KARAKTER MATRIKS DARI ENDOMORFISMA SEBAGAI AUTOMORFISMA PADA GRUP HINGGA KOMUTATIF SKRIPSI CITRA NATALIA

UNIVERSITAS INDONESIA

KARAKTER MATRIKS DARI ENDOMORFISMA SEBAGAI AUTOMORFISMA PADA GRUP HINGGA KOMUTATIF

SKRIPSI

CITRA NATALIA 0806325466

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JUNI 2012

Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012

UNIVERSITAS INDONESIA

KARAKTER MATRIKS DARI ENDOMORFISMA SEBAGAI AUTOMORFISMA PADA GRUP HINGGA KOMUTATIF

SKRIPSI Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains

CITRA NATALIA 0806325466

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JUNI 2012


HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS

Skripsi ini adalah hasil karya sendiri, dan semua sumber baik yang dikutip maupun dirujuk telah saya nyatakan dengan benar.

Nama

: Citra Natalia

NPM

: 0806325466

Tanda Tangan

:

Tanggal

: 14 Juni 2012

iii Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012

HALAMAN PENGESAHAN

Skripsi ini diajukan oleh Nama NPM Program Studi Judul Skripsi

: : : :

Citra Natalia 0806325466 Sarjana Matematika Karakter Matriks dari Endomorfisma sebagai Automorfisma pada Grup Hingga Komutatif

Telah berhasil dipertahankan di hadapan Dewan Penguji dan diterima sebagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia

DEWAN PENGUJI

Pembimbing I

: Dra. Nora Hariadi, M.Si

(

)

Penguji I

: Dr. Hengki Tasman

(

)

Penguji II

: Arie Wibowo, M.Si

(

)

Penguji III

: Rahmi Rusin S.Si.,M.Sc.Tech

(

)

Ditetapkan di Tanggal

: Depok : 14 Juni 2012

iv Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus, atas segala hikmat dan kasih penyertaan yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Penulis sadar bahwa penyelesaian tugas akhir ini tidak terlepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah berjasa dalam penulisan tugas akhir ini maupun selama penulis kuliah. Ucapan terima kasih penulis haturkan kepada: 1. Ibu Dra. Nora Hariadi, M.Si., selaku dosen pembimbing yang telah menyediakan waktu, tenaga, dan pikiran untuk mengarahkan penulis dalam penyusunan skripsi ini. 2. Segenap dosen yang telah memberikan ilmunya selama 4 tahun ini, terutama Ibu Dr. Sri Mardiyati selaku Pembimbing Akademis saya. 3. Bapak Dr.Yudi Satria,M.T selaku Ketua Departemen, Ibu Rahmi Rusin, S.Si, M.Sc.Tech selaku Sekretaris Departemen, dan Ibu Dr. Dian Lestari selaku Koordinator Pendidikan yang telah banyak membantu proses penyelesaian tugas akhir ini. 4. Seluruh karyawan (Mbak Santi, Pak Saliman, Pak Salman, Pak Wawan, Mbak Via) di Departemen Matematika UI atas bantuan yang telah diberikan selama penulis kuliah sampai penulis menyelesaikan tugas akhir. 5. Keluarga penulis, Ayahanda Eddy Manullang, Ibunda Liana Setiadharma, Abang Miko, Kak Sondang, Kak Tita, dan segenap keluarga besar, Uda Hasahatan, yang telah banyak membantu selama kuliah baik secara finansial maupun doa. 6. Kak Ajat Adriansyah, S.Si., yang sangat membantu dalam membimbing penulis dari awal pengerjaan skripsi hingga akhir. 7. Sahabat penulis, Nita Astuti, Gayatri Bagawanti, Agnes yang telah menemani melewati masa suka dan duka selama kuliah. 8. Teman satu bimbingan, Yulial dan Hendri yang banyak membantu melewati masa-masa sulit dalam pengerjaan skripsi.

v Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012

9. Seluruh teman-teman angkatan 2008 : Siwi, Uci D, Resti, Olin, Fani, Emi, Eka, May, Nisah, Ifah, Maul,Wulan, Ade,Sita, Risya, Dila, Kiki, Tuti, Numa, Cindy, Adi, Arif, Hindun, Andi, Dheni, Asri, Dewe, Dian, Janu, Nora, Uci L, Vika, Dea, Lutfah, Nadia, Bowo, Umbu, Arman, AW, Arkis, Maimun, Puput, Dhanis terimakasih atas segala kebersamaannya selama masa kuliah sampai saat ini. 10. Semua teman-teman di Matematika UI: Ka Tika, Ka Oza, Martin, Ka Nora, Ka Ayat, Eja, Luthfir, Putri, Sofi, Revi, Anna serta senior dan junior lainnya angkatan 2005, 2006, 2007, 2009, 2010 dan 2011, terima kasih atas semangat dan dukungannya.

Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini. Akhir kata, penulis mohon maaf jika terdapat kesalahan atau kekurangan dalam skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca.

Penulis 2012

vi Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012

HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Sebagai sivitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan di bawah ini: Nama : Citra Natalia NPM : 0806325466 Program Studi : Sarjana Matematika Departemen : Matematika Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jenis karya : Skripsi demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive Royalty Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjudul : Karakter Matriks dari Endomorfisma sebagai Automorfisma pada Grup Hingga Komutatif. beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti Noneksklusif ini Universitas Indonesia berhak menyimpan, mengalihmedia/format-kan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), merawat, dan memublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di : Depok Pada tanggal : 14 Juni 2012 Yang menyatakan

(Citra Natalia)

vii Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012

ABSTRAK

Nama : Citra Natalia Program Studi : Matematika Judul : Karakter Matriks dari Endomorfisma sebagai Automorfisma pada Grup Hingga Komutatif Misalkan menyatakan grup hingga komutatif dengan order bilangan prima. Karena himpunan automorfisma grup adalah himpunan bagian dari himpunan endomorfisma grup, maka mempelajari automorfisma grup dapat melalui endomorfisma grup . Dengan adanya pemetaan homomorfisma surjektif dari gelanggang matriks ke gelanggang endomorfisma , maka setiap endomorfisma akan memiliki padanan suatu matriks. Dalam skripsi ini dibahas tentang karakter matriks dari endomorfisma yang dapat memberikan automorfisma

Kata kunci x+33 halaman Daftar Pustaka

: Grup hingga komutatif, automorfisma grup, endomorfisma grup. : : 8 (1907-2007)

viii Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012

Universitas Indonesia

ABSTRACT

Name Major Title

: Citra Natalia : Mathematics : Character of Matrix Endomorphism as an Automorphism of Finite Abelian Group.

Let denotes a finite commutative group of order where is a prime number. Since automorphism group is a subset of endomorphism group, then it is possible to study the group automorphism of by analyzing the group endomorphism of . With the existence of a surjective homomorphism mapping from the ring of matrices to the endomorphism ring of , then each element in the endomorphism ring of will have a matrix associated to it. This mini thesis will discuss the characteristic of the matrix of the endomorphism that gives the automorphism of .

Keywords : Finite abelian group, group automorphism, group endomorphism. x+33 pages : Bibliography : 8 (1907-2007)

ix Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012


DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL..............................................................................................ii HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS ..................................................iii HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................... iv KATA PENGANTAR ........................................................................................... v HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ...........................vii ABSTRAK ..........................................................................................................viii DAFTAR ISI .......................................................................................................... x 1. PENDAHULUAN ............................................................................................. 1 1.1 Latar Belakang ........................................................................................... 1 1.2 Rumusan Masalah dan Ruang Lingkup ..................................................... 2 1.3 Metode Penelitian....................................................................................... 2 1.4 Tujuan Penulisan ........................................................................................ 2 2. LANDASAN TEORI........................................................................................ 3 2.1 Teori Bilangan ............................................................................................ 3 2.2 Pemetaan .................................................................................................... 4 2.3 Grup ........................................................................................................... 6 2.4 Gelanggang ................................................................................................ 9 3. KARAKTER MATRIKS ENDOMORFISMA GRUP HINGGA KOMUTATIF SEBAGAI AUTOMORFISMA .............................................. 12 3.1 Gelanggang Endomorfisma dari ........................................................ 12 3.2 Karakter Matriks Endomorfisma sebagai Automorfisma ............ 24 4. KESIMPULAN ............................................................................................... 32 DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 33

x Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012


BAB 1 PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang

Dalam Teorema Fundamental dari Grup Hingga Komutatif, dikatakan bahwa setiap grup hingga yang komutatif dapat dinyatakan sebagai hasil kali langsung dari grup-grup siklik (Herstein, 1996). Misalkan yang komutatif, maka menurut Teorema Fundamental, dimana siklik dengan order

,

adalah grup hingga

dapat ditulis sebagai

dengan

adalah grup

bilangan prima (Hillar & Rhea, 2007).

adalah

grup-grup hingga komutatif dengan order yang saling relatif prima. Dengan kata lain, Teorema Fundamental menyatakan bahwa grup hingga komutatif

dapat

dinyatakan sebagai hasil kali langsung dari grup berorder pangkat dari bilangan prima

yaitu

.

Automorfisma dari suatu grup merupakan isomorfisma yang memetakan sebuah grup ke dirinya sendiri. Untuk suatu grup hingga, automorfisma dari grup tersebut memiliki order yang terbatas (Horosevskii, 1974). Ranum pada penelitiannya telah mencoba untuk memberikan karakter pada automorfisma dari grup hingga komutatif kali langsung dari

(Ranum, 1907). Karena

, maka automorfisma dari

automorfisma dari hasil kali langsung

, yaitu

dapat dinyatakan sebagai hasil dapat dinyatakan sebagai ( )

(

).

Lebih lanjut, karena automorfisma dari hasil kali langsung dua buah grup yang ordernya saling relatif prima isomorfik dengan hasil kali langsung dari masingmasing automorfisma grup tersebut (Hillar & Rhea, 2007), maka automorfisma akan isomorfik dengan hasil kali langsung dari automorfisma (

)

.

,

( )

/ Dengan demikian untuk mempelajari automorfisma

dapat melalui automorfisma

.

Karena himpunan automorfisma suatu grup merupakan himpunan bagian dari himpunan endomorfisma, maka untuk melihat karakter dari himpunan

1



2

automorfisma (

dengan

dapat melalui gelanggang endomorfisma

). Melalui sebuah pemetaan homomorfisma yang memetakan (

suatu himpunan matriks ke (

), dapat ditunjukkan setiap elemen di

) memiliki padanan matriks. Padanan matriks yang berkoresponden (

dengan elemen-elemen automorfisma pada

1.2

yang dinotasikan

) dan memenuhi sifat tertentu akan memberikan

.

Rumusan Masalah dan Ruang Lingkup

Berdasarkan latar belakang diatas permasalahan tugas akhir ini adalah menentukan karakter dari matriks endomorfisma automorfisma

. Ruang lingkup dari permasalahan ini adalah grup yang

ditelaah adalah grup hingga komutatif ⁄

⁄

, dan

yang memberikan

untuk

dimana adalah bilangan prima, berlaku

adalah bilangan bulat positif yang bernilai unik untuk suatu

dekomposisi.

1.3

Metode Penelitian

Penelitian dilakukan dengan studi literatur.

1.4

Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah mempelajari karakter dari matriks suatu

(

) yang memberikan automorfisma

.



BAB 2 LANDASAN TEORI

Pada bab ini dibahas beberapa teori dasar yang diperlukan untuk mempelajari karakter matriks bagi gelanggang endomorfisma dari grup hingga komutatif. Materi yang dibahas adalah mengenai teori bilangan, pemetaan, grup, dan gelanggang.

2.1

Teori Bilangan

Sebuah bilangan bulat , dinotasikan dengan simbol sedemikan sehingga

dikatakan habis dibagi oleh bilangan bulat , jika terdapat sebuah bilangan bulat

. Dua buah bilangan bulat

dan , dimana salah

satunya tidak sama dengan nol, memiliki faktor persekutuan terbesar , yang (

dinotasikan dengan adalah

habis membagi

terdapat

) dan

jika memenuhi dua kondisi. Kondisi pertama habis membagi . Kondisi kedua adalah jika

dimana habis membagi

dan

habis membagi

maka

(Burton, 2002). Misalkan dan

dan

adalah bilangan bulat yang tidak sama dengan nol, maka (

dikatakan saling relatif prima jika

)

(Burton, 2002). Berikut

lemma yang menunjukkan sifat dari dua bilangan bulat yang saling relatif prima.

Lemma 2.1.1 Misalkan dengan nol.

dan

bilangan bulat

dan

dan

adalah dua buah bilangan bulat yang tidak sama

dikatakan saling relatif prima jika dan hanya jika terdapat sedemikian sehingga

.

(Burton, 2002)

Definisi 2.1.2 Misalkan

adalah bilangan bulat positif. Dua bilangan bulat (

dikatakan kongruen modulo , yang disimbolkan sebagai habis membagi

atau

dan

), jika

untuk suatu bilangan bulat .

(Burton, 2002)

3



4

Himpunan bilangan bulat ̅, untuk suatu bilangan bulat (

(

yang memenuhi

), dinotasikan adalah ̅

dan bilangan bulat positif

*

)+.

Contoh 2.1.3 Misalkan untuk

, maka

(

(

)

Sifat 2.1.4 Misalkan untuk

)

dan

(

)

adalah bilangan bulat sembarang,

maka bilangan bulat ini memenuhi sifat-sifat (

(a)

).

(b)

Jika

(

), maka

(c)

Jika

(

) dan

(

), maka

(d)

Jika

(

) dan

(

), maka

(

(

). (

). (

) dan

).

(e)

Jika

(

), maka

(f)

Jika

(

), maka

( (

) dan

(

).

) untuk suatu bilangan bulat

positif . (Burton, 2002)

2.2

Pemetaan

Misalkan terdapat dua himpunan

dan . Pemetaan

sebuah aturan yang memasangkan tiap elemen di Pemetaan

di

( ). Pemetaan

dimana berlaku ( )

ke

adalah

dengan tepat satu elemen di .

dikatakan surjektif atau pada, jika untuk setiap di

sedemikian sehingga untuk

dari

terdapat di

dikatakan injektif atau satu-satu jika ( ), maka

. Pemetaan yang

memenuhi sifat surjektif dan injektif disebut sebagai pemetaan bijektif . Pemetaan dari suatu himpunan jika memenuhi

( )

ke

untuk setiap

disebut sebagai pemetaan identitas,

,

di .



5

Misalkan dengan

adalah pemetaan dari

, adalah pemetaan dari dan

ke . Invers dari , yang dinotasikan

ke

sedemikian sehingga memenuhi

dimana

dan

adalah pemetaan identitas di

dan di . Berikut lemma yang menunjukkan keterkaitan antara pemetaan bijektif dengan invers dari pemetaan tersebut.

Lemma 2.2.1 Pemetaan terdapat dan

adalah pemetaan bijektif jika dan hanya jika

yang memenuhi

dan

masing-masing adalah pemetaan identitas dari

dimana dan .

(Herstein, 1996)

Bukti. Misalkan untuk suatu pemetaan memenuhi identitas dari ditunjukkan

terdapat

dan

dimana

dan , maka akan dibuktikan

dan

yang adalah pemetaan

pemetaan bijektif. Pertama akan

adalah pemetaan injektif. Misalkan ( )

( ) untuk

,

maka, ( ) (

)( ) ( ( )) ( ( )) ( )

Dengan demikian, untuk ( )

( ) maka

. Jadi terbukti

adalah

pemetaan injektif. Kemudian akan dibuktikan

adalah pemetaan surjektif. Misalkan adalah

sembarang elemen di . Karena terdapat pemetaan

, dimana

( )

maka, ( ) ( ) (

( ))

( )



6

Dengan demikian terbukti

adalah pemetaan surjektif. Jadi terbukti

adalah

pemetaan bijektif. Sebaliknya akan dibuktikan jika maka terdapat pemetaan dimana

dan

yang memenuhi

adalah pemetaan identitas dari

untuk sembarang

terdapat

Definisikan pemetaan ( )

merupakan pemetaan bijektif

( )

. maka

adalah invers dari dari .

terdefinisi dengan baik. Misalkan dan ( )

dimana

injektif dan (

. Karena

atau didapat ( )

), maka

surjektif,

( )

yang memenuhi untuk setiap

Pertama akan ditunjukkan

(

dan . Karena

sedemikian sehingga

. Akan dibuktikan bahwa pemetaan

, serta

dan

)

( ). Jadi terbukti

terdefinisi dengan baik. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa pemetaan yaitu memenuhi sifat , yaitu ( )

definisi

dan

sedemikian sehingga

dan

. Ambil

. Berdasarkan

( )

diperoleh ( ( ))

( )

atau

. Karena ( )

. Ambil

. Karena ( )

injektif maka

. Karena

dan

maka

adalah invers dari

dan

,

( ) dan

, akibatnya ( ( ))

( )

terdefinisi dengan baik dan memenuhi adalah invers dari

dan ditulis sebagai

.

2.3

Grup

Grup adalah suatu himpunan yang tidak kosong, dimana didalamnya didefinisikan suatu operasi biner yang memenuhi beberapa sifat tertentu. Berikut definisi dan contoh dari grup.


adalah himpunan tak kosong.

disebut grup jika di

didefinisikan suatu operasi biner , sedemikian sehingga memenuhi keempat aksioma berikut:



7

maka

.

(a)

Jika

(b)

Jika

maka (

(c)

Terdapat

sedemikian sehingga

(d)

Untuk setiap

)

(

terdapat

). untuk setiap

.

sedemikian sehingga

. (Herstein, 1996)

20

Contoh 2.3.2 Misalkan matriks.

1 0

13 dan * merupakan operasi perkalian 0

merupakan suatu grup dengan

1; 0

1

0

1.

Apabila sebuah himpunan hanya memenuhi sifat tertutup dan asosiatif, maka himpunan tersebut disebut sebagai semigrup. Grup komutatif jika grup

untuk setiap

hingga maka

sebagai order dari

dikatakan grup

. Apabila banyak elemen di

disebut grup hingga. Banyaknya elemen dalam dan dinotasikan dengan

Definisi 2.3.3 Sebuah grup

disebut

(Herstein, 1996).

dikatakan grup siklik jika terdapat

sedemikian sehingga untuk setiap suatu bilangan bulat . Elemen

dapat dinyatakan sebagai

untuk

disebut sebagai pembangkit untuk .

(Herstein, 1996)

Misalkan terdapat subhimpunan tak kosong

dari grup , dimana

subhimpunan tersebut juga memenuhi keempat aksioma grup terhadap operasi yang sama yang didefinisikan di dalam , maka subhimpunan

dikatakan

sebagai subgrup dari .


adalah subgrup dari

*

+ disebut sebagai koset kanan dari

*

+ disebut sebagai koset kiri dari

dan di

. Himpunan dan himpunan

di .

(Herstein, 1996)



8

suatu grup dengan operasi penjumlahan dan

Contoh 2.3.5 Misalkan

adalah subgrup dari . Maka didapat himpunan koset kanan dan koset kiri sebagai berikut *̅ ̅ ̅ ̅+ * ̅ ̅ ̅ ̅ +.

dari grup

Subgrup

yang memenuhi

untuk setiap

,

disebut sebagai subgrup normal di . Peranan subgrup normal sangat penting dalam aljabar. Berikut salah satu peranan dari subgrup normal.


adalah subgrup normal dari . Grup faktor

oleh

,

yang dinotasikan dengan ⁄ , adalah ⁄ dengan operasi , -, -

,

*, -

+

+

*

-.

(Herstein, 1996)

Contoh 2.3.7 Misalkan ⁄

adalah subgrup normal dari grup

* ̅ ̅ ̅ + adalah grup faktor

oleh

, maka

.

Berikutnya dibahas mengenai pemetaan homomorfisma pada grup.


dan

adalah grup. Pemetaan

homomorfisma jika memenuhi (

)

adalah

( ) ( ) untuk setiap

.

(Herstein, 1996)


adalah grup komutatif. Misalkan pula pemetaan

didefinisikan sebagai ( ) berlaku (

)

(

homomorfisma dari

)

untuk setiap ( ) ( ). Maka

. Untuk adalah pemetaan

ke dirinya sendiri.

Homomorfisma

dikatakan isomorfisma jika

yang bijektif. Homomorfisma yang memetakan

adalah homomorfisma

ke dirinya sendiri disebut



9

endomorfisma. Sedangkan sebuah isomorfisma yang memetakan

ke dirinya

sendiri adalah automorfisma (Herstein, 1996). Pada suatu homomorfisma dikenal himpunan yang dinamakan kernel. Berikut adalah definisi dari kernel suatu homomorfisma.

Definisi 2.3.10 Jika kernel dari

adalah suatu homomorfisma dari grup

, maka

adalah *

adalah elemen identitas di

dimana

ke grup

( )

+

.

(Herstein, 1996)

2.4

Gelanggang

Gelanggang adalah himpunan yang tidak kosong dimana pada himpunan ini didefinisikan dua buah operasi, yaitu penjumlahan dan perkalian sedemikian sehingga memenuhi beberapa aksioma. Berikut adalah definisi serta contoh dari gelanggang.

Definisi 2.4.1 Misalkan jika didalam

adalah himpunan tidak kosong.

terdapat dua operasi

disebut gelanggang

dan sedemikian sehingga membentuk

grup komutatif terhadap operasi penjumlahan, semigrup terhadap operasi perkalian dan memenuhi sifat distributif terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. (Lang, 2002)

Contoh 2.4.2 Misalkan entri di . Himpunan

{(

)

} adalah himpunan matriks dengan

akan membentuk gelanggang terhadap operasi

penjumlahan dan perkalian matriks.

Gelanggang yang memiliki elemen identitas terhadap operasi perkalian dikatakan sebagai gelanggang dengan unit. Sedangkan gelanggang yang memenuhi sifat komutatif terhadap operasi perkalian disebut sebagai gelanggang



10

dalam gelanggang memiliki invers

komutatif. Apabila setiap elemen

terhadap operasi perkalian, maka gelanggang tersebut disebut gelanggang hasil bagi (Herstein, 1996). Sama halnya dengan grup, pada bagian ini juga akan dibahas homomorfisma gelanggang. Berikut adalah definisi dari homomorfisma gelanggang serta kernel dari homomorfisma gelanggang.


dan

homomorfisma jika (

)

setiap

adalah gelanggang. Pemetaan ( )

( ) dan

(

)

adalah ( ) ( ) untuk

.

(Herstein, 1996)

Definisi 2.4.4 Misalkan maka kernel dari

adalah sebuah homomorfisma gelanggang dari

adalah *

dimana

pada

adalah elemen identitas di

( )

+

.

(Herstein, 1996)

Misalkan Definisikan

adalah grup komutatif terhadap operasi penjumlahan. ( ) adalah himpunan endomorfisma dari

ke

dengan operasi

penjumlahan dan perkalian sebagai berikut (

)( )

( )

( ) dan

untuk setiap

( ) dan ( . Himpunan

)( )

( ( ))

( ) dengan dua operasi

biner ini membentuk gelanggang. (Bhattacharya, Jain, & Nagpul, 1994)


adalah grup komutatif terhadap operasi

penjumlahan modulo 6. Himpunan pemetaan endomorfisma dari

ke

akan

membentuk gelanggang terhadap operasi penjumlahan dan komposisi fungsi.



11

Gelanggang yang elemen-elemennya membentuk grup komutatif terhadap operasi perkalian disebut sebagai lapangan. Berikut definisi lengkap dari lapangan.

Definisi 2.4.6 Misalkan didalam

adalah himpunan tidak kosong.

terdapat dua operasi

disebut lapangan jika

dan sedemikian sehingga membentuk

gelanggang hasil bagi yang komutatif. (Herstein, 1996)

Sebuah lapangan

dikatakan memiliki karakteristik

sebuah bilangan bulat ,

untuk setiap

jika untuk

, dan tidak ada bilangan bulat

positif yang lebih kecil dari

yang memenuhi sifat ini (Herstein, 1996).


* ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ + adalah lapangan terhadap operasi

penjumlahan dan perkalian modulo. Karena berlaku maka lapangan

memiliki karakteristik

̅ untuk setiap ̅ ̅

,

.

Berikut didefinisikan himpunan matriks invertibel dimana entri-entrinya merupakan elemen dari suatu lapangan.

Definisi 2.4.8 Himpunan matriks berukuran suatu lapangan

yang invertibel dengan entri di

yang memiliki order , membentuk grup dengan operasi

perkalian matriks, dan dilambangkan dengan

( ).

(Lang, 2002)

Contoh 2.4.9 Misalkan terdapat lapangan , dimana himpunan

* ̅ ̅ +. Dibentuk

yang anggotanya adalah matriks-matriks invertibel yang entri-

entrinya adalah elemen dari {[ maka

̅ ̅

̅ ̅ ] [ ̅ ̅

̅ ̅ ] [ ̅ ̅

̅ ̅ ] [ ̅ ̅

̅ ̅ ] [ ̅ ̅

̅ ̅ ] [ ̅ ̅

̅ ]} ̅

akan membentuk grup terhadap perkalian matriks.



BAB 3 KARAKTER MATRIKS ENDOMORFISMA GRUP HINGGA KOMUTATIF SEBAGAI AUTOMORFISMA

Seperti yang sudah disebutkan pada Bab 1, komutatif. Menurut Teorema Fundametal,

adalah grup hingga

dapat dinyatakan sebagai hasil kali

langsung dari grup-grup siklik yaitu ⁄ untuk

⁄

adalah bilangan prima dan

dengan

adalah bilangan

bulat positif yang bernilai unik untuk suatu dekomposisi. Pada bab ini dibahas tentang gelanggang endomorfisma dari yang memenuhi automorfisma

3.1

, serta sifat matriks endomorfisma dari

.

Gelanggang Endomorfisma dari

Definisi 3.1.1 Himpunan matriks *(

)

, adalah

untuk setiap dan yang memenuhi

+. (Hillar & Rhea, 2007)

Berikut diberikan contoh anggota-anggota di

untuk

Contoh 3.1.2 Misalkan untuk

dimana

.

. Karena memenuhi maka didapat

. Dengan demikian didapat himpunan

12 Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012


13

{[

]

}.

Pada lemma berikut ditunjukkan bahwa setiap matriks yang merupakan elemen dari

dapat didekomposisi.

Lemma 3.1.3

jika dan hanya jika

dapat dinyatakan sebagai dekomposisi

untuk matriks diagonal , dimana

) dan

diagonal(

.

Bukti. Pertama, misalkan

, akan dibuktikan terdapat matriks

(

dengan

) . Karena

+ maka berlaku

Akibatnya terdapat

untuk

sedemikian sehingga (

Bentuk matriks

(

dimana

sedemikian sehingga

)

dan

ditunjukkan bahwa

untuk

.

(

)(

(

)

)

(

)(

Jadi terbukti bahwa untuk setiap dengan

.

), maka dapat

diagonal(

atau

.

dan

)

dapat didekomposisi menjadi diagonal(

).



14

Sebaliknya akan dibuktikan, bahwa apabila terdapat matriks dan matriks

) sedemikian sehingga

diagonal( (

. Misalkan

(

)

, maka

,(

(

maka

,

,(

,(

,

. (

)

Jadi

. (

)

Akibatnya

untuk

demikian berlaku

untuk

dan

(

) untuk

. Dengan

. Hal ini mengakibatkan

(

)

Dengan menggunakan Lemma 3.1.3, dapat ditunjukkan bahwa himpunan matriks

dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks membentuk

gelanggang dengan unit.

Lemma 3.1.4

membentuk gelanggang terhadap operasi penjumlahan dan

perkalian matriks dan

yang memuat unit.



15

Bukti. Pertama akan dibuktikan

membentuk grup komutatif terhadap operasi

penjumlahan matriks. Misalkan

(

ditunjukkan

)

dan

(

)

, akan

tertutup terhadap operasi penjumlahan matriks. Karena

maka

dengan

(

)

(

, dan

(

)

(

,

. (

)

(

(

(

)

(

)

Karena

(

,

,.

, dengan demikian didapat

,

(

)

,

(

Karena

(

dan berlaku

(

)

(

)

|(

) maka

(

,

. Jadi

tertutup terhadap operasi penjumlahan matriks. Karena

untuk setiap

matriks 0 juga merupakan anggota untuk setiap

yang memenuhi

maka

. Lebih lanjut karena berlaku

, maka matriks 0 merupakan identitas terhadap operasi



16

penjumlahan matriks di

. Berdasarkan sifat penjumlahan pada matriks maka , yaitu (

sifat asosiatif dan komutatif berlaku juga di ) dan

untuk

)

(

. Dengan demikian, terbukti

merupakan grup komutatif terhadap operasi penjumlahan matriks. Selanjutnya akan dibuktikan matriks. Misalkan

tertutup terhadap operasi perkalian

. Berdasarkan Lemma 3.1.3, dan

dinyatakan sebagai

dan

dapat

untuk suatu

dan

). Maka

diagonal(

(

)( (

Karena

)

)

dapat dinyatakan sebagai dekomposisi (

dan

. Jadi terbukti

maka menurut Lemma 3.1.3

)

tertutup terhadap operasi

perkalian matriks. Berdasarkan sifat perkalian pada matriks berlaku sifat asosiatif pada yaitu (

)

(

) untuk

. Lebih lanjut, sifat distributif

terhadap penjumlahan dan perkalian juga berlaku di dan (

,

)

(

, yaitu

untuk

)

. Jadi terbukti

adalah gelanggang. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa gelanggang unitnya adalah matriks identitas. Karena berlaku untuk setiap adalah elemen

untuk

yang memenuhi

dan berlaku

demikian terbukti himpunan

memuat unit dan dan

, maka matriks identitas untuk setiap

. Dengan

membentuk gelanggang terhadap operasi

penjumlahan dan perkalian matriks dan memuat unit yang berupa matriks identitas .

Sebelum pembahasan dilanjutkan, diberikan beberapa notasi yang ⁄

nantinya digunakan. Misalkan penjumlahan modulo

dimana

dapat dilihat sebagai kelas ̅

adalah grup siklik terhadap operasi

adalah generator untuk *

(mod

. Secara spesifik

)+. Misalkan pula



17 ̅

⁄

(̅̅̅

untuk

, maka

dapat dinyatakan sebagai vektor kolom

̅̅̅) . Selanjutnya definisikan pemetaan (

)

(

dari

( )

ke

dengan

))

(̅̅̅

(

̅̅̅)

(3.1)

. Pada Lemma 3.1.5 ditunjukkan bahwa pemetaan

dimana

ini

adalah suatu homomorfisma grup.

Lemma 3.1.5 Pemetaan

dengan (

(̅̅̅

)

̅̅̅)

adalah suatu homomorfisma grup. Bukti. Misalkan ( )

((

) (

(

) )

)

, maka

(

) (

(

)

(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)

(̅̅̅

̅̅̅

(̅̅̅

̅̅̅ ̅̅̅)

( )

) )

̅̅̅)

(̅̅̅ )

))

̅̅̅)

(

(

) .

)

(

Selanjutnya ditunjukkan bahwa setiap elemen di

(

Karena ((

(

(

) maka

adalah homomorfisma grup.

padanan matriks di

melalui pemetaan

,(

Definisi 3.1.6 Misalkan (

Pemetaan

ke

dan (̅̅̅

)

̅̅̅) )

(

).

.

) adalah ( )(̅̅̅

dengan

yang memetakan

) memiliki

̅̅̅)

( (

) )

seperti didefinisikan pada Persamaan (3.1).

(Hillar & Rhea, 2007)



(3.2)

18

Sebelum masuk pada pemetaan , akan ditunjukkan terlebih dahulu ( )

pada Persamaan (3.2) adalah pemetaan yang terdefinisi dengan (

baik dan merupakan elemen di

).

Lemma 3.1.7 Pemetaan ( ) ( )(̅̅̅ (

adalah elemen dari

dengan

dan

( (

) )

̅̅̅)

).

Bukti. Pertama akan dibuktikan ( ) merupakan pemetaan yang terdefinisi (

dengan baik. Misalkan untuk ( ̅

̅) (̅

)

̅)

. Misalkan pula ( ̅ dan

cara menunjukkan ( ( selisih ( (

) ) ((

) )

̅)

untuk

( )( ̅

̅ ) dengan

̅ . Perhatikan bahwa

) )

) ) adalah

+ ( +)

((

+

(

̅)

( (

( (

(̅

dengan

. Akan dibuktikan ( )( ̅

setiap

̅)

+ ( +)

+

(

atau dapat dinyatakan dalam selisih vektor baris ke- sebagai berikut (∑ untuk

. Karena (∑

+

+

(∑

+

adalah homomorfisma maka (∑

+

(∑

∑

(∑

∑

(

+

+

(

))



19

Jika

(

) dikalikan dengan (∑

+

(∑

Karena (

)

maka

karena

(

) maka (

dari (

)

maka didapat +

∑

)

. Jika kedua ruas

maka diperoleh )

(

) ). Sedangkan untuk

(

(

untuk

* . Lebih lanjut

untuk suatu

(

didapat

. Karena

)

atau dengan kata lain

dikalikan dengan

Jadi, untuk

(

(

) dan

) Dengan demikian

(

maka

diperoleh

didapat (∑

atau ( )( ̅

+

(∑

+

(∑

+

̅)

( )( ̅

(

(

(∑

+

∑

)

̅

*

̅ ) . Jadi terbukti ( ) merupakan

pemetaan yang terdefinisi dengan baik. Kemudian akan dibuktikan ( ) adalah homomorfisma grup. Karena homomorfisma grup dan operasi pada (̅̅̅

̅̅̅)

( ) .(̅̅̅

dan (̅̅̅ ̅̅̅)

(̅̅̅

memenuhi sifat distributif, maka untuk

̅̅̅)

berlaku

̅̅̅) /

( ) .(̅̅̅

̅̅̅

( )(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅

̅̅̅) /

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)

( (

) )

( (

)

(

( (

) )

( (

( )(̅̅̅

̅̅̅)

) ) ) )

( )(̅̅̅

̅̅̅)

Jadi terbukti ( ) merupakan homomorfisma grup. Karena ( ) merupakan pemetaan yang terdefinisi dengan baik dan juga homomorfisma grup dari

ke

, maka terbukti ( )

(

)



20

Setelah ditunjukkan ( ) pemetaan yang terdefinisi dengan baik dan ( )

(

), akan ditunjukkan pemetaan

seperti pada Definisi 3.1.6

merupakan homomorfisma gelanggang yang surjektif. (

Teorema 3.1.8 Pemetaan ( )(̅̅̅

̅̅̅)

) yang didefinisikan sebagai ( (

) )

adalah suatu homomorfisma gelanggang yang surjektif. (Hillar & Rhea, 2007)

Bukti. Pertama akan ditunjukkan baik. Misalkan

dimana

ditunjukkan ( )(̅̅̅

̅̅̅)

merupakan pemetaan yang terdefinisi dengan dan (̅̅̅ ( )(̅̅̅

̅̅̅)

(

), maka

( (

) )

( (

) )

( )(̅̅̅ Jadi terbukti

̅̅̅)

terdefinisi dengan baik.

Selanjutnya akan dibuktikan pemetaan (̅

Misalkan

̅)

merupakan generator dari setiap

. Akan

̅̅̅) . Berdasarkan Lemma 3.1.7,

( ) terdefinisi dengan baik dan ( ) ( )(̅̅̅

̅̅̅)

dengan

adalah pemetaan surjektif. adalah elemen ke- dan (

. Misalkan pula

) memetakan

. Namun tidak ada kebebasan penuh dalam mendefinisikan pemetaan ini,

secara khusus misalkan ( untuk order

,

)

(̅̅̅̅

. Karena

, maka

̅̅̅̅)

(

)

adalah generator dari grup

(3.3) dengan

̅ . Akibatnya, (̅

̅)

(̅

̅)

(̅ (

̅) )



21

(̅

dengan (

) (

̅ ) . Karena

⏟( )

) ⏟(

( )

(

), maka berlaku

). Berdasarkan Persamaan 3.3 didapat (

(⏟̅̅̅̅

)

̅̅̅̅)

(̅̅̅̅̅̅̅̅ Maka diperoleh (̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅)

. Dengan kata lain untuk

. Karena

(

dimana

)

untuk setiap

( )(̅̅̅

̅̅̅̅)

̅̅̅̅̅̅̅̅)

̅ ) atau ̅̅̅̅̅̅̅̅

(̅

untuk

(̅̅̅̅

̅ , untuk

. Akibatnya

, maka dapat dibentuk matriks

̅̅̅)

( (

) )

((

+(

(

+)

+

(

(

(

+

(

+)

+

(

+

)

(

Berdasarkan Persamaan (3.3) (

+

(

(

+

)

Dengan demikian didapat ( )(̅̅̅

̅̅̅)

( ( (

)

(

) (

)

(

)

)

(

),



22

( Karena ̅

adalah generator dari

*

, maka

dapat dipandang sebagai

( )(̅̅̅ (

atau untuk setiap

̅̅̅)

(̅̅̅

̅̅̅)

sedemikian sehingga ( )

) terdapat

pemetaan surjektif.

. Jadi terbukti bahwa

Berikutnya, akan dibuktikan dan (̅̅̅

adalah homomorfisma gelanggang.

̅̅̅)

)(̅̅̅

(

̅̅̅)

)(

((

Karena sifat asosiatif pada operasi matriks dan )(̅̅̅

(

̅ dan akibatnya

)+. Dengan demikian

(mod

Misalkan

+

̅̅̅)

) )

adalah homomorfisma, maka

( (

)

(

( (

) )

( (

( )(̅̅̅

̅̅̅)

( )(̅̅̅

( ))(̅̅̅

( ( )

) ) ) ) ̅̅̅)

̅̅̅)

Lebih lanjut, (

)(̅̅̅

̅̅̅)

(

(

) )

( (

) )

( )(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)

( )( (

))

( )( ( ( ( ) . ( )(̅̅̅ ( ) Terbukti

( )(̅̅̅

) )) ̅̅̅) / ̅̅̅)

adalah homomorfisma gelanggang.

Terakhir akan dibuktikan pemetaan ke identitas di

(

) yaitu

.

( )(̅̅̅

̅̅̅)

memetakan matriks identitas di

( ( (

) ) )



23 (̅̅̅

̅̅̅) (̅̅̅

Jadi terbukti ( )

̅̅̅)

. Dengan demikian terbukti

adalah homomorfisma

gelanggang yang surjektif. (

Teorema diatas memiliki makna bahwa setiap elemen di memiliki padanan matriks di

)

. Lemma berikut akan menunjukkan matriks

seperti apa yang merupakan anggota dari kernel . (

Lemma 3.1.9 Misalkan

)

. Misalkan pula

adalah pemetaan

seperti pada Definisi 3.1.6. yaitu, ( )(̅̅̅ Maka

̅̅̅)

( (

) )

jika dan hanya jika memenuhi

untuk setiap

.

(Hillar & Rhea, 2007)

Bukti. Pertama-tama misalkan untuk setiap (̅

̅)

dipandang sebagai ̅ untuk

(

)

(

)

adalah matriks yang memenuhi

. Maka akan dibuktikan , dengan *

. Misalkan pula

adalah generator dari (

yang dapat

)+. Berdasarkan Persamaan 3.3

, maka ( )

( )( ̅ ( )( ̅ ( (

̅) ̅

̅) ) )

(( (

) ( )) +



24

. Karena berlaku (

linier dari

)

(

(̅

, maka ( )

̅)

maka didapat

. Karena

untuk setiap .

(

Untuk pembuktian sebaliknya, misalkan (

, maka matriks

) memenuhi

adalah elemen

berlaku ( )

untuk

. Dengan menggunakan perhitungan sebelumnya ( )

Berdasarkan definisi (

)

. Berdasarkan definisi

kernel homomorfisma gelanggang, untuk setiap

adalah kombinasi . Berdasarkan definisi dari

kernel homomorfisma gelanggang maka

dari

)/

dan berdasarkan definisi

̅ atau ( )

)

(

)

.

, karena

memenuhi

adalah elemen dari kenel

( (

) )

(

)/

̅ maka

. Jadi terbukti untuk (


jika dan hanya jika memenuhi

)

untuk setiap

.

3.2

Karakter Matriks Endomorfisma

sebagai Automorfisma

Pada Lemma 3.1.7 telah ditunjukkan bahwa ( ) dimana merupakan elemen dari elemen-elemen

(

(

). Dengan demikian, dalam menunjukkan

) yang merupakan automorfisma, matriks yang akan

dipelajari adalah matriks didalam himpunan

. Namun sebelum itu terlebih

dahulu dipelajari beberapa penggunaan teori matriks pada himpunan matriks

Lemma 3.2.1 Misalkan yang unik

dengan

( )

.

. Maka terdapat matriks

, yang disebut sebagai adjugate dari

sedemikian sehingga

( ) . (Hillar & Rhea, 2007)



25 (

Bukti. Misalkan terdapat

)

( )

dengan

, akan ditunjukkan ( ) .

yang unik sedemikian sehingga

Misalkan

*

dengan

+ adalah determinan matriks (

)

(

) dengan menghilangkan baris ke- dan kolom ke- dari matriks . Karena maka (

)

. Selanjutnya misalkan pula (

). Karena

, maka (

Definisikan matriks (

Untuk

) dan

. Untuk )

. Maka

+

+

( ∑

( ).

adalah matriks yang diperoleh dari

dengan mengganti elemen-elemen baris ke- dengan baris ke-

matriks

*

sedemikian sehingga dua baris tersebut identik, dimana . Karena matriks

+ dan (

memiliki dua baris yang identik maka *

dengan

Misalkan

+ adalah determinan matriks (

) dengan menghilangkan baris ke- dan kolom ke- dari matriks maka (

)

+.

dimana

berlaku

(

, dimisalkan

*

untuk setiap

+(

∑

dengan

kofaktor dari , yaitu

(

. Misalkan pula

). Karena

Karena pada

kofaktor dari

, maka

)

.

)

(

. Karena

yaitu *

untuk setiap

+.

baris ke- sama dengan baris ke- , dan baris kepada

sama dengan baris kepada

maka diperoleh

dan

, dengan demikian didapat ( untuk

)

∑

∑

. Jadi dapat disimpulkan {

( )

( ) ( )

(

( )

, ( )

Karena

dan

( )

maka terdapat

( ) dikalikan dengan matriks

. Jika kedua ruas dari

dan , maka Universitas Indonesia


26 ( )

( )

. Dengan demikian diperoleh

( ) . Jadi telah ditunjukkan terdapat Selanjutnya akan ditunjukkan

yang merupakan adjugate dari

adalah

( ) maka

dikalikan dengan

matriks adjugate dari

.

dan memenuhi

juga memenuhi

. Jika kedua ruas dari

Jadi terbukti

( )

dimana

matriks yang unik. Misalkan terdapat matriks ( ) . Karena matriks

atau

didapat

( )

yang memenuhi

adalah matriks yang unik.

Selanjutnya akan ditunjukkan untuk setiap maka

memiliki matriks adjugate

Lemma 3.2.2 Jika

dengan

( )

.

, maka terdapat matriks

( ) . ( )

dengan

matriks adjugate dari

dengan

yang juga terdapat di

sedemikian sehingga

Bukti. Misalkan

di

. Misalkan pula

adalah

( ) . Akan ditunjukkan

yang memenuhi

. Berdasarkan Lemma 3.1.3 untuk setiap ) sedemikian sehingga

diagonal( . Karena maka

, terdapat

similar dengan

( )

maka

untuk suatu

( )

( ). Karena

( )

. Dengan demikian berdasarkan Lemma 3.2.1 untuk suatu

dimana

( )

terdapat ( )

memenuhi

sedemikian sehingga ( ) . Pilih

yang memenuhi

maka ( ) ( ) ( )



27

( ) ( )

( )

( ) . Berdasarkan Lemma 3.2.1,

Dengan demikian didapat

matriks adjugate dari , adalah matriks yang unik, maka

.

Jadi terbukti

Lemma 3.2.3 Jika ( )

maka

dimana (

Bukti. Misalkan

untuk suatu bilangan prima

). (

)

(

)

dengan

dapat

dinyatakan sebagai (

Akan ditunjukkan

,

( )

(

) dengan mengunakan induksi. ( )

Akan ditunjukkan benar bahwa

(

) untuk

( ( )

(

.

* )

)(

(

)(

)

(

)

Misalkan

, maka

demikian berlaku

( )

(

Asumsikan benar bahwa ditunjukkan benar bahwa

( )

) untuk ( ) (

( )

. Dengan

.

(

) untuk

. Akan

) untuk

(

)

Dengan ekspansi baris pertama diperoleh



28

( )

(

)|

|

|

|

|

|

| adalah

Berdasarkan asumsi, nilai dari| untuk suatu

atau

)

. Misalkan |

| untuk

(

|

|

, dimana

. Maka diperoleh ( )

(

)(

)

(

)

Misalkan pula

( )

, maka

untuk

( )

. Jadi terbukti

(

) untuk

dimana

Lemma 3.2.4 Untuk setiap

( ) jika dan hanya jika

,

(

)

( ).

Bukti. Pertama misalkan (

dengan (

( ) maka akan ditunjukkan , definisikan ̅

)

( ). Untuk

)

(

). Berdasarkan definisi determinan

(

( )

∑

( )

( )

( )

)

[∑

( )

( )

( )] (

) dimana

maka ( )(

)



29

( )

∑

( )

( ̅) ( ( ) maka

Karena

)

. Jadi terbukti (

)

Sebaliknya, misalkan ( Karena ̅ ( ̅) (

)

( ). )

( ), akan ditunjukkan )

( )(

( )(

atau

. Sehingga ̅ invertibel menurut

( ̅) (

( ) maka ) maka

)

untuk setiap

( ̅) (

. Dengan demikian operasi di

( )

( )

)

( )(

. Karena ( )

atau

( ). )

untuk setiap

( )


Dengan informasi tersebut maka untuk memeriksa elemen-elemen (

) yang dapat menjadi automorfisma dapat melalui matriks didalam

himpunan

yang berkoresponden dengan endomorfisma

.

( ), dengan

Teorema 3.2.5 Endomorfisma

suatu automorfisma jika dan hanya jika (

(

)

), adalah

( ).

(Hillar & Rhea, 2007) Bukti. Pertama, misalkan (

ke

( ) dimana

. Akan

( ) adalah automorfisma. Karena ( ) adalah endomorfisma

dibuktikan dari

)

, maka cukup ditunjukkan ( ) pemetaan bijektif. Dengan

menggunakan Lemma 2.2.1 akan ditunjukkan ( ) memiliki invers yang memenuhi ( )( ( )) (

)

( ) dan

( )

Misalkan 3.2.4

( ( ))

( )

( ) dengan

merupakan invers dari berlaku pula

( )

(

( )

( ) ( ) mod

maka menurut Lemma ( ) maka

. Karena

. Berdasarkan Lemma 2.1.1 diperoleh yang mengakibatkan

.

( )

untuk

) ,

. Dengan demikian . Karena untuk

( )

maka

.



30

Berdasarkan Lemma 3.2.2, untuk suatu terdapat dimana

)

, maka

( ) . Misalkan

sedemikan sehingga (

( )

dan

(

)

, maka (

)

Karena (

( ) )

dan (

( (

( atau terdapat (

(

(

( )

)

) )

adalah homomorfisma dengan demikian

)

( ) (

)

(

(

)

( ( ))

)

)

(

)

) ( )

(

) yang memenuhi

( ( ))

( )( ( ))

)

( )

Jadi terbukti ( ) pemetaan bijektif serta ( ) merupakan automorfisma pada Sebaliknya, dimisalkan ( ) adalah automorfisma untuk )

akan dibuktikan ( (

maka

( ). Berdasarkan Teorema 3.1.8, untuk setiap sedemikian sehingga ( )

) terdapat

(

adalah automorfisma, maka terdapat (

. Karena sedemikian sehingga ( )

.

. Karena ( )

) sedemikian sehingga

) maka terdapat

homomorfisma gelanggang, dengan

demikian diperoleh (

)

(

)

( )

( ) ( )

Jadi

(

. Misalkan (

,

Berdasarkan Lemma 3.1.9, jika elemen matriks

) maka (

,

maka

habis membagi elemen-

, akibatnya



31

{ untuk

. (

Pilih

,

( (

didapat

)

, maka )

( )

(

,

. Dengan menggunakan Lemma 3.2.3 ( )

Berdasarkan Lemma 3.2.4, karena

(

). Dengan demikian ( ), terbukti

(

( ).

)

( ).

Jadi terbukti endomorfisma ( ) adalah suatu automorfisma jika dan hanya jika (

)

( ).

Dengan demikian telah ditunjukkan, melalui Teorema 3.2.5, karakter yang harus dipenuhi matriks di

yang dapat memberikan automorfisma

.



BAB 4 KESIMPULAN

Pada skripsi ini telah ditunjukkan bahwa setiap pemetaan endomorfisma memiliki matriks padanan di himpunan gelanggang matriks

(Teorema

3.1.8). Teorema 3.2.5 menyatakan bahwa, jika matriks endomorfisma masing-masing entrinya dimodulo dengan , merupakan anggota matriks tersebut berpadanan dengan automorfisma jika endomorfisma

, yang ( ), maka

. Berlaku pula sebaliknya,

merupakan automorfisma, maka matriks endomorfisma

yang masing-masing entrinya dimodulo dengan

merupakan anggota


,

( ).


DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. (2000). Elementary Linear Algebra 8th ed. New York: Willey. Bhattacharya, P., Jain, S., & Nagpul, S. (1994). Basic Abstract Algebra 2nd ed. New York: Cambridge University Press. Burton, D. M. (2002). Elementary Number Theory 5th ed. New York: McGrawHill Companies, Inc. Herstein, I. N. (1996). Abstract Algebra 3rd ed. New Jersey: Prentice-Hall. Hillar, C., & Rhea, D. L. (2007). Automorphisms of Finite Abelian Groups. The American Mathematical Monthly, 917-923. Jacob, B. (1990). Linear Algebra. New York: W. H. Freeman and Company. Lang, S. (2002). Algebra 3rd ed. New York: Springer-Verlag. Ranum, A. (1907). The Group of Classes of Congruent Matrices with Application to the Group of Isomorphism of any Abelian Group. Trans. Amer. Math. Soc, 71-91.



KARAKTER MATRIKS DARI ENDOMORFISMA SEBAGAI AUTOMORFISMA PADA GRUP HINGGA KOMUTATIF SKRIPSI CITRA NATALIA

Recommend Documents