Definisi Integral Integral adalah : proses pembalikan diferensial untuk mencari fungsi awal F(X), yang tingkat perubahan atau turunannya telah di ketahui. Integral suatu fungsi f(x) dapat dinyatakan sebagai :
∫ f(x) dx = F(X)+C ∫ Dibaca : INTEGRAL
fungsi X berkenaan dengan X .
dimana : Lambang ∫ f(X) c F(X) + c.
adalah tanda INTEGRAL , adalah integran adalah konstanta pengintegralan
Rumus- rumus pada integral tak tentu : 1.
dx
2.
adx
3.
4.
xc ax c
n x dx n ax dx
1 n 1
a n 1
x n 1 c x n 1 c
1. 2. 3.
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx f(x) g(x) dx f(x)dx - g(x)dx a f(x) dx a f(x) dx
3
x n dx
1 n 1
x n 1 c.
n ax dx
a n 1
1.
x dx
2.
2 2 x dx
3.
4 5
1 2
x 3 dx
x n 1 c.
n 1
x2 c 2 3 4 5.4
x3 c x4 c
1 5
x 4 c.
Tentukan Integral - integral tak tentu berikut ini : a.
4 5x dx
b
c
d
e. f. g.
1 dx 3 x 4
h.
5 dx
i.
dx 3
x 3 dx
j.
10 x dx
1
k.
-6 x dx
3
x2
dx
(x x ) dx (x - x x ) dx 5x dx 3
6
2
5
l. m.
2
n. o.
(4 x 5)dx 3x dx 4 x dx 2
3
1 dx 2 x
6
PENERAPAN EKONOMI Surplus konsumen dan surplus produsen
Surplus Konsumen
Surplus konsumen adalah suatu fungsi yang menunjukan hubungan Antara jumlah produk yang diminta oleh konsumen dengan berbagai harga Tertentu. Jika harga pasar produk tersebut adalah Pe , maka jumlah produk yang akan Dibeli oleh konsumen adalah Qe. Tetapi berdasarkan kurva permintaan yang ada, Menurut para ahli ekonomi bahwa konsumen masih bersedia dan mampu Untuk membayar produk tersebut dengan harga yang lebih tinggi dari pada harga Pe Sampai pada titik B. Namun,dalam kenyataan nya tingkat harga yang terjadi di pasar hanyalah 0Pe dengan demikian surplus harga tersebut (Pe B) adalah kuntungan total Bagi Konsumen, dan ini di sebut sebagai SURPLUS KONSUMEN / KELEBIHAN KONSUMEN
P
B (O1Pe)
KK Pe
E (QePe) P=f(Q) A(O,0)
Qe Gambar kurva surplus konsumen
Q
Secara geometri, kelebihan konsumen ini di tinjukan oleh luas daerah di bawah kurva permintaan dan di atas garis peE yang sejajar dengan sumbu horisontal Q ( daerah yang di arsir ). Besarnya kelebihan konsumen ini dapat di peroleh dengan cara mengintegralkan fungsi permintaan dengan menggunakan metode integral tertentu. Jikafungsi permintaan berbentuk P=f(Q),maka kelebihan konsumennya adalah : KK = Oqe f (Q) Dq - [QePe] Dimana : KK = kelebihan konsumen Qe = jumlah keseimbangan Pe = Harga keseimbangan Jika fungsi permintaan konsumen adalah : KK = Pe∫Qe f(P) Dp
berbentuk
Q=f(P),
Dimana, KK = kelebihan konsumen B = Titik potong sumbu P jika Q =0 Pe = Harga keseimbangan
maka
surplus
Contoh kasus : Jika fungsi permintaan suatu produk ditunjukan oleh P= 25-Q2 dan harga keseimbangan adalah 9, carilah kelebihan konsumen dan gambarlah ? JAWABAN ; Jika P=9 ,maka Q2 =25-9 Q2 = 16 Q1 = +4 Q2 = -4 Jadi keseimbangan atau market Equilibrium pasar terjadi pada E (4,9 ) Jika P=0, maka Q = 25 Q1 =+5 dan Q2= -5 Jadi titik potong untuk sumbu Q (5,0) Jika Q=0 maka, P=25 Jadi titik potong sumbu p adalah ( 0,25)
Karena fungsi permintaan P=f(Q), Maka : KK= Oqe f(Q) dQ –[ QePe] = 0 4 (25-Q2) Dq - (9x4) Dq = 25Q-1/3 Q3 04 – 36 =25(4)-1/3 (4)3 04 -36 =100-21,3-36 =42,7
P-
(O,25)
25-
E(4,9)
KK
-
P=25-Q2
104
-
-
-
0-
(5,0) Q 5
Surplus Produsen Suatu fungsi penawaran menunjukan hubungan antara jumlah produk yang di tawarkan oleh produsen dengan berbagai harga tertentu. Jika harga pasar produk tersebut adalah Pe maka jumlah produk yg akan ditawarkan oleh produsen adalah Qe . Tetapi berdasarkan kurva penawaran yang ada, maka produsen masih bersedia dan mampu untuk menjual produknya dengan harga yang lebih rendah dari pada harga Pe yaitu sampai pada titik B. Namun, dalam kenyataanya tingkat harga yang terjadi di pasar hanyalah setinggi 0Pe Dengan demikian,surplus harga tersebut (PeB) adalah keuntungan total bagi produsen, dan ini yang disebut surplus produsen.
P
S
P=f(Q) Pe
E(Qe1Pe)
B(0,9) Qe Gambar kurva surplus produsen
Q
Secara Geometri, kelebihan produsen ini di tunjukan oleh luas daerah diatas kurva penawaran dan di bawah garis PeE ( Daerah yang diarsir ). Besarnya kelebihan produsen ini dapat diperoleh dengan cara mengintegralkan fungsi penawaran dengan menggunakan metode integral tertentu. jika fungsi penawaran berbentuk P=f(Q), maka kelebihan produsen adalah : KP = (Qe.Pe)- 0∫Qe f(Q)Dq Dimana : KP= Surplus produsen Qe = Jumlah keseimbangan Pe = harga keseimbangan Sedangkan, apabilah fungsi penawaran berbentuk Q=f(P), Kelebihan produsen adalah : KP = Pe∫B f(P) dP Dimana : KP = kelebihan Produsen B = titik potong sumbu P jika Q=0 Pe = harga keseimbangan
Contoh kasus Jika fungsi penawaran suatu produk di tunjukan oleh P=Q2+3 Dan harga keseimbangan adalah 12, carilah surplus produsen dan gambar kanlah kurva nya? Jawaban ; Jika P=12, maka Q2=12-3 Q2=akar 9 Q1=+3 Q2=-3 ( tidak memenuhi karna (-) ) Jadi, keseimbangan pasar terjadi pada E (3,12 )
Jika Q=0, maka P=3 Jadi titik potong sumbu P adalah (0,3) Karena fungsi penawaran P=f(Q), Maka
KP =(Qe.Pe)-0∫Qef(Q)Dq=(3x12)-0∫3 (Q2+3)dQ =36-[1/3Q3+3Q]03 = 36-[1/3(3) 3+3(3)]03 = 36-9+9 = 18
P
12
E (3,12) P=Q2+3
9
KP (2,7)
6 (1,4) 3
0
(0,3)
1
2
3
Q
Contoh Kasus Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang asing-masing ditunjukkan dengan fungsi sebagai berikut : Qd = 30 – 2P dan Qs = -6 + P. Hitunglah surplus konsumennya
Solusi Mencari harga dipasar dengan cara : Qd = Qs 30 – 2P = – 6 +P 30 + 6 = P + 2P 36 = 3P Pe = 12, dan Qe = –6 + 12 Qe = 6 Lanjutannya …
Solusi Fungsi permintaan Qd = 30 – 2P 2p = 30 – Qd P = 15 – ½ Qd
Fungsi penawaran Qs = – 6 + P Qs + 6 = P P = Qs + 6
Lanjutannya …
Solusi
Lanjutannya …
Gambar P
P`= 15 Pe = 12 P``= 6 0
Surplus konsumen P = Qs + 6 atau Qs = – 6+P Surplus Produsen P = 15 – ½ Qd atau Qd = 30 – 2P Qe = 6
30
Q
1. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 48 – 0.03 P2. Hitunglah surplus konsumen jika tingkat harga pasar adalah 30. 2. Seseorang produsen mempunyai fungsi penawaran P = 0,50Q + 3. Berapa surplus produsen itu bila tingkat keseimbangan di pasar adalah 10? 3. Diketahui fungsi permintaan dan penawaran D : p= -½ x² - ½x + 33 dan S : p= 6 + x. Dapatkan besarnya surplus konsumen pada saat terjadi market equilibrium (ME) ? 4. Diberikan fungsi permintaan sebagai berikut : Qd = 75 – 3P2, gambarkan fungsi tersebut pada sebuah grafik Qd vs P serta carilah surplus konsumenya jika harga pasar Pe = 2 5. Diberikan fungsi penawaran sebagai berikut : P = 20 + 5Qs, gambarkan fungsi tersebut pada sebuah grafik P vs Q, serta carilah surplus produsenya untuk harga pasar sebesar 40.
Jawaban Integral
Tentukan Integral - integral tak tentu berikut ini : a).
5x dx
b).
1 x 3 dx
c).
d).
4
4
3
x dx 1
3
x
2
dx 26
a).
b).
5 41 5x dx 4 1 x c 5 x c 4
1 -3 dx x x3 dx 1 -31 x c - 3 1 1 2 - x c 2 1 1 - ( 2)c 2 x 1 - 2 c 2x
27
c).
4
3 4
x 3 dx x dx
1
x
3 1 4
c
3 1 4 7 1 4 x c 7 4 7 4 4 x c 7 4 4 3 x x c 7
28
d).
2 3
1 3
x
2
dx x dx 1 x 2 - 1 3
2 1 3
c
1 3
3x c 3 x c 3
29
Tentukan Integral tak tentu berikut ini 1.
(x x ) dx
2.
(x x x ) dx
3.
5x dx
3
6
2
5
2
30
1.
(x
3
x ) dx x dx x dx 2
3
2
1 4 1 3 x c1 x c 2 4 3 1 4 1 3 x x c1 c 2 4 3 1 4 1 3 x x C 4 3 31
2.
6 5 2 6 5 2 (x x x ) dx x dx x dx x dx
1 7 1 6 1 3 x c1 - x c 2 x c3 7 6 3 1 7 1 6 1 3 x x x C 7 6 3
32
3.
5x dx 5 x dx 1 2 5( ) x c 2 5 2 x c 2 33
1. 2. 3. 4.
5 dx 5x C dx 1 1 3 3 dx 3 x C 1 11 10 x dx 11 x C 1 5 -6 x dx - 5 x C 1 1 - ( 5 ) C 5 x 1 - 5 C 5x
34
Jadi 2 x dx x 2 C , karena turunan f ( x) x 2 C adalah 2 x 2 2 ( 4 x 5 ) dx 2 x 5 x C , karena turunan f ( x ) 2 x 5 x C adalah 4 x 5 2 3 3 2 3 x dx x C , karena turunan f ( x ) x C adalah 3 x 3 4 4 3 4 x dx x C , karena turunan f ( x ) x C adalah 4 x
1 1 1 1 dx C , karena turunan f ( x ) C adalah x x x2 x2
Jawaban Surplus Konsumen dan Produsen
Soal 1 Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 48 – 0.03 P2. Hitunglah surplus konsumen jika tingkat harga pasar adalah 30.
Jawab Q = 48 – 0,03 P2 Jika P = 0, Q = 48
Cs
Pe
p^
Jika Q = 0, P = 40 = Pˆ P = 30, Q = Qe = 21
f ( P)dP
30
40
(48 0.03P 2 )dP
48(40) 0.01(40) 48(30) 0.01(30) 48P 0.01P
3 40 30
3
(1920 640) (1440 270) 110.
3
Soal 2 Seseorang produsen mempunyai fungsi penawaran P = 0,50Q + 3. Berapa surplus produsen itu bila tingkat keseimbangan di pasar adalah 10? Jawab : P = 0,50Q + 3 Q = -6 + 2P P=0 Q = -6 Q=0 P = 3 = P^ Pe = 10 Qe = 14
Qe Pe
0
Qe
(14)(10)
0
f (Q)dQ
14
(0,50Q 3)dQ
140 0,25(14)
140 0,25Q 3Q 2
140 91 0 49.
2
14 0
3(14) 0,25(0) 2 3(0)
Soal 3 Diketahui fungsi permintaan dan penawaran D : p= -½ x² - ½x + 33 dan S : p= 6 + x Dapatkan besarnya surplus konsumen pada saat terjadi market equilibrium (ME) ?
JAWAB : ME terjadi pada saat D = S Atau -½ x² - ½x + 33 = 6 + x -½ x² - 1½x + 27 = 0 x² - 3x – 54 (x+9) (x-6) = 0 Jadi, kuantitas equilibrium x ๐ = 6 unit dan price equilibrium p๐ = 6 + 6 = 12 satuan rupiah Karena market equilibrium terjadi saat x ๐ = 6 dan p๐ = 12, maka :
P 33-
SK S C 12 -
B
SP E 6A 0
6
X
Soal 4 Diberikan fungsi permintaan sebagai berikut : Qd = 75 – 3P2, gambarkan fungsi tersebut pada sebuah grafik Qd vs P serta carilah surplus konsumenya jika harga pasar Pe = 2
Solusi Qd = 75 – 3P2 Qe = 75 – 3.(22) Qe = 75 – 3.4 Qe = 75 – 12 Qe = 63 Jadi (Pe, Qe) = (2, 63) Fungsi Qd = 75 – 3P2 merupakan kurva parabola yang terbuka di bawah dengan titik puncaknya (P, Qd) = (0,75). Lanjutannya …
Gambar Qd 75 63
0
Surplus Konsumen (SK)
2
5
P
Solusi
Soal 5
Diberikan fungsi penawaran sebagai berikut : P = 20 + 5Qs, gambarkan fungsi tersebut pada sebuah grafik P vs Q, serta carilah surplus produsenya untuk harga pasar sebesar 40.
Solusi
Lanjutannya …
Gambar P Pe 40
Pe = 20 – 5Qs
= Surplus Produsen
P = 20 0
4
Qs
Solusi
Lanjutannya …
Solusi
Lanjutannya …
