ANALISIS PERIODIK PADA FAKTORISASI GRUP ABELIAN DENGAN ORDER 33, 34 DAN 35
RIZKY SUSTI NINGRUM
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
ABSTRAK RIZKY SUSTI NINGRUM. Analisis Periodik pada Faktorisasi Grup Abelian dengan Order 3 , 3 dan 3 . Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan TEDUH WULANDARI MAS’OED. Misalkan merupakan grup abelian berhingga dan 1 merupakan bilangan bulat. Grup … setidaknya satu dari himpunan disebut -good jika dari tiap-tiap faktorisasi periodik. Ini berarti terdapat sehingga . Jika tidak ada yang bagian periodik, maka disebut n-bad. Grup merupakan totally good jika n-good untuk semua nilai n 2 dan yang mungkin. Karya ilmiah ini akan menganalisis 3-grup dengan order 3 dengan 2 dan 3 selanjutnya 3 dengan 4. Pada 3, selain itu 3-grup dengan 3 dengan akhirnya, hasil menunjukkan bahwa 3-grup dengan order 3 adalah totally good, 3-grup dengan order 3 adalah 3-good tapi 2-bad dan 3-grup dengan order 3 adalah 4-good. Kata kunci : faktorisasi, abelian, periodik.
ABSTRACT RIZKY SUSTI NINGRUM. Periodic Analysis on the Factorization of Abelian Group of Order 3 , 3 and 3 . Supervised by NUR ALIATININGTYAS and TEDUH WULANDARI MAS’OED. Let be a finite abelian group and 1 be an integer. A group is -good if from each … , it follows that at least one of the subsets is periodic, in the sense factorization = . Otherwise, is said to be n-bad. On the other that there exists , such that hand, is totally good if it is n-good for all possible values of n. In this paper we analyze a 32 and 3, another 3-group of order 3 with 2 and 3, and group of order 3 with 4. The results show that the 3-group of order 3 is totally also a 3-group of order 3 with good, the 3-group of order 3 is 3-good but 2-bad, and the 3-group of order 3 is 4-good. Keywords : factorization, abelian, periodic.
ANALISIS PERIODIK PADA FAKTORISASI GRUP ABELIAN DENGAN ORDER 33, 34 DAN 35
RIZKY SUSTI NINGRUM
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM BOGOR 2011
Judul Nama NRP
: Analisis Periodik pada Faktorisasi Grup Abelian dengan order 3 , 3 dan 3 : Rizky Susti Ningrum : G54063460
Menyetujui, Pembimbing I
Pembimbing II
Dra. Nur Aliatiningtyas, M.S. NIP. 19610104 198803 2 002
Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si NIP. 19740915 199903 2 001
Mengetahui: Ketua Departemen
Dr. Berlian Setiawaty, M.S. NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
PRAKATA Puji syukur penulis sampaikan kepada Allah SWT, berkat nikmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan lancar. Skripsi yang berjudul “Analisis Periodik pada Faktorisasi Grup Abelian dengan Order 33, 34dan 35” ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor. Dalam penulisan skripsi ini, penulis tidak dapat bekerja sendiri tanpa bantuan dari pihakpihak tertentu yang terkait tulisan ini. Untuk itu, penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada : 1. Dra. Nur Aliatiningtyas, M.S. dan Teduh Wulandari, M.Si., selaku dosen pembimbing I dan II serta dosen penguji atas ilmu serta kesabaran dalam membimbing dan mengarahkan penulis. Serta Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku dosen penguji bagi penulis. 2. Orang tua tercinta (Bapak Suyatno, Sp dan Ibu Suratmiyati) dan Bapak Drs. H. Sudarto dan Dra. Hj. Asminiwaty atas kasih sayang, cinta, dukungan baik moril maupun materi, perhatian dan do’a yang selalu diberikan. 3. Asto Hadiyoso, S. Tp, suami yang senantiasa memotivasi tanpa jenuh. 4. Semua dosen dan staff Departemen Matematika atas bantuan dan ilmu-ilmu yang telah disampaikan dengan ikhlas. 5. Para pembahas dan seluruh mahasiswa yang bersedia menyaksikan seminar penulis. 6. Tiwi, Nikky, Tami, Izmi, Muti, Ka Asti, Danti, Bang Ravi serta seluruh keluarga lainnya atas do’a, semangat, motivasi dan cinta. 7. Nailah, Ratih, Yulya, Elis, Ophie, Pandu dan Rio Al-Azhar, untuk persahabatan yang pernah terbina dan bantuannya baik moril maupun materi. 8. Teman-teman Matematika 43 (Desi, Cici, Ecka,Subro, Syahrul, Slamet, Lina, Narsih, Ace, NS, Elly, Ratna, Nia, Nidya, Cupid, Sendy, Nanu, Erny, Rias, Suci, semuanya) atas dukungannya selama ini. 9. Kakak kelas Matematika 41 dan 42 (Ka Amin, Ka Rofa, Mba Siti, Mba Titi, Mba Tia, Ka Illi, Ka Vera, Ka Dian, Ka Oby, Ka Iput, Ka Sapto, Ka Warno, Ka Ridwan, Ka Eko, Ka Acidll), serta mbak-mbak S2 atas informasi, ilmu-ilmu yang telah disampaikan serta kesediannya dalam meminjamkan buku-buku. 10. Adik kelas Matematika 44. 11. Sahabat-sahabat OMDA Sampant atas semangat, motivasi dan do’anya. 12. Para pejuang dan adik-adik Birena Alhurriyyah IPB. 13. Teman-teman dan Alumni UKM Forces IPB. 14. Sahabat-sahabat Forum Lingkar Pena Bogor. 15. Semua pihak yang belum tersebutkan namanya yang telah membantu terselesaikannya skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat member kontribusi positif dalam dunia pendidikan khususnya matematika dan semoga dapat menjadi ilmu yang bermanfaat bagi pembaca semuanya. Bogor, 2011 Rizky Susti Ningrum
RIWAYAT HIDUP RIZKY SUSTI NINGRUM, lahir di Kisaran, Asahan, Sumatera utara 11 Mei 1988, anak pertama dari enam bersaudara puteri pasangan Bapak Suyatno, Sp dan Ibu Suratmiyati.Penulis menyelesaikan pendidikan Taman Kanak-kanak Dharmawanita Kisaran pada tahun 1994, Sekolah Dasar di SDN. 017973 Kisaran pada tahun 2000, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Negeri 1 Kisaran pada tahun 2003, Sekolah Menengah Atas Negeri 1 Kisaran pada tahun 2006 dan diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) pada tahun yang sama, kemudian masuk ke Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor padatahun 2007. Kemudian tepat pada tanggal 17 September 2010, penulis melangsungkan pernikahan dengan Asto Hadiyoso, S.TP di Kisaran, Sumatera Utara. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah mengajar bimbingan belajar MahasiswaAsing Malaysia untuk mata kuliah Pengantar Matematika di tahun 2007 dan Kalkulus di Tahun 2008. Penulis juga menjadi pengajar di bimbingan belajar baik berkelompok maupun privat bagi mahasiswa TPB IPB untuk mata kuliah Pengantar Matematika dan Kalkulus di tahun 2007 dan 2008, pengajar privat di Bimbingan Kharisma Prestasi Tamansari Persada Bogor di tahun 2010. Selain itu, penulis aktif sebagai pengajar sekaligus pembina di Bimbingan Remaja dan Anak-anak (Birena) Alhurriyyah IPB (2006-2010) dan Anggota aktif serta pengurus Unit Kegiatan Mahasiswa Forum for Scientific Student (UKM Forces) IPB (2006-2007) serta menjadi sekretaris Organisasi Mahasiswa Daerah Serumpun Mahasiswa Peduli Asahan dan Tanjung Balai (OMDA Sampant) pada tahun 2008-2009. Penulis juga pernah menjadi pengurus Mushola Al-Izzah Asrama Puteri IPB A3 (2006) dan bendahara Lingkar Muslim Matematika (Limit) IPB pada tahun 2007, bendahara umum Birena (2010), Asisten mata kuliah Pendidikan Agama Islam (2010) dan pada tahun 2010-2011aktif di Forum Lingkar Pena (FLP) cabang Bogor serta pengajar di Bimbingan Belajar Kharisma prestasi Bogor.
DAFTAR ISI DAFTAR ISI ....................................................................................................viii DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................... ix DAFTAR TABEL .............................................................................................. ix I PENDAHULUAN Latar Belakang ................................................................................................................ 1 Tujuan .............................................................................................................................. 1 Sitematika Penulisan ........................................................................................................ 1
II LANDASAN TEORI Himpunan ........................................................................................................................ 1 Operasi Biner ................................................................................................................... 2 Prima dan Komposit ......................................................................................................... 2 Grup…………….…………………………………………...……………..................... .. 2 Produk Langsung .............................................................................................................. 2 Faktorisasi ........................................................................................................................ 2 Eksponen .......................................................................................................................... 3 Order Grup ....................................................................................................................... 3 GrupAbelian ..................................................................................................................... 3 Subgrup ............................................................................................................................ 3 Order Unsur ...................................................................................................................... 3 Subgrup Siklik .................................................................................................................. 4 p-grup .............................................................................................................................. 4 Grup Bertipe ..................................................................................................................... 4 Subgrup Normal ............................................................................................................... 4 Subgrup Sejati .................................................................................................................. 4 Grup Faktor ...................................................................................................................... 4 Teorema Lagrange ............................................................................................................ 5 Subgrub Simulate ............................................................................................................ 5 Periodik ............................................................................................................................ 5 n-good............................................................................................................................... 5 n-bad................................................................................................................................. 5 Totally good...................................................................................................................... 5
III PEMBAHASAN Lema 3.1.1. Grup yang memiliki faktor periodik untuk 2 ........................................ 8 Lema 3.1.2. Grup yang memiliki faktor periodik ............................................................. 8 Teorema 3.1.1. 3-grup berorder 3 merupakan totally good ............................................ 9 Lema 3.2.1. Hubungan simulate dengan periodik ............................................................ 9 Teorema 3.2.1.Hubungan siklik dengan periodik ............................................................. 9 Teorema 3.2.2. 3-grup berorder 3 merupakan 3-good tapi 2-bad ................................. 10 Teorema 3.3.1. 3-grup berorder 3 merupakan 4-good .................................................. 10
IV KESIMPULAN DAN SARAN.................................................................... 10 DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 11 LAMPIRAN ...................................................................................................... 12
DAFTAR TABEL Tabel 1. Produk Langsung dari Himpunan Bagian yang Mungkin Terbentuk di
untuk
2 ........................................................................................................................................... 5 Tabel2. Produk Langsung dari Himpunan Bagian yang Mungkin Terbentuk di
untuk
3 ........................................................................................................................................... 6
DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Bukti Sifat-Sifat Grup ........................................................................................... 12 Lampiran 2. Bukti Hukum Eksponen ........................................................................................ 12 Lampiran 3. Bukti Teorema 2.1 (Order Grup) .......................................................................... 13 Lampiran 4. Bukti Sifat-Sifat subgrup ...................................................................................... 13 Lampiran 5. Bukti Teorema 2.3 (Order Unsur) ......................................................................... 14 Lampiran 6. Bukti Teorema 2.4 ................................................................................................ 14 Lampiran 7. Bukti Teorema 2.5 ................................................................................................ 14 Lampiran 8. Bukti Teorema 2.7 .............................................................................................. 15 Lampiran 9. Bukti Teorema 2.9 .............................................................................................. 15 Lampiran 10. Bukti Teorema Lagrange .................................................................................... 15
I PENDAHULUAN
Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas) di sehingga . , maka disebut grup periodik dan disebut periode dari . Serta fakta bahwa grup abelian berhingga memiliki faktorisasi di bawah operasi perkalian sehingga apabila … merupakan faktorisasinya maka setiap unsur dapat difaktorkan dalam ... dengan . bentuk Muncul tiga istilah yakni, n-good yaitu apabila dari tiap-tiap faktorisasi setidaknya ada satu faktornya yang periodik, jika tidak ada yang periodik maka disebut n-bad, dan apabila selalu n-good untuk setiap nilai yang mungkin disebut totally good. Kemudian hal-hal tersebut di atas menimbulkan pertanyaan berikut, misalkan … sembarang faktorisasi dari grup G, untuk setiap nilai yang mungkin, apakah grup selalu n-good? Sehingga merupakan totally good? atau justru n-bad? Masalah yang dibahas di dalam karya ilmiah ini hanya meliputi pembahasan pada 3grup berorder 3 , 3 dan 3 . Adapun untuk 3grup berorder 3 akan dibahas untuk semua nilai yang mungkin, yaitu 2 dan 3. Sedangkan 3-grup berorder 3 dan 3 tidak dibahas untuk semua nilai yang mungkin, yakni hanya 2 dan 3 untuk yang ber4 untuk yang berorder 3 . order 3 , lalu Tujuan Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk menganalisis faktorisasi grup abelian pada
beberapa 3-grup dengan order 3 , 3 dan 3 . Pada karya ilmiah ini akan ditunjukkan bahwa 3-grup dengan order 3 merupakan totally good, 3-grup dengan order 3 merupakan 3good tapi 2-bad dan 3-grup dengan order 3 merupakan 4-good. Sistematika Penulisan Metode penulisan karya ilmiah ini adalah studi pustaka yang materinya diambil dari jurnal yang berjudul “The Factorization of Abelian Group” oleh Khalid Amin tahun 1999. Karya ilmiah ini terdiri dari tujuh bagian. Bagian pertama berisi pendahuluan yang terdiri atas latar belakang, batasan masalah, tujuan, metode dan sistematika penulisan. Bagian kedua adalah landasan teori yang menjadi dasar penulisan karya ilmiah ini yang mencakup definisi-definisi, notasi, contoh, sifat-sifat serta beberapa teorema dari berbagai literatur yang dapat digunakan sebagai landasan untuk mengembangkan teorema dan lema lain di pembahasan nantinya. Bagian ketiga berisi pembahasan dan hasilnya berupa pembuktian-pembuktian teorema dan lema berkenaan dengan faktorisasi grup abelian berhingga yaitu 3grup dengan order 3 , 3 dan 3 , serta perlakuannya dalam beberapa 3-grup dengan tipe grup yang berbeda di beberapa kasus. Bagian keempat berisi kesimpulan dan saran. Bagian kelima adalah daftar pustaka dan bagian keenam merupakan lampiran-lampiran yang berisi pembuktian sifat dan teorema pada landasan teori.
II LANDASAN TEORI Himpunan dan Himpunan Bagian Definisi Himpunan Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek. (Kurtz, 1992) Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital seperti , , , … , . Sedangkan obyek dilambangkan dengan , , , … , . Definisi Himpunan Bagian Himpunan dikatakan himpunan bagian
dari himpunan jika setiap anggota merupakan anggota . (Kurtz, 1992) Notasi pada Himpunan anggota himpunan . bukan anggota himpunan . himpunan bagian dari . Setiap anggota himpunan . Ada anggota himpunan . anggota himpunan kecuali .
Contoh Himpunan 0 1,2,3,4,5,6 , Himpunan kecuali nol. dibaca himpunan Definisi Operasi Biner Operasi biner pada himpunan S adalah suatu fungsi ke S yang membawa , ke , bersifat tunggal. (Aliatiningtyas, 2006) Definisi Prima dan Komposit Suatu bilangan bulat 2 dikatakan prima jika hanya dapat dibagi oleh 1 dan p. Jika tidak, maka p dikatakan komposit. (Menezes et all, 1997) Grup, Subgrup, Eksponen, Periodik dan Replaceable
Order,
Definisi Grup Grup , adalah himpunan tak kosong tertutup di bawah operasi biner yang memenuhi aksioma-aksioma berikut: 1. Operasi biner bersifat assosiatif , , ,( ) c= 2. Terdapat unsur identitas kiri dan kanan , , 3. Terdapat unsur invers kiri dan kanan , ⁻¹ , ⁻¹ ⁻¹ (Fraleigh, 1997) Pada pembahasan berikutnya operasi diganti sebagai operasi perkalian. Sifat-sifat Grup 1. Unsur identitas di grup tunggal. 2. Penyelesaian tunggal untuk sembarang . Bukti Sifat-sifat Grup (lihat lampiran1). Contoh Grup 0}, prima di Himpunan bilangan bawah operasi perkalian. Himpunan bilangan , , , di bawah operasi penjumlahan. Definisi Produk Langsung Misalkan grup dan , himpunan bagian dari . Grup disebut produk langsung dari , jika | , . Berdasarkan definisi tersebut diperoleh misalkan grup dan , himpunan bagian ,…, . Jika produk dari dengan . langsung dari , maka (Aliatiningtyas, 2006 dan Amin, 1999)
Definisi Faktorisasi himpunan bagian Misalkan grup, … . Perkalian … dan dikatakan faktorisasi dari , jika setiap unsur di dapat difaktorkan secara khas (unik) ... dengan . dalam bentuk memuat Jika setiap himpunan bagian unsur identitas maka faktorisasinya disebut faktorisasi normal. (Amin, 1999) Berdasarkan dua definisi di atas diperoleh hubungan antara produk langsung dan faktorisasi yaitu misalkan grup yang merupakan produk langsung dari dan , maka berdasarkan definisi produk langsung , , sehingga . Jika untuk , ; , tersebut unik maka merupakan faktorisasi dari . Secara umum dapat ditulis, misalkan … maka , , sehingga … . Jika …, … unik maka .…. merupakan faktorisasi dari . Akibatnya faktorisasi juga merupakan produk langsung namun sebaliknya produk langsung belum tentu merupakan faktorisasi. Contoh Produk langsung dan Faktorisasi 0 1,2,3,4,5,6 , Misalkan terdapat 1,2,3 dan 4,5,6 . Masing-masing merupakan himpunan bagian dari dan berlaku 1,2,3 . 1,4,5,6 1 1 ,1 4 ,1 5 ,1 6 , 2 1 ,2 4 ,2 5 ,2 6 , 3 1 ,3 4 ,3 5 ,3 6 1,4,5,6,2,1,3,5,3,5,1,4 1,2,3,4,5,6 . Atau 1 2 3 1 1,4,5,6 2 1,4,5,6 3 1,4,5,6 1,4,5,6 2,1,3,5 3,5,1,4 1,2,3,4,5,6 . Juga dapat diperoleh bahwa untuk , , , sehingga , berikut penjabarannya: 1 1.1; 1 ,1 2.4; 2 ,4 3.5; 3 ,5 2 2.1; 2 ,1 3 3.1; 3 ,1 2.5; 2 ,5 4 1.4; 1 ,4 3.6; 3 ,6
5
1.5; 1 ,5 2.6; 2 ,6 3.4; 3 ,4 6 1.6; 1 ,6 Akan tetapi karena yaitu 1,3,4,5 yang faktornya tidak unik maka produk langsung tersebut bukan merupakan faktorisasi. Adapun untuk contoh produk langsung yang juga merupakan faktorisasi adalah sebagai berikut. 0 1,2,3,4,5,6 , Misalkan 1,2,3 dan 2,5 , masing-masing merupakan himpunan bagian dari dan berlaku 1,2,3 . 2,5 1 2 ,1 5 ,2 2 ,2 5 ,3 2 ,3 5 2,5,4,3,6,1 . Atau 1 2 3 1 2,5 2 2,5 3 2,5 2,5 4,3 6,1 1,2,3,4,5,6 . Juga dapat diperoleh untuk , , , sehingga . berikut penjabarannya: 1 3.5; 3 ,5 2 1.2; 1 ,2 3 2.5; 2 ,5 4 2.2; 2 ,2 5 1.5; 1 ,5 6 3.2; 3 ,2 Setiap bisa dibentuk dalam yang unik dengan , maka merupakan faktorisasi dari grup . Eksponen Jika grup dengan unsur identitas dan serta bilangan bulat positif, maka didefinisikan: … (sebanyak kali) 1. … (sebanyak kali) 2. 3. (Fraleigh, 1997) Hukum Eksponen Jika grup, bulat, maka berlaku: 1. 2.
,
dan
bilangan
(Aliatiningtyas, 2006) Bukti Hukum Eksponen (lihat lampiran 2).
Definisi Order Grup Jika grup berhingga (grup yang jumlah anggotanya berhingga), banyaknya unsur dari disebut order grup . Dinotasikan dengan simbol | |. (Pinter, 1990) Teorema 2.1 (Order Grup) Misalkan grup dan , himpunan bagian dari dengan setiap unsur di tidak ada yang sama dengan setiap unsur di dan merupakan faktorisasi dari . | | ,| | jika hanya jika | | . (Amin, 1999) Bukti Teorema 2.1 (lihat lampiran 3). Definisi Grup Abelian Suatu grup dengan operasi biner disebut grup abelian jika dan hanya jika operasi biner bersifat komutatif yaitu, , , . (Fraleigh, 1997) Definisi Subgrup Misal grup dan , disebut subgrup dari jika merupakan grup di bawah operasi biner yang sama dengan operasi biner pada . (Fraleigh, 1997) Sifat-sifat Subgrup 1. Subgrup adalah himpunan tak kosong. 2. subgrup jika hanya jika , . maka 3. . (Durbin, 1992 dan Connel, 1999) Bukti sifat subgrup (lihat lampiran 4). Contoh Subgrup Misal grup abelian dan bilangan bulat , untuk positif, maka | suatu merupakan subgrup dari . (Beachy, 2000) Definisi Order Unsur Misalkan grup dan , order unsur adalah bilangan bulat positif minimal sehingga ⁿ . Dinotasikan dengan simbol | |. Jika tidak ada bilangan demikian, maka dikatakan order unsur tak hingga atau nol. Aliatiningtyas, 2006). Jika bilangan prima maka disebut order kuasa prima dari . (Fraleigh, 1997).
Definisi Subgrup Siklik Misal grup, subgrup . disebut subgrup siklik jika , , ², … , , disebut unsur pembangun dari dan | | 1. bilangan bulat dengan (Amin, 1999) Teorema 2.2 (Grup Abelian Berhingga) Setiap grup abelian dengan unsur pembangun berhingga dapat dijadikan sebagai produk langsung dari subgrup siklik yang berhingga. (Schreier dan Sperner, 1955) Teorema 2.3 (Order Unsur) Misal grup dan , 1. Jika | | maka ⁰, ¹, ², . . . , ⁿ⁻¹ semuanya berbeda. jika dan 2. Jika | | , maka hanya jika kelipatan . Bukti sifat order unsur (lihat lampiran 5). Definisi p-grup Grup disebut p-grup jika setiap unsur non-identitas di mempunyai order kuasa prima . (Fraleigh, 1997) Definisi Grup Bertipe Suatu grup dikatakan memiliki tipe ,..., jika merupakan produk ₁ ₁, langsung dari grup siklik dengan order ,..., dengan adalah prima. ₁ ₁, (Amin, 1999)
setiap unsur non-identitas di mempunyai order kuasa prima 2.
Teorema 2.4 Setiap grup dengan order prima adalah siklik dan , , . (Aliatiningtyas, 2006) Bukti (lihat lampiran 6). Teorema 2.5 Misalkan grup berhingga, jika | | maka | | . (Aliatiningtyas,2006) Bukti (lihat lampiran 7). Definisi Subgrup Normal Misalkan grup dan subgrup dari , jika dan berlaku ⁻¹ maka disebut subgrup normal dari G. Atau . , (Fraleigh, 1997) Teorema 2.6 Setiap subgrup dari grup abelian adalah normal. (Aliatiningtyas, 2006) Bukti: Misalkan grup dan subgrup dari Karena abelian maka untuk setiap dan berlaku,
Sehingga terbukti Contoh Subgrup Siklik, Grup Bertipe, grup dan Order Kuasa Prima 0 Misalkan grup 1,2,3,4,5,6 . Terdapat dan subgrup siklik dari , 1,2,4 2 2 ,2 ,2 1,6 6 6 ,6 Jika merupakan produk langsung dari dan maka berlaku, 1,2,4 2 4 1,6 2 1,6 4 1,6 1,6 2,5 4,3 1,2,3,4,5,6 Sehingga . Oleh karena | | 3 dan | | 2, maka grup bertipe (3,2) dengan | | 3.2 6. Grup di sini merupakan contoh 3-grup karena setiap unsur non-identitas di yaitu 2 dan 4 mempunyai order kuasa prima 3. Sedangkan grup merupakan 2-grup karena
yaitu 6
.
normal.
Definisi Subgrup Sejati Misalkan G grup dan subgrup , disebut subgrup sejati apabila tidak sama dengan unsur identitas di dan tidak sama dengan . (Aliatiningtyas, 2006) Grup Faktor Misalkan grup dan subgrup normal dari dan himpunan / adalah sebagai berikut : / | dan didefinisikan operasi pada / , . . (Fraleigh, 1997) Unsur disebut koset-koset dari . Teorema 2.7 Himpunan / adalah grup dan disebut grup faktor. Bukti (lihat lampiran 8).
Teorema 2.8 Jika grup Abelian maka grup factor / juga Abelian. Bukti: . . . Maka terbukti / abelian.
Teorema 2.9 Misalkan subgrup dari korespondensi satu-satu dari . Bukti (lihat lampiran 9).
. Maka ada ke koset kiri
Teorema Lagrange Misalkan grup hingga, subgrup dari . Maka order dari membagi order dari . Bukti (lihat lampiran 10). Definisi Subgrup Simulate Misalkan grup, subgrup . Subgrup . disebut simulate jika , ,…, | | Jika maka subgrup siklik yang dibangun oleh . Tetapi tidak demikian halnya jika sebaliknya ( . Sehingga diperoleh bahwa subgrup siklik juga merupakan simulate namun sebaliknya simulate belum tentu siklik. (Amin, 1999) Contoh Subgrup Simulate 0 Misalkan grup 1,2,3,4,5,6 . Subgrup = 4 ,4 ,4 2 1,4,2 merupakan subgrup simulate dengan 2. Definisi Periodik Misalkan grup, himpunan bagian disebut periodik jika terdapat unsur (nonidentitas) di sehingga . dan disebut periode dari . (Amin,1999) Contoh Periodik 0 1,2,3,4,5,6 dan Grup himpunan bagian 2,3,4,5 disebut periodik dengan periode 6, karena 6 (unsur non identitas di ) yang menyebabkan 6 6 2,3,4,5 6 2 ,6 3 ,6 4 ,6 5 5,4,3,2
Grup n-good, Totally good dan n-bad Definisi n-good Grup merupakan grup abelian berhingga dan 1 merupakan bilangan bulat. Grup disebut n-good, jika dari tiap-tiap faktorisasi . .…. setidaknya satu dari himpunan bagian periodik. (Amin, 1999) Definisi n-bad Grup merupakan grup abelian berhingga dan 1 merupakan bilangan bulat. Grup disebut n-bad, jika terdapat faktorisasi dengan semua himpunan ₁ ₂, . . . bagian tidak ada yang periodik. (Amin, 1999) Definisi Totally Good Grup merupakan grup abelian berhingga dan 1 merupakan bilangan bulat. Grup disebut totally good, jika n-good untuk semua nilai yang mungkin. (Amin, 1999) Contoh Grup n-good 0 1,2,3,4 . Berikut Grup Tabel 1 yang menyajikan daftar produk langsung dari himpunan bagian yang mungkin terbentuk serta hasilnya (faktorisasi atau bukan). Tabel 1 Produk Langsung dari Himpunan Bagian yang Mungkin Terbentuk , untuk 2. di = B/F B 1,3 1,3,2,1 F 1,2 1,4 1,2,4,3 F 2,3 2,3,4,1 B 2,4 2,4,4,1 3,4 B 3,1,1,2 F 1,4 1,3,3,4 F 1,3 2,3 2,3,1,4 B 2,4 2,3,1,2 3,4 B 3,4,4,2 B 1,4 2,3 2,3,3,2 F 2,4 2,3,4,1 3,4 F 3,4,2,1 F 2,3 2,4 4,3,1,2 3,4 F 1,3,4,2 3,4 B 2,4 1,3,2,1 Keterangan tabel. B: Bukan Faktorisasi (karena dan tidak unik). F: Faktorisasi (karena dapat dibentuk dalam dengan , yang unik.
Jadi faktorisasi yang mungkin terjadi ada delapan faktorisasi. Sebagai berikut, 1. 1,2 , 1,4 Himpunan bagian periodik karena ada 4 yang mengakibatkan 4 4 1,4 4,1 . 2. 1,2 , 2,3 Himpunan bagian periodik karena ada 4 yang mengakibatkan 4 4 2,3 3,2 . 3. 1,3 , 1,4 Himpunan bagian periodik karena ada 4 yang mengakibatkan 4 4 1,4 4,1 . 4. 1,3 , 2,3 periodik karena ada Himpunan bagian 4 yang mengakibatkan 4 4 2,3 3,2 . 5. 1,4 , 2,4 Himpunan bagian periodik karena ada 4 yang mengakibatkan 4 4 1,4 4,1 . 6. 1,4 , 3,4 Himpunan bagian periodik karena ada 4 yang mengakibatkan 4 4 1,4 4,1 . 7. 2,3 , 2,4 Himpunan bagian periodik karena ada 4 yang mengakibatkan . 4 4 2,3 3,2 8. 2,3 , 3,4 Himpunan bagian periodik karena ada 4 yang mengakibatkan 4 4 2,3 3,2 . Oleh karena setidaknya terdapat satu dari tiap-tiap faktorisasi untuk 2 yang periodik maka grup merupakan 2-good. Contoh Grup n-bad 1,2,3,4,5,6 , terdaMisalkan pat 1,3 dan 3,5,6 keduanya merupakan himpunan bagian dan berlaku 1,3 3,5,6 1 3 ,1 5 ,1 6 ,3 3 ,3 5 ,3 6 3,5,6,2,1,4 Dikarenakan dapat dibentuk dalam yang unik dengan , maka merupakan faktorisasi dari . Himpunan bagian tidak periodik karena tidak ada yang mengakibatkan . Demikian pula halnya dengan himpunan bagian tidak ada yang mengakibatkan . Oleh karena itu grup merupakan grup 2-bad.
Teorema 2.10 Misalkan grup abelian berhingga yang memiliki subgrup sejati yang bertipe 3,3 . Jika order dari grup faktor / komposit maka 2- bad. (Amin, 1999) Contoh Grup Totally good 0 1,2,3,4 . Berikut Grup daftar produk langsung dari himpunan bagian , untuk yang mungkin terbentuk di 3 serta hasilnya (faktorisasi atau bukan faktorisasi). Tabel 2 Produk Langsung dari Himpunan Bagian yang Mungkin Terbentuk , untuk 3. di Hasil B/F 1,2 1,3 1 1.1.1,1.3.1, 1.3,2,1 [B] 2.1.1,2.3.1 2 1.1.2,1.3.2, 2,1,4,2 [B] 2.1.2,2.3.2 3 1.1.3,1.3.3, 3,4,1,3 [B] 2.1.3,2.3.3 4 1.1.4,1.2.4, 4,3,3,4 [B] 2.1.4,2.3.4 1,2 1,4 1 1.1.1,1.4.1, 1,4,2,3 [F] 2.1.1,2.4.1 2 1.1.2,1.4.2, 2,3,4,1 [F] 2.1.2,2.4.2 3 1.1.3,1.4.3, 3,2,1,4 [F] 2.1.3,2.4.3 4 1.1.4,1.4.4, 4,1,3,2 [F] 2.1.4,2.4.4 1,2 2,3 1 1.2.1,1.3.1, 2,3,4,1 2.2.1,2.3.1} [F] 2 1.2.2,1.3.2, 4,1,3,2 [F] 2.2.2,2.3.2 3 1.2.3,1.3.3, 1,4,2,4 [F] 2.2.3,2.3.3 4 1.2.4,1.3.4, 3,2,1,4 [F] 2.2.4,2.3.4 1,2 2,4 1 1.2.1,1.4.1, 2,4,4,3 [B] 2.2.1,2.4.1 2 1.2.2,1.4.2, 4,3,3,1 [B] 2.2.2,2.4.2 3 1.2.3,1.4.3, 1,2,2,4 [B] 2.2.3,2.4.3 4 1.2.4,1.4.4, 3,1,1,2 [B] 2.2.4,2.4.4 1,2 3,4 1 1.3.1,1.4.1, 3,4,1,3 [B] 2.3.1,2.4.1 2 1.3.2,1.4.2, 1,3,2,1
3 4 1,3
1,4
1 2 3 4
1,2
2,3
1 2 3 4
1,3
2,4
1 2 3 4
1,3
3,4
1 2 3 4
1,4
2,3
1
2.3.2,2.4.2 1.3.3,1.4.3, 2.3.3,2.4.3 1.3.4,1.4.4, 2.3.4,2.4.4 1.1.1,1.4.1, 3.1.1,3.4.1 1.1.2,1.4.2, 3.1.2,3.4.2 1.1.3,1.4.3, 3.1.3,3.4.3 1.1.4,1.4.4, 3.1.4,3.4.4 1.2.1,1.3.1, 2.2.1,2.3.1 1.2.2,1.3.2, 2.2.2,2.3.2 1.2.3,1.3.3, 2.2.3,2.3.3 1.2.4,1.3.4, 2.2.4,2.3.4} 1.2.1,1.4.1, 3.2.1,3.4.1 1.2.2,1.4.2, 3.2.2,3.4.2 1.2.3,1.4.3, 3.2.3,3.4.3 1.2.4,1.4.4, 3.2.4,3.4.4 1.3.1,1.4.1, 3.3.1,3.4.1 1.3.2,1.4.2, 3.3.2,3.4.2 1.3.3,1.4.3, 3.3.3,3.4.3 1.3.4,1.4.4, 3.3.4,3.4.4} 1.2.1,1.3.1, 4.2.1,4.3.1
[B] 4,2,2,4 [B] 2,1,1,2 [B] 1,4,3,2 [F] 2,3,1,4 [F] 3,2,4,1 [F] 4,1,2,3 [F] 2,3,4,1 [F] 4,1,3,2 [F] 1,4,2,3 [F] 3,2,1,4 [F] 2,4,1,2 [B] 4,3,2,4 [B] 1,2,3,1 [B] 3,1,4,3 [B] 3,4,4,2 [B] 1,3,2,1 [B] 4,2,2,3 [B] 2,1,1,3 [B] 2,3,3,2 [B]
2 3 4 1,4
2,4
1 2 3 4
1,4
3,4
1 2 3 4
1.2.2,1.3.2, 4.2.2,4.3.2 1.2.3,1.3.3, 4.2.3,4.3.3 1.2.4,1.3.4, 4.2.4,4.3.4 1.2.1,1.4.1, 4.2.1,4.4.1 1.2.2,1.4.2, 4.2.2,4.4.2 1.2.3,1.4.3, 4.2.3,4.4.3} 1.2.4,1.4.4, 4.2.4,4.4.4 1.3.1,1.4.1, 4.3.1,4.4.1 1.3.2,1.4.2, 4.3.2,4.4.2 1.3.3,1.4.3, 4.3.3,4.4.3 1.3.4,1.4.4, 4.3.4,4.4.4
Keterangan tabel. B: Bukan Faktorisasi (karena F: Faktorisasi (karena dengan , ,
4,1,1,4 [B] 1,4,4,1 [B] 3,2,2,3 [B] 2,4,3,1 [F] 4,3,1,2 [F] 1,2,4,3 [F] 3,1,2,4 [F] 3,4,2,1 [F] 1,3,4,2 [F] 4,2,1,3 [F] 2,1,3,4 [F]
dan tidak unik). dapat dibentuk dalam yang unik.
Berdasaran tabel di atas dapat dilihat terdapat 24 faktorisasi. Perhatikan bahwa tiap-tiap faktorisasi setidaknya ada satu yang periodik, yaitu 1,4 dan 2.3 . Keduanya periodik dengan periode 4. Oleh sebab itu grup merupakan 3-good. Pada contoh n-good sebelumnya, telah ini ditunjukkan pula bahwa grup merupakan 2-good. Dengan demikian telah ditunjukkan bahwa 2-good dan 3-good sehingga merupakan totally good.
III PEMBAHASAN Semua grup yang terdapat pada pembahasan merupakan grup abelian berhingga. Pada bagian pembahasan ini yang akan dibahas berupa faktorisasi 3-grup dengan order 3 , 3 dan3 . Untuk membuktikan 3-grup dengan 3 adalah totally good diperlukan beberapa lema-lema berikut.
Lema 3.1.1 Misalkan , subgrup dari . Jika faktorisasi dari dan | | 3, maka atau periodik. Bukti : Misalkan
, , (1)
Kalikan (1) dengan (2) Bandingkan (1) dan (2) sehingga diperoleh (3) Gunakan (3) dan fakta bahwa faktorisasi dari . , ,
[dari (3)] , , Akibatnya sehingga diperoleh, i). Oleh karena unsur non-identitas di maka menurut definisi merupakan periodik. Atau, ii). Ini diperoleh dari [ abelian] [Assosiatif] Jika dan unsur non-identitas di maka menurut definisi merupakan periodik. Berdasarkan dua kemungkinan tersebut di atas maka terbukti salah satu dari atau periodik
Atau lebih umum dapat ditulis sebagai berikut. Lema 3.1.2 Misalkan maka salah satu dari periodik.
… atau
dan | | 3, atau .... atau
Bukti : , , , dengan dan Misalkan . … … , , … … … [1] Kalikan dengan … … … [2] Bandingkan (1) dan (2) sehingga diperoleh … … … … [3] … Gunakan (3) dan fakta bahwa faktorisasi dari . … … , ,
… … … … … … [ abelian] … … … [dari (3)] … … … … , , … … … Akibatnya sehingga diperoleh, i). Oleh karena unsur non-identitas di merupakan maka menurut definisi periodik. Atau, [Assosiatif] … ii). dan unsur non-identitas di Jika merupakan maka menurut definisi periodik. Atau (dan seterusnya hingga) atau n). Ini diperoleh dari … … … … [ abelian] … … [ abelian] Dan seterusnya berlaku assosiatif sehingga … … dan unsur non-identitas Jika merupakan di maka menurut definisi periodik. Berdasarkan kemungkinan-kemungkinan tersebut di atas maka terbukti salah satu dari atau atau … periodik. Untuk 3-grup dengan order 3 akan dilihat dari dua kasus yang mungkin terjadi yaitu kasus 2 dan 3. Akan dibuktikan bahwa 3-grup dengan order 3³ adalah totallygood. Teorema 3.1.1 3-grup dengan order 3³ adalah totallygood. Bukti: Pada 3-grup berorder 3 ini terdapat dua nilai yang mungkin yaitu 2 dan 3. Akan ditunjukkan : 2-good. Untuk kasus 2, terdapat dua tipe 3-grup dengan order 3 yang mungkin yaitu 3-grup bertipe 3, 3 dan 3-grup bertipe 3 , 3 . Menurut definisi grup bertipe, 3-grup bertipe 3, 3 merupakan produk langsung dari dan , dengan | | 3 dan | | 3 . Maka selanjutnya berdasarkan lema 3.1.1 salah satu dari atau periodik.
Demikian halnya pada 3-grup bertipe 3 , 3 , menurut definisi grup bertipe, grup bertipe 3 , 3 merupakan produk langsung dari dan , dengan | | 3 dan | | 3. Oleh karena grup abelian maka . Selanjutnya karena | | 3 maka berdasarkan lema 3.1.1 terbukti bahwa salah satu dari atau periodik. Dari penjelasan di atas jelas bahwa grup merupakan 2-good. Terbukti. Akan ditunjukkan : 3-good. Pada 3-grup dengan order3 ,terdapat satu tipe yang mungkin yaitu 3,3,3 . Menurut definisi grup bertipe 3-grup bertipe 3,3,3 merupakan produk langsung dari , , dan dengan | | | | | | 3. Maka selanjutnya berdasarkan lema 3.1.2 terbukti bahwa salah satu dari atau periodik. Berdasarkan penjelasan di atas jelas bahwa grup merupakan 3-good. Terbukti. Berdasarkan dua pembuktian di atas maka telah ditunjukkan bahwa 3‐grup dengan order 3 merupakan 2-good dan 3-good sehingga merupakan totally good.
Selanjutnya untuk membuktikan 3-grup adalah 2-bad tapi 3-good dengan 3 diperlukan beberapa lema dan teorema berikut. Lema 3.2.1 Andaikan faktorisasi dari dan , }. Maka simulate, , ₁, … , merupakan periodik. Bukti: Adb: periodik. Oleh karena simulate maka . , , ,…, , ,
,
,…,
… ..(1) Kalikan (1) dengan Karena G abelian maka … …(2) Bandingkan (1) dengan (2) sehingga diperoleh … … [(Berdasarkan (1) dan (2)] , , , ,…, ) Sehingga , unsur merupakan unsur non-identitas di maka terbukti periodik.
Teorema 3.2.1 , adalah prima, jika Misalkan | | terdapat faktorisasi dari dan | | , dan subgrup siklik. Maka salah satu dari dan adalah periodik. Bukti: dan | | maka Oleh karena | | | | berdasarkan teorema 2.1 | | . Selanjutnya berdasarkan teorema 2.5 jika , keduanya siklik dan ordernya maka | | | | . Kemudian menurut definisi dan subrup grup siklik , , ,…, siklik pun dapat dituliskan sebagai . , , ,…, Akan ditunjukkan dan periodik. , , ,…, , , ,…, [| | maka ] , , ,…, , , ,…, Karena dan unsur non-identitas di sehingga terbukti periodik. Juga berlaku, , , ,…, , , ,…, [| | maka ] , , ,…, , , ,…, Karena dan unsur non-identitas di sehingga terbukti periodik. Untuk 3-grup dengan order 3 akan dilihat dari dua kasus yang mungkin terjadi yaitu kasus 2 dan 3. Akan dibuktikan bahwa 3-grup dengan order 3 adalah 2-bad tapi 3-good. Teorema 3.2.2 3-grup dengan order 3 adalah 2-bad tapi 3-good. Bukti: Perhatikan bahwa pada kasus 3-grup dengan order 3⁴, grup bertipe yang dibahas adalah 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3, 3 . Untuk kasus 2, misalkan , untuk kasus dengan order 3 ini hanya ada dan dua tipe yang mungkin yaitu 3,3 3 , 3 . Ini berarti hanya terdapat dua faktorisasi. Adapun untuk membuktikan 2bad hanya perlu ditunjukkan ada satu faktorisasi yang memiliki faktor yang semuanya tidak periodik. i). dengan | | 3 dan | | 3 Berdasarkan lema 3.1.1 terbukti salah satu himpunan bagian atau periodik. Pada fak-
torisasi ini tidak dapat ditunjukkan bahwa keduanya faktornya tidak periodik. ii). dengan | | | | 3 Diketahui bahwa abelian berorder 3 dan mempunyai subgrup , akan ditunjukkan bahwa bertipe 3,3 . Diketahui abelian maka menurut teorema ada , subgrup siklik dengan | | | | 3 dan , akibatnya bertipe 3,3 sehingga | | 3 . Selanjutnya akan ditunjukkan | / | komposit. Menurut teorema Lagrange, | / |
| | | |
3
maka benar bahwa
| / | komposit. Sehingga berdasarkan teorema 2.10, terbukti bahwa grup merupakan 2-bad. Sedangkan 3-grup dengan order 3⁴ untuk kasus 3, tipe yang mungkin (3 , 3, 3 , 3, 3 , 3 dan (3,3,3 . Ambil saja yang pertama yaitu (3 , 3, 3 berarti terdapat faktorisasi dari G dengan | | 3 , | | | | 3. Berdasarkan teorema 2.4 diketahui B dan C siklik maka menurut lema 3.2.1 terbukti bahwa salah satu dari atau adalah periodik. Analog dengan tipe (3, 3 , 3 dan grup abelian, ketiga tipe (3,3, 3 karena tipe tersebut dapat diselesaikan dengan cara yang sama. Sehingga terbukti 3-grup dengan order 3⁴ adalah 3-good.
Untuk 3-grup dengan order 3⁵ adalah 4good. Teorema 3.3.1 Jika grup
maka grup
merupakan 4-good.
Bukti: Akan dibuktikan bahwa merupakan 4good. Tipe yang mungkin adalah 3 , 3,3,3 , 3,3 , 3,3 , 3,3,3 , 3 , 3,3,3,3 . Namun karena grup abelian maka semua tipe tersebut sama, sehingga hanya perlu satu tipe saja yang diperiksa. Terdapat dua cara untuk membuktikan teorema ini, berikut pembuktiannya, i). Cara Pertama Misalkan merupakan faktorisasi , dengan | | 3 , | | | | | | 3, dimisalkan pula sehingga faktorisasinya menjadi (abelian) dan menurut teorema grup dengan order prima adalah siklik maka siklik dan juga simulate. Sehingga berdasarkan lema 3.2.1 terbukti bahwa periodik. Akibatnya terbukti 4-good.
ii). Cara Kedua. Misalkan merupakan faktorisasi , dengan | | 3 , | | | | | | 3, Oleh karena merupakan grup abelian maka . Oleh karena | | 3 maka menurut lema 3.1.2 salah satu dari atau atau periodik sehingga terbukti bahwa merupakan 4good.
memiliki tipe 3 , 3, 3, 3 ,
IV KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa 3-grup berorder 3 dengan tipe 3 , 3 , 3,3,3 adalah 2-good dan 3-good sehingga merupakan Totally good karena ngood untuk semua nilai n yang mungkin. Sedangkan 3-grup berorder 3 dengan tipe 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3,3 merupakan 3-good tapi 2-bad. Adapun 3-grup berorder 3 dengan tipe 3 , 3,3,3 merupakan 4-good.
Saran Pada karya ilmiah ini, terdapat nilai n yang tidak dibahas diantaranya 3-grup berorder 3 untuk kasus 4 serta 3-grup berorder 3 untuk kasus 2 dan 3 sehingga penulis menyarankan dapat dikaji lebih lanjut oleh pihak lain atau dapat dikembangkan lagi untuk p-grup dengan bilangan prima p lain yang ditinjau dari berbagai kasus nilai yang mungkin dengan tipenya masing-masing.
DAFTAR PUSTAKA Aliatiningtyas, N. 2006. Diktat Struktur Aljabar. Bogor: Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor. Amin, K. The Factorization of Abelian Groups. Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyha-ziensis 15 (1999), 9-18. Beachy, J. A. 2000. Abstrac Algebra: A Study Guide for Beginner. Illionis: Waveland Press, Inc.. Connell, E. H. 1999. Elements of Abstract and Linear Algebra. Florida: Departement of Mathematics University of Miami. Durbin, J. R. 1992. Modern Algebra 3-rd Edition. Newyork: John Wiley & Sons, Inc..
Fraleigh, J. B. 1997. A First Course in Abstract Algebra. United States of America: Addison Wesley Publishing Company. Kurtz, D. P. 1992. Fondation of Abstract Mathematics. Newyork: McGrowHil, Inc. Menezes, A. P. Vanoorschoot and Svanstone. 1997. Handbook of Applied Cryptography. Newyork: CRC Publishing Company. Pinter, C. C. 1990. A Book of Abstract Algebra 2-edition. Newyork: McGraw Hill Publishing Company. Schreier O. Sperner E., 1955. Modern Algebra and Matrix Theory. Newyork: Chelsea Publishing Company
LAMPIRAN
13
Lampiran 1. Bukti Sifat-sifat Grup 1.
“Unsur identitas tunggal.” Bukti : ₁, ₂ unsur identitas ₁ ₂ ₂ [ ₁unsur identitas] ₁ ₂ ₁ [ ₂ unsur identitas]
2.
“Penyelesaian tunggal, untuk sembarang Bukti: ⁻¹
⁻¹ [assosiatif] ⁻¹ ⁻¹ penyelesaian Memeriksa ketunggalan : misal ₁, ₂ penyelesaian dari persamaan di atas ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ kanselasi] Terbukti penyelesaian tunggal
Lampiran 2. Bukti Hukum Eksponen 3. Bukti: Ambil sebarang , bilangan bulat positif … . … . ︸ ︸ sebanyak kali sebanyak kali … ︸ sebanyak kali
4. Dibuktikan untuk , Bukti: Ambil sebarang , bilangan bulat positif … ︸ sebanyak kali … ︸ sebanyak kali
14
.”
Lampiran 3. Bukti Teorema 2.1 (Order Grup) “| |
,| |
jika hanya jika | |
Bukti : Diketahui , dari . , Misal ,
, setiap unsur di
.”
berbeda dengan setiap unsur di
dan
faktorisasi
,…, ,…,
,
,…, , ,…, , ,…, adalah unik (tunggal), dengan Oleh karena faktorisasi dari maka setiap , 1, … . , , 1, … , . Akibatnya 1,2, … , ,…, Sehingga , Terbukti | | . | | sehingga ,…, . , faktorisasi dari maka setiap dapat difaktorkan secara unik dalam bentuk dengan , . , , …, . Misalkan , ,…, Sehingga , ,…, , ,…, Maka | |
dan | |
.
Lampiran 4. Bukti Sifat-sifat Subgrup 1.
“Subgrup
adalah himpunan tak kosong.”
Bukti: Oleh karena setiap subgrup memiliki unsur identitas dan invers yang berada di maka subgrup jelas bukan himpunan kosong. 2.
“
subgrup
jika hanya jika ,
maka .
."
Bukti : Diketahui subgrup [hipotesis] Maka grup sehingga berlaku jika , maka . . Diketahui , maka . Berdasarkan hipotesis tertutup di bawah operasi biner yang sama dengan . Sehingga merupakan grup, karena maka terbukti subgrup dari . 3. Bukti: , sehingga , karena subgrup maka Jika , maka akibatnya . Jadi . Sebaliknya, jika maka . Karena , maka .
15
. Jadi
Lampiran 5. Bukti Teorema 2.3. (Order Unsur) 1.
“Jika | |
maka ⁰, ¹, ², . . . , ⁿ⁻¹ semuanya berbeda.”
Bukti: Andaikan ada , dengan 0 Sehingga
Maka terdapat dengan 0 | | . Jadi terbukti unsur-unsur 2.
“Jika | |
, maka
,
,…,
. Ini kontradiksi dengan sehingga semuanya berbeda.
jika dan hanya jika
kelipatan .”
Bukti: Diketahui | | artinya ⁺ minimal sehingga ⁿ Hipotesis kelipatan maka ada sehingga . Akibatnya .
.
[teorema] Terbukti
.
,0 [teorema]
. Tak mungkin 0, Karena kontradiksi dengan | | , jadi Terbukti kelipatan . Sehingga terbukti jika | | maka
0 sehingga
. .
jika dan hanya jika
kelipatan .
Lampiran 6. Bukti Teorema 2.4 “Setiap grup dengan order prima adalah siklik dan
,
,
.”
Bukti: Misalkan grup, | | dengan bilangan prima. Ambil , . Maka subgrup siklik dari . Menurut teorema Lagrange | Tetapi | | 1 karena sehingga | | , yang mengakibatkan siklik.
Lampiran 7. Bukti Teorema 2.5 “Misalkan
grup berhingga,
jika |
|
maka | |
Bukti: Misalkan grup abelian berhingga yang dibangun oleh , Andaikan | | , dengan dan juga .
16
.” dan |
|
.
| atau 1. . Terbukti
Untuk | | dengan , Grup adalah grup siklik yang dibangun oleh , maka berdasarkan definisi, , ,…, . Selanjutnya berdasarkan teorema 2.3 (order unsur), semua unsur tersebut berbeda sehingga | | . Ini kontradiksi dengan | | , maka haruslah | | . Analog untuk | | dengan . Jadi terbukti.
Lampiran 8. Bukti Teorema 2.7
“ / adalah grup dan disebut grup faktor di bawah operasi perkalian.” Operasi perkaliannya didefinisikan . . Bukti: Menurut definisi operasi pada / tertutup di bawah operasi perkalian assosiatif. . , . . ) Unsur identitas adalah koset sebab . dan . . sebab Invers dari adalah . . Terbukti bahwa / merupakan grup.
Lampiran 9. Bukti Teorema 2.9 “Misalkan
subgrup dari grup . Maka ada korespondensi satu-satu dari
Bukti: Didefinisikan fungsi : injektif: jika surjektif: untuk setiap Terbukti bijektif dari ke
dengan maka maka .
ke koset kiri
, sehingga dengan kanselasi diperoleh , untuk suatu
.”
. .
dan
Akibatnya jika hingga maka banyaknya unsur setiap koset kiri adalah sama. Analog untuk koset kanan.
Lampiran 10. Bukti Teorema Lagrange “Misalkan
grup hingga,
subgrup dari . Maka order dari
membagi order dari .”
Bukti: Misalkan order adalah dan order adalah , setiap koset dari Misal adalah banyak koset-koset dari . Oleh karena koset kiri merupakan partisi dari maka diperoleh Terbukti bahwa order membagi order .
17
juga berorder sehingga
. membagi .
