2015.12.08.
Kalkulus I.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK: 1. Line´ aris transzform´ aci´ ok seg´ıts´eg´evel a´br´ azoljuk az f (x) = ln(2 − 3x) f¨ uggv´enyt.
7pt
2. Hat´ arozzuk meg az f (x) = 2x3 + 2x2 − 2x + 1 f¨ uggv´eny sz´els˝ o´ert´ekeit a [−2, 2] halmazon. √ 3 3. A tanult m´ odon ´ abr´ azoljuk az f (x) = x2 − 3 x2 f¨ uggv´enyt.
8pt 15pt
´ (i) Ertelmez´ esi tartom´ any, tengelymetszetek, parit´ as. (ii) Hat´ ar´ert´ek. (iii) Els˝ o deriv´ alt, monotonit´ as, sz´els˝o´ert´ek. (iv) M´ asodik deriv´ alt, konvexit´ as, inflexi´ o. (v) F¨ uggv´eny´ abr´ azol´ as, ´ert´ekk´eszlet. 4. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat:
(i)
Z
0
1 2
sin 3t dt,
(ii)
35pt Z
∞
3e 0
−s/2
ds,
(iii)
Z
0
2
x2
3 dx. −4
Seg´edlet: Z 1 xα+1 x dx = + C, (α 6= −1), dx = ln |x| + C, α+1 x Z Z Z 1 cos xdx = sin x + C, sin xdx = − cos x + C, dx = tg x + C, cos2 x Z Z 1 1 dx = − ctg x + C, dx = arctg x + C = − arcctg x + C, x2 + 1 sin2 x Z Z Z 1 ax √ dx = arcsin x + C = − arccos x + C, ex dx = ex + C, ax dx = +C . ln a 1 − x2 Z
α
Defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o fogalmakat: (i) A {bn } sorozat monoton n˝ o.
5pt
(ii) A g(x) f¨ uggv´eny differenci´ alhat´ o a −1 pontban.
5pt
(iii) A korl´ atos E sz´ amhalmaz supremuma.
5pt
(iv) A k¨ ornyezetes defin´ıci´ o alapj´ an lim s(t) = 5.
5pt
(v) Riemann–f´ele integr´ alk¨ ozel´ıt˝ o¨ osszeg (r´eszletesen).
5pt
t→−3
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez a feladat r´eszb˝ ol legal´ abb 30, a defin´ıci´ o r´eszb˝ ol legal´ abb 10 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
2015.12.15.
Kalkulus I.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK: 1. A tanult m´ odon vizsg´ aljuk az a1 = 2, an =
p 5an−1 − 4 (n > 1) rekurz´ıv sorozatot.
10pt
2
n +5 2. Defin´ıci´o szerint ´es form´ alisan is igazoljuk, hogy lim = ∞. n→∞ 3 + 2n p 3. A tanult m´ odon ´ abr´ azoljuk az f (x) = x 8 − x2 f¨ uggv´enyt.
10pt 15pt
´ (i) Ertelmez´ esi tartom´ any, tengelymetszetek, parit´ as. (ii) Hat´ ar´ert´ek. (iii) Els˝ o deriv´ alt, monotonit´ as, sz´els˝o´ert´ek. (iv) M´ asodik deriv´ alt, konvexit´ as, inflexi´ o. (v) F¨ uggv´eny´ abr´ azol´ as, ´ert´ekk´eszlet. 4. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat:
(i)
Z
0
30pt
2
x cos(1 + 2x) dx,
(ii)
Z
∞
ue 0
1−u2
du,
(iii)
Z
0
1 3
t +1 dt. 2−t
Seg´edlet: Z 1 xα+1 x dx = + C, (α 6= −1), dx = ln |x| + C, α+1 x Z Z Z 1 cos xdx = sin x + C, sin xdx = − cos x + C, dx = tg x + C, cos2 x Z Z 1 1 dx = − ctg x + C, dx = arctg x + C = − arcctg x + C, x2 + 1 sin2 x Z Z Z 1 ax √ dx = arcsin x + C = − arccos x + C, ex dx = ex + C, ax dx = +C . ln a 1 − x2 Z
α
Defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o fogalmakat: (i) A (cn ) sorozat korl´ atos.
5pt
(ii) A g(t) f¨ uggv´eny monoton n˝ o [a, b]–n.
5pt
(iii) Az f (x)–nek az x = 3 pont kritikus pontja.
5pt
(iv) A k¨ ornyezetes defin´ıci´ o alapj´ an lim L(p) = −∞.
5pt
(v) Integr´ alf¨ uggv´eny.
5pt
p→−2
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez a feladat r´eszb˝ ol legal´ abb 30, a defin´ıci´ o r´eszb˝ ol legal´ abb 10 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
2015.12.22.
Kalkulus I.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK: 1. A tanult m´ odon vizsg´ aljuk az a1 = 3, an = 2. Hat´ arozzuk meg az f (x) =
3an−1 + 2 (n > 1) rekurz´ıv sorozatot. an−1 + 2
10pt
√ 7 2 − x f¨ uggv´enynek az a = 1 pont k¨ or¨ uli harmadrend˝ u Taylor–f´ele poli-
nomj´at, majd ennek seg´ıts´eg´evel becs¨ ulj¨ uk meg
√ 7 2 ´ert´ek´et.
10pt
2
3. A tanult m´ odon ´ abr´ azoljuk az f (x) =
x f¨ uggv´enyt. 1−x
15pt
´ (i) Ertelmez´ esi tartom´ any, tengelymetszetek, parit´ as. (ii) Hat´ ar´ert´ek. (iii) Els˝ o deriv´ alt, monotonit´ as, sz´els˝o´ert´ek. (iv) M´ asodik deriv´ alt, konvexit´ as, inflexi´ o. (v) F¨ uggv´eny´ abr´ azol´ as, ´ert´ekk´eszlet. 4. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat:
(i)
Z
0
30pt
∞
(λ + x)e
−λx
dx (λ ≥ 0),
(ii)
Z
0
1
2 dy, y 2 + 6y + 9
(iii)
Z
0
1
t √ dt. 2 t +2
Seg´edlet: Z xα+1 1 x dx = + C, (α 6= −1), dx = ln |x| + C, α+1 x Z Z Z 1 dx = tg x + C, cos xdx = sin x + C, sin xdx = − cos x + C, cos2 x Z Z 1 1 dx = − ctg x + C, dx = arctg x + C = − arcctg x + C, x2 + 1 sin2 x Z Z Z 1 ax √ dx = arcsin x + C = − arccos x + C, ex dx = ex + C, ax dx = +C . ln a 1 − x2 Z
α
Defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o fogalmakat: (i) Az {xn } sorozat fel¨ ulr˝ ol korl´ atos.
5pt
(ii) Az {an } sorozat Cauchy-sorozat.
5pt
(iii) A h(x) f¨ uggv´eny konvex az [1, 4] intervallumon.
5pt
(iv) A k¨ ornyezetes defin´ıci´ o alapj´ an lim f (x) = ∞.
5pt
(v) Darboux–f´ele fels˝ o integr´ al.
5pt
x→2−
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez a feladat r´eszb˝ ol legal´ abb 30, a defin´ıci´ o r´eszb˝ ol legal´ abb 10 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
2016.01.05.
Kalkulus I.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK: 1. Hat´ arozzuk meg az f (x) = x2 (x − 5)3 sz´els˝ o´ert´ekeit a [−1, 3] halmazon.
7pt
2. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ert´ekeket:
10pt
p n (i) lim 8 n − 3 · n5 , n→∞
(ii) lim
n→∞
2n − 1 2n + 3
2n−3
.
3. A tanult m´ odon ´ abr´ azoljuk az f (x) = x2 ln x f¨ uggv´enyt.
15pt
´ (i) Ertelmez´ esi tartom´ any, tengelymetszetek, parit´ as. (ii) Hat´ ar´ert´ek. (iii) Els˝ o deriv´ alt, monotonit´ as, sz´els˝o´ert´ek. (iv) M´ asodik deriv´ alt, konvexit´ as, inflexi´ o. (v) F¨ uggv´eny´ abr´ azol´ as, ´ert´ekk´eszlet. 4. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat:
(i)
Z
1 0
√ sin 2t √ dt , t
(ii)
33pt Z
1
∞
dz , z 2 + 3z + 2
(iii)
Z
1 0
2t − 1 dt . t − t2 + 2
Seg´edlet: Z 1 xα+1 x dx = + C, (α 6= −1), dx = ln |x| + C, α+1 x Z Z Z 1 cos xdx = sin x + C, sin xdx = − cos x + C, dx = tg x + C, cos2 x Z Z 1 1 dx = − ctg x + C, dx = arctg x + C = − arcctg x + C, x2 + 1 sin2 x Z Z Z 1 ax √ dx = arcsin x + C = − arccos x + C, ex dx = ex + C, ax dx = +C . ln a 1 − x2 Z
α
Defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o fogalmakat: (i) Az {an } sorozat alulr´ ol korl´ atos.
5pt
(ii) Az E sz´amhalmaznak a −1 supremuma.
5pt
(iii) Az f (x) f¨ uggv´eny konk´ av a [1, 5]–on.
5pt
(iv) A k¨ ornyezetes defin´ıci´ o alapj´ an lim f (x) = −∞.
5pt
(v) Darboux–f´ele als´ o integr´ alk¨ ozel´ıt˝ o¨ osszeg (r´eszletesen).
5pt
x→∞
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez a feladat r´eszb˝ ol legal´ abb 30, a defin´ıci´ o r´eszb˝ ol legal´ abb 10 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
2016.01.12.
Kalkulus I.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK: n3 + 1 = ∞. n→∞ 3 + 2n2
1. Defin´ıci´o szerint ´es form´ alisan is igazoljuk, hogy lim
7pt
2. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ert´ekeket:
8pt
√ n 3−1 √ , (i) lim n→∞ 1 − n 3 3. A tanult m´ odon ´ abr´ azoljuk az f (x) =
(ii) lim
x→0
1 − cos x . x2
x f¨ uggv´enyt. − x)
15pt
ex (1
´ (i) Ertelmez´ esi tartom´ any, tengelymetszetek, parit´ as. (ii) Hat´ ar´ert´ek. (iii) Els˝ o deriv´ alt, monotonit´ as, sz´els˝o´ert´ek. (iv) M´ asodik deriv´ alt, konvexit´ as, inflexi´ o. (v) F¨ uggv´eny´ abr´ azol´ as, ´ert´ekk´eszlet. 4. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat:
(i)
Z
2
3
u3 + 2u du, u2 − 1
(ii)
35pt Z
−2
−∞
v √ dv, 3 3 − v2
(iii)
Z
0
1
1 dz . z2 + 4
Seg´edlet: Z xα+1 1 + C, (α 6= −1), dx = ln |x| + C, α+1 x Z Z Z 1 cos xdx = sin x + C, sin xdx = − cos x + C, dx = tg x + C, cos2 x Z Z 1 1 dx = − ctg x + C, dx = arctg x + C = − arcctg x + C, x2 + 1 sin2 x Z Z Z 1 ax √ dx = arcsin x + C = − arccos x + C, ex dx = ex + C, ax dx = +C . 2 ln a 1−x Z
xα dx =
Defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o fogalmakat: (i) Az {yn } sorozat hat´ ar´ert´eke 1.
5pt
(ii) Az R(x) szigor´ uan monoton cs¨ okken˝ o a [0, 3]–on.
5pt
(iii) Az f (x) f¨ uggv´enynek inflexi´ os pontja van az x = −1 helyen.
5pt
(iv) A k¨ ornyezetes defin´ıci´ o alapj´ an lim f (t) = ∞.
5pt
(v) Az integr´ alhat´ o f (x) f¨ uggv´eny integr´alk¨ ozepe a [c, d]–on.
5pt
t→2+
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez a feladat r´eszb˝ ol legal´ abb 30, a defin´ıci´ o r´eszb˝ ol legal´ abb 10 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
2016.01.12.
Kalkulus I.
´ NEV:..................................
B csoport
EHA:..................................
FELADATOK: 1. Hat´ arozzuk meg a bn =
2n − 3 sorozat infimumat, supremumat. 3n − 11
7pt
2. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ert´ekeket:
8pt
√ n2 + 3 + 2 √ (i) lim , n→∞ 1 − 3 n4 + 3 3. A tanult m´ odon ´ abr´ azoljuk az f (x) = 2x +
(ii) lim
n→∞
3n + 2 2n − 3
n+1
.
√ 3 x2 f¨ uggv´enyt.
15pt
´ (i) Ertelmez´ esi tartom´ any, tengelymetszetek, parit´ as. (ii) Hat´ ar´ert´ek. (iii) Els˝ o deriv´ alt, monotonit´ as, sz´els˝o´ert´ek. (iv) M´ asodik deriv´ alt, konvexit´ as, inflexi´ o. (v) F¨ uggv´eny´ abr´ azol´ as, ´ert´ekk´eszlet. 4. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat:
(i)
Z
0
1
(3p + 1) sin p dp,
(ii)
35pt Z
0
−1
2
3
5
2t (t + 1) dt,
(iii)
Z
0
1
2y + 1 − √ y
√ y
dy .
Seg´edlet: Z xα+1 1 + C, (α 6= −1), dx = ln |x| + C, α+1 x Z Z Z 1 cos xdx = sin x + C, sin xdx = − cos x + C, dx = tg x + C, cos2 x Z Z 1 1 dx = − ctg x + C, dx = arctg x + C = − arcctg x + C, x2 + 1 sin2 x Z Z Z 1 ax √ dx = arcsin x + C = − arccos x + C, ex dx = ex + C, ax dx = +C . 2 ln a 1−x Z
xα dx =
Defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o fogalmakat: (i) lim cn = ∞ .
5pt
(ii) A −1 als´ o korl´ atja g(x)–nek.
5pt
(iii) Az E halmaz megsz´ aml´ alhat´ oan v´egtelen.
5pt
(iv) A k¨ ornyezetes defin´ıci´ o alapj´ an lim h(z) = −∞.
5pt
(v) Darboux-f´ele als´ o integr´ al (r´eszletesen).
5pt
n→∞
z→∞
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez a feladat r´eszb˝ ol legal´ abb 30, a defin´ıci´ o r´eszb˝ ol legal´ abb 10 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
2016.01.19.
Kalkulus I.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK: 1. Defin´ıci´o szerint ´es form´ alisan is hat´ arozzuk meg az f (x) = x2 − 3x f¨ uggv´eny deriv´ altj´ at az x = −2 helyen.
5pt
2. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ert´ekeket:
10pt
p p (i) lim n3 − 1 − n2 + 2n , n→∞
3. A tanult m´ odon ´ abr´ azoljuk az f (x) =
(ii) lim
n→∞
n+3 2n − 1
n−1
.
x2 f¨ uggv´enyt. (x − 1)2
15pt
´ (i) Ertelmez´ esi tartom´ any, tengelymetszetek, parit´ as. (ii) Hat´ ar´ert´ek. (iii) Els˝ o deriv´ alt, monotonit´ as, sz´els˝o´ert´ek. (iv) M´ asodik deriv´ alt, konvexit´ as, inflexi´ o. (v) F¨ uggv´eny´ abr´ azol´ as, ´ert´ekk´eszlet. 4. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat:
(i)
Z
0
∞
ds , 2 s − 2s + 2
35pt
(ii)
Z
0
−1
1 dt, 2 t − 3t
(iii)
Z
1
e−xy dy .
0
Seg´edlet: Z xα+1 1 + C, (α 6= −1), dx = ln |x| + C, α+1 x Z Z Z 1 cos xdx = sin x + C, sin xdx = − cos x + C, dx = tg x + C, cos2 x Z Z 1 1 dx = arctg x + C = − arcctg x + C, 2 dx = − ctg x + C, 2+1 x sin x Z Z Z 1 ax √ dx = arcsin x + C = − arccos x + C, ex dx = ex + C, ax dx = +C . ln a 1 − x2 Z
xα dx =
Defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o fogalmakat: (i) A c sz´ am korl´ atja az {xn } sorozatnak.
5pt
(ii) s(t) konvex [−1, 2]–on.
5pt
(iii) A korl´ atos H sz´ amhalmaz infimuma.
5pt
(iv) A k¨ ornyezetes defin´ıci´ o alapj´ an lim f (x) = ∞.
5pt
(v) Darboux–f´ele fels˝ o integr´ alk¨ ozel´ıt˝ o¨ osszeg (r´eszletesen).
5pt
x→−∞
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez a feladat r´eszb˝ ol legal´ abb 30, a defin´ıci´ o r´eszb˝ ol legal´ abb 10 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
2016.01.19.
Kalkulus I.
´ NEV:..................................
B csoport
EHA:..................................
FELADATOK: 2n2 − 5 = 2. n→∞ n2 + 3
1. Defin´ıci´o alapj´ an ´es form´ alisan is igazoljuk, hogy lim
6pt
2. Hat´ arozzuk meg az f (x) = arcsin x f¨ uggv´enynek az a = 0 pont k¨ or¨ uli harmadrend˝ u Taylor–f´ele polinomj´at, tov´ abb´ a becs¨ ulj¨ uk meg arcsin 1/2 ´ert´ek´et. √ 3 3. A tanult m´ odon ´ abr´ azoljuk az f (x) = (x − 5) x2 f¨ uggv´enyt.
9pt 15pt
´ (i) Ertelmez´ esi tartom´ any, tengelymetszetek, parit´ as. (ii) Hat´ ar´ert´ek. (iii) Els˝ o deriv´ alt, monotonit´ as, sz´els˝o´ert´ek. (iv) M´ asodik deriv´ alt, konvexit´ as, inflexi´ o. (v) F¨ uggv´eny´ abr´ azol´ as, ´ert´ekk´eszlet. 4. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat:
(i)
Z
1 0
v2 dv, (1 + 2v 3 )11
(ii)
35pt Z
1
∞
du , u3 + u2
(iii)
Z
2
y ln(2 + 3y) dy .
1
Seg´edlet: Z xα+1 1 x dx = + C, (α 6= −1), dx = ln |x| + C, α+1 x Z Z Z 1 dx = tg x + C, cos xdx = sin x + C, sin xdx = − cos x + C, cos2 x Z Z 1 1 dx = − ctg x + C, dx = arctg x + C = − arcctg x + C, x2 + 1 sin2 x Z Z Z 1 ax √ dx = arcsin x + C = − arccos x + C, ex dx = ex + C, ax dx = +C . ln a 1 − x2 Z
α
Defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o fogalmakat: (i) Az {an } sorozat szigor´ uan monoton cs¨ okken˝ o.
5pt
(ii) A h(x) f¨ uggv´eny line´ arisan approxim´ alhat´ o a 2 pontban.
5pt
(iii) A {cn } sorozat r´eszsorozata a {bn } sorozatnak.
5pt
(iv) A k¨ ornyezetes defin´ıci´ o alapj´ an lim g(t) = 3.
5pt
(v) A Lagrange–f´ele marad´ektag (r´eszletesen).
5pt
t→2−
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez a feladat r´eszb˝ ol legal´ abb 30, a defin´ıci´ o r´eszb˝ ol legal´ abb 10 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
2016.01.26.
Kalkulus I.
´ NEV:..................................
A csoport
EHA:..................................
FELADATOK: 1. Monotonit´ as ´es korl´ atoss´ ag szempontj´ ab´ ol vizsg´ aljuk az an =
n+1 sorozatot, majd adjuk meg az 5 − 2n
inf imum ´es a supremum ´ert´ek´et.
10pt
2. Hat´ arozzuk meg az f (x) = 2x3 − 3x2 + 1 f¨ uggv´eny sz´els˝ o´ert´ekeit a [−1, 2] halmazon. p 3. A tanult m´ odon ´ abr´ azoljuk az f (x) = x − x2 − 4 f¨ uggv´enyt.
5pt 15pt
´ (i) Ertelmez´ esi tartom´ any, tengelymetszetek, parit´ as. (ii) Hat´ ar´ert´ek. (iii) Els˝ o deriv´ alt, monotonit´ as, sz´els˝o´ert´ek. (iv) M´ asodik deriv´ alt, konvexit´ as, inflexi´ o. (v) F¨ uggv´eny´ abr´ azol´ as, ´ert´ekk´eszlet. 4. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat:
(i)
Z
0
2
1 dt, 2t2 + 3t + 1
(ii)
35pt Z
e
∞
1 du, u ln2 u
(iii)
Z
0
1
v 2 + 3v − 2 √ dv. v
Seg´edlet: Z xα+1 1 x dx = + C, (α 6= −1), dx = ln |x| + C, α+1 x Z Z Z 1 dx = tg x + C, cos xdx = sin x + C, sin xdx = − cos x + C, cos2 x Z Z 1 1 dx = − ctg x + C, dx = arctg x + C = − arcctg x + C, x2 + 1 sin2 x Z Z Z 1 ax √ dx = arcsin x + C = − arccos x + C, ex dx = ex + C, ax dx = +C . ln a 1 − x2 Z
α
Defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o fogalmakat: (i) A −2 sz´am fels˝ o korl´ atja az (yn ) sorozatnak.
5pt
(ii) A 2 sz´am torl´ od´ asi pontja a (cn ) sorozatnak.
5pt
(iii) g folytonos a [−2, 3)–on.
5pt
(iv) A k¨ ornyezetes defin´ıci´ o alapj´ an lim f (x) = ∞.
5pt
(v) A [c, d] egy beoszt´ asa, a beoszt´ as finoms´ aga.
5pt
x→∞
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez a feladat r´eszb˝ ol legal´ abb 30, a defin´ıci´ o r´eszb˝ ol legal´ abb 10 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
2016.01.26.
Kalkulus I.
´ NEV:..................................
B csoport
EHA:..................................
FELADATOK: 1. A tanult m´ odon vizsg´ aljuk az a1 = 4, an =
p 2an−1 + 3 (n > 1) rekurz´ıv sorozatot.
2. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ert´ekeket:
8pt
p n (i) lim 3 · n2 + 2 · 3 n , n→∞
3. A tanult m´ odon ´ abr´ azoljuk az f (x) =
8pt
(ii) lim
n→∞
2n − 3 3n + 1
n+1
.
√ 3 x ln x f¨ uggv´enyt.
15pt
´ (i) Ertelmez´ esi tartom´ any, tengelymetszetek, parit´ as. (ii) Hat´ ar´ert´ek. (iii) Els˝ o deriv´ alt, monotonit´ as, sz´els˝o´ert´ek. (iv) M´ asodik deriv´ alt, konvexit´ as, inflexi´ o. (v) F¨ uggv´eny´ abr´ azol´ as, ´ert´ekk´eszlet. 4. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o integr´ alokat:
(i)
Z
0
1
t cos 2πt dt,
(ii)
34pt
Z
2
3
s−2 ds, (s2 − 4s + 3)3
(iii)
Z
1
∞
2y 2 + y dy. y 3 + 2y 2
Seg´edlet: Z 1 xα+1 x dx = + C, (α 6= −1), dx = ln |x| + C, α+1 x Z Z Z 1 cos xdx = sin x + C, sin xdx = − cos x + C, dx = tg x + C, cos2 x Z Z 1 1 dx = − ctg x + C, dx = arctg x + C = − arcctg x + C, x2 + 1 sin2 x Z Z Z 1 ax √ dx = arcsin x + C = − arccos x + C, ex dx = ex + C, ax dx = +C . ln a 1 − x2 Z
α
Defini´aljuk a k¨ ovetkez˝ o fogalmakat: (i) lim xn = −1 .
5pt
(ii) A h(y) f¨ uggv´eny folytonos a 2 pontban.
5pt
(iii) G(t) line´ arisan approxim´ alhat´ o t0 –ban.
5pt
(iv) A k¨ ornyezetes defin´ıci´ o alapj´ an lim U (x) = 1.
5pt
(v) Az E sz´amhalmaz fels˝ ohat´ ar–tulajdons´ ag´ u.
5pt
n→∞
x→−∞
Az el´egs´eges ´erdemjegyhez a feladat r´eszb˝ ol legal´ abb 30, a defin´ıci´ o r´eszb˝ ol legal´ abb 10 pontot el kell ´erni. Tiltott eszk¨ oz¨ ok haszn´ alata eset´ en az ´ erdemjegy el´ egtelen ´ es ezt k¨ ovet˝ o en a hallgat´ o m´ ar csak sz´ oban vizsg´ azhat!
