DIFERENSIASI
Koefisien diferensial baku Table berikut memuat daftar diterensial baku yang pasti pernah anda gunakan beberapa kali sebelum ini.
y
f (x)
dy dx nx n 1 ex kekx a x ln a 1 x 1 x. ln a cos x sin x sec2 x cosec 2 x cosec 2 x. cot x
xn ex e kx ax ln x log a x
sin x cos x tan x cot x cos ecx sinh x coshx
coshx sinh x
Bukti untuk dua fungsi yang terakhir diberikan dalam bingkai 2, lanjutkanlah. Koefisien diferensial utuk sinh x dan cosh x dapat diperoleh dengan mudah dengan mengingat definisi eksponensialnya, dan juga dengan mengingat bahwa d x e dx
(i) y
e x dan
d e dx
x
e
ex
y
sinh x dy dx
e
x
x
e
x
2 ( e x) 2
d (sinh x) dx
ex
e
x
2
cosh x
cosh x
(ii) y
ex
y
cosh x dy dx
e
x
e
x
2 ( e x) 2
ex
e 2
x
sinh x
d (coshx) sinh x dx Perhatikan bahwa tidak ada tanda minus seperti halnya dalam diferensiasi fungsi trigonometric cos x. Koefisien diteferensial untuk tanh x akan kita turunkan nanti.
Untuk melihat apakah anda benar2 telah memahami koefisien diferensial dasar tersebut, tutplah daftar yang baru saja anda salin dan tuliskanlah koefisien deferesial fungsi berikut. Semuanya sangat mudah 1. x5 2. sin x 3. e3x 4. ln x 5. tan x 6. 2x 7. sec x 8. cosh x 9. log10 x 10. ex
11. cos x 12. sinh x 13. cosec x 14. a3 15. cot x 16. ax 17. x-x 18. logax 19. x 20. ex/2
Inilah hasilnya. Periksalah pekerjaan anda dengan seksama dan berilah khusus untuk jawaban yang salah. 1. 5x4 2. cos x 3. 3e3x 4. 1/x 5. sec2x 6. 2xln 2 7. sec x. tan x 8. sinh x 9. 1/(x ln 10) 10. ex 11. –sin x
12. cosh x 13. –cosec x. cot x 14. 0 15. –cosec2x 16. ax ln a 17. -4 x—5 18. 1/(x ln a) 1 1 2 1 /(2 x ) 19. x 2 20. 1/2ex/2
Bila jawaban anda tidak semua betul, sebaiknya lihatlah kembali bingkai 1, atau daftar yang baru saja anda salin. Dan bilamana perlu pelajarilah kembali. Daftar ini akan menjadi alat untuk pembahasan kita selanjutnya.
Fungsi dari suatu fungsi Sin x adalah fungsi x karena harga sin x bergantung kepada harga sudut x. demikian pula, sin (2x + 5) adalah fungsi sudut (2x+5) Yaitu sin (2x + 5) adalah fungsi dari (2x + 5) Tetapi (2x + 5) itu sendiri merupakan fungsi x, karena harganya bergantung kepada x. Yaitu (2x + 5) adalah fungsi dari x Jika kedua pernyataan itu kita gabungkan, dapta kita lakukan bahwa sin (2x + 5) adalah fungsi dari (2x + 5) sin (2x + 5) adalah fungsi dari fungsi x Jadi sin (2x + 5) adalah fungsi dari fungsi x dan secara umum ungkapan itu sering dikatakan sebagai fungsi dari suatu fungsi. Dengan demikian, esin y adalah fungsi dari fungsi ………… Karena esin y bergantung kepada harga pangkat sin y dan siny bergantung kepada y. jadi esin y adalah fungsi dari fungsi y.
Seringkali kita membutuhkan koefisien diferensial fungsi dari fungsi seperti demikian. Kita dapat memperolehnya dengan menggunakan prinsip pertama: Contoh 1. diferensialkanlah y = cos (5x-4) terhadap x. dy Misalkan u = (5x-4) y cosu sin u sin(5 x 4). du dy dy Tetapi ini adalah bukan . Untuk mengubahnya menjadi koefisien yang kita du dx dy dy du dy kehendaki, kita gunakan hubungan (yang . , yaitu untuk memperoleh dx du dx dx dy dy du kita cari), kita kalikan (yang kita dapatkan) dengan ; diperoleh dari du du dx du 5 hubungan substitusi u = (5x-4), yaitu dx d cos(5 x 4) sin(5 x 4) x -5 sin (5x-4) dx Sekarang cobalah anda cari koefisien diferensial dari y = esin x dengan menggunakan prinsip pertama.(Seperti tadi,misalkanlah) u = sin x).
d sin {e dx
x
}=
cos
x.esin x Karena: y = esin x. Misalkan u = sin x Tetapi
dy dx
dy = eu du dy du du . dan = cos x du dx dx
y = eu
d sin x {e } = eesin x.cos x dx
Cara ini berlaku umum. Jika y = f(u) dan u dan u = f(x),maka
dy dx
dy du . .Jadi jika y = ln F. du dx
Dengan F adalah fungsi x,maka dy dy dF 1 dF = . . dx dF dx F dx dy 1 Sehingga untuk y = ln sin x. = .cos x = cot x dx sin x dF Hal ini sangat penting,jangan lupa factor , karena itu hati – hatilah! dx
Pembagian Dalam hal ini pembagian, jika u dan v adalah fungsi x,dan y = v
du dx
u
dv dx
u v
dy dx v2 ( x 1)3 cos 3 x sin 3 x.1 sin 3x dy Contoh 1. Jika y = , = ( x 1) 2 x 1 dx Jika anda telah dapat mendiferensiasikan masing – masing fungsinya,selanjutnya tidaklah sulit. cos 2 x dy Cobalah yang berikut ini.Jika y = , =…………………… dx x2 d { dx cos 2 x 2( x sin 2 x cos 2 x) } Karena 2 x x3 d cos 2 x { }= dx x2 x( 2 sin 2 x) cos 2 x.2 x x4 2 x( x sin 2 x cos 2 x) = x4 2( x sin 2 x cos2 x) = x3 dy dv du Jadi: Untuk y = uv, =u ……………..(i) v dx dx dx du dv v u u dy dx dx ………………(ii) Untuk y = v dx v2 Perhatikanlah sampai anda yakin bahwa anda telah memahaminya. Anda dapat membuktikan koefisien diferensial dari tan x dengan cara pembagian sin x ini,Karena y = tan x berarti juga y = . cos x
Maka
Dengan menggunakan kaidah pembagian,
dy = …………(kerjakanlah secara dx
terperinci). Diferensial Logaritmik Kaidah untuk mendiferensiasikan perkalian atau pembagian yang baru saja kita u bahas mudah dipakai untuk fungsi dua-faktor saja,yaitu u v atau . v Jika ada lebih dari dua fungsi dengan berbagai susunan atas atau bawah,koefisien diferensial lebih baik dicari melalui apa yang kita kenal sebagai ‘diferensial logaritmik’. 1 d Semuanya didasarkan atas kenyataan bahwa {ln x} = dan bila z digantikan x dx 1 dF d dengan satu fungsi F, maka {ln F }= . . Dengan mengingat hal ini,marilah F dx dx uv kita tinjau sebuah kasus y dengan u,v, dan w – jadi juga y – adlah fungsi x. w' Pertama-tama kita ambil logaritmanya dengan bilangan dasar e. Ln y = u + ln v – ln w Kemudian diferensialkanlah masing-masing ruas terhadap x,dengan mengingat bahwa u, v, w dan y semuanya adalah fungsi x.Hasil apakah yang kita peroleh? 1 dy . = x dx 1 dw . w dx
1 du 1 dv . + . u dx v dx
dy -nya saja, kita tinggal mengalikan seluruh hasil diatas dx dengan y.Perhatikan bahwa dalam melakukan ini, kita gunakan fungsi besar keseluruhan yang menyatakan y. dy uv 1 du 1 dv 1 dw = { . + . - . } dx w u dx v dx w dx Bentuk ini bukanlah suatu rumus yang harus dihafalkan,tetapi langkah pengerjaannyalah yang harus diingat,karena suku-suku ruas kanan yang sesungguhnya belum tentu demikian,bergantung pada fungsi awal yang kita miliki. Baiklah kita lihat sebuah contoh agar lebih jelas. x 2 sin x dy , tentukanlah Jika y = cos 2 x dx Langkah pertama untuk proses ini adalah ………..
Untuk memperoleh
Mengambil logaritma kedua ruasnya Y=
x 2 sin x cos 2 x
ln y = ln ( x2 ) + ln (sin x) – ln (cos 2x)
Sekarang diferensiasikan kedua ruasnya terhadap x, dengan mengingat bahwa 1 dF d ( ln F ) . F dx dx 1 dy 1 1 1 . = 2 .2x + .cos x .(-2 sin 2x) y dx x cos2 x sin x 2 = + cot x + 2 tan 2x x dy x 2 sin x 2 = { + cot x + 2 tan 2x} cos 2 x x dx Hasil ini sangat rumit,tetapi fungsi asalnya memang rumit juga!
Fungsi implisit Jika y = x2 – 4x + 2, y terdifinisi sepenuhnya oleh x dan y disebut sebagai fungsi eksplisit dari x. Jika kaitan antara x dan y sangat ketat,ada kalanya kita tidak dapat (atau tidak perlu) memisahkan y di ruas kiri sendiri,misalnya xy + sin y = 2.Dalam hal semacam ini,y disebut fungsi implisit dari x,karena hubungan dalam bentuk y = f(x) tersirat di dalamnya. Meskipun demikian,seringkali kita butuhkan koefisien diferensial y terhadap x,dan pada kenyataannya hal ini tidaklah sulit untuk dicari.Yang perlu kita ingat hanyalah bahwa y adalah fungsi x,sekalipun barang kali kita tidak dapat melihat hubungan eksplisitnya.Sebetulnya, hal ini tidak lain dari pada perluasan cara’fungsi dari suatu fungsi yang biasa.x2 + y2 = 25,dalam bentuk ini,adalah salah satu contoh dari fungsi…………. x2 + y2 = 25 adalah contoh dari fungsi implisit. Sekali lagi,yang perlu kita ingat hanyalah bahwa y adalah fungsi x. dy Marilah kita coba mencari jika x2 + y2 = 25. dx Jika bentuk ini kita diferensiasikan terhadap x,maka kita peroleh dy 2x + 2y =0 dx Perhatikan, bahwa kita mendiferensiasikan y2 seperti mendiferensiasikan kuadrat suatu fungsi,yang memberikan ‘dua kali fungsi tersebut dikalikan dengan koefisien diferensial fungsi yang bersangkutan.’Selanjutnya mudah, dy 2x + 2y =0 dx x dy dy y =-x =y dx dx Seperti anda lihat,koefisien – diferensial suatu fungsi implisit mungkin saja (dan biasanya memang) memuat baik x maupun …………………. Sekarang marilah kita lihat satu atau dua contoh penggunaannya. dy Contoh 1. Jika x2+ y2 – 2x – 6y + 5 = 0, tentukan dan dx Di titik x = 3,y = 2. Diferensialkanlah bentuk tersebut terhadap x.
dy dy -2–6 =0 dx dx dy ( 2y – 6 ) = 2 – 2x dx dy 1 2 x 1 x = = dx 2 y 6 y 3 dy 1 3 di (3,2) = = dx 2 3
2x + 2y
d2y Demikian pula dx 2 3
d 1 x dx y 3
y
1 x y 3
Di (3,2)
d2y dx 2
2 =2 1 y 3
1 y 3
1 x
dy dx
2
dy dx
2
3 2
1 32
1
2
2 3 dy d2y 2, 2 di (3,2) dx dx
4 1
5
5
dy dx Kerjakanlah, tetapi hati-hati dengan suku perkalilannya. Jika tiba giliran 2xy, perlakukanlah ia sebagai (2x) (y).
Yang lain lagi. Jika x 2
2 xy 3 y 2
4 , tentukanlah
x2
2 xy 3 y 2 4 dy dy 2x 2x 2y 6y 0 dx dx dy 2x 6 y 2x 2 y dx dy 2x 2 y x y dx 2x 6 y x 3y
Persamaan Parametrik Dalam beberapa persoalan, seringkali lebih enak mengungkapkan suatu fungsi dengan menyatakan x dan y dalam suatu variable bebas ketiga secara terpisah, misalnya sebagai contoh y cos2t , x sin t. dalam hal ini, sebuah harga t tertentu akan memberikan pasangan harga x dan y, yang jika perlu dapat saja digambarkan dalam grafik sebagai salah satu titik dari kurva y f (x). Variable yang ketiga ini, misalnya t, disebut parameter, dan kedua pernyataan untuk x dan y disebut persamaan parametric. Ada kalanya kita masih memerlukan koefisien diterensial fungsi tersebut terhadap x, bagaimanakah kita dapat memperolehnya?
Baiklah kita ambil contoh yang diberikan di atas. Persamaan parametric untuk dy fungsinya adalah y cos2t , x sin t. kita ingin mencari pernyataan untuk dan dx d2y . dx 2 d2y dy dan . y cos2t , x sin t. tentukanlah dx dx 2 dy Dari y cos 2t. dapat kita peroleh 2 sin 2t dt dx Dari x sin t. dapat kita peroleh cost dt dy dy dt Sekarang kita gunakan kenyataan bahwa . dx dt dx dy 1 2 sin 2t. dx cost 1 Sehingga 4 sin t cost. cost dy 4 sin t dx Hal ini masih cukup mudah. Selanjutnya bagaimanakah kita dapat memperoleh koefisien diferensial keduanya? Kita tidak dapat memperolehnya dengan cara d2y d 2x mencari dahulu dan dari persamaan parametric dan kemudain dt 2 dt 2 menggabungkan keduanya seperti ketika kita mencari koefisien diferensial pertama. d2y Cara ini hanya akan menghasilkan sesuatu yang berbentuk yang entah apa dx 2 artinya, dan tentu saja bukan ini yang kita cari. Jadi apa yang harus kita lakukan?
Untuk memperoleh koefisien diferensial kedua, kita harus kembali kepada arti d2y semula dari , dx 2 d 2 y d dy d i.e. 2 4 sin t dx dx dx dx Tetapi kita tidak dapat langsung mendiferensiasikan fungsi t terhadap x, karena itu d d dt 4 sin t 4 sin t . dx dt dx 2 d y 1 kita gunakan 4 cost. 4 2 cost dx d2y 4 dx 2 Marilah kita lihat contoh lain. Bagaimana dengan contoh berikut? Persamaan parametric suatu fungsi diberikan sebagai y 3 sin sin 3 , x cos 3
d2y dy dan dx dx 2 dy y 3 sin sin 3 3 cos 3 sin 2 d dx x cos3 ............... 3 cos2 sin d ...................................... 3 cos2 sin
Tentukanlah
dy dx
dy d . d dx
3 cos (1 sin 2
).
3
3 cos ... 3 cos2 sin d2y d d cot Juga 2 dx d dx 1 ( cos ec 2 ) 3 cos 2 sin d 2y 1 2 2 dx 3 cos sin 3 .......................
cos
1 2
3 cos sin dy cot dx d cot dx
Yang satu berikut ini untuk anda kerjakan dengan jalan yang sama 2 3t 2 3t dy Jika x ,y , tentukan 1 t 1 t dx 2 3t dx 1 t 3 2 3t x Karena 2 1 t dt 1 t 3 2t dy 1 t 2 3 2t y 2 1 t dt 1 t dx 3 3t 2 3t 5 2 2 dt 1 t 1 t dy 2 2t 3 2t 1 2 2 dt 1 t 1 t 2
dy dy dt 1 1 t 1 dy 1 . 2 dx dt dx 1 t 5 5 dx 5 Satu soal lagi untuk anda sebagai penutup bagian ini. Cara penyelesaiannya masih sama seperti lainnya. sin ) dan y a(sin cos ) Jika x a(cos d2y dy dan dx dx 2 Inilah penyelesaianya, dimulai sama seperti contoh sebelumnya.
Tentukanlah
x
a (cos
dx a d y a (sin
sin ) sin
cos
a cos
cos )
dy a (cos sin cos ) a sin d dy dy d 1 . a sin . tan dx d dx a cos dy ........... tan dx d2y d d d (tan ) . 2 dx d (tan ) dx dx 1 ............ sec2 . a cos 2 d y 1 ........... 2 dx a cos3 Anda telah sampai kepada akhir program diferensial ini, sebagian besar hanya merupakan ulangan dari apa yang pernah anda peroleh. Penutup ini membawa anda kepada Latihan Ujian Akhir, pindahkan ke sana dan kerjakanlah ujian tersebut dengan teliti.
