13. Határozott integrál (megoldások)
5 1 7 1 1 5 3 1 9 3 91 · + − + − + 1− = . 4 3 5 2 3 3 4 3 5 4 60 i 1 i−1 A bal végpontokat választva: xi = , xi+1 −xi = , f (ξi ) = . n n n Z 1 n n X 1 X i−1 1 n(n − 1) 1 x dx = n→∞ lim · = n→∞ lim 2 (i − 1) = lim = . 2 n→∞ n n i=1 2n 2 0 i=1 n i A jobb végpontokat választva: f (ξi ) = n , Z 1 n X (n + 1)n i 1 1 · = lim x dx = lim = . 2 n→∞ n→∞ 2n 2 0 i=1 n n
1. 2.
3. 5.
6.
7.
8.
12.
13.
14.
15. 17. 20.
1. 4. 4. 3 " #2 Z 2 4 0 x2 = − = 2. x dx = 2 0 2 2 0 " #4 Z 4 5x4 3 5x + 1 dx = + x = 324. 4 0 0
2 πx A T 13.2 (6) tételt alkalmazzuk: a [2, 4] intervallumon az e−x és a sin 4 függvény is monoton csökken®, így 2 πx 0 ≤ e−x sin ≤ e−4 , tehát 0 ≤ I ≤ 2e−4 . 4 Az integrálközépértéktétel alapján Z −1
Z −1 −4
3x2 dx = 3c2 · (−1 − (−4)).
√ −1 3x2 dx = [x3 ]−4 = −1 − (−64) = 63, ezért 63 = 9c2 , azaz c = ± 7. −4 √ A [−4, −1] intervallumba a c = − 7 érték esik. r 2257 2 π c= = 7, 837. 10. c = arccos . 11. c = arcsin . 288 4 π 2 2 c1 = arcsin , c2 = π − arcsin . π π Z2 1 dx x b π q = lim arcsin = . 2 b→2−0 2 2 0 2 0 1h− (x/2) i h i0 √ a 5 lim 5(x + 2)1/5 + lim 5(x + 2)1/5 = 5(1 + 2).
Mivel
9.
a→−2−0
√ 3
2 lim
Z
2
a→+0 a
−3
1 x− 3
b→−2+0
dx = 3.
√ 14 . 18. 3. 5 Parciális integrálás után 2.
b
1 1 dx = 6. −1 x2/3
Z 16.
19. 21. 13.1
2.
Nem konvergens.
13.
Határozott integrál Z ∞
22.
0
h
e−x dx = lim −e−x
ib
b→∞
0
= lim −e−b + 1 = 1. b→∞
!
23.
Nem konvergens.
24.
25.
Nem konvergens.
26.
27.
1, (mert lim
29. 30.
31.
x→∞
Z b
37. 40. 42.
x+1 = 0.) ex
28.
Nem konvergens.
1 . ln 2 A sin x − cos x korlátossága miatt lim e−x (sin x − cos x) = 0. Ezért az imx→∞ 1 proprius integrál értéke: . 2 1 . 2. 32. 4
33.
34.
1 2 π √ arctg √ + . 2 3 3 2 1 − . 2
0
ln x dx = lim [x ln x − x]ba = b ln b − b − lim (a ln a − a). a→+0
a→+0
ln a 1/a Mivel lim a ln a = lim = lim = 0, ezért b ln b − b = 0, amib®l a→+0 a→+0 1/a a→+0 −1/a2 a keresett b-re b = e. 1 π π 15 32 1 − 36. √ . + 2 . 35. . ln 4 2 6 ln 4 Nem konvergens. 38. Nem konvergens. 39. 2. π . 41. 6. 4 Z 2 Z 3 4 dx dx dx q q q = + + 1 (2 − x)(3 − x) 2 (x − 2)(3 − x) 1 |x − 2||x − 3| Z 4 √ √ √ dx q + =−ln(3 − 2 2)+ π +ln(2 2+3) = ln(12 2+17)+ π ≈ 3 (x− 2)(x− 3) Z
≈ 6.667 . 43. 44.
Z 1 0 1 1 dx és a dx integrál divergens. −1 x2 0 x2 " #a Z ∞ 1 x1−p 1 p>1: dx = lim = p a→∞ 1−p 1 p−1 1 x " #a Z ∞ 1 −p 1 x p<1: = lim =∞ 1 xp a→∞ 1 − p 1
Divergens, mivel a
Z
p=1: 45.
Z ∞ 1
1
x
dx = lim [ln x]a1 = ∞ . a→∞
Az el®z® feladathoz hasonlóan. 13.2
13.
Határozott integrál √ 3 dx 1 10 3 A keresett T terület: T = = [ln(2x + 4)]0 = ln . 2 0 2x + 4 2 Z
46.
47. 48.
59 . 6 h √ √ i 3 3 A függvény gra konja az 1, 3 intervallumon az x tengely alatt, a 3, 2 intervallumon az x tengely felett halad. Ezért a keresett T terület: √ 3
T =− 49.
54.
55.
56.
60.
Z2
(x3 − 3) dx =
√ 3
3
1 √ 3 18 3 − 19 . 4
1 2 sh(x − 1) dx + sh(x − 1) dx = 2(ch 1 − 1). 0 1√
A függvény gra konja az [1, 2) intervallumon az x tengely alatt, a (2, e] intervallumon az x tengely felett halad. A keresett T terület: Z 2 Z e x x ln dx + T =− ln dx = 3 − (e + 1) ln 2. 1 2 2 2 8 1 52 . 57. . 58. 20. 59. . 3 5 20 dx Legyen 1 − x = cos3 t; = 3 cos2 t sin t. dt √ √ !3 π 3 3 Ha x = 1 − , akkor cos t = ,t= . 2 2 6 3 1 1 π Ha x = 1 − , akkor cos t = , t = . 2 2 3
"
62.
1
(x3 − 3) dx +
163 2+4 2 π 46 . 51. . 52. . 53. . 15 3 4 9 A függvény gra konja a [0, 2) intervallumon az x tengely felett, a (2, 4] intervallumon az x tengely alatt halad. Ezért a keresett T terület: T = " #2 " #4 Z 2 Z 4 3x−2 3x−2 64 x−2 x−2 1−3 dx = x − (1 − 3 ) dx − − x− = . ln 3 0 ln 3 2 9 ln 3 2 0
T =
61.
3
A függvény a [0, 1) intervallumon az x tengely alatt, az (1, 2] intervallumon az x tengely felett halad.ZEzért a keresett T terület: Z
T =− 50.
Z
π/ Z 3
π/6
i3/2 3 cos2 t sin t = 1 − 1 − cos2 t
h
sin 4t sin3 2t 3 − cos3 t − t− + 16 4 16
T = 2.
#π/3
π/ Z 3
π/6
(1 − sin3 t)3 cos2 t sin t =
√ 21 3 − 8 π = − . 64 32 π/6
Z 6 4 4 4 66 · e lg dx − ln dx = lg 7 . 4 1 x 4 x
Z
63.
1 sh 6. 2
13.3
64.
(5e − 1)2 . 5e(1 + ln 5)
13.
Határozott integrál 1 Az y = 2x2 − 1 egyenlet¶ parabola és az x-tengely metszéspontjai − √ , 0 , !
65.
√ Z √1 2 2 1 2 2 √ , 0 , így T = 1 (2x − 1) dx = . 3 − √2 2 Z 1+√2 2! √
2
!
66.
67.
68. 69.
1 x − 2 2
1 dx = (5 + 4 2). 6 0 √ Z √1 2 2 2 T = (1 − 2x2 ) dx = . 1 3 −√ 2 Z 4 13 4 143 4 T = −x− − ln 12. dx = 3x 18 3 1/3 3 Szimmetria miatt (l. az ábrát) √
x+
T =
T =2 ·
Z
2
1
(3x2 − 2 − x4 ) dx+
√ 1 4 24 − 8 2 + 2 · (x − 3x2 + 2) dx = . 5 0 ! Z 2 8 x2 2 . T =2 − dx = 2 π − 3 0 x2 + 4 4 Z 2 4 (2x − x2 ) dx = . T = 3 0 ! ! Z 1 Z 2 2 x x2 1 2 T = x − dx + x− dx = . 2 2 2 0 1 Z 4 √ x 4 T = ( x − ) dx = . 2 3 0 Z 1 √ 1 1 − x − (1 − 2 x + x) dx = . T = 3 0 Az y 2 = x + 3 egyenlet¶ parabola az x tengelyre szimmetrikus és azt a (−3, 0) Z
70.
71.
72.
73. 74. 75.
76.
77.
78.
pontban metszi. A feladatbeli két görbe metszéspontjai: (−2, −1) és (6, 3). Ezért: Z −2 √ Z 6 √ x T =2· x + 3 dx + x+3− dx . 2 −3 −2 Egyszer¶bb a terület kiszámítása, ha az x-t tekintjük y függvényének. Ekkor Z 3 32 2y − (y 2 − 3) dy = . T = 3 −1 Egyszer¶bb az y tengely és a görbék közötti területek különbségét kiszámítani: Z 4 32 √ √ T = 2 (2 y − y ) dy = . 3 0 Egyszer¶bb a számítás, ha az y tengely és a görbék közötti területek különbségét Z 2 3 2 8 2 vesszük: T = y + 1 − y dy = . −2 4 √3 Az x-et tekintjük y függvényének. A y = 2 − y egyenletb®l y = 1. Z 1 3 √ T = (2 − y ) − 3 y dy = . 4 0 13.4
13.
Határozott integrál 2 x x 2 2 dx. Legyen = sin t; ekkor t1 = T = 2 a − x dx = 4 a 1 − a a −a 0 Z q Z t2 t 2 π 0, t2 = arcsin 1 = és T = 4 a 1 − sin2 ta cos t dt = 4a2 cos2 t dt = 2 t1 t1 a2 π. s Z π/2 Za x2 x = sin t helyettesítéssel T = 4ab cos2 dt = abπ. T = 2b 1 − 2 dx. a a 0 a Z a
79.
80.
81.
Za
q
Az integrálás közben
s
x = sin t helyettesítést alkalmazva 4 s √
2 2 3 x 2 2 dx = T = −2 + 4 − x dx = 2 −2 + 4 1 − √ 4 −2 3 0 √ s 2 2 3 Z 2√3
q
T1 = 2
3
Z
0
84.
85.
T =
π/ Z 2
−π/2
86.
3 − e.
88.
T =
89. 91.
x x +2·x 1− 4 4
=
2 q 4 − x2 dx = √ 3 √ 3 2 x x
(2 − 4 − x2 ) dx + 2 q
Z
2
x x x x 2 = 4 x − arcsin − 1− + 4 arcsin + 1− = √ 2 2 2 2 2 2 0 3 √ 2π =2 3− . 3 A keresett T terület az x-tengely alatti félkör területének és T1 -nek összege: √ √ 2π 4π T = 2π − +2 3= + 2 3. 3 3 Z 1 9 3x1/3 − 3x2/3 dx = . T = 20 0 " #π/2 Z π/2 2 x π2 (x − sin) dx = T = + cos x = − 1. 2 8 0 0 s
"
83.
Z
√ 16π − 4 3. 3 0 √ √ A két kör metszéspontjainak koordinátái: x1 = − 3, x2 = 3. Ezért a keresett terület x-tengely feletti része: √
2 −2x + 8 arcsin 82.
s
2 cos x − (4x2 − π 2 ) dx = 2 + π 3 . 3 87.
T =
4 x xe dx = 3e4 + 1. 0
Z
2 1 15 (16x − x · 4x ) dx = 32 1 − + 2 . ln 4 0 ln 4
Z
9 6 . 90. T = . ln 4 ln 4 A görbék metszéspontja: x = 1, így: Z 1 2 4 T = 51−x + 2 − 3x dx = 2 − + . ln 3 ln 5 0 13.5
13.
Határozott integrál
92.
93. 94. 95. 96. 97.
98.
99.
A görbék metszéspontja x = 3 (l. ábra): Z 6 x T = ln − 1 − 2x−3 dx = 3 3 7 = + 6(ln 2 − 1) . ln 2 2(e2 + 1). 4(ln 4 − 1). Z 3 Z 9 x T = ln x dx + ln x − 2 ln dx = 4 . 3 1 3 3 − e. (L. 12. 98.) A metszéspontok az x = 1, x2 = 2, x3 = 5 helyeknél vannak. Z 2 Z 5 1 8−x dx = 4(ln 4 − 1). T = ln x dx + ln 3 1 2
A metszéspontok az x = 1, x2 = 9 helyeknél vannak. 1 Z 9 x ln2 3 − ln2 dx = 20 ln 3 − 16. Lásd a fenti jobboldali ábrát. T = 3 1 _ x = a(1 − cos t), T =
1 . 6 3abπ 103. , l. 32
Z 2π
0
a2 (1 − cos t)2 dt = 3a2 π.
2 π.
101. a
100.
102.
4π √ . 3 3
2 π(π2 − 12)/48.
104. −a
12.24.
√ 21 3 − 8 − 2π 105._ x = 3 cos2 t sin t, T = (1 − sin3 t)3 cos2 t sin t dt = . 64 π/6 π2 2 2 √ 106. a (15 3/8 − 1 − π ). 107. π − . 108. 2a π . 4 !2 1 Z 2π 2 r12 2 a dϕ = a π. 110. 109. T = , (r1 = r(ϕ1 )). 2 0 2a 111.
Z π/3
a(a − r1 ) , (r1 = r(ϕ1 )). 2
112. 13.6
a2 π . 16
13.
Határozott integrál a2
113.
4
115. A 12.157.
szerint T = 12
π 114. 2
Z2π
dϕ
2 1 0 1 + 2 cos ϕ
a2 + b2 . 2 !
= (l.
11.157)
v 2π u 1 u1 − 1 sin ϕ 1/2 2 ϕ 2 tg = 8√π . 2 − arctg t −q 2 1 1 2 2 2 1+ 2 3 3 1 − (1/2) 1 + 2 cos ϕ 12 − (1/2) 0
3π
1 116. T = 2
Z4
− 34π
1 1 dϕ = 2 (1 + cos ϕ) 8
√ 1 (5 + 4 2). 3 4a2 117. . 3 119. t
= tg(ϕ)-re T = 4· 12
abπ.
3π
Z4
− 34π
ϕ dϕ 1 ϕ 1 tg + tg3 ϕ = 4 cos 2 4 2 3 2
118.
Z π/2
0
3π 4
− 34π
r12 − a2 , (r1 = r(ϕ1 )). 4b
=
a2 b2 a tg ϕ dϕ = 2 ab arctg 2 b a2 sin ϕ + b2 cos2 ϕ
π/2
0
=
1 2 = . 122. a π. 6 123._ x = a(1 − cos t), _ y = a sin t, x_ y −_ xy = a2 (t sin t − 2 + 2 cos t), amir®l kimutatható, hogy mindenütt nempozitív. T = 3a2 π. √ 2 2 124. . 125. T = . 3 3 126. A vizsgált intervallumban x, _ x és y pozitív, _ y negatív. 3 x_ y −_ xy = −3 sin2 t cos t − 3 cos2 t sin t + (1 − cos 4t). 8 √ π/3 1 3 sin 4 t 21 3 − 8 − 2π 3 3 = . T = − sin t + cos t + t− 8 4 64 2 π/6 8 7 127. √ . 128. T = t1 . 129. . 6 3 3 3 a−1 3 1 130. 2 ln a. 131. · √ . 132. a− . 2 a 2 a 133. Ebben az esetben a szektor megegyezik az ugyanehhez a függvényhez és intervallumhoz tartozó görbevonalú trapézzal. Területe: Z 1 2 3 3 1 Z 1 1/3 1 /3 1 /3 x 1−x + 1−x dx vagy T = 1 − x1/3 dx; T = 2 0 0 1 1 / 3 t=x helyettesítés után: T = . 20 e−2 e 134. 1/12. 135. . 136. + ln 16 − 4. 2 2 Z 1 π/4 (4 cos2 ϕ − cos2 ϕ) dϕ = 3π + 3 . 137. T = 2 0 16 8
2π .
120. 3a
121. T
13.7
13.
Határozott integrál
138. T
139. T 140. T 141. T
!2 Z π/4 1 5 1 4 cos ϕ − dϕ = . =2 cos ϕ 2 0 π/8 Z π/8 Z π/8 1 − cos2 2ϕ 1 1 1 tg 2ϕ π = − . = 12 tg2 2ϕ dϕ = dϕ = − ϕ 2 2 0 cos 2ϕ 2 2 4 16 0 0 Z π 1 = 21 e2ϕ − ϕ2 dϕ = 3e2π − 2π 3 − 3 . 12 Z0π 1 2π 1 e2ϕ − eϕ dϕ = =2 e − 2eπ + 1 . 4 0π
1 142. T = 2
Z3
42 −
− π3
143. Szimmetria
4 cos2 ϕ
!
dϕ =
miatt T = 2 · 12
√ 16π − 4 3. 3
Z π/3 4dϕ
0
cos2 ϕ
+
Z π/2 π/3
√ 42 dϕ = 4 3 + 83π . !
π 5π két kör metszéspontjai a 2 = 4 sin ϕ egyenletb®l: ϕ1 = , ϕ2 = . 6 6 Z 5π/6 √ 4π (16 sin2 ϕ − 22 ) dϕ = + 2 3. T = 12 3 π/6 Z 1 q √ 145. Az ívhosszúságot s-sel jelölve: s = 1 + x2 dx = 2 + arsh 1 = −1 √ √ = 2 + ln(1 + 2). √ √ √ 146. s = arsh 1 + 2 = ln(1 + 2) + 2.
144. A
√ 8 (10 10 − 1). 147. 27
a au p a2 arsh + t1 + 2 . 148. 2 p 2 p v u
149. A
[0, a] intervallumon x ≥ 0 és x− 3a < tartozó, r0. Így a [0, a) Zintervallumhoz a x+a x − 3a x 4 √ dx = a. x tengely alatti görbeíven y = ; ebb®l s = 3 a 3 0 2 ax 150. Két ilyen ív van a görbén; az alábbi számítás mind a kett®re érvényes. Implicit 2 1 2 1 függvényként dierenciálva: x− 3 + y − 3 y 0 = 0, ebb®l 3 3 2 2/3 2/3 y 3 a y 02 y = = − 1, tehát . Másrészt az eredeti egyenletb®l: x x x 2/3 Z a 1/3 Z a 1 √ √ 3 2/3 a 3 a a 02 3 3 y = − 1. s = dx = a dx = a x = a. 3x x 2 0 x 0 √ 0 2 1 3 151. s = 1−arcth 3+arcth 2 = 1− ln . 2 2 Z 1 2 1 1 1 2 1+x 152. s = dx = − + 2 arcth = − + ln 3. 2 2 2 2 0 1−x √ √ a(a + 2) 153. ln 3. 154. ln 3. 155. . 2 156. Polárkoordinátásan: 2ax2 (1) r2 = y 2 + x2 = , 2a − x 13.8
13.
Határozott integrál
amib®l x = r cos ϕ helyettesítéssel és az így kapott egyenlet megoldásával: 2a sin2 ϕ ; (2) r= cos ϕ sin2 ϕ r2 + _ r2 = 4a2 4 (1 + 3 cos2 ϕ); cos ϕ Z Z q sin ϕ q r2 + _ r2 dϕ = 2a 1 + 3 cos2 ϕ dϕ. (Ez utóbbi integrál kiszámításához cos2 ϕ lásd a 12.213. feladatot). A határok polárkoordinátásan: Ha x = 0, akkor q 5 (1)-b®l r = 0, és így (2)-b®l ϕ = 0; ha x = a, akkor (1)-b®l r = 23 · 5a, és 3 s 2 1 5 5a cos ϕ, cos ϕ = √ √ . Ezeket felhasználva így x = r cos ϕ-b®l a = 3 3 2 3 iarccos √ 1√ √ h √ √ 2 3 = s = −2 3a − cth arsh( 3 cos ϕ) + arsh( 3 cos ϕ) 0 √ ! √ 1+ 3 . 2a 1 + 3 ln √ 2 √ √ √ √ 157. s = arsh 3 + 2 3 = ln( 3 + 2) + 2 3. ! r 3 5 1 158. . 159. 4 + 9t21 − 8 . 2 27 q 1 2 160. arsh t1 + t1 1 + t1 . 2 √ 2 _ _ 161. x = − sin t, y = cos 2t, 4 1 cos 2t2 1 cos2 2t 1 − 1 − cos 2 t + 1 2 4 _ x2 + _ y 2 = sin2 t + cos2 2t = = . 8 2 2 2π Z 2π √ 1 1 sin 2t 1 − cos 2t dt = √ t − = π 2. s = √12 2 4 0 0 2 162. 8a.
163. 2aπ
2.
−5a cos4 t sin t, _ y = 5a sin4 t cos t. _ x2 +_ y 2 = 25a2 sin2 t cos2 t(cos6 t+sin6 t). Kiszámítjuk a (zárt) görbe hosszának π negyedét, vagyis a [0, ]-n integrálunk, és azt négyszer vesszük. 2q Z
164._ x=
π/2
sin t cos t cos6 t + sin6 t dt. (l. 12.215.) π/2 q √ √ 4 · 5a s = − √ arsh( 3 cos 2t) + 3 cos 2t 1 + 3 cos2 2t = 16 3 0 ! √ √ √ 5a 1 = √ arsh 3 + 2 3 = 5a 1 + √ ln(2 + 3) . 2 3 2 3
s = 4 · 5a
0
165._ x2 + _ y 2 = cos2 t(1 + 16 sin2 t). s =
4 sin t = sh u, akkor s = 14
Z
Z π/2
cos t 1 + 16 sin2 t dt. Legyen 0 q √ 1 1√ 1 + sh2 u ch u du = ln(4 + 17) + 17. q
8
13.9
2
13.
Határozott integrál
166.
√ π/2 2 e −1 .
168. s
= arsh 1 = ln(1 +
a , ahol y1 = y (t1 ). y1 √ 1 169. s = 2 arth √ = ln(2 + 3). 3 167. a ln
√
2).
i 9 1h 2 +_ (ch 2t1 )3/2 − 1 . y 2 = sh2 2t ch 2t; s = 4 2 2 a2 − 1 171._ x2 + _ y 2 = 1 + 12 ch t . s = ln a + . 4a 170._ x
√
i 2h arch t21 − arch t22 ; az integrált helyettesítéssel számíthatjuk ki. 2 2 173. sh t1 . Z 2π √ 174._ r = 0, r2 + _ r2 = a2 . s = a2 dϕ = a[ϕ]20π = 2aπ.
172.
0
q a ϕ1 1 + ϕ21 + arsh ϕ1 . 175. 2 q q √ ϕ1 2 + 1 ϕ1 + ϕ 1 2 + 1 . √ 176. a 2 − + ln ϕ1 1+ 2 √ 177. 2a. 178. 8 3. 179. 8. Z 2 x a dx sin x 1 π 2 r2 = tg + + C, (lásd a plt. 180. r +_ . Mivel = + ln cos6 ϕ2 cos3 x 2 cos2 x 2 2 4
π/4 sin ϕ2 dϕ ϕ π + = 12.193. feladatot), s = a =a + ln tg cos3 ϕ2 cos2 ϕ2 4 4 0 0 √ √ √ 3π a = a( 2 + ln(1 + 2)). 2 + ln tg 8 √ √ √ √ 181. p 2 + ln(1 + 2) . 182. 2 + ln(1 + 2). 3aπ ϕ1 . 184. . 183. 8a sin 2 2 2 2 r2 = a2 ch ϕ ; t = th ϕ helyettesítéssel 185. Átalakításokkal r + _ (1 + ch ϕ)2 2 s = a(2π − th π ). 8a 186. a(ϕ1 − r1 ), ahol r1 = r (ϕ1 ). 187. . 3 √ 1 + a2 aϕ1 188. e −1 . a 16 189. π. 190. 12π. 3 3π 2 π π (2 + sh 2) . 193. . 191. . 192. 8 2 2 2 194. π (3 ln 3 − 6 ln 3 + 4) . π 4a3 π 4a3 π 195. . 196. . 197. . 4 3 3 Z π/2
"
13.10
#
Határozott integrál Z 1 16 198. V = 2π (1 − x2 )2 dx = π. 15 0 4ab2 π 13.
200.
201.
3 π √ 6
199. V
=π
3 1 32π 1 − x2/3 dx = . 105 −1
Z
.
125 − 1 . Z π
kiszámítandó felszínt A-val jelölve A = 2π sin x 1 + cos2 xdx. 0 A cos x = sh u helyettesítéssel " # Z q 1 sh 2 u + C ; így sin x 1 + cos2 x dx = − u + 2 2 π q √ √ 2 A = −π arsh cos x + cos x 1 + cos x = π 2 2 + 2 ln(1 + 2) . 0 s "√ #π/4 Z π/4 1 1 + cos4 x 2 203. A = 2π tg x 1 + dx = π − arsh cos x = cos4 x cos2 x 0 0 √ √ √ 2+ 2 √ ). (Az integrál kiszámításához lásd az 12.214. feπ ( 5 − 2 + ln 1+ 5 ladatot.) 2 204. a π (2 + sh 2). q 2 2/3 − x2/3 3/2 a1/3 , (az y 0 legegyszer¶bben az eredeti egyenlet 205. y 1 + y 0 = a x1/3 mindkét oldalának dierenciálásával számítható ki). Legyen x = a cos3 u. 202. A
A = 6πa2
Z π/2
0
2 206. 4a π.
#π/2
sin5 u sin4 u cos u du = 6a2 π 5 0 "
q
=
6a2 π . 5
a2 − b2 εx 2 , ahol ε2 = . a a2 s 2 Z a εx εx A = 2b · 2π dx. Legyen = sin u. 1− a a 0 u2 q 4abπ Z u2 2abπ 2 2 A= u + sin u 1 − sin u = cos u du = ε ε u1 u1
207. y
q
s
1 + y02 = b 1 −
2 εx εx εx a 2abπ arcsin + 1− = 2bπ arcsin ε + b . = ε a a a ε
a
s
0 q 2 208. A = 2π (ch 2 − ch x) 1 + sh2 x dx = π sh 4 − 4π. −2 Z 1 q 209. A = 2π (1 − x2 ) 1 + (2x)2 dx. −1 √ π Z
2x = sh u helyettesítéssel A =
2 π.
210. 4a 211. A
= 2π
Z
0
π
2
16
17 arsh 2 + 14 5 .
a sin3 t · 3a sin t cos t dt =
6a2 π . 5
13.11
Határozott integrál Z 2π √ 64a2 π 212. A = 2π a2 (1 − cos t) 2 − 2 cos t dt = . 3 0 q √ 213. y _ x2 + _ y 2 = 4 2a2 (1 − cos t)3/2 sin t. √ 2 Zπ 128a2 π A = 2π · 4 2a · . (1 − cos t)3/2 sin t dt = 5√ 0 iπ/2 √ Z π/2 2t 2 2π h 2t 2 2 2 t _ _ 214. x + y = 2e , A = 2 2π e (sin t + 2 cos t) e cos t dt = 0 = 5 0 √
13.
2 2π π e −2 . 5 1 1 4 2 1 , My = , T = , xs = , ys = . 215. Mx = 14 5 4 5 7 3 3 3 216. Mx = , My = 3, T = ln 4, xs = = 2, 16; ys = = 0, 27. 8 ln 4 8 ln 4 13 2 3 ln 3 13 217. Mx = , My = ln 3, T = , xs = = 1, 65, ys = = 0, 24. 81 3 2 54 2a3 a2 π 4a 218. Mx = , My = 0, T = , xs = 0, ys = . 3 2 3π 2ab2 abπ 4b 219. Mx = , My = 0, T = , xs = 0, ys = . 3 2 3π 2a3 a2 π 4a 220. Mx = , My = 0, T = , xs = 0, ys = . 3 2 3π 2ab2 abπ 4b 221. Mx = . My = 0, T = , xs = 0, ys = . 3 2 3π 5a 5 3 a π, My = 3a3 π 2 , T = 3a2 π, xs = aπ, ys = . 222. Mx = 2 6 (A T -re nézve l. a 99. feladatot.) 8a3 8a3 3a2 π 256a 223. Mx = , My = , T = , xs = ys = . 105 105 32 315π (A T -re nézve lásd a 103. feladatot.) a3 a3 a2 π 4a 4a 224. Mx = , My = , T = , xs = , ys = . 3 3 4 3π 3π a3 3 a2 π 3 6a 225. Mx = (π − 6π ), My = a3 (4 − π 2 ), T = , xs = 3 (4 − π 2 ), 3 6 π 2a 3 ys = 3 (π − 6π ). π 5a 32a 32a3 226. Mx = , My = 5a3 π, T = 3a2 π, xs = , ys = . 3 3 9π (A T -re nézve l. a 120. feladatot.) a3 3π a3 2π a2 e2π 227. Mx = e + 1 , My = − e +1 , T = , 30 10 4 2a 2a e3π + 1 . xs = − 2π e3π + 1 , ys = 5e 15e2π (A T -re nézve l. a 114. feladatot.) 13.12
13.
Határozott integrál
217. 219. 221. 223. 225. 227. 229. 231. 233.
Téglalapmódszer 1,23239; 36,6024; 44,5073; 1,08884; 0,94830; 0,91608; 5,40258; 0,69266; 0,83587;
Trapézmódszer 1,22613; 34,7768; 44,2467; 1,19949; 0,94579; 0,91573; 5,40257; 0,69412; 0,83521;
Parabolamódszer 1,23530. 35,6757. 44,4089. 1,08943. 0,94802. 0,91597. 5,40258. 0,69315. 0,83565.
218. 220. 222. 224. 226. 228. 230. 232.
13.13
Téglalapmódszer 3,22023; 10,64646; 0,84459; 2,57979; 0,98560; 17,3843; 1,22939; 1,46746;
Trapézmódszer 3,28326; 10,52355; 0,82999; 2,60902; 0,98517; 17,2277; 1,22905; 1,46746;
Parabolamódszer 3,23961; 10,61165; 0,83682; 2,59083; 0,98546; 17,3222; 1,22927; 1,46746;
