MATRIKS a11 a21 A a31 ... a m1
a12 a22 a32 ... am 2
a13 a23 a33 ... am 3
... ... ... ... ...
a1n a2 n a3n ... amn
Matriks A dengan m baris dan n kolom (Am×n). Notasi Matriks : A = aij , dimana aij adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan Matriks Matriks A dan matrik B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika : a. Ordo kedua matriks sama. b. Semua elemen yang bersesuaian mempunyai nilai yang sama. Operasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks –matriks yang berukuran sama ). Jika A = aij dan B = bij , matriks yang berukuran sama , maka A + B adalah suatu matriks C = cij , di mana cij = aij + bij untuk setiap i dan j. Contoh : 1 2 2 1 dan B = maka A = 3 3 2 4 1 2 2 1 1 2 2 1 3 3 + = = A + B = 3 3 2 4 3 2 3 4 5 7 b. Perkalian skalar terhadap matriks Jika suatu skalar dan A = aij maka matriks A = (aij) Contoh : 1 2 maka 2A = A = 3 3
2.1 2.2 = 2.3 2.3
2 4 6 6
c. Perkalian Matriks Pada umumnya perkalian Matriks tidak komutatif terhadap operasi perkalian : AB BA.
1
Syarat Perkalian Matriks : Banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Definisi : Misal A = aij berukuran (m × n) dan B = bij berukuran (n × p) . Maka perkalian A × B adalah suatu matriks C = cij berukuran (m × p) di mana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ….. + ain bnj untuk setiap i = 1,2,...,m dan j = 1,2,….,p. Contoh :
2 1. A = 1 2 3 dan B = 0 maka 1 A × B = 1.2 2.0 3.1 = 5
1 0 2 2 2 2. A 2 2 1 dan B 1 3 maka 1 3 1 0 1 1 2 (0 1) (2 0) A B 2 2 (2 1) (1 0) 1 2 (3 1) (1 0)
1 2 (0 3) (2 1) 2 2 2 (2 3) (11) 6 1 2 (3 3) (11) 1
4 3 10
d. Transpose dari suatu Matriks Misal A = aij berukuran (m × n) maka transpose dari A adalah matriks AT berukuran (n × m) maka AT = a ji .
Beberapa Sifat matriks transpose : (i) (A + B)T = AT + BT (ii) (AT )T = A (iii) ( AT) = (A)T (iv) (AB)T = BT AT Catatan : Bila Matriks A = aij adalah suatu matriks kompleks, maka Transpose Hermitian T
_ ( Conjugate Transpose) yaitu AH = aij = a ji , jika z = x – yi maka z = x + yi Contoh : 3 i 1 i 3 i i maka AH = A = 3 i 1 i 3
2
Beberapa Jenis Matriks Khusus (1) Matriks Bujur Sangkar Adalah suatu matriks dengan banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Contoh : 1 3 adalah matriks bujur sangkar ordo 2. A = 2 4 (2) Matriks Nol Adalah matriks yang semua elemennya nol. (3) Matriks Diagonal Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol. Contoh : 1 0 0 0 2 0 0 0 3 (4) Matriks Identity ( Satuan ) Adalah matriks diagonal yang elemen –elemen diagonal utamanya semua sama dengan 1. Contoh :
1 0 0 0 1 0 0 0 1 (5) Matriks Skalar Adalah matriks diagonal utamanya sama dengan k. Matriks Identitas adalah bentuk khusus dari matriks skalar dengan k = 1 Contoh : 2 0 0 0 2 0 0 0 2 (6) Matriks Segitiga Bawah ( Lower Triangular ) Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di atas diagonal utama sama dengan nol. Contoh : 2 0 0 1 3 0 4 0 2 (7) Matriks Segitiga Atas ( Upper Triangular ) Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal utama sama dengan nol.
3
Contoh :
2 1 0 0 3 5 0 0 2 (8) Matriks Simetris Adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri. Dengan perkataan lain A = AT dan matriks simetris merupakan matriks bujur sangkar. Contoh : 1 2 0 1 2 0 T A = 2 3 1 dan A = 2 3 1 0 1 1 0 1 1 (9) Matriks Antisimetris Adalah matriks yang transposenya adalah negatifnya. Dengan perkataan lain AT = A. Contoh : 1 1 2 2 0 0 1 1 3 4 T 1 0 3 4 1 0 A= , A = 1 3 0 1 1 3 0 1 2 2 4 1 4 1 0 0 (10) Matriks Hermitian Adalah matriks dengan transpose hermitiannya sama dengan dirinya sendiri. Dengan perkataan lain AH = - A Contoh 2 i 2 i 3 3 dan AH = A = 4 4 2 i 2 i (11) Matriks Invers ( Kebalikan ) : Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar ordo n dan berlaku AB = BA + I maka dikatakan B invers dari A dan ditulis B = A-1 sebaliknya A adalah invers dari B dan ditulis A = B-1 . (12) Matriks Komutatif. Adalah Jika A dan B matriks yang bujur sangkar dan berlaku AB = BA. Anti Komutatif jika AB = -BA. (13) Matriks Idempoten, Periodik, Nilpoten - Matriks Idempoten Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku AA = A2 = A. - Matriks Periodik
4
Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku AAA…A = Ap = A dikatakan periodik dengan periode p-1. - Matriks Nilpoten Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku Ar = 0, dikatakan Nilpoten dengan indeks r dan r bilangan bulat positip. 0 adalah matriks Nol. Transformasi Elementer (1a ) Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j ditulis Hij(A). Contoh : 1 2 3 4 5 6 A = 4 5 6 maka H12(A)= 1 2 3 7 8 9 7 8 9 (1b ) Penukaran tempat kolom ke-i dan kolom ke-j ditulis Kij(A). Contoh : 1 2 3 2 1 3 A = 4 5 6 maka K12(A)= 5 4 6 7 8 9 8 7 9 (2a) Memperkalikan baris ke-i dengan skalar 0, ditulis Hi() (A) Contoh :
1 2 3 A = 4 5 6 maka H2(2) (A)= 7 8 9
1 2 3 8 10 12 7 8 9
(2b) Memperkalikan kolom ke-j dengan skalar 0, ditulis Kj() (A) Contoh :
1 2 3 A = 4 5 6 maka K1(3) (A)= 7 8 9
3 2 3 12 5 6 21 8 9
(3a) Menambah baris ke-i dengan skalar 0 kali baris ke -j, ditulis Hij() (A) 1 2 3 1 2 3 A = 4 5 6 maka H21(1) (A)= 5 7 9 7 8 9 7 8 9 Baris 1 kali 1 tambahkan dengan baris 2 diletakkan di baris 2
5
(3b) Menambah kolom ke-i dengan skalar 0 kali kolom ke -j, ditulis Kij() (A) 1 2 3 1 2 5 (2) A = 4 5 6 maka K31 (A)= 5 7 14 7 8 9 7 8 23 Kolom 1 kali 2 tambahkan dengan kolom 3 diletakkan di kolom 3 Rank Matriks Rank adalah banyaknya maksimum baris atau kolom yang tidak dapat dinolkan Contoh: 2 4 1 A 3 0 2 5 4 3 Cara 1 2 4 1 H ( 1) 2 4 1 H ( 1) 2 4 1 31 32 3 0 2 3 0 2 3 0 2 5 4 3 3 0 2 0 0 0 Jadi, r(A) = 2. Cara 2 2 4 1 H 2( 3) 2 4 1 H ( 1) 2 4 1 21 32 3 0 2 0 12 1 2( 5) 0 12 1 5 4 3 H31 0 12 1 0 0 0 Jadi, r(A) = 2. Determinan Matriks - Matriks 2×2 a b A maka det(A) = |A|= ad - bc. c d Contoh: 1 2 A maka |A|= (-1)(3) - (4)(-2) = -3 + 8 = 5 4 3 - Matriks 3×3 a. Metode Sarrus a b c A d e f g h i
6
a A d g
c a f d i g
b e h
- - -
b e h
+ + +
maka |A|= aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi Contoh: 1 3 1 1 3 A 1 2 2 1 2 2 4 32 4 maka |A|= (1)(2)(3) + (3)(2)(2) + (-1)(-1)(4) - (-1)(2)(2) - (1)(2)(4) - (3)(-1)(3) = 6 + 12 +4 + 4 - 8 + 9 = 27 b. Ekspansi Baris atau Kolom - Minor Mij yaitu matriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke i dan kolom ke j. Contoh: 1 3 1 3 1 1 3 kolom A 1 2 2 A 1 2 2 baris 2 2 4 3 2 4 3
-
1 3 M23 (A) = 2 4 Kofaktor Cij = (-1)i+j| Mij | 1 3 C23 (A) = (-1)2+3 (1)5 (1)(4) (3)(2) (4 6) 2 2 4
Mencari determinan dari A dengan ekspansi baris 1 1 3 1 A 1 2 2 2 4 3
1
2 2 1 2 1 2 3 1 4 3 2 3 2 4
(6 8) 3(3 4) (4 4) 2 21 8 27
Mencari determinan dari A dengan ekspansi kolom 2
-
7
1 3 1 A 1 2+ 2 2 4 3
-
3
1 2 1 1 1 1 2 4 2 3 2 3 1 2
3(3 4) 2(3 2) 4(2 1) 21 10 4 27
8
