Feladatok megoldásokkal a negyedik gyakorlathoz (Függvényvizsgálat)
1. Feladat. Végezzük el az f (x) = 2x2 − x4 függvény teljes függvényvizsgálatát! megoldás: 1) Értelmezési tartomány: x ∈ R. 2) A zérushelyet az f (x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: 2x2 − x4 = 0, amiből x2 -et kiemelve azt kapjuk, hogy x2 (2 − x2 ) = 0. 2 2 Egy szorzat pontosan √ akkor nulla, ha √ valamelyik tényezője nulla, így x = 0, vagy 2 − x√= 0, ez√utóbbiból x = 2, vagy x = − 2. Így a függvénynek három zérushelye van, a 0, 2 és − 2.
3) A függvény deriváltja f 0 (x) = 4x − 4x3 . Ennek zérushelyeit, azaz a 4x − 4x3 = 0 egyenlet megoldásait 4x kiemelésével kapjuk: 4x(1 − x2 ) = 0. Egy szorzat csak úgy lehet nulla, ha valalmelyik tényezője nulla, így 4x = 0, vagy 1 − x2 = 0. Ezeket megoldva x1 = 0, x2 = 1, x3 = −1 adódik. Az első derivált előjelét táblázatban foglaljuk össze: x < −1 x = −1 −1 < x < 0 x = 0 0 < x < 1 x = 1 x>1 f (x) + 0 − 0 + 0 − f (x) sz.m.n lok.max. sz.m.cs. lok.min. sz.m.n. lok.max. sz.m.cs. 0
4) A függvény második deriváltja f 00 (x) = 4 − 12x2 . √ √ Ennek zérushelyei, azaz a 4 − 12x2 = 0 egyenlet megdolásai x1 = −1/ 3, x2 = 1/ 3. Ennek megfelelően táblázatba foglalva megvizsgáljuk a második derivált előjelét: x < − √13 x = − √13 − √13 < x < f 00 (x) f (x)
− konkáv
+ konvex
0 I.P
5) Határérték az értelmezési tartomány végpontjaiban: 1
√1 3
x=
√1 3
0 I.P
x>
√1 3
− konkáv
2
2 − 1 = ∞(0 − 1) = −∞. lim f (x) = lim 2x − x = lim x x→−∞ x→−∞ x→−∞ x2 2 2 4 4 − 1 = ∞(0 − 1) = −∞. lim f (x) = lim 2x − x = lim x x→∞ x→∞ x→∞ x2 2
4
4
6) A függvény ábrázolásához készítünk egy összefoglaló táblázatot, az előző két táblázat alapján. x < −1 −1 < x < − √13 − √13 < x < 0 0 < x < Mon. sz.m.n Konv. konkáv
sz.m.cs. konkáv
sz.m.cs konvex
√1 3
sz.m.n konvex
√1 3
<x<1
sz.m.n konkáv
x>1 sz.m.cs. konkáv
Ennek segítségével fel tudjuk vázolni a függvény grafikonját:
7) Értékkészlet: y ≤ 1. 8) Korlátosság: a függvény felülről korlátos, alulról nem korlátos. 9) Paritás: páros, mert szimmetrikus az y tengelyre. 10) Periodicitás: nem periodikus. 11) Abszolút (globális) szélsőértékhely: max.hely: x = −1; 1, max.érték: y=1. 12) Invertálhatóság: nem invertálható a függvény, mert például a −1-hez és az 1-hez is ugyanazt a függvényértéket rendeli. 2. Feladat. Végezzük el az f (x) = 4x3 − 12x függvény teljes függvényvizsgálatát! megoldás:
3
1) Értelmezési tartomány: x ∈ R. 2) A zérushelyet az f (x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: 4x3 − 12x = 0, amiből 4x-et kiemelve azt kapjuk, hogy 4x(x2 − 3) = 0. 2 Egy szorzat pontosan √ valamelyik tényezője nulla, így 4x = 0, vagy x − 3√= 0, √ akkor nulla, ha ez√utóbbiból x = 3, vagy x = − 3. Így a függvénynek három zérushelye van, a 0, 3 és − 3.
3) A függvény deriváltja f 0 (x) = 12x2 − 12. Ennek zérushelyei, azaz a 12x2 − 12 = 0 egyenlet megoldásai: 12x2 = 12, amiből x = 1, vagy x = −1. Az első derivált előjelét táblázatban foglaljuk össze: f 0 (x) f (x)
x < −1 x = −1 −1 < x < 1 x = 1 x>1 + 0 − 0 + sz.m.n lok.max. sz.m.cs. lok.min. sz.m.n.
4) A függvény második deriváltja f 00 (x) = 24x. Ennek zérushelye, azaz a 24x = 0 egyenlet megdolása x = 0. Ennek megfelelően táblázatba foglalva megvizsgáljuk a második derivált előjelét: x<0 x=0 x>0 f (x) − 0 + f (x) konkáv I.P konvex 00
5) Határérték az értelmezési tartomány végpontjaiban: 12 3 3 lim f (x) = lim 4x − 12x = lim x 1 − 2 = −∞(1 − 0) = −∞. x→−∞ x→−∞ x→−∞ x 12 lim f (x) = lim 4x3 − 12x = lim x3 1 − 2 = ∞(1 − 0) = ∞. x→∞ x→∞ x→∞ x 6) A függvény ábrázolásához készítünk egy összefoglaló táblázatot, az előző két táblázat alapján. x < −1 −1 < x < 0 0 < x < 1 Mon. sz.m.n Konv. konkáv
sz.m.cs. konkáv
sz.m.cs konvex
Ennek segítségével fel tudjuk vázolni a függvény grafikonját:
x>1 sz.m.n konvex
4
7) Értékkészlet: y ∈ R. 8) Korlátosság: a függvény felülről nem korlátos, alulról nem korlátos. 9) Paritás: páratlan, mert szimmetrikus az origora. 10) Periodicitás: nem periodikus. 11) Abszolút (globális) szélsőértékhely: nincs. 12) Invertálhatóság: nem invertálható a függvény. 3. Feladat. Végezzük el az f (x) = x +
1 x2
függvény teljes függvényvizsgálatát! megoldás: 1) Értelmezési tartomány: x ∈ R \ {0}. 2) A zérushelyet az f (x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: x+
1 = 0, x2
amiből x2 -el beszorozva azt kapjuk, hogy x3 + 1 = 0, amiből x = −1. 3) A függvény deriváltja f 0 (x) = 1 −
2 . x3
5
Ennek zérushelyei, azaz az 1 −
2 x3
= 0 egyenlet megoldása: 1=
2 , x3
√ amiből x = 3 2. Az első derivált előjelét táblázatban foglaljuk össze. (Egy függvény ott is válthat előjelet, ahol nincs értelmezve!!) √ √ √ x<0 x=0 0<x< 32 x= 32 x> 32 f 0 (x) + nincs értelmezve − 0 + f (x) sz.m.n nincs értelmezve sz.m.cs. lok.min. sz.m.n.
4) A függvény második deriváltja f 00 (x) =
8 . x4
Ennek nincs zérushelye, mert egy tört csak akkor nulla, ha a számlálója nulla, azonban 8 6= 0. Mivel f 00 mindenhol pozitív, ezért a függvény értelmezési tartományának minden pontjában konvex. (A második derivált csak a nullában válthatna előjelet.) x<0 x=0 x>0 f 00 (x) + nincs értelmezve + f (x) konvex nincs értelmezve konvex
5) Határérték az értelmezési tartomány végpontjaiban: lim f (x) = lim x +
x→−∞
x→−∞
1 = −∞. x2
1 = ∞. x2 1 1 lim f (x) = lim x + 2 = lim + n2 = ∞. x→0− x→0− n→∞ n x 1 1 lim f (x) = lim x + 2 = lim + n2 = ∞. x→0+ x→0+ n→∞ n x lim f (x) = lim x +
x→∞
x→∞
6) A függvény ábrázolásához készítünk egy összefoglaló táblázatot, az előző két táblázat alapján. √ √ x<0 0<x< 32 x> 32 Mon. sz.m.n sz.m.cs. sz.m.n Konv. konvex konvex konvex Ennek segítségével fel tudjuk vázolni a függvény grafikonját:
6
7) Értékkészlet: y ∈ R. 8) Korlátosság: a függvény felülről nem korlátos, alulról nem korlátos. 9) Paritás: nem páratlan, nem páros. 10) Periodicitás: nem periodikus. 11) Abszolút (globális) szélsőértékhely: nincs. 12) Invertálhatóság: nem invertálható a függvény. 4. Feladat. Végezzük el az f (x) = x +
1 x
függvény teljes függvényvizsgálatát! megoldás: 1) Értelmezési tartomány: x ∈ R \ {0}. 2) A zérushelyet az f (x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: 1 x + = 0, x amiből x-el beszorozva azt kapjuk, hogy x2 + 1 = 0, így nincs zérushelye a függvénynek. 3) A függvény deriváltja f 0 (x) = 1 −
1 . x2
7
Ennek zérushelyei, azaz az x2 − 1 = 0 egyenlet megoldása: 1 = x2 , amiből x = −1, x = 1. Az első derivált előjelét táblázatban foglaljuk össze. (Egy függvény ott is válthat előjelet, ahol nincs értelmezve!!) x < −1 x = −1 −1 < x < 0 x=0 0<x<1 x=1 x>1 f (x) + 0 − nincs értelmezve − 0 + f (x) sz.m.n lok.max. sz.m.cs. nincs értelmezve sz.m.cs. lok.min. sz.m.n. 0
4) A függvény második deriváltja f 00 (x) =
2 . x3
Ennek nincs zérushelye, mert egy tört csak akkor nulla, ha a számlálója nulla, azonban 2 6= 0. Így a második derivált csak x = 0-ban válthat előjelet. x<0 x=0 x>0 f (x) 0 + f (x) konkáv nincs értelmezve konvex 00
5) Határérték az értelmezési tartomány végpontjaiban: lim f (x) = lim x +
x→−∞
x→−∞
1 = −∞. x
1 = ∞. x→∞ x→∞ x 1 1 lim f (x) = lim x + = lim + n = ∞. x→0− x→0− x n→∞ n 1 1 lim f (x) = lim x + = lim − n = −∞. x→0+ x→0+ x n→∞ n lim f (x) = lim x +
6) A függvény ábrázolásához készítünk egy összefoglaló táblázatot, az előző két táblázat alapján. x < −1 −1 < x < 0 0 < x < 1 x > 1 Mon. sz.m.n sz.m.cs. sz.m.cs. sz.m.n Konv. konkáv konkáv konvex konvex
Ennek segítségével fel tudjuk vázolni a függvény grafikonját:
8
7) Értékkészlet: y ∈ R\] − 2, 2[. 8) Korlátosság: a függvény felülről nem korlátos, alulról nem korlátos. 9) Paritás: páratlan. 10) Periodicitás: nem periodikus. 11) Abszolút (globális) szélsőértékhely: nincs. 12) Invertálhatóság: nem invertálható a függvény. 5. Feladat. Végezzük el az f (x) =
x2
2 − 2x
függvény teljes függvényvizsgálatát! megoldás: 1) Értelmezési tartomány: x ∈ R \ {0, 2}. 2) A zérushelyet az f (x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk. Egy tört csak akkor nulla, ha a számlálója nulla, azonban most a számláló sosem nulla, így nincs zérushelye a függvénynek. 3) A függvény deriváltja f 0 (x) = −
2(2x − 2) . (x2 − 2x)2
Ennek zérushelye x = 1. Az első derivált előjelét táblázatban foglaljuk össze. (Egy függvény ott is válthat előjelet, ahol nincs értelmezve!!) x<0 x=0 0<x<1 x=1 1<x<2 x=2 x>2 f (x) sz.m.n. nincs értelmezve sz.m.n. lok.max. sz.m.cs. nincs értelmezve sz.m.cs. f 0 (x) + 0 + nincs értelmezve − 0 −
9
4) A függvény második deriváltja f 00 (x) = −
4(x2 − 2x) − 2(4x − 4)(x2 − 2x)(2x − 2) , (x2 − 2x)4
amit egyszerűsítve f 00 (x) =
(2x − 1)2 (x2 − 2x)3
adódik. Ennek egyetlen zérushelye az x = 1/2.
x<0 x=0 0 < x < 1/2 x = 1/2 1/2 < x < 2 x=2 x>2 f (x) + 0 − nincs értelmezve − 0 + f (x) konvex nincs értelmezve konkáv nincs i.p. konkáv nincs értelmezve konve 0
5) Határérték az értelmezési tartomány végpontjaiban: lim f (x) = lim
x→−∞
x→−∞
x2
2 = 0. − 2x
2 = 0. x→∞ − 2x 2 lim f (x) = lim 2 = lim 1 x→0− x→0− x − 2x n→∞ 2 n 2 = lim 1 lim f (x) = lim 2 n→∞ 2 x→0+ x→0+ x − 2x n 2 lim f (x) = lim 2 = −∞. x→2− x→2− x − 2x 2 lim f (x) = lim 2 = ∞. x→2+ x→2+ x − 2x 6) A függvény ábrázolása: lim f (x) = lim
x→∞ x2
2 + 2 −
2 n 2 n
2n = ∞. +2 2n = lim 1 = −∞. n→∞ −2 n
= lim
n→∞ 1 n
10
7) Értékkészlet: y ∈ R\] − 2, 0]. 8) Korlátosság: a függvény felülről nem korlátos, alulról nem korlátos. 9) Paritás: nem práos, nem páratlan. 10) Periodicitás: nem periodikus. 11) Abszolút (globális) szélsőértékhely: nincs. 12) Invertálhatóság: nem invertálható a függvény. 6. Feladat. Végezzük el az f (x) = (x + 3)e−x függvény teljes függvényvizsgálatát! megoldás: 1) Értelmezési tartomány: x ∈ R. 2) A zérushelyet az f (x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: (x + 3)e−x = 0, amiből x = −3, ugyanis egy szorzat csak úgy lehet 0, ha valamelyik tényezője 0, azonban e−x seholsem 0. 3) A függvény deriváltja f 0 (x) = e−x (−1)(x + 3) + e−x = e−x (−x − 2). Ennek zérushelyeit, azaz az e−x (−x − 2) = 0 egyenlet egyetlen megoldása x = −2, ugyanis e−x seholsem 0. Az első derivált előjelét táblázatban foglaljuk össze: x < −2 x = −2 x > −2 f (x) + 0 − f (x) sz.m.n lok.max. sz.m.cs. 0
4) A függvény második deriváltja f 00 (x) = e−x (−1)(−x − 2) + e−x (−1) = e−x (x + 1). Ennek zérushelyei, azaz a e−x (x + 1) = 0 egyenlet megdolása x = −1. Ennek megfelelően táblázatba foglalva megvizsgáljuk a második derivált előjelét: x < −1 x = −1 x > −1 f (x) − 0 + f (x) konkáv I.P konvex 00
5) Határérték az értelmezési tartomány végpontjaiban: lim f (x) = lim e−x (x + 3) = −∞.
x→−∞
x→−∞
x+3 1 = lim x = 0. x x→∞ e x→∞ e
lim f (x) = lim e−x (x + 3) = lim
x→∞
x→∞
11
6) A függvény ábrázolásához készítünk egy összefoglaló táblázatot, az előző két táblázat alapján. x < −2 −2 < x < −1 x > −1 Mon. sz.m.n sz.m.cs. sz.m.cs Konv. konkáv konkáv konvex Ennek segítségével fel tudjuk vázolni a függvény grafikonját:
7) Értékkészlet: y ≤ e2 . 8) Korlátosság: a függvény felülről korlátos, alulról nem korlátos. 9) Paritás: nem páros, nem páratlan. 10) Periodicitás: nem periodikus. 11) Abszolút (globális) szélsőértékhely: max.hely: x = −2, max.érték: y = e2 . 12) Invertálhatóság: nem invertálható. 7. Feladat. Végezzük el az f (x) = e2x (2 − x) függvény teljes függvényvizsgálatát! megoldás: 1) Értelmezési tartomány: x ∈ R. 2) A zérushelyet az f (x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: e2x (2 − x) = 0, amiből x = 2, ugyanis egy szorzat csak úgy lehet 0, ha valamelyik tényezője 0, azonban e2x seholsem 0. 3) A függvény deriváltja f 0 (x) = 2e2x (2 − x) + e2x (−1) = e2x (3 − 2x).
12
Ennek zérushelyeit, azaz az e2x (3 − 2x) = 0 egyenlet egyetlen megoldása x = 1, 5, ugyanis e2x seholsem 0. Az első derivált előjelét táblázatban foglaljuk össze: f 0 (x) f (x)
x < 1, 5 x = 1, 5 x > 1, 5 + 0 − sz.m.n lok.max. sz.m.cs.
4) A függvény második deriváltja f 00 (x) = 2e2x (3 − 2x) + e2x (−2) = e2x (4 − 4x). Ennek zérushelyei, azaz a e2x (4 − 4x) = 0 egyenlet megdolása x = 1. Ennek megfelelően táblázatba foglalva megvizsgáljuk a második derivált előjelét: x<1 x=1 x>1 f (x) + 0 − f (x) konvex I.P konkáv 00
5) Határérték az értelmezési tartomány végpontjaiban: lim f (x) = lim e2x (2 − x) = 0.
x→−∞
x→−∞
lim f (x) = −∞.
x→∞
6) A függvény ábrázolásához készítünk egy összefoglaló táblázatot, az előző két táblázat alapján. x < 1 1 < x < 1, 5 x > 1, 5 Mon. sz.m.n sz.m.n. sz.m.cs Konv. konvex konkáv konkáv Ennek segítségével fel tudjuk vázolni a függvény grafikonját:
13
7) Értékkészlet: y ≤
e3 . 2
8) Korlátosság: a függvény felülről korlátos, alulról nem korlátos. 9) Paritás: nem páros, nem páratlan. 10) Periodicitás: nem periodikus. 11) Abszolút (globális) szélsőértékhely: max.hely: x = 1, 5, max.érték: y =
e3 . 2
12) Invertálhatóság: nem invertálható. 8. Feladat. Végezzük el az f (x) = ex (x2 − 3x + 1) függvény teljes függvényvizsgálatát! megoldás: 1) Értelmezési tartomány: x ∈ R. 2) A zérushelyet az f (x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: ex (x2 − 3x + 1) = 0, amiből x2 − 3x + 1 = 0, ugyanis egy szorzat csak úgy lehet 0, ha valamelyik tényezője 0, azonban e2x seholsem 0. Az említett másdofokú egyenlet megoldásai √ √ 3− 5 3+ 5 x1 = , x2 = . 2 2 3) A függvény deriváltja f 0 (x) = ex (x2 − 3x + 1) + ex (2x − 3) = ex (x2 − x − 2). Ennek zérushelyeit, azaz az ex (x2 − x − 2) = 0 egyenlet megoldásai −1 és 2. Az első derivált előjelét táblázatban foglaljuk össze: f 0 (x) f (x)
x < −1 x = −1 −1 < x < 2 x = 2 x>2 + 0 − 0 + sz.m.n lok.max. sz.m.cs. lok.min sz.m.n.
4) A függvény második deriváltja f 00 (x) = 2ex (x2 − x − 2) + ex (2x − 1) = ex (x2 + x − 3). Ennek zérushelyei, azaz a ex (x2 + x − 3) = 0 egyenlet megdolásai √ √ −1 + 13 −1 − 13 x1 = , x2 = . 2 2 Ennek megfelelően táblázatba foglalva megvizsgáljuk a második derivált előjelét:
14
x< f 00 (x) f (x)
√ −1− 13 2
+ konvex
x=
√ −1− 13 2
√ −1− 13 2
<x<
√ −1+ 13 2
x=
− konkáv
0 I.P
√ −1+ 13 2
x>
0 I.P.
5) Határérték az értelmezési tartomány végpontjaiban: lim f (x) = lim ex (x2 − x − 2) = 0.
x→−∞
x→∞
lim f (x) = ∞.
x→∞
6)A függvény gráfja:
7) Értékkészlet: y ≥ −e2 . 8) Korlátosság: a függvény alulról korlátos, felülről nem korlátos. 9) Paritás: nem páros, nem páratlan. 10) Periodicitás: nem periodikus. 11) Abszolút (globális) szélsőértékhely: min.hely: x = 2, min.érték: y = −e2 . 12) Invertálhatóság: nem invertálható.
√ −1+ 13 2
+ konvex
