkan ) = − dan 9) = 1 − ) #

Maka, 0, 7)8 = −1 dan 0, 79)8 = 1 − ) −2)

#

# # 1 0, 7)89) − )0, 79)8 A−1 − ) C − A−) 2 1 − ) −2)C = # 9)) A1 − ) C

=

=

=

A−1 − ) C − A 1 − ) C #

1 − 7−1 − )8 − 7 8

#

1 − ) −1 ?

1 − ) 1 =− . ?


LATIHAN TERBIMBING 3.7:

158

Turunan 1. Tentukan I) jika ) = cos 2 − sin 2

Petunjuk Pengerjaan: Pengerjaan Turunkan f sebanyak 5 kali secara bertahap

2.

Andaikan 9) = M + ` + : dan 91) = 5 , 93 1) = 3 , 933 1) = −4. Carilah a, b, dan c.

Petunjuk Pengerjaan: Pengerjaan: Carilah turunan pertama dan kedua, subtitusi nilai yang diketahui diperoleh dua persamaan, selesaikan persamaan itu

159

Turunan 3.

Turunan

Posisi dua partikel P1 dan P2 pada sebuah garis koordinat pad akhir t detik masing-

masing diberikan oleh ~ = 3 . − 12 + 18 + 5 dan ~ = − . + 9 − 12. Kapan kedua partikel tersebut mempunyai kecepatan yang sama?

$

Petunjuk Pengerjaan: Pengerjaan: mempunyai kecepatan yang sma jika = dimana = $!

LATIHAN MANDIRI 3.7

1. Tentukan 0, . 7 E − 2 + − 58

Penyelesaian:

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2. Diketahui ) = Penyelesaian:

160

,y QRSM N,N ¤

≠ 0W tentukan 333 ) 0 QRSM = 0

Turunan ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

3. Cari sebuah rumus untuk 0,m n p , Penyelesaian:

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

4. Sebuah benda dilempar langsung ke bawah dari puncak sebuah karang dengan

kecepatan awal kaki/detik kira-kira jatuh sejauh ~ = + 16 kaki setelah t detik.

Jika benda tersebut membentur permukaan laut di bawah setelah 3 detik dengan kecepatan 140 kaki/detik, berapakah tinggi karang tersebut? Penyelesaian: ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

161

Turunan

Turunan

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 3.8 Differensial Implisit

Perhatikan grafik . + 7 = . berikut

Gambar 3.12 Akan dicari persamaan garis singgung pada Gambar 3.12 yang melalui titik (2,1). Masalah: bagaimana mencari

$4 $,

fungsi tersebut? Sebuah fungsi dikatakan berbentuk implisit bila

berbentuk F(x,y) = 0. Pada bentuk ini variabel x dan y tercampur dalam suatu ekspresi. Misalnya fungsi (a.) . + 7 − . = 0 dan (b.) sin) + . = 5

Prinsip. Prinsip Perhatikan bentuk implisit F(x,y) = 0 untuk mencari terhadap variable x

$4 $,

turunkan kedua ruas

$4

Contoh 3.17 3.17 Carilah $, dari 4 − 3 = . − 1

Penyelesaian:

Metode I. Dapat diselesaikan persamaan yang diberikan secara jelas untuk y sebagai berikut:

Jadi,

4 − 3) = . − 1 . − 1 = 4 − 3

F 4 − 3)3 ) − . − 1)8) 4 E − 9 + 8 = = F 4 − 3) 4 − 3) Metode II. II (differensial implisit). Turunkan kedua ruas 4 − 3 = . − 1

Setelah memakai aturan hasil kali pada suku pertama, didapatkan

162

Turunan 4

F F + . 8 − 3 = 3 F F

F 4 − 3) = 3 − 8 F F 3 − 8 = 4 − 3 F Terlihat jawaban ini berlainan dengan jawaban yang diperoleh terdahulu, tetapi keduanya , ?

sama. Untuk mendapatkannya, gantikan = E, . , maka . − 1 − 8 { | 3 F 4 − 3 = 4 − 3 F

=

12 E − 9 − 8 E + 8 4 E − 9 + 8 = 4 − 3) 4 − 3)

Contoh 3.18 3.18 Cari persamaan garis singgung pada kurva . − + cos = 2 di titik

(0,1)

Penyelesaian: Lakukan differensial kedua ruas terhadap x, sehingga

3 3 − 2 3 ) − − sin ) 3 + ) = 0 3 3 − 2 − ~Ro ) = + ~Ro + ~Ro 3 = 3 − 2 − ~Ro

Di (0,1), = . Sehingga, persamaan garis singgung di (0,1) adalah .

1 − 1 = − 0) 3 1 = +1 3 Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

163

Turunan

Turunan

LATIHAN TERBIMBING 3.8 $4

1. Carilah $, dari . . = 8

Petunjuk Pengerjaan: Pengerjaan turunkan kedua ruas

$4

2. Jika diketahui + 5 . = + 9 . Tentukan $,

Petunjuk: Petunjuk turunkan kedua ruas

164

Turunan 4. Diketahui + 25 = 100, perlihatkan bahwa

$ 4 $,

=−

Petunjuk Pengerjaan: Pengerjaan turunkan dua kali terhadap variabel x

E I4

LATIHAN MANDIRI 3.8 3.8 $4 dengan $, + =1 4 , 4 = 2 2 (,4

1. Carilah a. b.

diferensial implisit

c. sin + cos = 1

d. sec2 x + csc2 y = 4 e. (x + y)2 – (x – y)2 = x3 + y3 f. cos (x+y) = y sin x

Penyelesaian

165

Turunan

Turunan

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

166

Turunan 2. Cari 0, jika diketahui + 3 = 10

Penyelesaian:

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

3. Carilah persamaan garis singgung pada + = x di titik (1,4) Penyelesaian:

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 4.

Sketsakan grafik lingkaran − 4 + + 3 = 0. Kemudian cari persamaan-

persamaan untuk dua garis singgung yang melalui titik asal. Penyelesaian: …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

167

Turunan

Turunan

3.9 Laju yang Berkaitan Jika variabel y bergantung kepada t, maka turunannya dy/dt disebut laju perubahan

y terhadap t.. Untuk menyelesaikan berbagai persoalan yang menyangkut laju perubahan ini, kita mulai dengan menyelesaikan permasalahan berikut “ Sebuah tangga yang panjangnya 25 kaki bersandar pada dinding tegak. tegak. Jika ujung bawah tangga ditarik mendatar dari arah dinding dengan kecepatan 3 kaki/detik, dengan kecepatan berapa ujung atasnya tergelincir ke bawah bila ujung bawah tangga berada 15 kaki dari dinding?” Untuk menjawab ini, ikutilah prosedur berikut: 1.

Buatlah gambar yang mengilustrasikan kondisi tersebut

2. Tentukan peubah-peubah yang terlibat. Misalkan t menyatakan waktu (dalam detik) sejak tangga mulai tergelincir ke bawah, y menyatakan jarak (dalam kaki) ujung atas tangga dari tanah, dan x menyatakan jarak (dalam kaki) ujung bawah tangga dari dnding pada saat t detik

3. Tuliskan semua fakta numerik yang diketahui tentang setiap peubah t, y, dan x.

168

Turunan 4. Tentukan semua peubah yang bergantung kepada t.. Karena ujung bawah tangga ditarik mendatar menjauhi dinding dengan kecepatan 3 kaki/detik maka F =⋯ F Karena yang ditanyakan adalah kecepatan pada saat ujung atas tergelincir ke bawah bila ujung bawah tangga berada 15 kaki dari dining, maka yang dicari adalah … pada saat

x = …. .

Perhatikan gambar yang Anda buat pada langkah 1, karena dinding dan tanah membentuk siku-siku, maka menurut Teorema Phytagoras berlaku

y2 = …. 5. Diferensiasikan persamaan yang ditemukan pada langkah 4 terhadap t. Ingat bahwa y dan x bergantung kepada t

6. Subtitusi besaran yang diketahui dalam persamaan yang ditemukan pada langkah 5

Contoh 3.19. 3.19. Air dituangkan ke dalam bak berbentuk kerucut dengan laju 8 dm/menit. Jika tinggi bak adalah 12 dm dan jari-jari permukaan atas adalah 6 dm, berapa cepat permukaan air naik bila tinggi permukaan adalah 4 dm?

169

Turunan

Turunan

Penyelesaian Misalkan tinggi permukaan air pada saat t sebarang

6

adalah h. dan r adalah jari-jari permukaan air Diketahui volume air V dalam bak naik dengan laju 8 dm/detik yaitu

F =8 F Ingin diketahui seberapa cepat air naik yakni

12 h

$ $!

pada

saat h = 4. Volume bak air berbentuk kerucut adalah Gambar 3.13

= . ¥ ℎ, Perhatikan bahwa

Diferensialkan diperoleh

"

+

= diperoleh ¥ = ℎ maka =

1 ℎ. 12

F 1 Fℎ = ℎ F Fℎ 4 $¦ $ pada h = 4 maka diperoleh Karena = 8 dan yang ditanyakan adalah $!

$!

Fℎ 2 1 Fℎ 8 = 4 ⟺ = 4 F F Jadi pada saat ketinggian air 4 dm, permukaan air naik dengan laju dm/detik.


LATIHAN TERBIMBING 3.9 Sebuah kubus bertambah dengan laju 16 cm/menit. Tentukan:

170

Turunan a. Laju pertambahan volumenya pada saat sisinya 20 cm b. Laju perubahan luas permukaannya pada saat sisinya 15 cm Petunjuk Pengerjaan. Misalkan panjang sisi kubus adalah x cm. Diketahui laju perubahan kubus

$, $!

= 16 cm/menit . a) Tentukan Volume kubus bersisi x cm. Turunkan secara

implisit V terhadap t dan x juga terhadap t.. Subtitusi x = 20 cm. b) Tentukan luas permukan kubus yang bergantung kepada x. turunkan secara implisit, subtitusi x = 15 cm

LATIHAN MANDIRI 3.9 1. Sebuah

layang-layang

terbang

pada

ketinggian

40

kaki.

Seorang

anak

menerbangkannya sehingga bergerak mendatar dengan kecepatan 3 kaki/ detik. Jika benangnya tegang, dengan kecepatan berapa benang harus diulur bila panjang benang yang dilepaskan 50 kaki? Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

171

Turunan

Turunan

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2. Rusuk kubus yang berubah bertambah panjang dengan laju 3 cm/detik. Berapa kecepatan pertambahan volume kubus pada saat panjang rusuk 10 cm? Penyelesain ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 3. Sebuah tangga panjang 20 dm bersandar di dinding. Jika ujung bawah tangga bawah ditarik sepanjang lantai menajuhi dinding dengan kecepatan 2 dm /detik, seberapa ceapat ujung atas tangga bergeser menuruni dinding pada waktu ujung bawah tangga sejauh 4 dm dari dinding? Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

172

Turunan ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 4. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 30 kaki/detik mendekati suatu persimpangan. Pada saat mobil itu berada 120 kaki dari persimpangan, sebuah truk dengan kecepatan 40 kaki/detik melewati persimpangan. Mobil dn truk berada pada dua jalan yang sikusiku satu sama yang lain. Dengan kecepatan berapa mobil dan truk berpisah setelah truk meninggalkan persimpangan? Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 5. Persamaan persediaan untuk suatu komoditi tertentu adalah = 10003¨ + 20¨,

bila tersedia x satuan dengan harga p rupiah tiap satuan. Carilah laju perubahan permintaan jika harga yang sedang beredar Rp. 20 tiap satuan dan harga naik dengan kecepatan Rp. 0.5 tiap bulan!

Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

173

Turunan

Turunan

………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

174

Penggunaan Turunan

4. PENGG ENGGUNAAN TURUNAN

P

ada bagian ini, digunaan konsep-konsep turunan. Pengertian nilai maksimum atau nilai minimum dari suatu fungsi dalam interval tertutup dan hubungannya dengan turunan pertama dari fungsi itu sendiri akan dibahas pada awal bagian ini. Pada bagian akhir akan dibahas komponen-komponen yang diperlukan dalam

mensketsa grafik suatu fungsi seperti fungsi naik-turunnya grafik dan kecekungan. Telah dipelajari bahwa tafsiran geometri dari turunan suatu fungsi merupakan kemiringan garis singgung di suatu titik pada grafik fungsi tersebut. Hal ini memungkinkan turunan dapat digunakan sebagai alat bantu untuk menggambarkan grafik suatu fungsi. Selain itu turunan dapat juga digunakan untuk menentukan selang di mana grafik suatu fungsi terletak di atas garis singgung dan di mana

grafik terletak di bawah garis singgung. Sebelum

menggunakan turunan untuk menggambarkan skets grafik terlebih dahulu diperlukan beberapa sifat dari turunan, yang akan dibahas satu-persatu. Kompetensi Utama

Mahasiswa

dapat

menggambarkan

grafik

suatu

fungsi

dengan

memanfaatkan turunan. Kompetensi Penunjang Mahasiswa dapat 1. menentukan nilai maksimum dan nilai minimum, 2. menentukan kemonotonan suatu fungsi (selang naik dan selang turun) 3. menentukan kecekungan grafik suatu fungsi, 4.

S

menyelesaikan berbagai permasalahan berkaitan nilai maksimum /minimum.

175

Penggunaan Turunan 4.1 Maksimum dan Minimum Kita sering berhadapan dengan masalah mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu besaran. Misalnya masalah berikut:

“ kita bermaksud memagari sebuah lapangan berbentuk empat persegipanjang. Misalkan salah satu sisi lapangan itu dibatasi oleh sungai sebagai batas alam dan kita mempunyai material pagar 240 m. Bagaimana menentukan ukuran lapangan empat persegi panjang yang terbesar yang dapat ditutupi dengan menggunakan 240 m material pagar untuk ke tiga sisinya?” Untuk menjawab permasalahan ini, perhatikan Gambar 4.1 berikut: y x

x

sungai

Gambar 4.1

Pertanyaan ukuran lapangan sama dengan pertanyaan luas daerah terbesar. Pertama, kita harus memodelkan masalah ke model matematika. Kita mempunyai fungsi keliling pagar sebagai fungsi dari panjang sisi, dengan 2x + y = 240 m. Kita mempunyai fungsi luas f(x) =

x (240-2x). Sehingga masalah ini menjadi masalah nilai maksimum yang dapat dicapai oleh fungsi f(x) = x (240-2x) pada interval tertutup [0, 120].. Bagaimana menentukannya? Untuk menjawab ini kita memerlukan beberapa konsep maksimum dan minimum. DEFINISI MAKSIMUM/MINIMUM. MAKSIMUM/MINIMUM. Kita awali dengan mendefinisikan maksimum/minimum suatu fungsi. Perhatikan Gambar 4.2, kemudian berilah tanda checklist (√) untuk

menyatakan persetujuan dan tanda silang (×) untuk menyatakan ketidaksetujuan.

176

Penggunaan Turunan

Gambar 4.2 Maksimum ada

Maksimum ada

Maksimum ada

Minimum ada

Minimum ada

Minimum ada

Kontinu

Kontinu

Kontinu

Apa yang Anda pikirkan tentang maksimum/minimum sehubungan dengan Gambar 4.2?

Untuk mendefinisikan maksimum dan minimum suatu fungsi perhatikan Gambar 4.3 berikut y

Pada interval [a,b] titik (c,f(c)) merupakan titik tertinggi dan (d, f(d)) merupakan titik terendah.

f(c)

Ini berarti bahwa pada interval [a,b] tidak ada nilai f yang lebih besar dari f(c) , dan tidak ada nilai f yang lebih kecil dari f(d). Oleh karena itu

f(c) f(d)

disebut nilai maksimum dan f(d)

minimum.

Jadi

dapat

didefinisikan

nilai nilai

maksimum dan minimum suatu fungsi sebagai O a

c

d

b

x

berikut:

Gambar 4.3

S

177

Penggunaan Turunan Misalkan f suatu fungsi dengan domain Df dan c, d ∈ Df maka

(i)

jika f(c) ≥ f(x) untuk setiap x ∈Df maka f disebut mencapai nilai maksium di c.

(ii) jika f(d) ≤f(x) untuk setiap x ∈Df maka f disebut mencapai nilai minimum di d.

(iii) Titik di mana suatu fungsi f mencapai maksimum/minimum disebut titik ekstrim. ekstrim. KEBERADAAN NILAI MAKSIMUM / MINIMUM. MINIMUM. Anda sudah mempelajari fungsi yang kontinu pada interval tertutup [a,b]. Gambarkan suatu fungsi sebarang yang kontinu pada [a,b]. Apakah fungsi itu mempunyai maksimum dan minimum? Apakah hubungan kekontinuan dengan jaminan keberadaan maksimum dan minimum fungsi tersebut?

LOKASI NILAI MAKSIMUM/MINIMUM. Grafik berikut ini menggambarkan kemungkinan tempat terjadinya ekstrim.

178

Penggunaan Turunan Pada Gambar 4.4 (i) maksimum dan minimum terjadi pada x = a dan x = b yang merupakan titik-titik ujung interval. Jadi ekstrim dapat terjadi pada ___________________________. Pada Gambar 4.4 (ii) ekstrim terjadi pada saat garis singgung fungsi f mendatar, sudah kita pelajari bahwa kemiringan garis singgung merupakan turunan dari f, Jadi karena garis singgung mendatar (gradien garis adalah nol), ini berarti ekstrim dapat terjadi pada _____________. Titik inilah yang disebut dengan titik stasioner. Selanjutnya, perhatikan Gambar 4.4(iii), garis singgung f di x = c mempunyai kemiringan yang berbeda jika didekati dari arah kiri c dan dari arah kanan c. Ini berarti turunan f tidak ada di x = c atau

f’(c) tidak ada. Jadi ekstrim berkemungkinan dapat terjadi pada _______________. Titik inilah yang disebut titik singular. Jadi dapat kita disimpulkan bahwa kemungkinan nilai maksimum/ minimum (titik ekstrim) dapat terjadi pada tiga tempat yaitu:

Catatan : Jika f(c) adalah nilai ekstrim maka c haruslah titik kritis. Titik c disebut titik kritis atau u f’(c) tidak ada. jika f’(0) = 0 ata Contoh 4.1 Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x3 pada [-2,2] Penyelesaian. Turunan adalah f'(x) = 3x2 yang terdefinisi pada (-2,2) dan nol hanya pada

x = 0. Maka titik kritisnya adalah x = 0 (titik stasioner) dan pada titik-titik ujung yaitu x = 2 dan x = 2. f(-2) = (-2)3 = -8, f(2) = 23 = 8 , dan f(0) = 0 . Jadi nilai maksimum adalah 8, dan nilai minimum adalah -8. Sketsa grafik f diperlihatkan pada Gambar 4.5

S

179

Penggunaan Turunan

Contoh 4.2 Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x 3 + x2 - x + 1 pada [-2, ]

Penyelesaian Turunan adalah f'(x) = 3x2 + 2x -1 yang terdefinisi pada (-2, ). Karena f’(x) ada untuk semua bilangan riil maka titik kritis f hanya pada f'(x) = 0.

3x2 + 2x -1 = 0 ⟺(3x -1) (x+1) = 0. Maka titik kritisnya adalah x = dan x = -1 (titik singular) dan pada titik-titik ujung yaitu x = -2 dan x =

f(-2) = (-2)3 + (-2)2 – (-2) + 1 = -1

= + − + 1 =

= + − + 1 =

f(-1) = (-1)3 + (-1)2 – (-1) + 1 = 2

1 7  ,  2 8

Jadi nilai maksimum adalah 2, dan nilai minimum adalah -1. Sketsa grafik f pada gambar 4.6

180

terlihat

1 22  ,  3 27

1 2

Penggunaan Turunan 2 − 1 jika ≤ 3 8 − jika > 3 Penyelesaian. Turunan kiri f’-(3) = 2 dan turunan kanan f’+(3) = 8 karena itu f’(3) tidak ada.

Contoh 4.3 Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x) =

Nilai maksimum terjadi pada x = 3 (titik singular) yaitu f(3) = 5. Sketsa grafik f diberikan pada Gambar 4.7


S

181

Penggunaan Turunan LATIHAN TERBIMBING 4.1 Kerjakan semua soal berikut pada tempat yang disediakan. Pahami petunjuk pengerjaan. 1. Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 15 pada Interval tertutup [0,3]. Petunjuk Pengerjaan: Tentukan terlebih dahulu f’(x), ceklah apakah titik singular ada, tiitk stasioner ada, kemudian tentukan titik kritis yaitu nilai x yang memenuhi f’(x) = 0 . Kemudian lakukan perhitungan nilai f pada titik-titik ujung dan titik kritis. Nilai yang memberikan nilai tertinggi merupakan nilai maksimum, dan nilai yang memberikan nilai terendah adalah nilai minimum.

2. Carilah nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = 3 – − 2 pada interval [1,4]

Petunjuk Pengerjaan: Ubahlah terlebih dahulu f ke bentuk yang tidak memuat nilai mutlak.

Kemudian tentukan apakah titik singular ada,dan tentukan juga apakah titik statisioner ada, serta cek juga nilai f pada titik-titik ujung

182

Penggunaan Turunan "

3. Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 5 ! − ! pada interval tertutup [-

1,4]

Petunjuk Pengerjaan: Tentukan turunan pertama dari f, Tentukan titik-titik singular dan titik stasioner. Hati-hati dengan bentuk fungsi ini. Selanjutnya ceklah nilai f pada titik- titik itu, juga pada titik ujung.

S

183

Penggunaan Turunan 4. Lapangan berbentuk empat persegi panjang yang terbentang di tepi sungai, hendak dipagari tetapi sepanjang tepi sungai tidak ikut dipagari. Misalkan harga material untuk pagar pada sisi yang sejajar dengan sungai adalah Rp.12,000,- perkaki dan harga material untuk pagar pada kedua sisi lainnya Rp.8,000,- perkaki. Tentukan ukuran lapangan yang luasnya terbesar yang dapat dipagari dengan harga Rp. 3,600,000,Petunjuk Pengerjaan: Modelkan permasalahan ke model matematika, dengan menentukan harga untuk keliling lapangan yang dipagari. Kemudian tentukan fungsi luas, nilai maksimum bagi luas itulah jawaban ukuran lapangan.

184

Penggunaan Turunan .LATIHAN LATIHAN MANDIRI 4.1 Untuk soal nomor 1 sampai 4 berikut, tentukan titik kritis untuk fungsi yang diberikan: 1. f(x) = x3 + 7x2 – 5x 2. h(x) =

#$ #%

"

3. g(x) = ! − 3 ! 4. f(x) = cos2 4x

Penyelesaian

1. f(x) = x3 + 7x2 – 5x ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… #$

2. h(x) = #%

……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… "

3. g(x) = ! − 3 ! ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

S

185

Penggunaan Turunan 4. f(x) = cos2 4x ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Untuk soal nomor 5 sampai dengan nomor 10, nyatakan apakah fungsi yang diberikan mencapai nilai maksimum atau minimum (atau keduanya) pada interval yang diberikan (saran: mulailah dengan mensketsa grafik fungsi f ). Jika fungsi tersebut mempunyai nilai maksimum atau minimum tentukan nilainya. 5. f(x) = 1 – x; [-1,1)

8. f(x) = x3+ 5x – 4 ; [-3, -1]

6. f(x) = ; [2,3]

9. f(x) = x4 – 8x2 + 16 ; [0,3]

#

7. f(x) = ; (-1,1)

10. f(x) = 2sin x ; [−&, &]

Penyelesaian 5. f(x) = 1 – x; [-1,1) ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

186

Penggunaan Turunan

6. f(x) = ; [2,3] #

……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

7. f(x) = ; (-1,1) ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 8. f(x) = x3+ 5x – 4 ; [-3, -1] ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

S

187

Penggunaan Turunan 9. f(x) = x4 – 8x2 + 16 ; [0,3] ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 10. f(x) = 2sin x ; [−&, &] ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

188

Penggunaan Turunan 11. Carilah dua buah bilangan tak negatif

yang jumlahnya 10 dan hasil kalinya

maksimum. ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 12. Sebuah kotak persegi panjang dibuat dari selembar kertas persegi dengan memotong sisi-sisinya x cm dan melipatnya. Jika kertas itu mempunyai sisi 50 cm maka tentukan nilai x supaya volume kotak tersebut maksimum. ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

S

189

Penggunaan Turunan 13. Diketahui lingkaran yang mempunyai persamaan x2 + y2 = 9. Tentukan a. Jarak terdekat dari titik (4,5) ke suatu titik pada lingkaran b. Jarak terjauh dari (4,5) ke suatu titik pada lingkaran. ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

190

Penggunaan Turunan 14. Kawat sepanjang 16 cm dipotong menjadi dua bagian. Salah satu potongan dibentuk jadi bujursangkar dan potongan lainnya dibuat jadi lingkaran. Berapa ukuran potongan tersebut agar jumlah seluruh luas bentukan kawat minimum. ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 4.2 Teorema Rolle dan Teorema RataRata-Rata Teorema nilai rata-rata adalah salah satu teorema yang paling penting dalam Kalkulus. Teorema ini digunakan untuk membuktikan banyak teorema dalam kalkulus diferensial dan kalkulus integral, demikian juga pada topik-topik lain seperti pada analisis numerik. TEOREMA ROLLE. ROLLE. Mulailah dengan mensketsa grafik fungsi f dengan mengikuti petunjuk berikut ini: f suatu fungsi yang kontinu pada selang tertutup [a,b], f terdifrensialkan pada

selang tertutup [a,b] dan f(a) = 0 dan f(b) = 0 Sketsalah sebarang fungsi f yang memenuhi itu

S

191

Penggunaan Turunan

Perhatikan grafik yang Anda buat! Karena fungsi itu kontinu pada selang [a,b] maka grafik fungsi itu tidak terputus pada [a,b] . Karena f(a) = 0 dan f(b) = 0 berarti f memotong ____________ di __________. Dapat dilihat bahwa terdapat sekurang-kurangnya terdapat satu titik c pada lengkungan titik (a,0) dan (b,0) sehingga garis singgungnya sejajar sumbu

x, atau f’(c) = 0. Kondisi inilah yang yang disebut Teorema Rolle. Jadi Teorema Rolle menyatakan bahwa Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi (i)

….

(ii) … (iii) … Maka terdapat bilangan c pada selang terbuka (a,b) sehingga ….

Contoh 4.4 Diberikan fungsi f(x) = 4x3 – 9x. Perlihatkan bahwa Teorema Rolle berlaku pada

selang (− , 0* dan (0, * dan (− , *. Kemudian tentukan nilai c pada masing-masing selang tersebut sehingga f’(c) = 0

192

Penggunaan Turunan Penyelesaian : f suatu fungsi yang kontinu pada seluruh bilangan riil, dan f' (x) = 12x2 – 9.

karena ′ ada untuk semua nilai x maka f terdiferensialkan pada seluruh bilangan riil.

Akibatnya f kontinu. Jika f(x) = 0.

4x3 – 9x = 0 ,

4x(x2 - -) = 0

X = 0,

x=

=−

Untuk menentukan nilai c , ambil f’(c) = 0 dan diperoleh:

12x2 – 9 = 0

x = − .3

x = .3

Untuk selang (− , 0* ambil c = x = − .3. Untuk selang (0, * ambil c = .3,dan untuk

selang (− , * ada dua kemungkinan pengambilan c yaitu x = − .3 atau x = .3

.

TEOREMA NILAI RATARATA-RATA. RATA. Sekarang Anda gunakan Teorema Rolle untuk membuktikan teorema nilai rata-rata. Interpretasikan secara geometris melalui Gambar 4.8: Berapakah nilai f’(c)? Untuk menjawab

y

ini, ingatlah bahwa B(b,f(b))

f’(c) merupakan

kemiringan garis singgung dari kurva f pada x = c.. Anda mulai dengan

A(a,f(a))

O

a

menentukan persamaan garis AB yakni / − (1) −1 =

(3) − (1) 3 − 1 Yang dapat diubah menjadi c

b

Gambar 4.8

x

/=

(3) − (1) ( − 1) + (1) 3−1

Jika g(x) menyatakan jarak vertikal di antara titik (x,f(x)) pada grafik fungsi f dengan titik kaitannya pada garis sekan yang melalui A dan B, maka

(3) − (1) ( − 1) − (1) 3−1 Selanjutnya, dapat ditunjukkan fungsi g(x) memenuhi Teorema Rolle yaitu: 4() = () −

(i) g(x) kontinu pada selang tertutup [a,b].

S

193

Penggunaan Turunan Karena g(x) merupakan jumlah dari dua fungsi yang kontinu pada [a,b] maka g(x) kontinu pada [a,b]. (ii) g(x) terdiferensialkan pada (a,b). (iii) terlihat g(a) = 0 dan g(b) = 0.

Karena syarat Teorema Rolle dipenuhi maka dijamin bahwa ada suatu titik c ∈ (a,b)

sedemikian sehingga g’(c) = 0. Perhatikan bahwa: 4′() = ′() −

Jadi

Karena g’(c) = 0 maka

Sehingga

4′(5) = ′(5) − 0 = ′(5) −

6 (5) =

(3) − (1) 3−1

(3) − (1) 3−1

(3) − (1) 3−1

(3) − (1) 3−1

Sifat inilah yang disebut dengan Teorema Nilai RataRata-Rata. Jadi dapat disimpulkan bahwa Teorema nilai rata-rata menyatakan hal berikut Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi (i)

….

(ii) … Maka terdapat bilangan c pada selang terbuka (a,b) sehingga ….

Contoh 4.5 Diberikan fungsi f(x) = x3 – 5x2 - 3x. Perlihatkan bahwa hipotesis teorema nilai rata-rata dipenuhi untuk a = 1 dan b = 3. Kemudian tentukan semua bilangan c pada

(3) − (1) 3−1 Penyelesaian: Karena f suatu fungsi polinom maka f kontinu dan terdiferensialkan untuk selang terbuka (1,3).

6 (5) =

semua x . Jadi hipoesis teorema rata-rata dipenuhi untuk setiap a dan b..

194

Penggunaan Turunan f'(x) = 3x2 – 10x -3 dan f(3) = 32 – 5. (3)2 – 3.(3) = -27

f(1) = 13 – 5.12 – 3.1 = -7 Jadi

(3) − (1) −27 − (−7) = = −10 3−1 3−1 8( )$8() Untuk menentukan nilai c yang memenuhi 6 (5) = $ , ambil

f'(c) = -10

2

3c – 10c -3 = -10 3c2 – 10 c + 7 = 0 Sehingga diperoleh c =

(3c-7)(c-1) = 0 dan c = 1

Karena c = 1 bukan berada pada selang (1,3) maka c yang berlaku adalah c = Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini


Diberikan fungsi () = ! . Tunjukkan bahwa tidak terdapat c dalam selang terbuka (-2,2) sehingga 6 (5) =

8()$8($) $($)

Petunjuk Pengerjaan: Pengerjaan Terlebih dahulu tentukan 6 (), kemudian tentukan 6 (5). Dengan

memperhatikan 6 (5) =

S

8()$8($) $($)

terlihat bahwa tidak ada nilai c yang memenuhi itu.

195

Penggunaan Turunan

LATIHAN MANDIRI 4.2 1. Perlihatkan bahwa syarat-syarat hipotesis Teorema Rolle dipenuhi untuk fungsi

f(x) = x3 – 2x2 – x + 2 pada selang [1,2]. Kemudian tentukan nilai c yang memenuhi kesimpulan Teorema Rolle. Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

196

Penggunaan Turunan 2. Perlihatkan bahwa hipotesis teorema nilai rata-rata dipenuhi untuk fungsi yang diberikan dalam selang yang ditentukan. Kemudian tentukan nilai c yang memenuhi teorema nilai rata-rata a. f(x) = x2 + 2x -1 ; [0,1]

b. () =

Penyelesaian

2 %-# #$

; [2,6]

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 3. Pada soal berikut gambar (a). sketsa grafik pada selang yang diberikan. (b) Uji ketiga syarat dalam Teorema Rolle, dan tentukan syarat mana yang dipenuhi dan yang tidak dipenuhi, jika ada; dan (c) jika ketiga syarat di bagian (b) dipenuhi, tentukan suatu titik di mana terdapat garis singgung horizontal. a. () =

2 − 4 jika < 1

5 − 8 jika ≥ 1

b. f(x) = 1 - ; [-1,1]

; [-2,?]

c. f(x) = @ − 2 @ ; [0,4] !

A

Penyelesaian

S

197

Penggunaan Turunan ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 4.3 Fungsi Naik dan Fungsi Turun serta Uji Turunan Pertama Kita awali dengan memahami fungsi naik dan fungsi turun, perhatikan ilustrasi pada gambar 4.9 berikut:

198

Penggunaan Turunan Pada Gambar 4.9, memperlihatkan bahwa nilai fungsi bertambah apabila absis bertambah, dan fungsi turun, nilai fungsi berkurang apabila absis bertambah. Jika fungsi f naik atau turun pada suatu selang maka f dikatakan monoton pada selang tersebut. Jadi dapat didefinisikan fungsi naik/turun sebagai berikut DEFINISI FUNGSI NAIK/TURUN. Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada selang I. 1) f

disebut monoton naik pada suatu selang I

f(x1) ≤ f(x2).

jika untuk setiap x1 < x2 berlaku

2) f disebut monoton turun pada suatu selang I jika untuk setiap x1 > x2 berlaku

f(x1) ≥ f(x2).

SIFAT KEMONOTONAN FUNGSI. FUNGSI Selanjutnya akan ditinjau kaitan kemonotonan fungsi dengan kemiringan garis singgung. Kita telah mengetahui bahwa kemiringan garis

singgung suatu kurva f pada x = c merupakan turunan dari f pada x = c atau 6 (5). Apa

yang dapat Anda tafsirkan secara geometris jika kemiringan garis singgung positif? Dan apa pula yang Anda tafsirkan jika kemiringan garis singgung negatif?

Untuk itu dapat disimpulkan hal berikut: Misalkan f fungsi kontinu pada selang tertutup [a,b] dan differensiabel pada selang terbuka

(a,b).

1) Jika 6 () > 0 untuk setiap x pada (a,b) maka _________________ pada [a,b] 2) Jika 6 () < 0 untuk setiap x pada (a,b) maka _________________ pada [a,b]

Contoh 4.6 4.6 Tentukan daerah kemonotonan dari fungsi () = Penyelesaian turunan pertama f adalah

Selesaikan

S

6 () =

2 $#%#$

(2 − 2)( − 2) − B2 − 2 + 4C. 1 2 − 4 ( − 4) = = ( − 2) ( − 2) ( − 2)

199

Penggunaan Turunan #(#$-)

dan selesaikan

f’ (x) < 0 ⟺ (#$) < 0 untuk fungsi turun, #(#$-)

f’(x) > 0 ⟺ (#$) > 0 untuk fungsi naik.

Jadi dapat disimpulkan bahwa f naik pada (−∞, 0) atau (4, ∞) dan turun pada (0, 2) atau pada (2,4).


LATIHAN TERBIMBING 4.3 Selesaikan soal berikut pada tempat yang disediakan, dengan #

1. Tentukan di mana () = (#%) naik dan turun.

Petunjuk Pengerjaan: tentukan f ’ (x), kemudian tentukan penyelesaian untuk f ‘(x) < 0 dan

f’(x) > 0. Penyelesaian yang pertama adalah jawaban untuk fungsi turun dan penyelesaian kedua adalah untuk fungsi naik.

200

Penggunaan Turunan 2. Tentukan di mana 4() =

#@ -

−

-# ! F

naik dan turun,

Petunjuk Pengerjaan: tentukan f ’ (x), kemudian tentukan penyelesaian untuk f ‘(x) < 0 dan

f’(x) > 0. Penyelesaian yang pertama adalah jawaban untuk fungsi turun dan penyelesaian kedua adalah untuk fungsi naik.

EKSTRIM LOKAL. LOKAL. Perhatikan ilustrasi pada gambar berikut:

S

201

Penggunaan Turunan Apa yang dapat Anda simpulkan tentang ekstrim global dan ekstrim lokal?

Seperti pada masalah ekstrim global, calon ekstrim lokal adalah titik-titik kritis. PENGUJIAN EKSTRIM LOKAL Ilustrasi gambar berikut memberikan beberapa konsep perubahan kemiringan garis singgung

Perhatikan masing-masing sketsa grafik pada Gambar 4.11, adanya perubahan tanda kemiringan garis singgung memberikan informasi bahwa terdapat ekstrim di x = c. Jika tidak ada perubahan kemiringan garis singgung, memberikan arti bahwa x = c bukan

202

Penggunaan Turunan ekstrim. Oleh karena kemiringan garis singgung merupakan turunan pertama maka dapat disimpulkan 1) Jika tanda f’(x) berubah dari positif ke negatif di sekitar c maka c merupakan titik yang memberikan nilai _____________ (Gambar 4.8(i)) 2) Jika tanda f’(x) berubah dari negatif ke positif di sekitar c maka c merupakan titik yang memberikan nilai _____________ (Gambar 4.8(ii)) 3) Jika tanda f’(x) di kiri dan kanan c sama dan tidak sama dengan nol maka maka c bukan _____________ (Gambar 4.8(iii)) Contoh 4.7 Diberikan f(x) = x3 - 6x2 + 9x + 1, tentukan ekstrim lokal dari f dengan menggunakan uji turunan pertama. Tentukan di mana ekstrim lokal terjadi, demikian juga selang di mana f naik dan f turun. Sketsalah grafik f. Penyelesaian, turunan pertama f adalah

f’(x) = 3x2 – 12x + 9 = (3x -3)(x -3) Oleh karena itu titik stasionernya adalah x = 1 dan x = 3. Tinjaulah titik-titik pada selang itu, kita tampilkan hasil tinjauan itu pada Tabel 4.1 berikut: Tabel 4.1

f(x) x<1 x=1

5

1<x<3 x=3 x>3

1

f’(x)

Kesimpulan

+

f naik

0

f mempunyai nilai maksimum lokal

-

f turun

0

f mempunyai nilai minimum lokal

+

f naik

Jadi ekstrim lokal yakni nilai maksimum f(1) = 5,

dan nilai minimum adalah f(3) = 1. Fungsi turun pada 1 < x < 3 , dan naik pada x < 1 atau x > 3. Grafik f diberikan pada Gmbar 4.12:

S

203

Penggunaan Turunan Contoh 4.8. 4.8. Diberikan fungsi

() =

2 − 4 jika < 3

8 − jika ≥ 3

.

Tentukan ekstrim lokal dari f dengan menggunakan uji turunan pertama. Tentukan nilainilai x di mana ekstrim lokal terjadi, demikian juga selang di mana f naik dan turun. Sketsalah grafiknya. Penyelesaian. Jika x < 3, f’(x) = 2x dan jika x > 3, f’(x) = -1. Karena f’-(3) = 6 dan f’+(3) = -1 maka x = 3 titik kritis (yang merupakan titik singular). Karena f’(x) = 0 untuk x = 0 maka x

= 0 juga titik kritis (yang merupakan titik stasioner). Dengan menggunakan uji turunan pertama, dapat disimpukan hasilnya pada Tabel 4.2 berikut Tabel 4.2

f(x)

f’(x)

Kesimpu Kesimpulan

x<0 x=0

-4

0<x<3 x=3

5

-

f turun

0


+

f naik

tidak ada

x>3

-

f mempunyai nilai maksimum lokal f turun

Jadi ekstrim lokal yakni nilai maksimum f(3)

= 5, dan nilai minimum adalah f(0) = -4. Fungsi

y 5

turun pada x < 0 atau x > 3 , dan naik pada 0<

x < 3. Grafik f adalah sebagai berikut: 3

-4

Gambar 4.13

204

8

x

Penggunaan Turunan Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini

LATIHAN TERBIMBING 4.4 4.4 Diberikan fungsi

( + 9) − 8 jika < −7

jika − 7 ≤ < 0 . ( − 2) − 7 jika > 0

() = G−I25 − ( + 4)

Tentukan ekstrim lokal dari f dengan menggunakan uji turunan pertama. Tentukan nilainilai x di mana ekstrim lokal terjadi, demikian juga selang di mana f naik dan turun. Sketsalah grafiknya. Petunjuk pengerjaan. Tentukan f ‘ (x). Tentukan titik ekstrim dengan menggunakan f ‘ (x) =

0 atau di f ‘ (x) tidak ada. Carilah penyelesaian f ‘ (x) > 0 untuk mengetahui selang f naik, dan f ‘ (x) < 0 untuk mengetahui selang f turun.

S

205

Penggunaan Turunan LATIHAN MANDIRI 4.3 Dalam latihan nomor 1 sampai dengan 8, (a) Tentukan ekstrim lokal dari f dengan menggunakan uji turunan pertama. (b) Tentukan nilai-nilai x di mana ekstrim lokal terjadi, (c) selang di mana f naik (d) selang f turun, (e) sketsa grafiknya.

1. f(x) = x2 – 4x -1

5. f(x) = x5 – 5x3 -20x -2

3. f(x) = -x4 – x3 + x2

2 J 6. () = G 25 − ( + 7) jika − 12 ≤ < −3 12 − jika ≥ −3 3 + 5 jika < −1 7. () = G + 1 jika − 1 ≤ < 2

4. f(x) = 4

8. f(x) = x +

2. f(x) = x3- x2 – x

sinx

2

7 − jika ≥ 2

PENYELESAIAN 1. f(x) = x2 – 4x -1 ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2. f(x) = x3- x2 – x ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...……………………………………………………………………………………………

206

Penggunaan Turunan -

3. f(x) = x4 – x3 + x2 ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

4. f(x) = 4 sinx

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… 5. f(x) = x5 – 5x3 -20x -2 ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

S

207

Penggunaan Turunan

6.

2 J

() = G 25 − ( + 7) jika − 12 ≤ < 3 12 − jika ≥ 3

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… 3 + 5 jika < −1 7. () = G + 1 jika − 1 ≤ < 2 7 − jika ≥ 2

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...……………………………………………………………………………………………

208

Penggunaan Turunan 8. f(x) = x +

2

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 9. Tentukan

a dan b sehingga fungsi yang didefinisikan oleh f(x) = x3 + ax2 + b

mempunyai ekstrim lokal di (2,3). ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...……………………………………………………………………………………………

S

209

Penggunaan Turunan 10. Diberikan fungsi f yang kontinu untuk semua x, f(3) = 2, f’(x) < 0 untuk x < 3 dan

f’(x) > 0 untuk x > 3. Sketsa grafik f untuk setiap kasus berikut: a. f' kontinu di x = 3 b.

f’(x) = -1 untuk x < 3 dan f’(x) = 1 untuk x > 3.

c. lim#→ N 6 () = −1, lim#→ O 6 () = 1, dan f’(a) ≠ f’(b) jika a ≠ b.

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… 4.4 Kecekungan dan Titik Belok Suatu fungsi mungkin menaik tetapi mempunyai grafik yang sangat bergoyang (Gambar 4.14) Untuk

menganalisis

goyangan

Anda

perlu

mempelajari bagaimana garis singgung berbelok. Jika garis singgung berbelok secara tetap dalam arah berlawanan arah putaran jarum jam dapat dikatakan grafik cekung ke atas, jika garis singgung berbelok

searah putaran jarum jam

maka grafik cekung ke bawah. Secara formal dapat didefinisikan sebagai berikut:

210

Penggunaan Turunan Misalkan f terdiferensialkan pada interval terbuka I. Kita katakana bahwa f Cekung ke atas pada I jika f’ menaik dan kita katakana cekung ke bawah pada I jika f’ menurun pada I. Definisi kecekungan ini berkaitan dengan turunan pertama dari f’ atau turunan kedua dari f. Fungsi f’ naik jika ______________, dan f’(x) turun jika ________________ Agar lebih jelas perhatikan gambar 4.15:

Titik balik

Cekung ke bawah

Cekung ke atas

Cekung ke bawah

Cekung ke atas

Gambar 4.15

Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa: Misalkan f fungsi yang terdiferensialkan pada interval I yang memuat c maka: 1. f disebut cekung ke atas bila f’ monoton naik, atau dapat dikatakan grafik cekung ke atas di (c,f(c)) jika ___________________ 2. f disebut cekung ke bawah bila f’ monoton turun, atau dapat dikatakana grafik cekung ke bawah di (c,f(c)) jika _____________________. 3. Titik c disebut titik balik/belok jika terjadi perubahan kecekungan di kiri dan kanan c. Contoh 4.9 Diketahui f(x) = x3 – 3x2 + 7x - 3. Tentukan titik belok, titik di mana grafik cekung ke atas dan bawah. Gambarkan sketsa grafiknya. Penyelesaian

′ (x) = 3x2 – 6x + 7

′′(x) = 6x - 6

′′(x) ada di setiap x. Jadi kemungkinan titik belok hanya di ′′(x) = 0

6x - 6 = 0 x =1

S

211

Penggunaan Turunan Untuk menentukan apakah titik belok terdapat di x = 1 kita periksa apakah 66 berganti tanda. Kecekungan pada masing-masing selang. Hasilnya disimpulkan dalam Tabel 4.3 Tabel 4.3

Q6 (R)

f(x) x<1 x =1

2

Q66 (R)

4

x>1

Kesimpu Kesimpulan

-

f cekung ke bawah

0

f mempunyai titik belok

+

f cekung ke atas

Perhatikan bahwa pada x = 1 , terjadi perubahan tanda ′′ di

sebelah kiri dan kanan 1 sehingga titik belok terjadi di x = 1.

Contoh 4.10

Diketahui f(x) = x4 – 2x2. Tentukan titik belok, titik di mana grafik cekung

ke atas dan ke bawah. Sketsa grafiknya. Penyelesaian

′ (x) = 4x3 – 4x

′′(x) = 12x2 - 4

′′(x) ada di setiap x. Jadi kemungkinan titik belok hanya di ′′(x) = 0

12x2 – 4 = 0

x = ± .3

212

Penggunaan Turunan

Untuk menentukan apakah titik belok terdapat di x = ± .3 kita periksa apakah 66

berganti tanda, dan kecekungan pada masing-masing selang. Hasilnya disimpulkan dalam Tabel 4.4 Tabel 4.4

f(x)

x < − .3

x =- .3

− .3 < x < .3

x = .3 x>

.3

−

? ,

?

−,

Q6 (R)

Q66 (R)

− + .3 ,

+

f cekung ke atas

0


-

-

− .3 ,

Kesimpu Kesimpulan

-

f cekung ke bawah

0


+

f cekung ke atas

Jadi titik belok f terjadi di x = - .3 dan x = .3 , grafik f cekung ke atas x < − .3 atau x

> .3 dan cekung ke bawah pada selang − .3 < x < .3


S

213

Penggunaan Turunan LATIHAN TERBIMBING 4.5

Diketahui () = (2 − 6) + 1 Tentukan titik belok, titik di mana grafik cekung ke atas !

dan ke bawah. Sketsa grafiknya.

Petunjuk Pengerjaan. Tentukan ′() dan ′′(). Tentukan titik belok dengan mencari nilai

x yang memenuhi 66 () = 0 atau 66 () tidak ada.

LATIHAN MANDIRI 4.4 Dalam latihan nomor 1 sampai dengan 4, Tentukan titik belok, titik di mana grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah. Sketsa grafiknya 1. f(x) = x3 + 9x

2

f(x) = x3 – 3x2 + 7x – 3

Penyelesaian:

3. f(x) = x4 – 8x3

4. () = T

x2 jika ≤ 0

− jika > 0

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

214

Penggunaan Turunan ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

S

215

Penggunaan Turunan 5. Jika f(x) = ax3 + bx2 + cx + d maka tentukan a, b, c, dan d sehingga f mempunyai ekstrim lokal di (0,3) dan grafik f mempunyai titik belok di (1,-1). Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 6 Gambarkan sketsa dari grafik suatu fungsi f di mana f(x), f’(x) dan f’’(x) ada dan positif untuk semua x. Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

216

Penggunaan Turunan ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 7. Sketsa dari grafik suatu fungsi f di mana f(x), f’(x) dan f’’(x) ada dan negatif untuk semua x. Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

S

217

Penggunaan Turunan 4.5 Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal Pada bagian 4.3 Anda telah mempelajari bagaimana menentukan apakah suatu fungsi mempunyai maksimum lokal atau minimum lokal di titik kritis c dengan memeriksa tanda f’ di sebelah kiri dan kanan c. Pada bagian ini Anda akan diperkenalkan dengan cara lain untuk menemukan maksimum dan minimum lokal. Anda terlebih dahulu diajak untuk membahas secara geometris . Misalkan f suatu fungsi sehingga f’ dan f’’ c,f(c)

ada dalam suatu selang terbuka (a,b) yang memuat c dengan f’(c) = 0.

Misalkan

f’’ negatif pada (a,b) .

Karena f’’ < 0 maka f’ turun pada [a,b]. Gambar 4.14 memberikan ilustrasi untuk f yang memenuhi sifatsifat ini Grafik f cekung ke bawah di semua titik pada Gambar 4.14. Perhatikan bahwa kemiringan garis singgung naik pada [a,b]. Jadi dapat disimpulkan bahwa f mempunyai a

c

b

Gambar 4.14

nilai maksimum lokal di c dimana f’(c) = 0 dan f’’ < 0. Selanjutnya erhatikan Gambar 4.15 Grafik pada Gambar 4.15 sama halnya dengan grafik pada Gambar 4.14, kecuali f’’ >0 pada (a,b). Ini berarti f’ naik pada [a,b]. Perhatikan bahwa grafik cekung ke atas pada semua titik. Jadi fungsi f mempunyai minimum lokal di c dimana f’(c) = 0 dan f’’

c,f(c)

> 0. Dari dua ilustrasi ini dapat disimpulkan: a

c Gambar 4.15

b

Misalkan c suatu titik kritis dari fungsi f di mana f’(c) =

0 dan f’ ada untuk semua nilai x pada suatu interval terbuka yang memuat c. Bila f’ (c) ada dan

(i)

Jika f’’(c) < 0 maka f mempunyai nilai _____________ di c.

(ii) Jika f’’(c) > 0 maka f mempunyai nilai _____________ di c.

218

Penggunaan Turunan -

Contoh 4.11 Diberikan fungsi f(x) = x4 – x3 - 4x2. Tentukan maksimum dan minimum dari

f dengan menggunakan uji turunan kedua.

Penyelesaian

′′(x) = 12x2 – 8x – 8

′(x) = 4x3 – 4x2 – 8x

Ambil ′(x) = 0 untuk menentukan titik kritis

4x3 – 4x2 – 8x = 0

4x(x + 2) (x-1) = 0 x = 0, x = -2, x =1 Sekarang tentukan apakah terjadi ekstrim lokal pada titik-titik kritis itu dengan menentukan tanda turunan kedua di titik-titik kritis itu. Hasilnya ditampilkan pada tabel berikut Tabel 4.5

f(x) −

x = -2 x =0

0

−

x=1

?

Q6 (R)

Q66 (R)

0

+


0

-


0

+


Kesimpu Kesimpulan

Jadi nilai maksimum lokal f adalah f(0) = 0 dan nilai minimum lokal adalah f(-2) = − dan f(1) = − ?

A

Contoh 4.12 Diberikan fungsi f(x) = ! − 2 ! . Tentukan maksimum dan minimum dari f

dengan menggunakan uji turunan kedua apabila memungkinkan. Gunakan turunan kedua untuk menentukan titik belok grafik f, dan tentukan di mana grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah. Sketsa grafiknya. Penyelesaian

A

6 () = $! − $!

@

"

66 () = − , $! + , $!

-

Karena 6 tidak ada pada x = 0 maka x = 0 merupakan titik kritis dari f. Titik kritis yang lain dapat ditentukan pada 6 () = 0

$A !

S

− $! = 0

219

Penggunaan Turunan A $ ! 2 ! A !

− 2 = 0

2 − 2 = 0

x=1

Jadi x = 0 dan x = 1 merupakan titik kritis. Untuk menentukan titik belok

Ambillah pada 66 () tidak ada atau pada 66 () = 0 . Karena 66 (0) tidak ada maka x = 0 merupakan salah satu kemungkinan titik belok, Selanjutnya 2 - 4 ? − $ + $ = 0 9 9 2 4 − -+ ?=0 9 9

−2 + 4

? 9 −2 +

=0

4=0

=2 =8 Untuk menentukan apakah terdapat titik-titik belok di titik x = 0 dan x = 8 kita memeriksa apakah ′′ berganti tanda dan sekaligus kita dapat memeriksa kecekungan. Tabel 4.6 memberikan hasil itu.

Tabel 4.6

Q6 (R)

f(x) x<0 x =0

0

tidak ada

Q66 (R)

-

Kesimpu Kesimpulan

f turun; grafik cekung ke bawah

tidak ada

f tidak mempunyai nilai ekstrim lokal; f mempunyai titik belok.

0 < x <1 x=1

-1

1<x<8 x= 8 x>8

220

-

+

f turun; grafik cekung ke atas

0

+

f mempunyai nilai minimum lokal; grafik cekung atas

+ 0 +

F

+

f naik; grafik cekung atas 0

-

f naik; grafik mempunyai titik belok f naik; grafik cekung ke bawah

Penggunaan Turunan Jadi f mempunyai nila minimum lokal f(1) = -1, grafik cekung ke atas pada selang 0 < x <

8, cekung ke bawah pada x < 0 atau x > 8. Dari informasi pada Tabel 4.5 kita dapat mensketsa grafik f seperti gambar 4.16 y

5

8 x

O Gambar 4.16



Diberikan fungsi f(x) = I8 − 2 . Tentukan maksimum dan minimum dari f dengan

menggunakan uji turunan kedua apabila memungkinkan. Gunakan turunan kedua untuk menentukan titik belok grafik f, dan tentukan di mana grafik cekung ke atas dan cekung ke

bawah. Gambarkan sketsa grafiknya.

Petunjuk Pengerjaan. Tentukan 6 (), 66 () kemudian gunakan 6 () = 0 untuk

menetukan titik kritis, gunakan uji turunan kedua untuk menentukan titik kritis yang memberikan maksimum atau minimum. Tentukan titik belok dengan menggunakan

66 () = 0.

S

221

Penggunaan Turunan

LATIHAN MANDIRI 4.5 Untuk setiap fungsi f berikut. Tentukan ekstrim lokal dengan menggunakan uji turunan kedua apabila memungkinkan. Gunakan turunan kedua untuk menentukan titik belok grafik f, dan tentukan di mana grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah. Gambarkan sketsa grafik 1. f(x) = 3x2 – 2x + 1 3

2

2. f(x) = -4x + 3x + 18x 3. f(x) = (4-x)4

222

4. f(x) = cos 3x

5. f(x) = x. + 3 A

6. f(x) = 6 ! − !

Penggunaan Turunan JAWAB: 1. f(x) = 3x2 – 2x + 1 Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2. f(x) = -4x3 + 3x2 + 18x Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 3. f(x) = (4-x)4 Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...……………………………………………………………………………………………

S

223

Penggunaan Turunan ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 4. f(x) = cos 3x Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… 5. f(x) = x. + 3 Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

224

Penggunaan Turunan ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… A

6. f(x) = 6 ! − ! Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 4.6 Asimtot Grafik Untuk membantu kita menggambar sketsa grafik perlu diketahui asimtot-asimtot, asimtot yang dimaksud adalah asimtot tegak, asimtot datar dan asimtot miring. Sebelum membahas asimtot-asimtot ini, terlebih dahulu ingatlah kembali tentang limit tak hingga dan limit di ketakhinggan. Misalnya 1.

lim→∞ #% (limit di tak hingga)

2. lim→0 # V = +∞ (limit tak hingga)

S

225

Penggunaan Turunan Pada Bab 2 Anda sudah mempelajari mengenai dua limit ini, Anda tentu sudah memahaminya. Untuk mendefinisikan asimtot-asimtot yang dimiliki suatu grafik fungsi kita memerlukan pemahaman mengenai limit di tak hingga dan limit tak hingga. ASIMTOT TEGAK. TEGAK

Asimtot tegak berhubungan dengan nilai limit tak hingga, sebagai

Ilustrasi perhatikan Gambar 4.17 berikut:

lim f ( x) = +∞

x →a −

lim f ( x) = +∞

x →a +

lim f ( x) = −∞

x →a −

lim f ( x) = −∞

x →a +

Garis x = a merupakan asimtot tegak dari grafik f. Perhatikan bahwa pada setiap grafik itu nilai dari limitnya tak hingga. Jadi dapat disimpulkan: Garis x = a dikatakan asimtot tegak dari grafik fungsi f apabila sekurang-kurangnya satu dari 4 pernyataan limit berikut berlaku

226

Penggunaan Turunan ASIMTOT DATAR. DATAR Asimtot datar berhubungan dengan nilai limit di tak hingga, sebagai Ilustrasi perhatikan Gambar 4.18 berikut:

lim f ( x) = b

x → +∞

lim f ( x) = b

lim f ( x) = b

x →+∞

x → −∞

lim f ( x) = b

x →−∞

Gambar 4.18 memperlihatkan bagian dari grafik fungsi di mana garis y = b merupakan asimtot datar. Perhatikan masing-masing nilai limit yang diberikan . Apa yang dapat Anda simpulkan?

ASIMTOT MIRING. MIRING Grafik dari fungsi derajat g(x) mempunyai garis

8(#) , W(#)

dengan derajat f(x) lebih besar satu daripada

y = mx + b. sebagai asimtot miring jika

lim

x →+∞

S

f ( x) − (mx + b) = 0 g ( x)

227

Penggunaan Turunan Contoh 4.13 Tentukan asimtot tegak dari grafik fungsi f yang didefinisikan oleh

() = I2 + 1 dan Sketsalah grafiknya. Penyelesaian Pertama tinjau

lim f ( x) = lim x →∞

x →∞

x x +1 2

= lim x →∞

x x 2

= lim x →∞

1 x + 2 2 x x

x x

=

1 1+ 2 x

1 1+ 0

=1

dan

lim f ( x) = lim

x→−∞

x →−∞

x x +1 2

= lim

x →−∞

x x 2

= lim

x→−∞

1 x + 2 2 x x

x −x 1 1+ 2 x

=

−1 1+ 0

= −1

Jadi garis y = 1 dan y = -1 adalah asimtot datar. Skets dari grafik diberikan dalam Gambar 4.19

Contoh 4.14 Tentukan asimtot tegak dan datar untuk grafik fungsi dengan persamaan

xy2 – 2y2 – 4x = 0, dan Sketsa grafiknya. Penyelesaian Selesaikan persamaan xy2 – 2y2 – 4x = 0, untuk y diperoleh -#

#

y2(x – 2) = 4x atau / = ±J#$ = ± 2J#$

228

Penggunaan Turunan Jadi ada dua fungsi, yaitu = 2J Perhatikan bahwa

# #$

dan = −2J

lim f1 ( x) = lim 2 x →∞

x →∞

# . #$

x = lim 2 x − 2 x→∞

1 2 1− x

=2

dan

lim f 2 ( x) = lim− 2 x →∞

x →∞

x = lim− 2 x − 2 x→∞

1 2 1− x

= −2

Jadi garis y = 2 dan y = -2 merupakan asimtot datar dari f Selanjutnya

lim+ f1 ( x) = lim+ 2

x →2

x →2

x x = ∞ dan lim+ f 2 ( x) = lim+ − 2 = −∞ x →2 x →2 x−2 x−2

Jadi garis x = 2 merupakan asimtot tegak dari f. Grafik f diberikan oleh Gambar 4.20

Contoh 4.15 Tentukan asimtot tegak dan datar untuk grafik fungsi dengan persamaan

dan sketsa grafiknya.

S

() =

#$# 2 $-

,

229

Penggunaan Turunan Penyelesaian Pertama tinjau

8x −2 2 8x − 2x 2 0−2 x lim f ( x) = lim 2 = lim = = −2 x →∞ x →∞ x − 4 x →∞ 4 1− 0 1− 2 x Jadi garis y = -2 merupakan asimtot datar. Selanjutnya perhatikan bahwa () = Tinjau keempat limit, yaitu

lim+ f ( x) = lim+

x →2

x →2

#(-$#)

= (#$)(#%)

2 x (4 − x ) 2 x( 4 − x) = +∞ dan lim f ( x) = lim− = −∞ x →2− x → 2 ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2)

lim+ f ( x) = lim+

x → −2

#$# 2 $-

x → −2

2 x(4 − x) 2 x(4 − x) = +∞ dan lim− f ( x) = lim− = −∞ x → −2 x → −2 ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2)

Jadi garis x = 2 dan x = -2 merupakan asimtot tegak Sketsa grafik f diberikan oleh Gambar 4.21

230

Penggunaan Turunan Contoh 4.16 Tentukan asimtot-asimtotdari grafik fungsi f yang didefinisikan oleh

() =

dan sketsalah grafiknya.

# % , #%

Penyelesaian

x2 + 3 x2 + 3 = +∞ dan lim− f ( x) = lim+ = −∞ Karena lim+ f ( x) = lim+ x→−1 x→−1 x + 1 x→−1 x→−1 x + 1 Jadi garis x = -1 merupakan asimtot tegak. Tidak ada asimtot datar. Karena derajat pembilang lebih besar satu derajat penyebut maka

f ( x) =

x2 + 3 4 = x −1 + x +1 x +1

Jadi garis y = x -1 adalah asimtot miring. Untuk menggambar sketsa dari grafik f kita periksa apakah terdapat garis-garis singgung horizontal,

f ' ( x) =

2 x( x + 1) − ( x 2 + 3) x 2 + 2 x − 3 = ( x + 1) 2 x +1

Dengan mengambil f ‘ (x) = 0 diperoleh (x+3)(x-1) = 0 yang dipenuhi oleh x = -3 dan x = 1. Jadi terdapat garis-garis singgung di titik (-3, -6) dan (1, 2). Grafik f diberikan oleh Gambar 4. 22

y

-3

-2

-1

o

x

G a m b a r 4 .2 2

S

231

Penggunaan Turunan Kesimpulan. Buatlah kesimpulan tentang yang Anda pelajari pada bagian ini


Tentukan asimtot-asimtot yang dimiliki oleh grafik fungsi () = #$ #

Petunjuk Pengerjaan. Perhatikan f. pangkat pembilang lebih rendah satu dari pangkat

pembilang sehingga terdefinisi.

232

f mempunyai asimtot miring. Selanjutnya pada x = 1, f tidak

Penggunaan Turunan LATIHAN MANDIRI 4.6 Dari atihan berikut tentukan asimtot datar, asimtot tegak dan asimtot miring jika ada 1. () =

2. () =

#% #$ -#

I2 $

3. 3xy-2x – 4y – 3 = 0 1. () =

#% #$

4. x2y + 2x2 – y- 2 = 0

5. () = 6. () =

# $#

# $ #% #%-

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2. ( () =

-#

I2 $

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...……………………………………………………………………………………………

S

233

Penggunaan Turunan 3.

3xy-2x – 4y – 3 = 0

Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 4.

2xy2 + 4y2 -3x = 0

Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

234

Penggunaan Turunan 5. () =

# $#

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

6.

() =

yelesaian

# $ #% #%-

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

S

235

Penggunaan Turunan 4.7 Aplikasi Untuk Menggambar sketsa Grafik Menggambar grafik persamaan pada bagian 1.5 adalah sederhana. Jika persamaan yang harus digambar grafiknya cukup rumit atau jika ingin membuat grafik yang sangat cermat, teknik-teknik Kalkulus dapat membantu Anda untuk menganalisis struktur grafik secara baik, khususnya untuk mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan ciri-ciri grafik. Kita dapat melokalisasikan titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan titik belok, kita dapat mengetahui secara persis tempat grafik menaik/ menurun atau tempat cekung ke bawah/ cekung ke atas. Analisis struktur grafik ini telah Anda pelajari pada subbab 4.1 sampai subbab 4.6. Sifat-sifat itu akan kita terapkan untuk memperoleh sketsa dari grafik suatu fungsi f, dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Tentukan daerah asal f 2. Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat, yakni titik yang memenuhi _____________________________________________________ 3. Uji kesimetrian terhadap sumbu-y. yakni dengan menguji apakah f merupakan fungsi genap, yaitu dengan memeriksa apakah ________________ 4. Hitung f’ (x) dan f’’(x) 5. Tentukan

titik-titik

kritis,

yang

dapat

kita

tentukan

melalui

________________________________. 6. Terapkan uji turunan pertama atau uji turunan kedua untuk menentukan ekstrim lokal. Atau tidak ada sama sekali di titik kritis. 7. Tentukan selang-selang-selang f naik dan turun, yakni dengan mencari selang-selang yang memenuhi _______________________________________ 8. Tentukan titik belok, yang diperoleh dari ______________________________ 9. Periksa kecekungan, yaitu jika ___________________________________ 10. Periksa apakah terdapat asimtot tegak, datar atau miring. Contoh 4.17 Sketsalah grafik () =

Penyelesaian

Diperiksa satu persatu

236

# " $X# !

Penggunaan Turunan 1. Karena f terdefinisi pada seluruh bilangan riil, maka daerah asal f adalah R

X

2. Titik potong dengan sumbu-x terjadi jika f(x) = 0. Jadi diperoleh x = 0, x = ±J , dan

titik potong dengan sumbu-y terjadi jika x = 0, jadi diperoleh y = 0. Sehingga dapat X

disimpulkan titik-titik potong dengan sumbu koordinat adalah (0,0), YJ , 0Z dan X

Y−J , 0Z. 3.

(−) =

$ # " %X# !

# " $X# !

=−

= − (). Ini berarti f merupakan fungsi ganjil, oleh

karena itu f simetris terhadap titik asal. 4. Cari turunan pertama dan kedua

6 () =

?# @ $FX#

=

?# (#%)(#$)

5. Titik-titik kritis ditentukan dengan

dan 6 ′() = 6 ()

=

FX#B#%.C(#$.)

= 0, jadi titik kritis adalah x = 0, x = -2 dan x

= 2. Titik-titik belok ditentukan dengan ′() = 0 6

FX# ! $X#

Langkah 6, 7, 8 dan 9 dapat kita simpulkan pada Tabel 4.7 dan Tabel 4.8. Tabel 4.7

f(x) x < -2 x = -2

2

-2 < x <0 x=0

0

0<x<2 x=2

-2

x>2

Tabel 4.8 x < −.2

x = −.2

−.2 < x <0 x=0

0 < x < .2

x = .2

x > .2

S

Q6 ′(R)

Q6 (R) +

f naik

0


-

f turun

0

f tidak mempunyai nilai ektrim lokal

-

f turun

0

f grafik mempunyai minimum lokal

+

f naik

Kesimpu Kesimpulan

Kesimpu Kesimpulan

-

f cekung ke bawah

0


+

f cekung ke atas

0


-

f cekung ke bawah

0


+

f cekung ke atas

237

Penggunaan Turunan Grafik f diberikan oleh Gambar 4.23

#

Contoh 4.18 Gambarlah grafik () = 2 $Penyelesaian

1. f terdefinisi pada seluruh bilangan riil kecuali x = -2 dan x = 2 2. Titik potong dengan sumbu-x terjadi jika f(x) = 0. Jadi diperoleh x = 0, dan titik potong dengan sumbu-y terjadi jika x = 0, jadi diperoleh y = 0. Sehingga dapat disimpulkan titik-titik potong dengan sumbu koordinat adalah (0,0), 3.

(−) =

($#) ($#) $-

#

= 2 $- = (). Ini berarti f merupakan fungsi genap, oleh karena itu

f simetris terhadap sumbu y.

4. Cari turunan pertama dan kedua

6 () =

#B2 $-C$#(2 ) (2 $-)

$#

= (2 $-)

dan 6 ′() =

$((2 $-) $(2 $-)#($#) (2 $-)@

=

-2 % (2 $-)@

5. Titik-titik kritis ditentukan dengan 6 () = 0, jadi titik kritis adalah x = 0, Titik-titik belok ditentukan dengan 6 ′() = 0 atau 6 ′() tidak ada, sehingga dipenuhi oleh x = 2 dan x = 2

Langkah 6, 7, 8 dan 9 dapat kita simpulkan pada Tabel 4.9 dan Tabel 4.10. Sedangkan Langkah 10 ditentukan dengan memperhatikan

x2 =1 x→∞ x→∞ x 2 − 4 x2 = −∞ (ii) lim+ f ( x) = lim+ 2 x →−2 x →−2 x − 4 x2 = −∞ (iii) lim+ f ( x) = lim+ 2 x→2 x→2 x − 4

(i)

lim f ( x) = lim

Jadi garis y = 1 merupakan asimtot datar, dan x = -2 dan x = 2 merupakan asimtot tegak.

238

Penggunaan Turunan Tabel 4.9

f(x) x<0 x =0

0

x>0

Tabel 4.10 x < -2

Q6 ′(R)

x = -2

tidak ada

-2 < x < 2 x=2 x>2

+

tidak ada +

Q6 (R)

Kesimpu Kesimpulan

+

f naik

0


-

f turun

Kesimpu Kesimpulan f cekung ke atas f mempunyai titik belok f cekung ke bawah f mempunyai titik belok f cekung ke atas

Skets grafik diberikan oleh Gambar 4.24

S

239

Penggunaan Turunan LATIHAN TERBIMBING 4.7

1. Sketsalah grafik () =

.# (#$?) -

Petunjuk Pengerjaan. Ikuti langkah-langkah pengerjaan yang dibicarakan pada subbab 4. 7

240

Penggunaan Turunan "

2. Sketsalah grafik () = 5 ! − !

Petunjuk Pengerjaan. Ikuti langkah-langkah pengerjaan yang dibicarakan pada subbab 4.7

S

241

Penggunaan Turunan LATIHAN MANDIRI 4.7 Untuk setiap fungsi f berikut, sketsalah grafiknya. Buat analisis seperti yang disarankan pada bagian ini.

1. f(x) = 2x3 - 6x +1 2. f(x) = 3x4 + 2x3 3. () = T

2 jika < 0 22 jika ≥ 0

#

4. () = #$

# $-

5. () = 2$,

6. () =

7. () =

# % #$ # 2 %

8. () = 2 .4 − 9. f(x) = cos2x

10. () = sin

Penyelesaian 6. f(x) = 2x3 - 6x +1 Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

242

Penggunaan Turunan 7. f(x) = 3x4 + 2x3 Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

2 jika < 0

() = T 2 2 jika ≥ 0 Penyelesaian 8.

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

S

243

Penggunaan Turunan 9.

#

() = #$

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 10. () =

# $2 $,

Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

244

Penggunaan Turunan 11. () =

# % #$

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… #

12. () = 2% Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

S

245

Penggunaan Turunan 13. () = 2 .4 − Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

14. f(x) = cos2x Penyelesaian ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

246

Penggunaan Turunan 10. () = sin

Penyelesaian

………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ……...…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

S

247

REFERENSI Dedy, Endang dkk, Common Text Book Kalkulus 1, Edisi revisi, JICA, Universitas Pendidikan Bandung, Bandung, 2003

Leithol, Louis, Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik, Edisi Kelima jilid 1, Erlangga, Jakarta, 1991

Varberg, D., Purcell, E.J dan Rigdon, S,E, Erlangga, Jakarta, 2008

Kalkulus, Edisi Kesembilan jilid 1,

KUNCI JAWABAN LATIHAN MANDIRI Latihan mandiri 1.1 3. a. b. c. 1. x > -2. 2. 2 ≤ x ≤ 8 Latihan Mandiri 1.2

atau x > 3 ≥

6. −1 ≤ ≤

3. − < ≤

4. < −1 atau < < 3

7. ≤ −1 − 2 atau ≥ −1 + 2

5. ≤

8. ≤ −3 atau

−3 − 3 jika ≤ −3 1. 2 + + 3 = − + 3 jika − 3 < < 0 3 + 3 jika ≥ 0 − − 7 jika x < −3 −5 − 7 jika − 3 ≤ ≤ −1 2. + + 1 − 2 + 6 = −2 − 5 jika − 1 < ≤ 0 −5 jika x > 0 % 2 + jika x < −2 #−2 − jika − 2 ≤ ≤ 0 3. 2 − = $ 2 − jika 0 < ≤ 2 # − 2 jika x > 2 " Latihan Mandiri 1.3

4. −11 < < 3 5. x < 1 atau x > 6.-6 ≤ x ≤ 0

7. ≥ 0 8. −1 ≤ ≤ 2

9 x < -1 10. 0 ≤ ≤ 11. ≤ −4 atau − < ≤ 0 atau ≥

Latihan Mandiri 1.4 5. Q (1,2), R (-1,-2), S (1,2) 6. Q (-2,-2), R (2,2), S (2,-,2) 8. Q(0,3), R (0,-3), S(0,3)

12. < 0 atau >

7. Q (-1,3), R (1,3),

S (1,-3)

Latihan Mandiri 1.5 1.

y

2

y

5

5

5

y

6 5

4

x

5

-5

2.5

x

9

8

7

10

-2

1

2

0.5

-2

11. a. y = 0, b. x = 0, c. xy = 0 12. 12 a. x = 5 b. y = -4 1. 26 + 3 + 5 2. (10,-4) 3. (x-1)2 + (y-2)2 = 13 4.a 4.a. r = 4, (3,4) b. r = 2, () , − + 5. a. y Latihan Mandiri 1.6

= 4x -11 b. 8y + 7x -42 = 0 c. 5y-2x = 18 d. x = -3 e. y = -7 6.3y=-2x -7 6.

Latihan Mandiri 1.7 1. a. Fungsi b. Fungsi c. Fungsi d. Tidak 2.a 2.a. 5 b. -5 c. -1 d. 2a +1 e. 2x2 -3 f. 4x – 1 3. a. 3

b. -1

c. x

d. ≠ −2 dan ≠ 3

≠

d. ,-

e. -

e. R

f. -,. . 4.a 4.a. / ≥ −

5.a 5.a. Genap

b. 0 ≤ −3 atau 0 ≥ 3

c.

b. Tidak genap & tidak ganjil c. Ganjil

d. genap e. Genap f. Tidak genap & tidak ganjil ganjil h. Tidak genap & tidak ganjil 1. x2 + x – 6 , Df+g = R 2. 2(9 − ) - g(x) = 4 − , Df-g = [0,2]

g. Tidak genap & tidak


-, , -(-6)

78 = : − {0,1}

gog (x) =

9

Latihan Mandiri 1.9 1. a.

= >

b. ? c. -1 d. ? =

4. fog(x) = 5 − , gof (x) = 3 − , fof (x) = + 2 ,

= > >

1. @ ≤

Latihan Mandiri 2.1 A.AA= C


== D

2. E

F

3.. 3.

5. a lim-→ J() = 3, f(2)=1

3b

3

1 2

1a. -3 b. 2 c. Tidak ada 2a.4 2a. b. 4 c. 4 3. a.-4 a. b. -4,, c. -4 4. Tidak ada 5 − > & 1 Latihan Mandiri 2.3

?

2

1.5

4

-1

1

2

3

Grafik no.1

Latihan Mandiri 2.4

1.

2.

3. 0

Grafik no. 2

4.

5. 0

6. -1

7. 3

-4

Grafik no. 3

8.

Latihan Mandiri 2.5 1. kontinu 2. Kontinu 3. Tidak Kontinu di 0, tidak kontinu di 2 4. Kontinu 5. Kontinu di 1, tidak kontinu di -1 6. Dapat dihapuskan 7. Dapat dihapuskan 8. Esensial. 10. kontinu Latihan Mandiri 2.6 1. −∞ 2. +∞ 3. −∞

4. +∞ 5. 1

3. 2 4 ∞ 5. 1

Latihan Mandiri 2.7 L

1. 0 2.

Latihan Mandiri 3.1 1. y = -8x -9 2. 3y + 2x = 12

3. 3y-2x = 3 4. Y = 6x -16

y

y 7

y (4 ,8 )

2

(3,3)

5 x

(3,2)

x

x

Sketsa no 3

Sketsa no 2

Sketsa no 1

Sketsa no 4

5. y -8x +5 6. y – 9x + 16 = 0 dan y - 9x – 16 = 0 Latihan Mandiri 3.2

1. M =

N> 6=

> ON> ,=P

2. a.f(x) = x2 + 2x di x = 3, b.f(t) = t2 di t = x, c.f(x) = sin x di x = y 3. y = 5

Latihan Mandiri 3.3 b.tidak kontinu 1c. 1. b. c. J Q , (2) = 12 dan J Q 6 (2) = 12 1d. 1d. diferensiabel di 2 2c. J , (−1) = -2 dan J 6 (−1) = -2 Q

Q

2c. diferensiabel di -1 3. a. a 3 3b. tidak diferensiabel

4. a = 2 & b = -1 5

12 8

-1 2

grafik no 1a

grafik no 2a

Latihan Mandiri 3.4

1. x2 - 2 2.

RS T

2 OU2 +V2 P

Latihan Mandiri 3.5

3.

- W ,- X ,-6

3

2.b. kontinu

4.

YZ S ,Y[Z,Y

(\+5)S

5. Y + 4x = 9

1.8x 1. cos x -4x2 sin x

2 3y2 – 3 sec x (tan2 x + sec2 x)

4. 2x + cos x – sin x – x cos x – x sin x – cos2 x + sin2 x

5.

]^] Z ]_` Z

(aUa \+2)3

, ^bc -, ]_^ -,]_` -,- ]_` -

(csc +2)S

6. y = x Latihan Mandiri 3.6 3 1.(2x-9)(x +4x-5)2(22x3-81x2+40x+128) 1.

3. −

2.

TfgS -(hiT -,Tfg- Tfg -) hiTX -

3. 3(2x+2) sec3 (x2 +2x) tan (x2 +2x) 4. -9x2 sin x3. Sin2 (cos x3) cos (cos x3) 5. y+24x+39 24 jika > 0 2. J() = −24 jika < 0 0 jika x = 0

Latihan Mandiri 3.7 1. 24x

Latihan Mandiri 3.8

>

−

jNNON6MP ,M

M> 2b. N? khiT -,^bc (-,k) 1f. − Tfg-,^bc (-,k)

1a.

2.

>N [-k6k -,Y-k

3. y(n) = (-1)nn! x-(n+1)

2c.

k Tfg -6Tfg k - hiT k,hiT -

2d. 2d.

3. 5y – 28x – 48 = 0

Tlh S - ZRg hTh S k hiZ k

2e.

?N6CM -6kS

Latihan Mandiri 3.9 m

1. n kaki/detik 2. 900 cm3/detik 3. 0.408 dm/detik 4. 14 kaki/detik 5. 875 satuan per bulan Latihan Mandiri 4.1

1. x = dan x = -5 2. x =-7 3. x = dan x = 0 4. x =

5. nilai maksimum f(-1) = 2, nilai minimum tidak ada

minimum f(3) =

(o,)p

, dan x =kq, k = ±1,2, …

6. Nilai maksimum f(2) = , nilai

7. Nilai maksimum f(1) =1, nilai minimum f(0) = 0 8. Nilai maksimum

10 . nilai maksimum f) q+ = 2, nilai minimum f)− q+ = -2 11. 10 dan 10

f(-1) = -10, nilai minimum f(-3) = -46 9. Nilai maksimum f(3) = 25, nilai minimum f(2) = 0

13. 13.a 50 − 641.. 13b. 50 + 641 Latihan Mandiri 4.2 1. c =

,L

2a. c =

3c. tE? , E?uv > C Cn

Latihan Mandiri 4.3

2b. 7 − 5

14. 14.

L

dan

12.

[

3a. (b) ii tidak terpenuhi. 3b. (b) ii tidak terpenuhi.

1. a. dan b. f(2) = -5; min c. (>, +∞) d. (− ∞, >) 2. a. dan b. J )− + = ; maks lokal dan L

f(1) =-1; min lokal c. (−∞, − ),, (1, +∞) d.

4. a dan b f(4qk+q)= 4, maks lokal d. 4qk+q, 4qk+3q)

dan f(4qk+3q)= -4

)− , 1+

3. a dan b f(0) = 0; min lokal c. (0,1), (2, +∞))

d. (-∞, 0), (1,2)

c. (4qk-q, 4qk+q),

5. a dan b f(-2) = 26 maks lokal, f(2) = -50 min lokal, c. (− ∞, −2),, (2, + ∞) d. ( −2, 2) 6. a dan b f(-7) = 5, f(0) = 12 maks lokal, f(-12) = 0, f(-3) = 3 min lokal, c. (-12, -7), (-3, 0) d. (-7, -3), (0, +∞)..

7. a dan b f(-1) = 2, f(2) = 5 maks lokal, f(0) = 1 min lokal. c. (−∞, −1),, (0,2) d. (-1,0), (2, −∞)) 8. a dan b JO2P = 2 min lokal. c. (-∞, 0), (2,-∞) d. (A, 2) F

F

F

F

9. a = -3 dan b = 7

Latihan Mandiri 4.4 1.(0,0), cekung ke bawah untuk x < 0, cekung ke atas untuk x > 0 1.

2. (1,2), cekung ke bawah untuk x < 1, cekung ke atas untuk x > 1 3. (0,0), (4, -256), cekung ke bawah untuk 0 < x < 4, cekung ke atas x < 0 dan x > 4.

4. (0,0), cekung ke bawah untuk x > 0, cekung

ke atas x < 0. 5. a = 2, b = -6, c = 0, d = 3 1. J )+ = min lokal, cekung ke atas di mana-mana 2. J )+ = Latihan Mandiri 4.5 4.5

min lokal,

L ) , +

maks lokal, f(-1) = -11

titik belok, cekung ke atas x > 1, cekung ke bawah x < 1. 3. f(4) = 0 min

lokal, cekung ke atas di mana-mana. 4. w ) q+ = −1 min lokal, f(0) = 1 maks lokal, )Y q, 0+

titik belok, cekung ke bawah untuk − q < < q , cekung ke atas q < < Y Y Y

q

5. F(-

2) = -2 min lokal, cekung ke atas untuk x > -3 6. f(27) = 9 maks lokal, (0,0), (216,0) titik belok, cekung ke atas untuk x < 0 dan x > 216, cekung ke bawah untuk 0 < x < 216 1. y = 2, x = 3 2. x = -2 dan x = -2 3. 0 = dan = 4. y = 2, x = -1, x = 1 5. x = 0, Latihan Mandiri 4.6

y = x 6. y = x – 7. x = -4

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Recommend Documents