INTEGRAL 10. ∫ cos n (ax+b)sin(ax+b) dx = A. Integral Tak Tentu
11. ∫ 2 sin ax cos bx dx = ∫ sin
1. Rumus Integral Fungsi Aljabar 1. 2.
3. 4.
k n +1 ∫ k x dx = n + 1 x + c ; n ≠ -1 1 n n +1 ∫ (ax + b) dx = a(n + 1) (ax+b) + c ; a ≠ 0 dan n ≠ -1 1 ∫ x dx = ln|x| + c ∫ ( f ( x)dx ± g ( x)dx) = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx n
1. ∫ sin x dx = - cos x dx + c
∫ cos x dx =
(a + b) ( a − b) x dx + ∫ sin x dx 2 2
12. ∫ sec 2 x dx = tan x + c 13. ∫ sec 2 (ax+b)dx = 14.
∫ c sec
2
15.
∫ c sec
2
1 tan (ax+b)+ c a
x dx = - ctg x + c 1 (ax+b)dx = - ctg (ax+b)+ c a
16. ∫ tan x secx dx = sec x + c
2. Rumus Integral Fungsi Trigonometri
2.
1 cos n+1 (ax+b) +c a (n + 1)
17. ∫ c tan x csecx dx = -csec x + c
sin x dx + c
d − cos x sin x dx = ∫ dx 3. ∫ tan x dx = ∫ dx cos x cos x = - ln |cos x| + c d sin x cos x dx dx = ∫ dx = ln |sin x| + c 4. ∫ ctgx dx = ∫ sin x sin x
∫ u dv = uv - ∫ v du Didapat dari : y = u.v dimana u = g(x) dan v = h(x) y’ = u’ v + u v’ = v u’ + u v’
1 5. ∫ sin(ax + b) dx = - cos (ax+b) + c a 1 6. ∫ cos(ax + b) dx = sin (ax+b) + c a 7. ∫ tan(ax + b) dx = -
3. Integral Parsial
dy du dv = v. +u. dx dx dx
1 ln|cos(ax+b)| + c a
(dikalikan dx)
dy = v du + u dv d (u.v) = v du + u dv
1 8. ∫ ctg (ax + b) dx = ln|sin(ax+b)| + c a 9. ∫ sin n (ax+b) cos(ax+b) dx =
∫ d (u.v) = ∫ v du + ∫ u dv
1 sin n+1 (ax+b) +c a (n + 1)
u.v = ∫ v du + ∫ u dv
∫ u dv
= uv - ∫ v du
www.pintarmatematika.web.id - 1
c. Jika f(x) > 0 dan f(x) < 0 (Kurva sebagian berada di bawah sumbu x dan sebagian lainnya berada di atas sumbu x)
B. Integral Tertentu b
∫
b
f ( x) dx = F(x) | = F(b) – F(a) a
a
1. Luas Daerah Antara Kurva dan Sumbu- sumbu Koordinat Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x dan garis-garis x = a dan x = b serta x =g(y), sumbu y dan garis-garis y = a dan y = b dapat dibedakan sbb c
L = - ∫ f ( x) dx + a
a. Jika f(x) > 0 (Kurva di atas sumbu x)
∫
∫ f ( x) dx c
a
=
b
b
f ( x) dx +
c
∫ f ( x) dx c
d. jika g(y) > 0 (kurva berada di sebelah kanan sumbu y)
b
L=
∫ f ( x) dx a
b. Jika f(x) < 0 (Kurva di bawah sumbu x)
b
L=
∫ g ( y) dy a
b
L = - ∫ f ( x) dx = a
a
∫ f ( x) dx b
www.pintarmatematika.web.id - 2
e. jika g(y) < 0 (kurva berada di sebelah kiri sumbu y)
2. Luas Daerah Antara Dua Kurva
a. Di atas sumbu x
b
L = - ∫ g ( y ) dy = a
a
∫ g ( y ) dy b
L=
f. jika g(y) < 0 dan g(y) > 0 (kurva sebagian berada di sebelah kiri sumbu y dan sebagian lainnya berada sebelah kanan sumbu y)
b
b
b
a
a
a
∫ y2 dx - ∫ y1dx = ∫ ( y 2 − y1) dx
b. Di bawah sumbu x
b
L = - ∫ y2 dx a
i
b
= ∫ ( y1 − y 2) dx a c
L = - ∫ g ( y ) dy + a
a
=
b
∫ g ( y ) dy c
b
∫ g ( y) dy +
∫ g ( y) dy
c
c
www.pintarmatematika.web.id - 3
b
b
b
a
a
a
{ - ∫ y1dx } = ∫ y1dx - ∫ y2 dx
c. Di sebelah kanan sumbu y
b
L=
∫ x2 dy -
b
∫ x1dy = ∫ ( x2 − x1) dy
b
a
a
a
3. Volume Benda Putar
a. Diputar terhadap sumbu x maka, V= π
b
∫ y dx 2
a
b. Diputar terhadap sumbu y maka, V= π
b
∫ x dy 2
a
www.pintarmatematika.web.id - 4
UN2010
Contoh Soal: UN2010 – UN2012
1 π 2
3.
∫ (2 sin x cos x )dx = … 0
UN2010 3
1. Nilai dari
A. –1
∫ 2 x(3x + 4)dx = ….
1 2
C.
−1
A. 88
C. 56
B. 84
D. 48
E. 46
B. -
1 3 2
D.
E. 1
1 3 2
Jawab:
Jawab:
sin 2A = 2 sin A cosA
3
3
∫ 2 x(3x + 4)dx = ∫ (6 x
−1
2
3
+ 8 x)dx = 2x 3 + 4x 2 |
1 π 2
−1
1 π 2
1
π
2 1 ∫0 (2 sin x cos x )dx = ∫0 (sin 2 x )dx = − 2 cos 2 x 0|
−1
= 2 (27-(-1)) + 4 (9-1) = 56 + 32 = 88
1 2
1 2
= − {cos 2. π − cos 0}
Jawabannya adalah A
1 2
1 2
1 2
= − {cos π − cos 0} = − {−1 − 1} = − {−2} = 1 UN2010 2. Hasil dari
Jawabannya adalah E
1 1 ∫ sin 2 x − π cos 2 x − π dx = = ….
UN2010 4.
A. –2 cos (x – 2π) + C B. -
C.
1 cos (x – 2π) + C 2
D. cos (x – 2π) + C
sumbu Y, dan x = 2 adalah ….
E. 2 cos (x – 2π) + C A. 6 Satuan luas
1 cos (x – 2π) + C 2
B. 5
sin A cosA =
1 sin 2A 2
1 1 sin ( x − 2π )dx = − cos( x − 2π ) +C ∫ 2 2
Jawabannya adalah B
1 Satuan luas 3
E. 2
2 satuan luas 3
Jawab:
1 1 1 1 ∫ sin 2 x − π cos 2 x − π dx = 2 ∫ sin 2 2 x − π dx =
1 13 Satuan luas 3
D. 3
C. 5 Satuan luas
Jawab: sin 2A = 2 sin A cosA
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 - x 2 , y = 3x,
Buat grafiknya dengan memasukkan nilai x dan y : Kurva y = 4 - x 2 Jika x = 0 x=1 dst
www.pintarmatematika.web.id - 5
y=4 y = 4 -1 = 3
kurva y = 3x
UN2010
jika x = 0
y=0
x=1
y=3
5. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=x 2 , garis y=2x
dst
di kuadran I diputar 3600
terhadap sumbu X adalah ….
A.
20 π Satuan volume 15
D.
64 π Satuan volume 15
B.
30 π Satuan volume 15
E.
144 π Satuan volume 15
C.
54 π Satuan volume 15
Jawab:
Titk potong kurva y=4-x 2 dengan garis y=3x 4-x 2 = 3x x 2 +3x – 4 = 0 (x + 4) (x - 1)= 0 x = -4 atau x = 1 pada gambar terlihat titik potong yang masuk dalam perhitungan adalah di x = 1 L = L I + L II
Titik potongnya:
1
L I =
1 3 3 21 2 {( 4 − x ) − 3 x } dx = 4xx − x | = 4.1 ∫0 3 2 0
1 3 1 3 24 − 2 − 9 13 .1 − .1 = 4 - − = = 3 2 3 2 6 6 2
∫
L II = {3 x − (4 − x 2 )}dx = 1
3 2 1 2 x − 4x + x3 | = 2 3 1
3 1 (4 − 1) − 4(2 − 1) + (8 − 1) 2 3 27 − 24 + 14 17 3 1 = (3) − 4(1) + (7) = = 2 3 6 6 13 17 30 L = L I + L II = + = = 5 satuan luas 6 6 6
x 2 = 2x x 2 - 2x = 0 x(x-2) = 0 x = 0 atau x =2
Volume = π
2
∫(y
2 2
− y1 )dx 2
0 2
=
π ∫ (2 x) − ( x ) )dx 2
0
=π(
4 3 1 5 2 x − x )| 3 5 0
Jawabannya adalah C
www.pintarmatematika.web.id - 6
2 2
2
=
π ∫ (4 x 2 − x 4 )dx 0
=π( =π
UN2011 8. Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4 – x2 , y = -x + 2, dan 0 ≤ x ≤ 2 adalah....
4 3 1 5 4 1 32 32 2 − 2 )= π ( 8 − 32 )= π ( − ) 3 5 3 5 3 5
160 − 96 64 = π 15 15
A.
satuan luas
Jawabannya adalah D UN2011
B. 6
6. Hasil
8
A.
B.
D.
E.
satuan luas
C.
satuan luas
D.
satuan luas
E.
satuan luas
...... Jawab:
C.
Jawab: 6 4
=
64
= =
8 3
8 |
2
3 4
8
3 16
2
8 4
4
8 2
+ 36 – 16 =
2
y = 4 – x2 , y = -x + 2, dan 0 ≤ x ≤ 2 titik potong 4 – x2 = -x + 2 x2-x – 2 = 0 (x – 2 )(x +1) = 0 x = 2 atau x = -1
=
Jawabannya adalah E UN2011 7. Hasil
!
sin 3
cos
A. E.
......
B.
C.
D.
x = -1 untuk perhitungan tidak berlaku karena syarat 0 ≤ x ≤ 2 sehingga batas atas adalah 2 dan batas bawah = 0
Jawab: posisi atas adalah y = 4 – x2 dan bawah adalah y = -x + 2 Integral !
sin 3
cos
maka Luasnya adalah =
!
- cos 3x + sin x| 0
= 0
= - (cos 3π – cos 0 ) + (sin π – sin 0 )
" 4
2 #
2
= 2x -
+
= - (-1 – 1 ) + (0 – 0)
|
= 2. 2 - . 2 + . 2 = 4 - + 1 = Jawabannya adalah D
= Jawabannya adalah B
www.pintarmatematika.web.id - 7
=
satuan luas
UN2011 9. Hasil dari $%& 2x sin 2x dx = .... A.
&'( 2
B. C.
)
$%& 2
$%& 2
D. $%& 2
)
E.
)
&'( 2
)
)
Jawab: misal: u = cos 2x du = - 2 sin 2x dx $%& 2x sin 2x dx =
* dx =
. *
=
.* +C
=
. $%& 2 + C
y1 = x2 ; y2 = 2x titik potong
Jawabannya adalah B
UN2011 10. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, garis y = 2x di kuadran I diputar 3600 terhadap sumbu X adalah..... A.
π satuan volume
D.
π satuan volume
diputar terhadap sumbu x
y1 = y2
x2 = 2x x2 – 2x = 0 x(x -2) = 0 x = 0 atau x = 2 Volume benda putar diputar terhadap sumbu x : V= π
b
∫ y dx 2
a 2
B. C.
π satuan volume
π satuan volume
Jawab:
E.
π satuan volume
2 2 V= π ∫ ( y 2 − y1 )dx 0
=π
2
∫ ((2 x)
2
− ( x 2 ) 2 dx
0
=π
2
∫ (4 x
2
− x 4 )dx
0
= π (
-
) |
= π ( 2 - 2 ) = π (
= π( =
) +
)
π satuan volume
Jawabannya adalah D
www.pintarmatematika.web.id - 8
-
tanpa gambar :
UN2011 11. Hasil
√
,
,.
A. 2 √3
+9 −1+)
B.
√3
+9 −1+)
C.
√3
+9 −1+)
D. √3
+9 −1+)
√3
+9 −1+)
E.
kurva y= x2 - 4x + 3 ax2 – 4x + 3 a > 0 , kurva terbuka ke atas sehingga garis y = 3 – x berada di atas.
=....
+,
Titik potong kurva dan garis yang merupakan batasnya: masukkan persamaan garis ke dalam kurva: 3 – x = x2 - 4x + 3 x2 - 4x + 3 + x – 3 = 0 x2 - 3x = 0 x (x – 3) = 0 x = 0 dan x = 3 batas atas dan bawah b
∫(y
L=
− y 2 )dx dx
2
a
Jawab:
3
∫
= (3 − x − ( x 2 − 4 x + 3)) dx misal: u = 3x2 + 9x – 1 du = (6x + 9) dx
0 3
∫
= (3 − x − x 2 + 4 x − 3) dx
du = 3 (2x+3) dx , √ , . +,
0
du =(2x+3) dx
=
01 √1
= .
(
*
=
2 ) .
*
2 .
3
2 .
∫
= (3 x − x 2 ) dx
12. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y= x2 - 4x + 3 dan y = 3 – x adalah ....
C.
+
+9 −1+)
3 3
-9 +
= satuan luas
Jawabannya C UN2012 13. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y= x2 dan y = 4x -3 diputar 360° mengelilingi sumbu X adalah ....
UN2012
satuan luas
D.
satuan luas
E.
+
= =
Jawabannya adalah C
B.
= x2 - x3 |
+C
= .2 √* + C = √3
A.
0
du
satuan luas
A. 13
π satuan volume
D. 12
B. 13
π satuan volume
E. 12
C. 12
π satuan volume
satuan luas
satuan luas
Jawab:
www.pintarmatematika.web.id - 9
3
π satuan volume π satuan volume
UN2012 Jawab: Volume benda diputar terhadap sumbu x maka, b
V= π
2 ! .
(2 sin 2 − 3 cos )
14. Nilai A. -5 B. -1
= ....
C. 0 D. 1
E. 2
Jawab:
∫ y dx 2
a
1 cos (ax+b) + c a 1 ∫ cos(ax + b) dx = a sin (ax+b) + c
2
y= x a > 0 , kurva terbuka ke atas garis y = 4x -3 berada di atas kurva
∫ sin( ax + b) dx = -
titik potong/batas: subsitusikan persamaan y = 4x -3 ke dalam persamaan y= x2 : 4x -3 = x2 x2 – 4x + 3 =0 (x – 3) (x- 1) = 0 x = 3 dan x = 1 batas atas dan bawah V= π
∫ y dx
= ( − 2. cos 2 − 3 sin )| . = - (cos π – cos 0) – 3 (sin
!
- sin0)
= - (-1 – 1) – 3 (1 – 0) = 2 – 3 = -1
2
UN20-12
3
=π
∫ ((4 x − 3)
2
− ( x 2 ) 2 )dx
15. Hasil dari
1 3
∫ ((16 x
A.
− 24 x + 9) − x 4 )dx
2
E.
1
=π (
x – 12x + 9x - x ) | 3
2
5
B.
=π (
(33 – 1) – 12(32 – 1) + 9(3-1) - (35-1) )
=π(
. 26 – 12. 8 + 9. 2 -
= π( = π(
, ( ,.
( ,.
, 3)7
( ,.
, 3)6
( ,.
, 3)7
, 3)6
=......
+C
C.
( ,.
, 3)7
+C
+C +C
D.
( ,.
, 3)7
+C
Jawab:
– 96 + 18 -
)
. 242 )
misal : u = 3 − 2 + 7 du = (6x – 2) dx = 2 (3x – 1) dx
– 78 -
)
3 3
=π( =
(2 sin 2 − 3 cos )
Jawabannya B
b
a
=π
5
2 ! .
π = 12
, ( ,.
, 3)6
)
π
Jawabannya E
=
2 . 16
(3x – 1) dx = du
* =
www.pintarmatematika.web.id - 10
3
*
u- 6 + C
=
.
=
17
= Jawabannya D
*
+C
( ,.
, 3)7
+C
UN2012 16. Nilai dari
4
− + 5)
A.
B.
D.
E.
= .... C.
33
Jawab: (4
−
+ 5)
= x3 - x2 + 5x | =
(23 – 1 ) - (22 -1) + 5(2 – 1)
=
.7-
=
-
=
+
. 3 + 5. 1 +5 =
33
Jawabannya E
www.pintarmatematika.web.id - 11
