Zad´ an´ı projekt˚ u Projekt 1 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) =
−9x3 − 5 . x2
2. Urˇcete souˇradnice vrchol˚ u obd´eln´ıka ABCD, jehoˇz dva vrcholy maj´ı kladnou y-ovou souˇradnici a leˇz´ı na parabole dan´e rovnic´ı y = 16 − x2 a dalˇs´ı dva vrcholy leˇz´ı na ose x, chceme-li, aby obvod obd´eln´ıka byl maxim´aln´ı.
Projekt 2 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) = xe
−x2 4
.
2. Do rovnostrann´eho troj´ uheln´ıku ABC o stranˇe a vepiˇste rovnoramenn´ y troj´ uheln´ık DEF , jehoˇz obsah bude maxim´aln´ı. Pˇritom ˇz´ad´ame, aby vrchol proti z´akladnˇe vepsan´eho troj´ uheln´ıku leˇzel ve stˇredu jedn´e ze stran troj´ uheln´ıku ABC.
Projekt 3 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) = −
ln(x2 ) . x2
2. Do elipsy dan´e rovnic´ı 4x2 + 9y 2 = 36 vepiˇste obd´eln´ık tak, aby mˇel strany rovnobˇeˇzn´e s osami x a y a z´aroveˇ n byl jeho obsah maxim´aln´ı. Urˇcete rozmˇery takov´eho obd´eln´ıku.
Projekt 4 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) =
3x2 . x−1
´ cetn´ı v d´ılnˇe vyr´ 2. Uˇ abˇej´ıc´ı hlinˇen´e kuliˇcky pˇriˇsel na to, ˇze celkov´e n´aklady na v´ yrobu pˇri produkci x tis´ıc˚ u kuliˇcek za hodinu lze vyj´adˇrit jako funkci f (x) = 3x4 + 5x3 a podobnˇe v´ ynosy pˇri stejn´e produkci odpov´ıdaj´ı funkci g(x) = 9x3 + 36x2 . Pˇri jak´e rychlosti v´ yroby bude m´ıt d´ılna nejvˇetˇs´ı zisk? 1
Projekt 5 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) = xe−
x2 2
.
2. Nov´ y typ unimo (stavebn´ıch) bunˇek bude m´ıt nosnou konstrukci tvoˇrenou hranami kv´ adru a rozmˇery podlahy v pomˇeru 3:4. Celou konstrukci je nutno vyrobit z L - profil˚ u o celkov´e d´elce 44 m. Jak´e rozmˇery mus´ı m´ıt nosn´a konstrukce, aby byl vnitˇrn´ı objem unimo buˇ nky co nejvˇetˇs´ı?
Projekt 6 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) =
10x + 10 . x2
2. Z pap´ıru tvaru ˇctverce 40 × 40 cm vystˇrihneme ve vˇsech roz´ıch stejn´e ˇctvereˇcky a sloˇz´ıme krabiˇcku (bez v´ıka). Jak´a mus´ı b´ yt strana vystˇrihnut´eho ˇctvereˇcku, aby mˇela krabiˇcka maxim´ aln´ı objem?
Projekt 7 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) = cos2 x + cos x. 2. Urˇcete rozmˇery v´ alcov´e n´adoby bez v´ıka tak, aby pˇri objemu 2 litry mˇela tato n´ adoba minim´ aln´ı povrch.
Projekt 8 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem 1 3 +2
f (x) = e− 3 x
.
2. Do ostro´ uhl´eho troj´ uheln´ıku ABC, c = 8 cm, vc = 4 cm, vepiˇste obd´eln´ık KLM N maxim´ aln´ıho obsahu tak, aby u ´seˇcka KL byla ˇc´ast´ı u ´seˇcky AB. Urˇcete rozmˇery takov´eho obd´eln´ıku. 2
Projekt 9 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) =
x2 + 1 . x2 − 1
2. Hodl´ ame koupit obd´eln´ıkovou parcelu o rozloze 200 m2 , jej´ıˇz jedna strana bude ohraniˇcen´ a zd´ı, zat´ımco zb´ yvaj´ıc´ı tˇri strany je nutno oplotit. Zvolte rozmˇery parcely tak, aby mˇel plot minim´aln´ı d´elku.
Projekt 10 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) =
ex + 1 . ex − 1
2. Do p˚ ulkruˇznice k s pr˚ umˇerem AB vepiˇste troj´ uheln´ık ABC tak, ˇze vrchol C ∈ k. Um´ıte naj´ıt troj´ uheln´ık ABC tak, aby jeho obsah resp. obvod byl maxim´aln´ı? Pokud ano, urˇcete jak´ y obsah resp. obvod bude m´ıt.
Projekt 11 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) = sin x + cos2 x. 2. Je nˇekter´ y bod B leˇz´ıc´ı na parabole y = x2 , z = 0 v trojrozmˇern´em prostoru nejbl´ıˇze bodu A = [1, 2, 2]? Pokud ano, zjistˇete vzd´alenost bod˚ u A a B.
Projekt 12 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) =
sin x . 2 − cos x
2. Z ubrusu, kter´ y m´ a tvar elipsy s poloosami 70 cm a 30 cm, chceme vystˇrihnout obd´eln´ıkov´ y ubrus s maxim´aln´ı plochou (obsahem). Jak´e budou rozmˇery obd´eln´ıkov´eho ubrusu?
3
Projekt 13 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) = arcsin
2x . +2
x2
2. Jak´e jsou rozmˇery v´ alce vepsan´eho do koule s polomˇerem R, v´ıme-li, ˇze tento v´ alec m´ a maxim´ aln´ı objem?
Projekt 14 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) = ln(1 − x2 ). 2. Na zahradˇe chcete vybudovat pravo´ uhl´ y baz´en se ˇctvercov´ ym dnem a objemem 108 m3 . Jak´e maj´ı b´ yt rozmˇery tohoto baz´enu, m´a-li se pˇri vydl´aˇzdˇen´ı dna a stˇen spotˇrebovat co nejm´enˇe dlaˇzdiˇcek?
Projekt 15 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) = 2. Na hyperbole
x2 2
x2
x . −1
− y 2 = 1 naleznˇete bod B, kter´ y je nejbl´ıˇze bodu A = (3, 0).
Projekt 16 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem 1 f (x) = arccos . x 2. Kter´ y v´ alec vepsan´ y do rotaˇcn´ıho kuˇzele s polomˇerem podstavy R a v´ yˇskou v m´ a nejvˇetˇs´ı objem V ?
Projekt 17 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) = arccos
1 − x2 . 1 + x2
2. Urˇcete rozmˇery obd´eln´ıka vepsan´eho do p˚ ulkruhu o polomˇeru R > 0 maj´ıc´ıho maxim´ aln´ı obsah. 4
Projekt 18 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) = x + sin(2x). 2. Kv´ adr m´ a povrch S a d´elka hrany c je dvojn´asobkem d´elky hrany a. Urˇcete d´elky hran kv´ adru tak, aby jeho objem V byl maxim´aln´ı.
Projekt 19 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) =
2x2 − 4 . 3+x
2. Urˇcete rozmˇery obd´eln´ıku vepsan´eho do elipsy 9x2 + 16y 2 = 144 tak, aby jeho strany byly rovnobˇeˇzn´e s osami x a y a z´aroveˇ n byl jeho obsah maxim´aln´ı.
Projekt 20 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) =
x . 1 + x2
2. Letadlo A a letadlo B se pohybuj´ı po vz´ajemnˇe kolm´ ych drah´ach. V urˇcit´em okamˇziku je od pr˚ uniku jejich drah letadlo A vzd´alen´e 2300 km a letadlo B 2000 km. Urˇcete minim´ aln´ı vzd´ alenost obou letadel, jestliˇze se letadlo A pohybuje rychlost´ı 950 km/h a letadlo B 850 km/h.
Projekt 21 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) = ln(1 − x3 ). 2. Mˇejme parabolu zadanou rovnic´ı y = x2 − 2. Urˇcete body paraboly s nejmenˇs´ı vzd´ alenost´ı od bodu B = [0, 2].
5
Projekt 22 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem x
f (x) = xe− 3 . 2. Urˇcete maxim´ aln´ı obsah pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıku leˇz´ıc´ıho ve druh´em kvadrantu, jehoˇz odvˇesny leˇz´ı na os´ach souˇradnic a pˇrepona je ˇc´ast´ı teˇcny ke grafu funkce f (x) = x2 + 4x + 4.
Projekt 23 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem 3 f (x) = x ln x2 . 2 2. Na v´ yrobu plechovky ve tvaru v´alce bylo pouˇzito 54π cm2 plechu. Urˇcete jej´ı polomˇer z´ akladny r a v´ yˇsku v tak, aby jej´ı objem byl co nejvˇetˇs´ı.
Projekt 24 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) =
e−x . x2
2. Urˇcete rozmˇery x a y co nejvˇetˇs´ıho obd´eln´ıkov´eho pozemku, v´ıte-li ˇze: a) na oplocen´ı m´ ate 12 m2 pletiva, b) na severn´ı stranˇe jiˇz je oplocena ˇc´ast pozemku dlouh´a 3 m, c) na v´ ychodn´ı stranˇe jiˇz je oplocena ˇc´ast pozemku dlouh´a 1 m.
Projekt 25 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) =
ln x . x2
2. Rozloˇzte ˇc´ıslo 3 na souˇcet dvou kladn´ ych ˇc´ısel tak, aby souˇcin jejich pˇrevr´ acen´ ych hodnot byl co nejmenˇs´ı.
6
Projekt 26 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem 1p 3 f (x) = 2x2 − x3 . x 2. Doln´ı okraj obrazu je a metr˚ u nad v´ yˇskou oka pozorovatele, jeho horn´ı okraj je b metr˚ u nad v´ yˇskou oka pozorovatele. Z jak´e vzd´alenosti od stˇeny vid´ı pozorovatel obraz v maxim´ aln´ım zorn´em u ´hlu?
Projekt 27 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem ln x f (x) = √ . x 2. Na kruˇznici x2 +y 2 = a√2 najdˇete bod, pro kter´ y je nejmenˇs´ı souˇcet ˇctverc˚ u vzd´ alenost´ı od bod˚ u [2a, 0] a [0, a 5].
Projekt 28 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) = x3 + x2 + |x| + 1. 2. Finanˇcn´ı ztr´ ata f v d˚ usledku u ´drˇzby a ztr´at elektrick´e energie v elektrick´em veden´ı z´ avis´ı na jeho pˇr´ıˇcn´em pr˚ uˇrezu S a je d´ana vztahem f (S) = k1 S +
k2 , S
kde k1 , k2 jsou kladn´e re´aln´e konstanty. Urˇcete pr˚ uˇrez S (v z´avislosti na k1 a k2 ) tak, aby finanˇcn´ı ztr´ ata byla co nejmenˇs´ı.
Projekt 29 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) = x3 + 4x2 + 5x + |x + 1| + 3. 2. Od svˇeteln´eho bodu A se ve vzd´alenosti a (a > 0) nach´az´ı stˇred S koule o polomˇeru r, kde 0 < r < a. Urˇcete tento polomˇer r (v z´avislosti na a) tak, aby z bodu A osvˇetlen´ y kulov´ y vrchl´ık mˇel co nejvˇetˇs´ı obsah. 7
Projekt 30 1. Vyˇsetˇrete pr˚ ubˇeh funkce f dan´e pˇredpisem f (x) = x3 − x2 + x + |x − 1| + 1. 2. N´ adoba se skl´ ad´ a z v´ alce v´ yˇsky 2 dm, kter´ y je nahoˇre ukonˇcen kuˇzelem o stejn´em polomˇeru podstavy r a o d´elce strany 6 dm (stranou kuˇzele pˇritom rozum´ıme vzd´ alenost mezi vrcholem a podstavou pod´el pl´aˇstˇe). Urˇcete v´ yˇsku v kuˇzele a polomˇer r tak, aby n´ adoba mˇela maxim´aln´ı objem.
8
