Integrálszámítás I. Végezze el a következ˝o integrálásokat: Z R α 1 dx 1. a) x dx, ha α 6= −1 b) x R R x d) cos(x) dx e) e dx Z Z 1 1 g) h) 2 cos2 (x) sin (x) 2. a)
R2
x5 dx
b)
1
3. a) d) g)
4. a)
R
ex+3 dx
e)
−4 dx 2 3 sin (1 + 3x)
c) e)
6. a)
h)
(2x + 3) dx
R4
b)
R
R3 R4
x2 (2x3 − 1)12 dx
c)
3−2x+1 dx −2 cos2 (−x
+ 12)
cos(2x) dx
dx
R1
c)
cos(3x) dx
3 dx Z 2x − 5 3 √ dx i) 2x − 7
f)
1
Z
R
Z
5−2x+7 dx
−1
b)
R
π
2
4
x(x + 3) dx b)
R3
5 sin2 (x) cos(x) dx
π 4
tg(x) dx
Z1
Z0
8. a)
R
d)
R
g)
sin(2x) dx
R
R
b)
0
e)
sin(x) dx
0
π
c)
ax dx
−2 sin6 (x) cos(x) dx R R 3 √ 3 sin(2x) cos5 (2x) dx d) x · 5 −x4 + 11 dx Z Z arctg11 (2x) tg6 (2x) dx f) dx cos2 (2x) 4x2 + 1 R
2
7. a)
R2
π
6
R
sin(x) dx
0
b)
0
5. a)
c)
(3x − 1)2 dx
Z
f)
R
π
1 dx x
2
R
R4
Z4
c)
R
x dx 2 x +2
x2 +2x
(x + 1)e 2
Z
d)
3 dx f) (1 + x2 ) arctg(x) dx
3
x cos (x − 1) dx 2 esin(x ) x cos (x2 ) dx
ctg(x) dx
Z
sin(x) dx 2 + cos(x) −
8 √ arcsin(x) 1 − x2
b)
Z
sin (ln(x)) dx x
e)
Z
1 dx f) √ √ x 1−x
c)
Z1
Z0
ex dx 1 + e2x 2tg(x) dx cos2 (x)
Integrálszámítás II. Parciális integrálás 1. a) d) g) i) l) o) 2. a)
R
xex dx
b)
R
(x + 1)(e2x − 2e−x ) dx
e)
R
ex sin(x) dx
R
R
R
x2 cos(2x) dx
3x
xe dx
b)
0
d)
x
dx e)
(x3 − 2) ln(x) dx
h)
(2x+3) sin
π 6
g)
Re 1
R2
2
c)
x sin(x) dx
f)
R
(3x2 − 2x)e2x dx
R
R
x cos(x) dx
π
2
R2
x
(x − x + 1)e dx
c)
e−2x cos(3x) dx
f)
−1
2π
x2 ex dx
(1 − x2 )(sin(2x) − 2 cos(3x)) dx R 2x R −x j) e cos(x) dx k) e sin(x) cos(x) dx R R m) x ln(x) dx n) (2x + 1) ln2 (x) dx R p) arcsin(x) dx
arctg(x) dx
R3
R
h)
2x (sin(2x) − 3 cos(x)) dx
R1
R
3x cos(2x)dx
0
0
R1
R2
arctg(x) dx
i)
0
R2
(x2 + 1) ln(x) dx
1 √ R3
x arctg(x) dx
0
Helyettesítéses integrálás 1. a) d) g) j) m)
2. a)
R √ x x + 1 dx Z √ x x−2+ √ dx x−2 √ √ √ Z 1+ x+ 3x+ 6x √ dx 6 x + x7 R √ cos ( x) dx Z 1 √ dx x x2 − 1 Z1 0
π2
c)
R4
π2 16
Z
x √ b) dx x+1 √ Z √ 3 x+ x √ e) dx 6 x5 Z ex h) dx e2x + 1 R √ k) sin ( 3 x) dx n)
R
x2 ·
x2 √ dx (x + 1) x + 1
b)
√ sin ( x) dx
d)
√ 3
1 − x dx
Z1
0
o)
e2x + ex dx ex + 2
0
R8
x+1 √ dx 3 x−2 √ Z x √ dx f) 4 x−1 Z e2x i) dx ex + 1 R √x l) e dx c)
√
e
2x
dx
Z
R
x3 (1 − 5x2 )10 dx
Integrálszámítás III. Racionális függvények integrálása 1. a)
Z
x3 − 3 dx x2 + 1
2. a)
Z
1 dx 2 x + 2x + 5
8 3. a) dx 2 x − 3x + 2 Z 5x + 31 c) dx x2 + 2x − 3 Z 8x + 38 e) dx (x − 4)(x + 1)(x + 3) Z −5x2 + 10x − 13 dx 4. a) (x − 3)(x − 1)2 Z
8x2 − 28x + 14 5. a) dx (x2 + 1)(x − 9) Z 5x2 + 15x + 37 c) dx (x2 + 6x + 13) (x − 2) Z
6. a)
Z
c)
Z
3x3 − 7x2 − 39x − 54 dx x2 − 3x − 10
10 dx −1
b)
Z
x2
b)
Z
4x2
7 dx + 12x + 10
6x − 20 dx − 4x − 12 Z 13x − 10 dx 14x2 − 23x + 3 Z
x2
b)
Z
2x2 − 14x + 12 dx (x − 2)2 (x + 2)
b)
Z
b) d)
d)
x5 − 5x4 − x3 + 21x2 − 25x + 12 dx x3 − 5x2 + 4x
2x2 + 3x − 10 dx (x2 + 4)(x − 6) Z −8x2 + 8x − 4 dx (9x2 − 6x + 5) (x + 1) b) d)
Z2
Z0
4x3 + 22x2 + 40x + 20 dx (x + 3)2 (x2 + 1) x3 + 2x2 + 7x − 1 dx x4 + 5x2 + 4
Irracionális függvények integrálása 1. a) c) e) g) i) 2. a) c) e)
R √ R √ √ √ 2 x3 − 4 3 x − 1 dx b) (3 x + 3 x) dx R√ R p √ √ 2 (x + 2)5 + 4 2x + 1 − 3 7 3x + 11 dx d) 1 − x2 dx R√ R√ 4 − x2 dx f) 1 − 3x2 dx R√ R√ −x2 − 2x dx h) −x2 + 6x − 5 dx R√ R√ 1 + 9x2 dx j) x2 − 25 dx Z Z 2x 3x − 6 √ √ dx b) dx 2 2 x +6 x − 4x + 1 Z Z 10 6 √ √ dx d) dx 2 4−x 1 + 16x2 Z Z 4x − 3 10 − x √ √ dx f) dx 9 − 4x2 −x2 − 6x − 5
Az integrálszámítás alkalmazásai I. Területszámítás 1. Számítsa ki a görbe és az x-tengely közé zárt területet a megadott intervallumban: 1 a) y = x2 − 3x + 7 [−1, 2] b) y = + sin(x) [0, π] 2 1 c) y = ex − 1 [−1, 1] d) y = sin2 (x) − [0, π] 4 2. Számítsa ki az alábbi paraméteres alakban megadott görbe és az x-tengely közötti területet a megadott intervallumban: a) x = 2 cos(t),
y = sin(t),
b) x = t − sin(t), 2
c) x = t − 3t, 2
d) x = t − 1,
[0, π]
y = 1 − cos(t), t
y=e,
y = sin(t),
[0, 2π]
t ∈ [2, 4]
t ∈ [2, 4]
3. Számítsa ki az adott görbék által határolt korlátos síkrész területét: a) y = 6x − x2 − 7, y = x − 3 b) y = 2x2 ex , y = −x3 ex 2x c) y = x3 , y = 4x d) y = sin(x), y = π 4. Számítsa ki a paraméteres alakban megadott görbe átal határolt síkidom területét: a) x = t2 − 1, 2
b) x = cos (t), c) x = t2 ,
y = sin(t), y = sin(2t),
y = t3 − 4t
t ∈ [−π, π] t ∈ [0, π]
[−2, 2]
Forgástestek térfogata 1. Számítsa ki az adott görbeívnek az x-tengely körüli megforgatásával kapott forgástest térfogatát: h πi 1 2 a) y = 4 − x , [−2, 2] b) y = p , 0, 6 cos(x) √ −x c) y = xe , [0, 1] 2. Forgassuk meg az y = ex , y = e−x és az x = 1 egyenlet˝u görbék által határolt véges tartományt az x-tengely körül! Mekkora a keletkezett forgástest térfogata? Mekkora annak a forgástestnek a térfogata, amelyet úgy nyerünk, hogy ugyanezen síkidomot az y-tengely körül forgatjuk meg? 3. Számítsa ki a következ˝o paraméteresen megadott görbeív x-tengely körüli megforgatásával kapott forgástest térfogatát: h πi a) x = cos(t), y = sin(2t), t ∈ 0, 2 2 t b) x = t + t, y = e , t ∈ [0, 3]
Ívhossz számítása 1. Számítsa ki a görbeív hosszát a megadott intervallumban: x√ 3 a) y = 2x 2 , [0, 11] x + 12, b) y = 6 π 2π c) y = ln sin(x), , 3 3
[−11, −3]
2. Számítsa ki az alábbi paraméteresen megadott görbeív hosszát a megadott intervallumban: 1 1 2 2 a) x = t , y = t − t , t ∈ 0, 3 3 b) x = et sin(t),
y = et cos(t),
t ∈ [0, ln 2]
Az integrálszámítás alkalmazásai II. Felszínszámítás 1. Számítsa ki a görbe x-tengely körüli forgatásával nyert forgástest palástfelszínét: √ 1 a) y = x3 x ∈ [0, 1] b) y = 9 − x2 x ∈ [−3, 3] 3 √ √ c) y = 3 − 2x x ∈ [0, 1] d) y = 2x − 4 x ∈ [2, 3] 2. Forgassa meg az alábbi paraméteres egyenletrendszerrel felírt görbék megadott darabját az x tengely körül, és számítsa ki a keletkez˝o forgástestek palástjának felszínét: a) x = t2 ,
y = t,
b) x = a cos2 (t),
t ∈ [0, 1]
y = a sin2 (t),
t ∈ 0, π2 t ∈ 0, π2
c) x = et cos(t),
y = et sin(t), d) x = cos(t) + ln tg 2t , y = sin(t),
t ∈ [ π2 , 3π ] 4
Improprius integrálok Integrálás végtelen intervallumon R∞
1. a)
e−2x dx
b)
− ln 2
d)
g)
Z∞
0 Z∞ 0
j)
Z∞
Z∞
dx x ln2 (x)
e)
dx √ x e + ex
h)
dx 1 + 4x2
k)
0 Z∞
x dx 1 + x2
x2
c)
√
dx + 2x + 2
f)
ex+1 dx
x dx + 1)3
2
R∞
i)
−∞
R∞
(x2
(2x + 3) e1−x dx
1
0
R0
Z∞
−1 R
x2 e2x dx
−∞
xe−
x2 2
dx
−∞
−∞
Adott intervallumon nem korlátos függvény integrálása 1. a)
Z1 0
e)
R1 0
dx √ 1−x
b)
ln(x) dx
f)
Z1 0
Z1
−1
π
dx 1 − x2
c)
dx 1 − x2
g)
Z2 0
Z1 0
cos(x) p dx sin(x) dx dx x ln2 (x)
d)
Z4
dx √ x+ x
h)
Zπ
tg(x) dx
0
0
Differenciálegyenletek I. 1. Döntse al, hogy az alábbi differenciálegyenletek hányadrend˝uek, illetve azt is, hogy lineárisak-e: ex y′ + y · = x arccos(x) 4x2 sin(x) b) y ′′ = 5y ′ − 4 a) y ′′ · tg(x) −
c) y (4) · ln(y) + sin(y ′′) = 0
2. Döntse el, hogy az y ′′ = y + x2 differenciálegyenletnek megoldásai-e az f (x) = 2x2 , illetve g(x) = −x2 − 2 − ex függvények! 3. Határozza meg integrálással az y ′′′ = 1 differenciálegyenlet általános megoldását, majd az y(0) = 1, y ′(0) = 0, y ′′ (0) = −1 kezdeti feltételeket kielégít˝o partikuláris megoldását! 4. Rajzolja fel a következ˝o differenciálegyenletekhez tartozó iránymez˝ot az xy-koordinátarendszerben! Rajzoljon meg néhány integrálgörbét is az iránymez˝o alapján! Mi lehet a differenciálegyenletek megoldása? Sejtését számítással is ellen˝orizze! a) y ′ =
y x
b) y ′ = −
x y
5. Adja meg az alábbi szétválasztható változójú differenciálegyenletek általános megoldását! Ha adott valamilyen feltétel, akkor írja fel az ezt kielégít˝o partikuláris megoldást is! a) y ′ = 2xy 2 ,
1 2 y(0) = 1
y(1) = −
b) x3 dy = y 3dx,
c) y ′ sin(x) = y ln(y) 6. Írja fel az alábbi els˝orend˝u lineáris homogén differenciálegyenletek általános megoldását: a) y ′ sin(x) − y cos(x) = 0 1 b) y ′ + 2 y=0 x −1 7. Oldja meg az állandó variálásának módszerével az alábbi els˝orend˝u lineáris inhomogén differenciálegyenleteket: y = x2 − 1 x+1 x b) xy ′ + y = cos 2 1 2 ′ c) x y + y = x · e x · ln(x) a) y ′ −
d) xy ′ +
y =1 ln(x)
8. Határozza meg az állandó variálásának módszerével az alábbi els˝orend˝u lineáris differenciálegyenletek adott feltételt kielégít˝o partikuláris megoldását: a) y ′ + y tg(x) = −2 cos3 (x),
y(0) = 1
2
x x , y(0) = −2 y=√ 2 1+x 1 + x2 3 c) y ′ − 2 y = 1, y(0) = 3 x +x−2
b) y ′ −
9. Oldja meg próbafüggvény módszerrel az alábbi állandó együtthatójú els˝orend˝u lineáris differenciálegyenleteket: a) y ′ + y = sin(x) b) y ′ − 2y = 4x
c) 2y ′ + y = 10(e2x + e−x ) 25 cos(3x) + 2 d) y ′ − 4y = 4 10. Oldja meg próbafüggvény módszerrel az alábbi állandó együtthatójú els˝orend˝u differenciálegyenletet, figyelve a rezonanciára: y ′ − 2y = e2x + x
8. hét Differenciálegyenletek II. 1. Adja meg az alábbi állandó együtthatójú másodrend˝u lineáris, homogén differenciálegyenletek általános megoldását: a) d)
y ′′ − 2y ′ − 3y = 0 y ′′ + 4y = 0
b)
y ′′ + 5y ′ = 0
e)
y ′′ − 2y ′ + 10y = 0
c)
y ′′ − 6y ′ + 9y = 0
2. Oldja meg próbafüggvény-módszerel az alábbi másodrend˝u lineáris inhomogén differenciálegyenleteket: a)
y ′′ + y = 3x2
b) 4y ′′ + y = 85(e−x − e2x )
c)
y ′′ + 2y ′ + y = −10 cos(2x) − 5 sin(2x)
d) y ′′ + y = (x + 1)e−x
e)
y ′′ − 16y = 13ex sin(x)
f)
y ′′ − 2y ′ = −15x · cos(x)
3. Oldja meg próbafüggvény-módszerel az alábbi másodrend˝u lineáris inhomogén differenciálegyenleteket: a) c)
y ′′ − 2y ′ − 3y = 6(e−x − x)
b)
y ′′ − 4y ′ + 4y = e2x + 4x
d)
y ′′ + 9y = sin(3x) − cos(3x)
y ′′ − 3y ′ = 2ex + (6x + 5)e3x
4. Adja meg a következô differenciálegyenleteknek az adott feltétel(eke)t kielégítô partikuláris megoldását: 1 = −1 − e a) y ′′ + 2y ′ = 12x2 − 2 y(0) = 0 y − 2 b) y ′′ + y = 2 cos(x) c)
y ′′ − y ′ = x · ex
y(0) = −3
y(0) = 0
y ′(0) = −
1 4
Laplace-transzformáció Képezze a következ˝o függvények Laplace-transzformáltját: 1. a) e2t f) t2
b) e3t+1 g) 5t4
2. a) e3t − 5−t + 2et c) sin(3t) · cos(5t) 3. a)
e4t − 3e2t − 4e−t 2et
c) e−5t h) −8t6
sin(2t) + sin3 (t) sin(t)
4. a) e2t sin(3t) c) e3t (2 sin(t) − 3 cos(4t)) 5. a) t sin(t)
b)
sin(2t)
e)
cos(3t)
3 sin(4t) − 2 cos(2t) 4t3 − 2t2 + 7t − 3
b) d) b)
d)
c)
2t2 − 7t + 6 t−2
b) e3t cos(7t) d) 3e6t (4t3 − 3t2 + 2t − 4)
3t cos(2t)
Határozza meg a következ˝o függvények inverz Laplace-transzformáltját: 1. a) 2. a)
1 s 4s + 1 s2 + 3s − 4
b) b)
2 s−1
2s2 + 11s − 6 s3 − s2 − 6s
c) c)
s2
3 +1
d)
s2 − 13s + 6 (s2 + 4)(s + 6)
s2 d)
s +4 4s2 − 21s + 29 (s − 1)(s − 3)2
Határozza meg a következ˝o differenciálegyenletek, illetve differenciál-egyenletrendszerek megadott kezdeti feltételhez tartozó partikuláris megoldását Laplace-transzformáció alkalmazásával: 1. a) y ′ + 3y = −8e5x y(0) = 4 b) y ′ − 5y = 25x y(0) = 1 c) y ′ + 2y = 10 sin(4x) y(0) = 0 d) y ′ + 3y = 2 cos(x) y(0) = 0 e) y ′ − y = 4x · e−x y(0) = 0 f) y ′ − 3y = e3x − 2 y(0) = −2 2. a) y ′′ + 9y = 9 b) y ′′ + 3y ′ + 2y = 12ex c) y ′′ + 4y ′ = 68 sin(x) d) y ′′ + y ′ = x2 + 2x
y(0) = 0 y(0) = 0 y(0) = 0 y(0) = 4
y ′ (0) = 1 y ′ (0) = 2 y ′ (0) = 0 y ′ (0) = −2
Numerikus sorok 1. Vizsgálja meg az alábbi számsorok konvergenciáját. Ha konvergensek, akkor számítsa ki az összegüket: a) d) g)
∞ 1 + 3k + 5k P 15k k=1 k ∞ P a2 a2 + 2 k=0 ∞ P (−1)k · 0, 1k+1
b) e)
∞ 3k+1 P k k=0 2 k ∞ P 2b , (b 6= 10) k=0 b − 10
c) f)
∞ 3k+1 P 2k k=0 2 ∞ P (−1)k · 0, 1
k=0
k=0
2. Határozza meg a következ˝o sorok összegét résztörtekre bontással: a)
1 k=1 k(k + 1)(k + 2) ∞ P
b)
∞ k P ( 1) k k=3 ( 3)
∞ P 3. Számítsuk ki a ak sor összegét, ha a1 = 20, a2n = a2n−1 , ha n ≥ 1 egész, és k=1 a2n a2n+1 = , ha n ≥ 1 egész! 4
4. A konvergencia szükséges feltételét felhasználva mutassa meg, hogy a következ˝o sorok divergensek: r 5k ∞ ∞ ∞ ∞ P P P P 5k + 1 k k+1 3k a) b) c) d) k 5k + 2 k k=1 k=1 k=1 k · 2 k=1 2k − 1
5. Mutassa meg, hogy a következ˝o (harmonikus sorra visszavezethet˝o) sor divergens: ∞ k P (1 ) k k=2 (2 )
6. A majoráns és a minoráns kritérium alkalmazásával döntsük el, hogy a következ˝o sorok közül melyik konvergens és melyik divergens: ∞ ∞ ∞ P P P 1 1 1 a) b) c) 2k−1 2 k=1 (2k − 1)2 k=1 (k + 1)(k + 4) k=1 k + 1 ∞ ∞ 1+k ∞ P P P 1 k+1 d) e) f) 2 2 k=0 k − 4k + 5 k=1 1 + k k=1 (k + 2)k ∞ ∞ ∞ P P P π 1 1 g) tg h) i) 4k k=1 k=1 3k − 1 k=1 ln(k + 1) ∞ P 1 √ j) 2 k + 2k k=1
7. Döntse el hányadoskritérium segítségével, hogy a következ˝o sorok konvergensek-e: a) e)
∞ 2k P k=0 k! ∞ k! P k k=1 k
b) f)
∞ 2k P k k=1 k ∞ (k + 1)! P k k=1 2 · k!
∞ k! P 2 k=1 k k ∞ P 2 g) k· 3 k=1
c)
∞ (k + 1)(k + 2) P k! k=0 ∞ k P k k=1 2
d) h)
8. A gyökkritérium alkalmazásával döntse el, hogy a következ˝o sorok konvergense-e: ∞ 2k ∞ 1 ∞ √ P P P k k kp , ahol 0 < p < 1 c) a) b) k k k=1 k k=1 k=1 k k 2 k ∞ ∞ sin2k k ∞ P P P k k+1 2 d) e) f) k k=1 k + 2 k=1 10k + 2 k=1 k + 2 g)
∞ (arctg(k))k P k−1 k=1 (k + 2)2
9. Integrálkritérium alkalmazásával döntse el, hogy a következ˝o sorok konvergensek-e: ∞ ∞ k+1 ∞ P P P 3 1 a) b) c) 2 2 2 k=2 k · ln(k ) k=1 k + 1 k=2 k · ln (k) ∞ 1 ∞ 1 ∞ P P P 1 √ √ d) , ahol α > 0 e) f) α k + 1 (k + 1) k k=1 k k=1 k=1 ∞ ∞ ∞ P P P 1 1 1 h) g) i) 2 2 k=1 (k + 1) ln (k + 2) k=1 k + 1 k=2 k ln(k) ∞ P k j) k k=1 e
10. Vizsgálja meg a következ˝o váltakozó el˝ojel˝u sorokat konvergencia szempontjából: a) c)
1 2k − 1 k=1 ∞ P 2k + 1 (−1)k 2 k +k k=1 ∞ P
(−1)k+1
b) d)
∞ (−1)k P k2 k=1 ∞ P (−1)k · k=0
√
k+1
0, 01
Függvénysorok 1. Határozza meg a következ˝o függvénysorok konvergenciatartományát és összegfüggvényét: k ∞ ∞ ∞ ∞ P P P P e−x x a) x 6= 1 b) e−kx c) tgk (x) d) 2 x−1 k=0 k=0 k=2 k − 1 k=1 2. Határozza meg a következ˝o hatványsorok konvergenciatartományát: ∞ ∞ ∞ 1 ∞ kk P P P P 2k−1 k k a) k!xk b) x c) x d) xk k k k! 2k − 1 k 5 k=0 k=1 k=1 k=1 ∞ k+2 ∞ k! P P e) xk f) (x − 1)k k k k k=1 k=1
3. Írja fel az alábbi függvények x0 -körüli harmadrend˝u Taylor-polinomját: ln(x) a) f (x) = 2x x0 = 1 b) f (x) = x0 = e x2 1 π x0 = d) f (x) = x7 − x2 x0 = 1 c) f (x) = sin(x) 2
4. Írja fel az alábbi függvények Maclaurin-sorát és határozza meg, hogy az melyik tartományban állítja el˝o a függvényt: 1 2 a) f (x) = sin(3x) b) f (x) = x c) f (x) = x3 e2x d) f (x) = ln(2 − x) 2 e 5. Az x0 = 0 körüli harmadrend˝u Taylor-polinom alkalmazásával adja meg az alábbi függvények közelít˝o értékét a megadott x1 helyen és adjon fels˝o becslést a közelít˝o érték hibájára: √ a) f (x) = ex x1 = −0, 1 b) f (x) = 3 1 + x x1 = 0, 1 c) f (x) = cos(x) x1 = 0, 2 d) f (x) = arctg(2x) x = 0, 1 6. Az integrandus x0 = 0 körüli negyedfokú Taylor-polinomjának alkalmazásával adja meg az alábbi integrálok közelít˝o értékét és adjon fels˝o becslést a közelít˝o érték hibájára: Z0,2 0,3 R −x2 sin(2x) dx b) e dx a) x 0 0
7. Az integrandus x0 = 0 körüli Taylor-polinomjának alkalmazásával számítsa ki az alábbi integrálok közelít˝o értékét úgy, hogy a pontos értékt˝ol való eltérés legfeljebb 10−6 legyen: Z0,2 x Z0,5 0,6 R √ e −1 sin(x) a) dx b) 1 + x2 dx c) dx x x 0,4 0,1
0
Fourier-sorok Fejtse Fourier-sorba a következ˝o függvényeket: π π 1 ha − < x ≦ 2 2 és ∀x ∈ R esetén f (x + 2π) = f (x) 1. f : R → R, f (x) = 0 ha π < x ≦ 3π 2 2 6 ha 0 < x < π 2. f : R → R, f (x) = és ∀x ∈ R esetén f (x + 2π) = f (x) 0 ha −π < x < 0 x ha 0 < x < π 3. f : R → R, f (x) = és ∀x ∈ R esetén f (x + 2π) = f (x) 0 ha −π < x < 0 π ha 0 ≦ x < π 4. f : R → R, f (x) = és ∀x ∈ R esetén f (x + 2π) = f (x) x + π ha −π ≦ x < 0
Többváltozós függvények I. 1. Határozza meg a következ˝o függvények értelmezési tartományát: p a) f (x; y) = 1 − x2 − y 2 b) f (x; y) = p ln(x + y) √ √ d) f (x; y) = 4 y − x2 c) f (x; y) = x + y
2. Határozza meg a következ˝o függvények megadott értékekhez tartozó szintvonalainak egyenletét: a) z = 2x + 3y + 2 b) z = x2 + y 2
z1 = 2,
z2 = 10
z1 = 1, z2 = 9
c) z = x2 − y 2 z1 = 2, z2 = 8 p √ d) z = 4x2 + y 2 z1 = 3, z2 = 5
3. Határozza meg a következ˝o többváltozós függvények parciális deriváltfüggvényeit: a) f (x; y) = x2 − 6x2 y + y 3 c) f (x; y) = cos(y x )
b) d)
f (x; y) = ln(xy ) + ex f (x; y; z) = ln(xyz)
2 −y
4. Határozza meg az alábbi függvények parciális deriváltjait a megadott P0 pontban: ! 2 π ex a) z = ln p 3 b) z = tg(x2 − 2y) ; P0 (2; 2) ; P0 1; 2 sin (y) x+y c) z = arctg ; P0 (1; 0) 1 − xy 5. Határozza meg a következ˝o függvények teljes differenciálját: a) f (x; y) = √
1 √ x− y
x+y
b) f (x; y) = e 1−xy c) f (x; y) = sin2 (x) + x cos(y)
Többváltozós függvények II. 1. Számítsa ki az alábbi kétváltozós függvények iránymenti deriváltját az adott v irányvektorú egyenes mentén az adott P0 pontban: π π √ 1 ; v − ; a) f (x; y) = 3; −1 ; P 0 cos2 (x − y) 4 r 2 r √ π π b) f (x; y) = sin (x2 + y 2 ) ; v 3; 1 ; P0 ; 2 3 ln(x) ln(y) c) f (x; y) = − ; v (−3; 4) ; P0 (e; e2 ) ln(y) ln(x) 2. Határozza meg a következ˝o függvények széls˝oértékeit: 2 a) f (x; y) = (5 + 2x − y) · ex b) f (x; y) = exy x c) f (x; y) = 5 − x2 + 4x − y 2 d) f (x; y) = e 2 · (x + y 2) 1 e) f (x; y) = x2 + y 2 + xy + y + f) f (x; y) = x3 + y 3 − 3xy 3 3. Határozza meg a z = xy − 1 felületnek az origóhoz legközelebb es˝o pontját! 4. Egy derékszög˝u háromszög rövidebbik befogójának hosszát a = 5 ± 0, 1 cm-nek mértük, másik befogójának hosszát pedig b = 12 ± 0, 2 cm-nek. Becsülje meg, hogy mekkora abszolút, illetve relatív hibával számítható ki a) az átfogó hosza; b) a háromszög területe; c) tg (β), ahol β a b oldallal szemközti szög! 5. A véges növekmények tétele segítségével adjon közelítést az alábbi kétváltozós valós függvények megadott pontban felvett értékére egy olyan közeli pontból kiindulva, ahol a függvényérték könnyen számolható: a) f (x; y) = ln (x2 − y 3),
P (3, 02; 1, 96)
b) f (x; y) = (xy)2 − 2(y + 2x)3 ,
P (−1, 98; 3, 01)
6. Számítsa ki az alábbi kétváltozós függvények kett˝os integrálját a megadott T tartományon: x y a) f (x; y) = 1 − − T = (x; y) − 1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2 3 4 n πo b) f (x; y) = x · sin(y) T = (x; y) 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 √ 54y c) f (x; y) = T = (x; y) 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ arctg(x) 2 1+x n o sin(x) 0 ≤ x ≤ π , cos(x) ≤ y ≤ 2 cos(x) d) f (x; y) = T = (x; y) y3 3
7. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kett˝os integrálját a csúcsaival megadott sokszögtartományon: a) f (x; y) = ex−y x b) f (x; y) = − 2 y
A(0; 0), B(1; 1), C(0; 2) A(2; 2), B(2; 3), C(4; 4)
8. Számítsa ki az alábbi kétváltozós valós függvények kett˝os integrálját azon a korlátos tartományon, amelyet a következ˝o egyenletekkel megadott görbék határolnak: a) f (x; y) = y · ex b) f (x; y) =
y (1 + x)2
x = y,
1 x = y2 3
x = −y,
x = y2,
y=−
1 2
