L'Hospital-szabály
2015. március 15.
1.
Alapfeladatok
1.
Feladat:
ln(x − 2) határértéket! x→3 x2 − 9
Határozzuk meg a lim
Amint a korábbi határértékes feladatokban, els®ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk. A számláló hatáértéke: lim ln(x − 2) = ln(3 − 2) = ln 1 = 0. Megoldás:
x→3
A nevez® határértéke: lim (x2 − 9) = 32 − 9 = 0. x→3
0 A határérték tehát típusú, azaz kritikus. Teljesülnek a L'Hospital0
szabály feltételei, amely azt mondja ki, hogy az eredeti tört határértéke megegyezik azon tört határértékével, melyet a számláló és a nevez® deriválásával kapunk. Ez most a következ®t jelenti: ln(x − 2) (ln(x − 2))0 = lim x→3 x2 − 9 x→3 (x2 − 9)0 lim
Hajtsuk végre a deriválásokat. 1 (ln(x − 2))0 ln(x − 2) x − 2 lim = lim = lim x→3 (x2 − 9)0 x→3 2x x→3 x2 − 9
Ezután a határérték már behelyettesítéssel meghatározható. 1 1 1 lim x − 2 = lim 3 − 2 = x→3 2x x→3 2 · 3 6
A L'Hospital-szabály szerint ez megegyezik az eredeti tört határértékével, azaz lim
x→3
2.
1 ln(x − 2) = . x2 − 9 6
Feladat:
Határozzuk meg a x→∞ lim
ln x határértéket! x
Ismét a határérték típusának vizsgálatával kezdjük. A számláló határértéke: x→∞ lim ln x = ∞. Megoldás:
1
A nevez® határértéke: x→∞ lim x = ∞. A határérték típusa tehát ∞
0
∞ , azaz kritikus. A L Hospital-szabály nem ∞
csak a , hanem a típusú határértékek esetén is alkalmazható. 0 ∞ Vegyük tehát a számláló és a nevez® deriváltját, s az így keletkez® új törtnek ugyanaz lesz a határértéke, mint az eredeti törtnek. 1 ln x (ln x)0 1 lim = lim = lim x = lim x→∞ x x→∞ (x)0 x→∞ 1 x→∞ x
véges Ez a határérték nyilván 0-val egyenl®, hiszen típusú. Így az ere∞ deti határérték is 0-val egyenl®, azaz lim
x→∞
ln x = 0. x
Megjegyzés: A megoldás elején azért fontos megvizsgálnunk a határérték típusát, mert ezzel ellen®rizzük le, hogy teljesülnek-e a L'Hospitalszabály alkalmazásához a feltételek. Ha a feladatban nem kritikus tört ∞ 0 szerepel, akkor a szabály nem alkalmazható. típus, azaz vagy 0
3.
Feladat:
∞
x2 + 5x − 6 határértéket! x→1 x2 − 1
Határozzuk meg a lim
Vizsgáljuk a határérték típusát. A számláló hatáértéke: lim (x2 + 5x − 6) = 12 + 5 · 1 − 6 = 0. Megoldás:
x→1
A nevez® határértéke: lim (x2 − 1) = 12 − 1 = 0. x→1
0 A határérték tehát típusú, azaz kritikus. Alkalmazzuk a L'Hospital0
szabályt.
x2 + 5x − 6 (x2 + 5x − 6)0 2x + 5 = lim = lim 2 2 0 x→1 x→1 x→1 x −1 (x − 1) 2x lim
Ennek a törtnek a határértéke már behelyettesítéssel meghatározható. 2x + 5 2·1+5 7 = lim = x→1 x→1 2x 2·1 2 lim
Ugyanez az eredeti tört határértéke is, azaz 7 x2 + 5x − 6 = . x→1 x2 − 1 2 lim
4.
Feladat:
ex x
Határozzuk meg a x→∞ lim √ határértéket!
Természetesen a határérték típusát vizsgáljuk els®ként. A számláló hatáértéke: x→∞ lim ex = ∞. Megoldás:
2
√
A nevez® határértéke: x→∞ lim x = ∞. ∞
A határérték tehát típusú, azaz kritikus. Teljesülnek a feltétetelek ∞ a szabály alkalmazásához. ex ex (ex )0 lim √ = lim √ 0 = lim x→∞ 1 x→∞ x x→∞ ( x) √ 2 x
Miel®tt vizsgálnánk ezen új tört határértékét, célszer¶ átalakítani. √ ! √ ex x 2 x lim = lim e · = 2 lim (ex · x) x→∞ 1 x→∞ x→∞ 1 √ 2 x
Az átalakítás eredményeként elt¶nt a tört, és helyette szorzatot kaptunk. A megoldás elején láttuk, hogy a szorzat mindkét tényez®je végtelenhez tart, így a szorzat is a végtelenhez tart, azaz √ 2 lim (ex · x) = ∞. x→∞ A szabály szerint pedig ugyanezzel egyenl® az eredeti határérték is, tehát ex lim √ = ∞. x→∞ x
Ez azt jelenti, a függvénynek nincs határértéke a végtelenben. 5.
Feladat:
Határozzuk meg a lim
x→0
sin 7x határértéket! 3x
Vizsgáljuk meg külön a számláló és a nevez® határértékét. A számláló határértéke: lim sin 7x = sin(7 · 0) = 0. Megoldás:
x→0
A nevez® határértéke: lim 3x = 3 · 0 = 0. x→0
0
A határérték tehát típusú, azaz kritikus. Teljesülnek a L'Hospital0 szabály feltétetelei. Figyeljünk azonban oda, és a számláló deriválásakor ne feledkezzünk el arról, hogy összetett függvény. Így a küls® függvény deriváltját még szorozni kell a bels® függvény deriváltjával. sin 7x (sin 7x)0 cos 7x · 7 7 = lim = lim = lim cos 7x 0 x→0 3x x→0 (3x) x→0 3 3 x→0 lim
Ez a határérték már egyszer¶ behelyettesítéssel meghatározható. 7 7 7 lim cos 7x = cos(7 · 0) = 3 x→0 3 3
Ezzel egyenl® az eredeti határérték is, azaz sin 7x 7 = . x→0 3x 3 lim
3
6.
1 − ex−2 · cos(π · x) Határozzuk meg a lim határértéket! x→2 x2 − 4
Feladat:
Vizsgáljuk a határérték típusát. A számláló hatáértéke: lim 1 − ex−2 · cos(π · x) = Megoldás:
x→2
1−
e2−2
· cos(π · 2) = 1 − e0 · cos 2π = (1 − 1) · 1 = 0.
A nevez® határértéke: lim x2 − 4 = 22 − 4 = 0.
x→2
0 A határérték tehát típusú, azaz kritikus. Teljesülnek a szabály feltételei, 0
de a feladat látszólag sokkal bonyolultabbnak t¶nik, mint az eddigiek. Olyan tört határértéke ugyanis a kérdés, melynek számlálójában egy szorzat szerepel. Ha közvetlenül alkalmazzuk a szabályt, akkor ezt a szorzatot kell deriválnunk, s a derivált elég bonyolult lesz. Vegyük azonban észre, hogy a szorzat második tényez®je a határérték szempontjából nem problémás, hiszen lim cos(π · x) = cos(π · 2) = 1. x→2
Célszer¶ ezért a szabály alkalmazása el®tt szorzattá bontani a függvényt, és a tényez®ket külön vizsgálni. 1 − ex−2 · cos(π · x) 1 − ex−2 lim = lim cos(π · x) · lim x→2 x→2 x→2 x2 − 4 x2 − 4
Mivel az els® tényez® határértékét már meghatároztuk, így csak a má0 sodik tényez®vel kell foglakoznunk. Ez a határérték nyilván típusú, 0 így teljesülnek a szabály feltételei. 0
1 − ex−2 −ex−2 1 − ex−2 = lim = lim lim 2 x→2 (x2 − 4)0 x→2 x→2 x − 4 2x
Ebbe már egyszer¶en behelyettesíthetünk. −ex−2 −e2−2 1 = =− x→2 2x 2·2 4 lim
Ezután térjünk vissza a szorzathoz. 1 − ex−2 1 lim cos(π · x) · lim 2 =1· − x→2 x→2 x − 4 4
=−
1 4
Ezzel egyenl® az eredeti határérték is. 7.
Feladat:
Határozzuk meg a x→∞ lim (ch x − x) határértéket!
Az eddigi feladatokban törteknek a határértéke volt a kérdés, de most egy különbséget kell vizsgálnunk. Határozzuk meg külön a két tag határértékét. lim ch x = ∞ x→∞
Megoldás:
lim x = ∞
x→∞
4
A határérték tehát ∞ − ∞ típusú. Ez is kritikus, de a L'Hospitálszabály csak kritikus típusú törtek esetén alkalmazható. Így el®ször át kell alakítanunk a kifejezést, hogy különbség helyett törtet kelljen vizsgálnunk. Mivel a ch x függvényt az exponenciális függvényb®l származtattuk, így várhatóan gyorsabban fog végtelenhez tartani, mint x. Emeljük ki a különbségb®l ezt a gyorsabban növekv® tagot.
lim (ch x − x) = lim ch x 1 −
x→∞
x→∞
x ch x
Immár egy szorzatot kell vizsgálnunk, aminek második tényez®je egy különbség, amelyben az egyik tag tört. Azt várjuk, hogy ezen tört határértéke 0 lesz, hiszen a gyorsabban végtelenhez tartó taggal osztjuk a lassabban végtelenhez tartót. Lássuk be, hogy ez valóban így van, ∞ s vizsgáljuk innent®l csak ezt a törtet, amely nyilván típusú. Erre ∞ tehát teljesülnek a L'Hospital-szabály feltételei. (x)0 1 x = lim = lim x→∞ (ch x)0 x→∞ sh x x→∞ ch x Mivel lim sh x = ∞, ezért ez a határérték valóban 0, hiszen típusa lim
véges ∞
x→∞
.
Ezután térjünk vissza a kiemeléssel átalakított határértékhez. x lim ch x 1 − x→∞ ch x
Az els® tényez® végtelenhez tart, a második tényez®je pedig egy különbség. Ezen különbségben a második tagról beláttuk, hogy 0-hoz tart, s ebb®l következ®en a második tényez® határértéke 1. Ez a szorzat nem kritikus, hanem végtelent ad eredményül. Ugyanez jelekkel leírva a következ®: lim ch x 1 −
x→∞
x ch x
= ∞(1 − 0) = ∞
Ugyanígy végtelenhez tart a feladatban szerepl® különbség is, azaz: lim (ch x − x) = ∞. x→∞ A végtelenben tehát nincs határértéke a függvénynek. 2.
Összetett feladatok
1.
Feladat:
Határozzuk meg a x→∞ lim
e3x határértéket! x2
Mivel egy tört határértéke a kérdés, vizsgáljuk meg külön a számlálót és a nevez®t. A számláló határértéke: x→∞ lim e3x = ∞. Megoldás:
5
A nevez® határértéke: x→∞ lim x2 = ∞. ∞
A határérték tehát típusú, teljesülnek a L'Hospital-szabály feltételei. ∞ A számláló deriválásakor gyeljünk oda, mert összetett függvényr®l van szó. 0
e3x · 3 e3x e3x = lim lim 2 = lim x→∞ 2x x→∞ x x→∞ (x2 )0 ∞
Ha megvizsgáljuk a kapott új határérték típusát, ismét -t kapunk, ∞ azaz továbbra is kritikus. Ilyen esetben ismételten alkalmazhatjuk a szabályt. A számláló deriválásakor most se feledkezzünk meg a bels® függvény deriváltjával történ® szorzásról. 3 · e3x 3 · e3x lim = lim x→∞ 2x x→∞ (2x)0
0
9 · e3x x→∞ 2
= lim
Mivel a számláló végtelenhez tart a nevez® pedig egy pozitív konstans, így az egész tört is végtelenehez tart. Ez lesz az eredeti határérték is, azaz: e3x = ∞. x→∞ x2 lim
Megjegyzés: Sok feladatban el®fordul, hogy a L'Hospital-szabályt alkalmazva ismét kritikus határértéket kapunk. Ilyenkor ismételten alkalmazhatjuk a szabályt. 2.
Feladat:
sin2 x határértéket! x→0 1 − cos 3x
Határozzuk meg a lim
Els®ként határozzuk meg a határérték típusát. A számláló határértéke: lim sin2 x = sin2 0 = 0. Megoldás:
x→0
A nevez® határértéke: lim (1 − cos 3x) = 1 − cos(3 · 0) = 0. x→0
0 A határérték tehát típusú, így alkalmazható a L'Hospital-szabály. 0
Mind a számláló, mind a nevez® deriválásánál gyeljünk, mert mindegyikben el®fordul összetett függvény. 0
sin2 x sin2 x 2 sin x · cos x lim = lim = lim = x→0 1 − cos 3x x→0 (1 − cos 3x)0 x→0 −(− sin 3x) · 3 2 sin x · cos x = lim x→0 3 sin 3x
Vizsgáljuk meg az új határérték típusát. A számláló határértéke: lim (2 sin x · cos x) = 2 sin 0 · cos 0 = 0. x→0
A nevez® határértéke: lim 3 sin 3x = 3 sin(3 · 0) = 0. x→0
6
0
A határérték tehát ismét típusú. Alkalmazzuk ismételten a szabályt. 0 A számlálóban most egy szorzatot kell deriválnunk, a nevez®ben pedig összetett függvényt. 2 sin x · cos x (2 sin x · cos x)0 = = lim x→0 x→0 3 sin 3x (3 sin 3x)0 lim
2(cos x · cos x + sin x · (− sin x)) 2(cos2 x − sin2 x) = lim x→0 x→0 9 cos 3x 9 cos 3x lim
Ezután már behelyettesítéssel megkapjuk a a határértéket. 2(cos2 x − sin2 x) 2(cos2 0 − sin2 0) 2 = = x→0 9 cos 3x 9 cos(3 · 0) 9 lim
Ezzel egyezik meg az eredeti határérték is, azaz: 2 sin2 x = x→0 1 − cos 3x 9 lim
Bár megoldottuk a feladatot, egy kicsit még foglalkozzunk vele. A L'Hospital-szabály els® alkalmazása után ugyanis egy kicsit másképp is haladhattunk volna. Használjuk fel a középiskolából ismert 2 sin α · cos α = sin 2α összefüggést. Ekkor a következ®t kapjuk: lim
x→0
2 sin x · cos x sin 2x = lim x→0 3 sin 3x 3 sin 3x
Így a számlálóban nem szorzat áll, hanem összetett függvény, s a szabály másodszori alkalmazásakor egyszer¶bb a deriválás. sin 2x (sin 2x)0 2 cos 2x = lim = lim 0 x→0 3 sin 3x x→0 (3 sin 3x) x→0 9 cos 3x lim
A határértéket ezután behelyettesítéssel kapjuk. 2 cos(2 · 0) 2 2 cos 2x = lim = x→0 9 cos(3 · 0) x→0 9 cos 3x 9 lim
Természetesen ugyanazt az eredményt kaptuk, mint az el®bb. 2 x 5 sin x
3.
Feladat:
Határozzuk meg a x→∞ lim
Megoldás:
lépés.
ln 1 +
határértéket!
Szokás szerint a határérték típusának vizsgálata az els®
2 A számláló határértéke: x→∞ lim ln 1 + = ln (1 + 0) = 0. x 5 A nevez® határértéke: x→∞ lim sin = sin 0 = 0. x 0 A határérték tehát típusú, alkalmazható a szabály. A deriválások 0
során vegyük gyelembe, hogy a számlálóban és a nevez®ben is összetett függvény áll. 7
1
2 · − 2 2 2 2 x ln 1 + ln 1 + 1+ x x x = lim lim 0 = lim 5 5 5 x→∞ x→∞ x→∞ 5 sin cos · − sin x x x2 x 0 Ha újra megvizsgáljuk a határérték típusát, akkor megint -t kapunk, 0 5 2 mert a számlálóban a − 2 , a nevez®ben pedig a − 2 tart a 0-hoz. x x
0
Nem célszer¶ azonban ismételten alkalmazni a szabályt. Vegyük észre, 1 hogy a tört egyszer¶síthet® − 2 -tel, ami igaziból a problémát okozza. x 2 1 · − 2 ·2 2 2 x 1+ 1+ x x = lim lim 5 5 5 x→∞ x→∞ · − 2 ·5 cos cos x x x 1
Az egyszer¶sítés után pedig meghatározható a határérték, mert már nem kritikus típusú a tört. 1
·2 1 2 ·2 2 x lim = 1+0 = 5 x→∞ cos 0 · 5 5 cos ·5 x 1+
Ez tehát az eredit hatérérték is, azaz 2 x 5 sin x
ln 1 + lim
x→∞
2 = . 5
Megjegyzés: A feladat megoldásából látható, hogy nem szabad meggondolatlanul mindig a L'Hospital-szabályt alkalmazni a kritikus esetekben. Ha most nem egyszer¶sítünk, akkor igen csúnya függvényeket kell deriválnunk, és a deriválások után még bonyolultabb törtet kapunk. Ráadásul újra kritikus típusú hatérértéket kapnánk. Ebben a feladatban egyszer¶sítés nélkül, csak a szabály alkalmazásával nem kapható meg az eredmény, akárhányszor is használjuk. Ezért nagyon fontos, hogy a szabály alkalmazása után egyszer¶sítsünk, ha erre lehet®ség van. Ha pedig nem tudunk egyszer¶síteni, akkor is hozzuk a függvényt minél egyszer¶bb alakra. 4.
Feladat:
Határozzuk meg a lim x2 · ln x határértéket!
x→+0
Most nem egy törtet kell vizsgálnunk, hanem egy szorzatot. Határozzuk meg külön az egyes tényez®k határértékét. Az els® tényez® határértéke: lim x2 = +0. Megoldás:
x→+0
8
A második tényez® határértéke: lim ln x = −∞. x→+0
A határérték tehát ez el®jelekt®l eltekintve 0 · ∞ típusú, ami kritikus. Mivel a L'Hospital-szabály törtek esetén alkalmazható, ezért át kell alakítanunk a függvényt úgy, hogy szorzat helyett tört szerepeljen. Ezt úgy érhetjük el, ha szorzás helyett az egyik tényez® reciprokával osztjuk a másik tényez®t. Jelen esetben a következ®t írhatjuk: ln x . 1 x2 ∞ Az így felírt határérték típusú, hiszen ha lim x2 = +0, akkor x→+0 ∞ 1 = ∞. Így tehát már alakalmazható a L'Hospital-szabály. lim x→+0 x2 1 ln x (ln x)0 lim = lim 0 = lim x 2 x→+0 1 x→+0 x→+0 1 − 3 2 x2 x x lim x2 · ln x = lim
x→+0
x→+0
Az új határértéket nyilván célszer¶ átalakítani, hogy ne szerepeljen emeletes tört, és egyszer¶síthetünk is. 1 ! 1 x3 1 x lim = lim · − = − lim x2 2 x→+0 x→+0 x 2 2 x→+0 − 3 x
Ezután már csak be kell helyettesítenünk a határérték meghatározásához. −
1 1 lim x2 = − · 02 = 0 2 x→+0 2
Ezzel megkaptuk az eredeti határértéket is, azaz: lim x2 · ln x = 0. x→+0
Megjegyzés: Ha egy 0 · ∞ típusú határértéket kell meghatároznunk, akkor a L'Hospital-szabályt úgy alkalmazhatjuk, hogy szorzás helyett, az egyik tényez® reciprokával osztunk. Ilyenkor két lehet®ségünk is van, a b hiszen az a·b szorzat helyett 1 és 1 is írható. Általában elmondb
a
ható, hogy az egyszer¶bb tényez®nek célszer¶ a reciprokát venni, mert a szabály alkalmazása során így lesznek egyszer¶bbek a deriválások. 5.
Feladat:
Határozzuk meg a lim
x→+0
1 1 − x sin x
határértéket!
Most egy különbség határértéke a kérdés, így vizsgáljuk meg el®ször a két tag határértékét. Megoldás:
1 =∞ x→+0 x lim
9
1 =∞ x→+0 sin x lim
A határérték tehát ∞ − ∞ típusú, ami kritikus. A L'Hospital-szabály alkalmazásához törtté kell alakítanunk. Mivel a különbségben két tört szerepel, így a legegyszer¶bb, ha közös nevez®re hozzuk ®ket.
lim
x→+0
1 1 − x sin x
= lim
x→+0
sin x − x x · sin x 0 0
Ha most megvizsgáljuk a határérték típusát, akkor -t kapunk, hiszen lim sin x − x = sin 0 − 0 = 0
x→+0
lim x · sin x = 0 · sin 0 = 0.
x→+0
Teljesülnek tehát a L'Hospital szabály feltételei. sin x − x (sin x − x)0 = lim = x→+0 x · sin x x→+0 (x · sin x)0 cos x − 1 = lim x→+0 1 · sin x + x · cos x lim
Vizsgáljuk meg a kapott új határérték típusát. lim (cos x − 1) = cos 0 − 1 = 0
x→+0
lim (sin x + x · cos x) = sin 0 + 0 · cos 0 = 0
x→+0
0
Látható, hogy ismét típusú a határérték. Újra alkalmazzuk a L'Hospital0 szabályt. cos x − 1 (cos x − 1)0 = lim = x→+0 sin x + x · cos x x→+0 (sin x + x · cos x)0 − sin x lim x→+0 cos x + 1 · cos x + x · (− sin x) lim
Ezt a határértéket pedig már behelyettesítéssel megkaphatjuk. lim
x→+0
− sin 0 0 − sin x = lim = =0 2 cos x − x · sin x x→+0 2 cos 0 − 0 · sin 0 2
Ezzel egyenl® tehát az eredeti határérték is, azaz:
lim
x→+0
1 1 − x sin x
= 0.
6.
Feladat:
Határozzuk meg a lim x x→1+0
1 x−1
határértéket!
Most egy hatvány határértéke a kérdés, így a típus meghatározásához megvizsgáljuk az alap és a kitev® határértékét. Az alap határértéke: lim x = 1. Megoldás:
x→1+0
10
1 1 1 = = = ∞. x→1+0 x − 1 (1 + 0) − 1 +0
A kitev® határértéke: lim
A határérték tehát 1∞ típusú, ami kritikus. Ahhoz, hogy alkalmazhassuk a L'Hospital-szabályt, törtet kellene kialakítanunk. Ehhez használjuk azt az átalakítást, ami már szerepelt az (f (x))g(x) típusú függvények deriválásakor. Ekkor az alapot alakítottuk át az aloga b = b összefüggés felhasználásával. Jelen esetben az alapban álló x-et célszer¶ felírni eln x formában. Ha ezt felhasználjuk, akkor a határérték a következ® módon írható:
lim x
1 x−1
= lim
x→1+0
x→1+0
eln x
1 x−1
.
Mivel ismételt hatványozás esetén a kitev®k szorzódnak, ezt tovább alakíthatjuk.
lim
x→1+0
eln x
1 x−1
= lim e
ln x x−1
x→1+0
Így azt értük el, hogy az alapban egy konstans áll. Ezért ha vesszük a hatvány határértékét, akkor az alapban álló konstanst kell hatványoznunk a kitev® határértékére. Ez jelekkel leírva a következ®:
lim e
ln x x−1
=e
x→1+0
ln x lim x→1+0 x−1
Tehát elegend® már csak a kitev® határértékét vizsgálnunk. A kérdés innent®l az alábbi: lim
x→1+0
ln x . x−1
Ez már tört, így határozzuk meg a számláló és a nevez® határértékét a típus megállapításához. lim ln x = ln(1 + 0) = 0
x→1+0
lim (x − 1) = (1 + 0) − 1 = 0
x→1+0
0 típusú, így alkalmazható a L'Hospital-szabály. 0 1 ln x (ln x)0 1 = lim = lim x = lim lim 0 x→1+0 (x − 1) x→1+0 1 x→1+0 x x→1+0 x − 1
A határérték tehát
Ezt a határértéket már behelyettesítéssel megkapjuk. lim
x→1+0
1 1 = =1 x 1
Ezzel megkaptuk a kitev® határértékét. Ne feledjük, az eredeti határértéket úgy kapjuk, ha az e számot felemeljük a kitev® határértékére, azaz:
lim x
x→1+0
1 x−1
= e1 = e.
11
7.
Feladat:
Határozzuk meg a lim (sin x)x határértéket! x→+0
Ebben a feladatban is egy hatvány határértéke a kérdés, így els®ként vizsgáljuk meg külön az alap és a kitev® határértékét. Az alap határértéke: lim sin x = sin 0 = 0. Megoldás:
x→+0
A kitev® határértéke: lim x = 0. x→+0
Amint látható, egy típusú határérték a kérdés. Ez a típus is kritikus. Alakítsuk át megint az alapot úgy, mint az el®z® feladatban. Most a sin x helyett eln(sin x) -et írhatunk. Ezt felhasználva a határérték az alábbi alakot ölti: x lim (sin x)x = lim eln(sin x) . 00
x→+0
x→+0
Mivel a kitev®k ilyen esetben szorzódnak, így ez tovább alakítható. lim
x→+0
eln(sin x)
x
= lim e(x·ln(sin x)) x→+0
Mivel az alap konstans, így a hatvány határértékét úgy kapjuk, hogy az alapban álló konstanst a kitev® határértékére emeljük.
lim e(x·ln(sin x)) = e
lim (x·ln(sin x))
x→+0
x→+0
Az igazi kérdés innent®l tehát a kitev® határértéke, azaz: lim (x · ln(sin x)). x→+0
Most egy szorzat határértékét kell meghatároznunk, így a típus vizsgálatához a tényez®k határértéke szükséges. lim x = +0
x→+0
lim ln(sin x) = ln(sin +0) = ln(+0) = −∞
x→+0
A határérték tehát el®jelekt®l eltekintve 0 · ∞ típusú, azaz kritikus. Akkor alkalmazhatjuk a L'Hospital szabályt, ha törtté alakítjuk. Szorzás helyett osszunk az egyik tényez® reciprokával. Természetesen az els® tényez®, azaz x az egyszer¶bb, így ennek célszer¶ a reciprokát venni. ln(sin x) 1 x→+0 x→+0 x 1 1 Mivel lim x = +0, ezért lim = = ∞. Ebb®l következ®en a x→+0 x→+0 x +0 ∞ határérték típusú, tehát alkalmazható a L'Hospital-szabály. ∞ 1 · cos x ln(sin x) (ln(sin x))0 sin x lim = lim = lim 0 1 1 x→+0 x→+0 x→+0 1 − 2 x x x lim (x · ln(sin x)) = lim
12
Ez így nagyon bonyolult alakban van, célszer¶ megszabadulni az emeletes törtt®l. 1 · cos x −x2 · cos x lim sin x = lim 1 x→+0 x→+0 sin x − 2 x
Vizsgáljuk meg a kapott új határérték típusát. lim (−x2 · cos x) = −02 · cos 0 = 0
x→+0
lim sin x = sin 0 = 0
x→+0
0
Most típusunk van, ami szintén kritikus, így újra alkalmazhatjuk a 0 szabályt. (−x2 · cos x)0 −x2 · cos x = lim = x→+0 x→+0 sin x (sin x)0 lim
−2x · cos x + x2 · sin x −2x · cos x − x2 · (− sin x) = lim x→+0 x→+0 cos x cos x lim
Ezt a határértéket már behelyettesítéssel megkaphatjuk. −2x · cos x + x2 · sin x −2 · 0 · cos 0 + 02 · sin 0 0 = = =0 x→+0 cos x cos 0 1 lim
Megkaptuk tehát a kitev® határértékét. Az eredeti határértéket is megkapjuk, ha az e számot felemeljük erre, azaz: lim (sin x)x = e0 = 1. x→+0
13
