Odvozen´ı vzorc˚ u pro v´ ypoˇ cet objem˚ u a povrch˚ u nˇ ekter´ ych tˇ eles uˇ zit´ım integr´ aln´ıho poˇ ctu Objem rotaˇcn´ıho tˇelesa, kter´e vznikne rotac´ı funkce y = f (x) na intervalu ha, bi kolem osy x, lze spoˇc´ıtat podle vzorce Zb V = π f 2 (x) dx a
Povrch t´ehoˇz tˇelesa spoˇc´ıt´ ame vzorcem Zb P = 2π
p f (x) 1 + f 02 (x) dx
a
Koule a jej´ı ˇ c´ asti Koule Rovnice kruˇznice se stˇredem S[0; 0] a polomˇerem r je d´ana vztahem x2 + y 2 = r 2 Kruˇznici lze rozdˇelit na dva oblouky, z nichˇz prvn´ı leˇz´ı v polorovinˇe urˇcen´e kladn´ ymi hodnotami osy y a je funkc´ı s rovnic´ı p y = + r 2 − x2 , druh´ y oblouk, jenˇz leˇz´ı v opaˇcn´e polorovinˇe a jehoˇz body maj´ı z´aporn´e y-ov´e souˇradnice, je pops´an rovnic´ı p y = − r 2 − x2 .
√ Bude-li kolem osy x rotovat 1/2 horn´ıho oblouku o rovnici y = r2 − x2 , jehoˇz kolm´ ym pr˚ umˇetem do osy x je interval h0; ri, z´ısk´ ame 1/2 koule, jej´ıˇz objem spoˇc´ıt´ame jako Zr V =π 0
r x3 r3 2 (r2 − x2 ) dx = π r2 x − = π r3 − = πr3 3 0 3 3
Objem cel´e koule o polomˇeru r je pak d´ an vztahem V =
4 3 πr 3
Abychom mohli spoˇc´ıtat povrch koule, urˇc´ıme nejprve 1. derivaci funkce y = Tedy 1 1 −x y 0 = (r2 − x2 )− 2 · (−2x) = √ 2 2 r − x2 1
√
r 2 − x2 .
Pak je r
x2 1+ 2 = r − x2
p 1 + y 02 =
r r2
r r2 =√ 2 2 −x r − x2
Povrch 1/2 koule spoˇc´ıt´ ame P = 2π
Zr p
r 2 − x2 · √
0
r2
r r dx = 2π [r · x]0 = 2πr2 2 −x
Povrch cel´e koule o polomˇeru r je P = 4πr2
Kulov´ au ´ seˇ c a kulov´ y vrchl´ık Kulov´ a u ´ seˇ c je ˇc´ ast koule, kterou m˚ uˇzeme z koule oddˇelit pot´e, co jsme ji prot’ali rovinou ρ. Kulov´ au ´seˇc je tedy tˇeleso. Kulov´ y vrchl´ık je plocha, kterou je kulov´ a u ´seˇc omezena (bez pˇr´ısluˇsn´eho kruhu). N´azornˇe si kulov´ y vrchl´ık m˚ uˇzeme pˇredstavit jako ˇcepiˇcku“. ”
Pˇri v´ ypoˇctu objemu kulov´e u ´seˇce, pˇr´ıpadnˇe povrchu kulov´eho vrchl´ıku, postupujeme stejnˇe jako pˇri v´ ypoˇctu objemu/povrchu koule, pouze zmˇen´ıme meze. Pokud je v v´ yˇska kulov´e u ´seˇce, doln´ı mez bude m´ıt hodnotu r − v, horn´ı mez z˚ ust´ av´ a rovna r. Zr V = π r−v
r r3 x3 2 2 2 (r − x ) dx = π r x − = π r 3 − − r2 (r − v) + 3 r−v 3
r 3 −3r 2 v+3rv 2 −v 3
z }| { (r − v)3 3
=
r3 r3 v3 v3 πv 2 = π r3 − − r3 + r2 v + − r2 v + rv 2 − = π rv 2 − = (3r − v) 3 3 3 3 3 Oznaˇc´ıme-li ρ polomˇer kruhu, kter´ ym je kulov´a u ´seˇc omezena, je alternativn´ı tvar vzorce pro v´ ypoˇcet jej´ıho objemu V =
πv (3ρ2 + v 2 ) 6
Tento tvar z´ısk´ ame uˇzit´ım Pythagorovy vˇety r2 = ρ2 + (r − v)2 , z ˇcehoˇz lze vyj´ adˇrit r=
ρ2 + v 2 2v 2
Dosazen´ım do v´ yrazu pro objem kulov´e u ´seˇce z´ısk´ame πv 2 3ρ2 + 3v 2 πv 2 3ρ2 + 3v 2 − 2v 2 πv V = −v = = (3ρ2 + v 2 ) 3 2v 3 2v 6 Povrch kulov´eho vrchl´ıku (pˇr´ıpadnˇe kulov´e u ´seˇce) vypoˇc´ıt´ame podobnˇe jako povrch koule – v uˇzit´em integr´ alu pouze zmˇen´ıme meze Zr P = 2π
r r dx = 2π [r · x]r−v = 2π r2 − r(r − v) = 2π(r2 − r2 + rv) = 2πrv
r−v
P = 2πrv
Kulov´ a vrstva a kulov´ y p´ as Kulov´ a vrstva je ˇc´ ast koule, kterou m˚ uˇzeme z koule oddˇelit pot´e, co jsme ji prot’ali dvˇema rovnobˇeˇzn´ ymi rovinami ρ a σ. Kulov´ a vrstva mezi tˇemito rovinami leˇz´ı, jedn´a se o tˇeleso. Kulov´ y p´ as je plocha, kterou je kulov´ a vrstva omezena (bez obou pˇr´ısluˇsn´ ych kruh˚ u).
V´ ypoˇcet objemu kulov´e vrstvy prov´ ad´ıme analogicky jako v´ ypoˇcet objemu koule, opˇet ale mus´ıme zmˇenit meze. Oznaˇcme v v´ yˇsku kulov´e vrstvy. M´ a-li doln´ı mez hodnotu a, bude horn´ı mez urˇcena v´ yrazem a + v. a+v Z
V = π a
a+v x3 2 2 2 (r − x ) dx = π r x − = π r2 (a + v) − 3 a
a3 +3a2 v+3av 2 +v 3
z }| { (a + v)3 3
− r2 a +
a3 v3 a3 v3 = π r2 a + r2 v − − a2 v − av 2 − − r2 a + = π r2 v − a2 v − av 2 − 3 3 3 3 Z´ıskan´ y v´ yraz uprav´ıme uˇzit´ım Pythagorovy vˇety ve tvaru r2 = ρ21 + a2 , kde ρ1 oznaˇcuje polomˇer spodn´ıho“ kruhu, kter´ ym je kulov´a vrstva omezena. ” Po dosazen´ı bude v3 v3 2 2 2 2 2 2 V = π ρ1 + a v − a v − av − = π ρ1 v − av − 3 3 3
a3 = 3
Pro dalˇs´ı u ´pravu uˇzijeme Pythagorovu vˇetu r2 = ρ22 + (a + v)2 , kde ρ2 oznaˇcuje polomˇer horn´ıho“ kruhu omezuj´ıc´ıho kulovou vrstvu. ” Porovn´ an´ım prav´ ych stran v uveden´ ych rovnostech z´ısk´ame ρ21 + a2 = ρ22 + (a + v)2 ´ Upravou lze vyj´ adˇrit a jako a=
ρ21 − ρ22 − v 2 2v
Potom koneˇcnˇe dopoˇc´ıt´ ame objem V tak, ˇze 2 v3 ρ1 v ρ22 v v 3 ρ2 − ρ22 − v 2 2 v 3 ρ2 v − ρ22 v − v 3 V = π ρ21 v − 1 v − = π ρ21 v − 1 − =π + + 2v 3 2 3 2 2 6 Objem kulov´e vrstvy tedy spoˇc´ıt´ ame podle vzorce V =
πv 3ρ21 + 3ρ22 + v 2 6
Povrch kulov´eho p´ asu (pˇr´ıpadnˇe kulov´e vrstvy) spoˇc´ıt´ame snadno a+v Z
a+v
r dx = 2π [r · x]a
P = 2π
= 2π (r(a + v) − ra) = 2π(ra + rv − ra) = 2πrv
a
P = 2πrv
Kulov´ a v´ yseˇ c Kulov´ a v´ yseˇ c je tˇeleso, kter´e vznikne sjednocen´ım kulov´e u ´seˇce a rotaˇcn´ıho kuˇzele, jehoˇz vrcholem je stˇred koule. Pˇritom je podstavn´ a kruˇznice rotaˇcn´ıho kuˇzele z´aroveˇ n hraniˇcn´ı“ kruˇznic´ı omezuj´ıc´ı ” kruhovou u ´seˇc. N´ azornˇe si kulovou v´ yseˇc m˚ uˇzeme pˇredstavit jako kournout s kopeˇckem zmrzliny.
Objem kulov´e v´ yseˇce z´ısk´ ame souˇctem objemu rotaˇcn´ıho kuˇzele a objemu kulov´e u ´seˇce. Pro objem rotaˇcn´ıho kuˇzele plat´ı zn´ am´ y vztah Vk =
π 2 ·r ·v , 3
kde r oznaˇcuje polomˇer podstavy kuˇzele a v je v´ yˇska kuˇzele. Platnost tohoto vzorce odvod´ıme pozdˇeji. 4
Objem kulov´e u ´seˇce jsme vyj´ adˇrili vztahem Vu =
πv 3ρ2 + v 2 , 6
pˇriˇcemˇz ρ je polomˇer podstavy kulov´e u ´seˇce a v je jej´ı v´ yˇska. Oznaˇcuje-li r polomˇer koule, je v´ yˇska kuˇzele v rovna hodnotˇe v = r − v a polomˇer r podstavy kuˇzele je totoˇzn´ y s polomˇerem ρ podstavy kulov´e u ´seˇce, takˇze je r = ρ. Pak je objem kulov´e v´ yseˇce roven V = Vk + Vu =
π 2 πv πρ2 r πρ2 v πρ2 v πv 3 πρ2 r πρ2 v πv 3 ρ (r − v) + (3ρ2 + v 2 ) = − + + = + + 3 6 3 3 2 6 3 6 6
Pro dalˇs´ı u ´pravu uˇzijeme Pythagorovu vˇetu ve tvaru r2 = ρ2 + (r − v)2 , odkud vyj´ adˇr´ıme ρ2 = 2rv − v 2 Dosazen´ım je V =
2πr2 v πrv 2 πrv 2 πv 3 πv 3 2πr2 v π(2rv − v 2 )r π(2rv − v 2 )v πv 3 + + = − + − + = 3 6 6 3 3 3 6 6 3
Objem kulov´e v´ yseˇce lze tedy spoˇc´ıtat vzorcem V =
2 2 πr v 3
Rotaˇ cn´ı kuˇ zel a jeho ˇ c´ ast Rotaˇ cn´ı kuˇ zel Podstavou rotaˇcn´ıho kuˇzele je kruh se stˇredem S a polomˇerem r, osa rotaˇcn´ıho kuˇzele je kolm´a na rovinu podstavy, oznaˇcme v jeho v´ yˇsku, tj. d´elku u ´seˇcky SV .
V souˇradn´em syst´emu (0, x, y) urˇceme rovnici pˇr´ımky p, jej´ıˇz rotac´ı kolem osy x rotaˇcn´ı kuˇzel vznikne. Pˇr´ımka p proch´ az´ı bodem [0; 0]. Proto m´ a jej´ı rovnice tvar y = k · x, kde k je smˇernice pˇr´ımky a plat´ı, ˇze k = tg α. Protoˇze pˇr´ımka p d´ ale proch´ az´ı bodem [v; r], je k = vr . Rovnice pˇr´ımky p je tedy r y = ·x v 5
Pˇritom uvaˇzujeme, ˇze kolem osy x rotuje pouze ˇc´ ast pˇr´ımky p – u ´seˇcka – jej´ımˇz kolm´ ym pr˚ umˇetem do osy x je interval h0, vi. Potom spoˇc´ıt´ ame objem rotaˇ cn´ıho kuˇ zele Zv V =π 0
2 v r x3 r2 v3 1 r2 2 · x · · dx = π = π · = πr2 v v2 v2 3 0 v2 3 3
Plat´ı tedy zn´ am´ y vzorec pro v´ ypoˇcet objemu rotaˇcn´ıho kuˇzele 1 2 πr v 3
V =
Povrch rotaˇ cn´ıho kuˇ zele z´ısk´ ame souˇctem obsahu jeho podstavy (= πr2 ) a obsahu pl´aˇstˇe. Odvod´ıme pouze vzorec pro v´ ypoˇ cet obsahu pl´ aˇ stˇ e rotaˇ cn´ıho kuˇ zele ve tvaru S = πrs , kde s je d´elka povrˇ sky rotaˇcn´ıho kuˇzele. Z rovnice pˇr´ımky p nejprve urˇc´ıme 1. derivaci y0 =
r v
a pot´e spoˇc´ıt´ ame r p
1+
y 02
=
r2 1+ 2 = v
r
v2 + r2 = v2
r
s2 s = , 2 v v
nebot’ jsme uˇzili Pythagorovu vˇetu ve tvaru s2 = v 2 + r2 D´ ale
Zv S = 2π 0
v s r x2 s r v2 s r · x · dx = 2π · · = 2π · · · =π·r·s v v v 2 v 0 v 2 v
Komol´ y rotaˇ cn´ı kuˇ zel Komol´ y rotaˇ cn´ı kuˇ zel je ˇc´ ast rotaˇcn´ıho kuˇzele omezen´a dvˇema rovnobˇeˇzn´ ymi rovinami, kter´e jsou kolm´e na osu kuˇzele. Nejprve urˇc´ıme rovnici pˇr´ımky p, jej´ıˇz rotac´ı kolem osy x komol´ y rotaˇcn´ı kuˇzel vytvoˇr´ıme. Pˇr´ımka p proch´ az´ı dvˇema body [0; r1 ] a [v; r2 ], kde r1 je polomˇer spodn´ı“ podstavy, ” r2 je polomˇer horn´ı“ podstavy ” a v je v´ yˇska komol´eho kuˇzele. Konstanty k a q v rovnici y = kx + q pˇr´ımky p dopoˇc´ıt´ ame dosazen´ım uveden´ ych bod˚ u, r2 − r1 takˇze je q = r1 a r2 = kv + r1 , odkud k = . v Pˇr´ımka p je tedy pops´ ana rovnic´ı y=
r2 − r1 · x + r1 v
6
Pˇritom kolem osy x rotuje pouze u ´seˇcka vymezen´a na pˇr´ımce p tak, aby jej´ım kolm´ ym pr˚ umˇetem do osy x byl interval h0, vi. Objem komol´ eho rotaˇ cn´ıho kuˇ zele je
Zv V = π
r2 − r1 · x + r1 v
0
2
r2 − r1 · x + r1 v dx = π 3
v
3 ·
v = r2 − r1 0
"
r2 − r1 · v + r1 v
=
πv 3(r2 − r1 )
=
πv · (r22 + r2 r1 + r12 ), 3
3
−
r2 − r1 · 0 + r1 v
3 # =
πv · (r23 − r13 ) = 3(r2 − r1 )
pˇriˇcemˇz jsme uˇzili vzorec r23 − r13 = (r2 − r1 ) · (r22 + r2 r1 + r12 ) Je tedy V =
πv · (r12 + r1 r2 + r22 ) 3
Povrch komol´ eho rotaˇ cn´ıho kuˇ zele je roven souˇctu obsah˚ u jeho podstav (πr12 a πr22 ) a obsahu pl´ aˇstˇe. Odvod´ıme pouze vzorec pro v´ ypoˇ cet obsahu pl´ aˇ stˇ e komol´ eho rotaˇ cn´ıho kuˇ zele ve tvaru p S = π(r1 + r2 ) v 2 + (r1 − r2 )2 Nejprve spoˇc´ıt´ ame 1. derivaci funkce, kterou je urˇcena pˇr´ımka p y0 =
r2 − r1 v
Potom je r p 1 + y 02 =
(r2 − r1 )2 1+ = v2
r
v 2 + (r2 − r1 )2 = v2
p
v 2 + (r2 − r1 )2 v
D´ ale Zv
p 2 v + (r2 − r1 )2 r2 − r1 S = 2π · x + r1 · dx = v v 0 v 2 r2 − r1 p · x + r1 2π v 2 + (r2 − r1 )2 v v = · · = v 2 r2 − r1
=
" p 2 # v 2π v 2 + (r2 − r1 )2 · v r2 − r1 · · x + r1 = 2 · v · (r2 − r1 ) v
0
0
=
=
π
p
π
p
v 2 + (r2 − r1 )2 · r2 − r1
"
r2 − r1 · v + r1 v
2
−
r2 − r1 · 0 + r1 v
2 #
p v 2 + (r2 − r1 )2 · r22 − r12 = π v 2 + (r2 − r1 )2 · (r2 + r1 ) r2 − r1 7
=
Pˇritom jsme uˇzili vzorec r22 − r12 = (r2 − r1 )(r2 + r1 ) a je tak´e zˇrejm´e, ˇze plat´ı (r2 − r1 )2 = (r1 − r2 )2
Rotaˇ cn´ı v´ alec Urˇcit objem a povrch rotaˇcn´ıho v´ alce je v porovn´an´ı s pˇredchoz´ımi v´ ypoˇcty uˇz snadn´e.
V´ alec vznikne rotac´ı pˇr´ımky p kolem osy x. Pˇr´ımka p je s osou x rovnobˇeˇzn´a a prot´ın´a osu y v bodˇe [0; r], je tedy urˇcena rovnic´ı y = r. Pˇritom kolem osy x rotuje pouze u ´seˇcka na pˇr´ımce p, jej´ımˇz kolm´ ym pr˚ umˇetem do osy x je interval h0; vi. Objem rotaˇ cn´ıho v´ alce spoˇc´ıt´ ame Zv V =π
v r2 dx = π r2 · x 0 = πr2 v
0
Povrch rotaˇ cn´ıho v´ alce je roven souˇctu obsah˚ u obou podstav (= 2·πr2 ) a obsahu pl´aˇstˇe. Odvod´ıme vzorec pro v´ ypoˇ cet obsahu pl´ aˇ stˇ e rotaˇ cn´ıho v´ alce. 1. derivace funkce, kter´ a urˇcuje pˇr´ımku p, je y 0 = 0. Spoˇc´ıt´ ame v´ yraz p
1 + y 02 =
√
1+0=1
Pak je Zv
v
r · 1 dx = 2π [r · x]0 = 2πrv
S = 2π 0
V = πr2 v
S = 2πrv
Anuloid Uvaˇzujme kruˇznici k se stˇredem S a polomˇerem R ve vodorovn´e rovinˇe. Ve svisl´e rovinˇe, kter´a proch´ az´ı bodem S, necht’ leˇz´ı kruˇznice l se stˇredem O a polomˇerem r. Pˇritom stˇred O necht’ je bodem kruˇznice k. Jestliˇze se bod O bude pohybovat po kruˇznici k, vytvoˇr´ı kruˇznice l anuloid. N´ azornˇe si anuloid m˚ uˇzeme pˇredstavit jako nafukovac´ı plavac´ı kruh.
8
Pro objem a povrch anuloidu plat´ı n´ asleduj´ıc´ı vztahy:
V = 2π 2 r2 R
P = 4π 2 rR
Jejich platnost odvod´ıme tak, ˇze si pˇredstav´ıme, ˇze anuloid pod´el kruˇznice l rozˇreˇzeme“ a nat´ah” neme ho do v´ alce. Objem a obsah pl´ aˇstˇe takto vytvoˇren´eho v´alce bude stejn´ y jako objem a povrch anuloidu. Podstavou v´ alce je kruh s hraniˇcn´ı kruˇznic´ı l a v´ yˇska v´alce v je rovna d´elce kruˇznice k, je tedy v = 2πR. Pak je V = πr2 v = πr2 · 2πR = 2π 2 r2 R P = 2πrv = 2πr · 2πR = 4π 2 rR Pravdivost pˇredchoz´ı u ´vahy si m˚ uˇzeme demonstrovat na zjednoduˇsen´em pˇr´ıkladˇe, kdy mezikruˇz´ı nat´ ahneme do obd´eln´ıka a porovn´ ame jejich obsahy.
Obsah mezikruˇz´ı je S = π(R + r)2 − π(R − r)2 = π R2 + 2Rr + r2 − (R2 − 2Rr + r2 ) = 4πRr Obsah obd´eln´ıka je S = 2πR · 2r = 4πRr, takˇze vid´ıme, ˇze se skuteˇcnˇe sobˇe rovnaj´ı. Z´ avˇerem pˇridejme jeˇstˇe pozn´ amku t´ ykaj´ıc´ı se objemu kos´ eho kuˇ zele. Uvaˇzujme kos´ y kuˇzel, jehoˇz podstavou je kruh o polomˇeru r v p˚ udorysnˇe π. V´ yˇska v kuˇzele je vzd´ alenost jeho vrcholu V od p˚ udorysny π, tj. v = |V1 V |, kde V1 je p˚ udorys bodu V . Pro objem kos´eho kuˇzele z˚ ust´ av´ a v platnosti vztah
V =
1 2 πr v 3
9
To lze zd˚ uvodnit pomoc´ı zjednoduˇsen´e analogie, kdy vˇsechny troj´ uheln´ıky se z´akladnami d´elky a, av um´ıstˇen´ ymi na pˇr´ımku p, a vrcholy leˇz´ıc´ımi na pˇr´ımce q, q k p, maj´ı tent´ yˇz obsah S = , kde v 2 je vzd´ alenost pˇr´ımek p a q.
10
