UNIVERSITAS INDONESIA
KARAKTER MATRIKS DARI ENDOMORFISMA SEBAGAI AUTOMORFISMA PADA GRUP HINGGA KOMUTATIF
SKRIPSI
CITRA NATALIA 0806325466
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JUNI 2012
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
UNIVERSITAS INDONESIA
KARAKTER MATRIKS DARI ENDOMORFISMA SEBAGAI AUTOMORFISMA PADA GRUP HINGGA KOMUTATIF
SKRIPSI Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains
CITRA NATALIA 0806325466
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JUNI 2012
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS
Skripsi ini adalah hasil karya sendiri, dan semua sumber baik yang dikutip maupun dirujuk telah saya nyatakan dengan benar.
Nama
: Citra Natalia
NPM
: 0806325466
Tanda Tangan
:
Tanggal
: 14 Juni 2012
iii Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
HALAMAN PENGESAHAN
Skripsi ini diajukan oleh Nama NPM Program Studi Judul Skripsi
: : : :
Citra Natalia 0806325466 Sarjana Matematika Karakter Matriks dari Endomorfisma sebagai Automorfisma pada Grup Hingga Komutatif
Telah berhasil dipertahankan di hadapan Dewan Penguji dan diterima sebagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia
DEWAN PENGUJI
Pembimbing I
: Dra. Nora Hariadi, M.Si
(
)
Penguji I
: Dr. Hengki Tasman
(
)
Penguji II
: Arie Wibowo, M.Si
(
)
Penguji III
: Rahmi Rusin S.Si.,M.Sc.Tech
(
)
Ditetapkan di Tanggal
: Depok : 14 Juni 2012
iv Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus, atas segala hikmat dan kasih penyertaan yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Penulis sadar bahwa penyelesaian tugas akhir ini tidak terlepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah berjasa dalam penulisan tugas akhir ini maupun selama penulis kuliah. Ucapan terima kasih penulis haturkan kepada: 1. Ibu Dra. Nora Hariadi, M.Si., selaku dosen pembimbing yang telah menyediakan waktu, tenaga, dan pikiran untuk mengarahkan penulis dalam penyusunan skripsi ini. 2. Segenap dosen yang telah memberikan ilmunya selama 4 tahun ini, terutama Ibu Dr. Sri Mardiyati selaku Pembimbing Akademis saya. 3. Bapak Dr.Yudi Satria,M.T selaku Ketua Departemen, Ibu Rahmi Rusin, S.Si, M.Sc.Tech selaku Sekretaris Departemen, dan Ibu Dr. Dian Lestari selaku Koordinator Pendidikan yang telah banyak membantu proses penyelesaian tugas akhir ini. 4. Seluruh karyawan (Mbak Santi, Pak Saliman, Pak Salman, Pak Wawan, Mbak Via) di Departemen Matematika UI atas bantuan yang telah diberikan selama penulis kuliah sampai penulis menyelesaikan tugas akhir. 5. Keluarga penulis, Ayahanda Eddy Manullang, Ibunda Liana Setiadharma, Abang Miko, Kak Sondang, Kak Tita, dan segenap keluarga besar, Uda Hasahatan, yang telah banyak membantu selama kuliah baik secara finansial maupun doa. 6. Kak Ajat Adriansyah, S.Si., yang sangat membantu dalam membimbing penulis dari awal pengerjaan skripsi hingga akhir. 7. Sahabat penulis, Nita Astuti, Gayatri Bagawanti, Agnes yang telah menemani melewati masa suka dan duka selama kuliah. 8. Teman satu bimbingan, Yulial dan Hendri yang banyak membantu melewati masa-masa sulit dalam pengerjaan skripsi.
v Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
9. Seluruh teman-teman angkatan 2008 : Siwi, Uci D, Resti, Olin, Fani, Emi, Eka, May, Nisah, Ifah, Maul,Wulan, Ade,Sita, Risya, Dila, Kiki, Tuti, Numa, Cindy, Adi, Arif, Hindun, Andi, Dheni, Asri, Dewe, Dian, Janu, Nora, Uci L, Vika, Dea, Lutfah, Nadia, Bowo, Umbu, Arman, AW, Arkis, Maimun, Puput, Dhanis terimakasih atas segala kebersamaannya selama masa kuliah sampai saat ini. 10. Semua teman-teman di Matematika UI: Ka Tika, Ka Oza, Martin, Ka Nora, Ka Ayat, Eja, Luthfir, Putri, Sofi, Revi, Anna serta senior dan junior lainnya angkatan 2005, 2006, 2007, 2009, 2010 dan 2011, terima kasih atas semangat dan dukungannya.
Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini. Akhir kata, penulis mohon maaf jika terdapat kesalahan atau kekurangan dalam skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca.
Penulis 2012
vi Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Sebagai sivitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan di bawah ini: Nama : Citra Natalia NPM : 0806325466 Program Studi : Sarjana Matematika Departemen : Matematika Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jenis karya : Skripsi demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive Royalty Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjudul : Karakter Matriks dari Endomorfisma sebagai Automorfisma pada Grup Hingga Komutatif. beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti Noneksklusif ini Universitas Indonesia berhak menyimpan, mengalihmedia/format-kan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), merawat, dan memublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di : Depok Pada tanggal : 14 Juni 2012 Yang menyatakan
(Citra Natalia)
vii Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
ABSTRAK
Nama : Citra Natalia Program Studi : Matematika Judul : Karakter Matriks dari Endomorfisma sebagai Automorfisma pada Grup Hingga Komutatif Misalkan menyatakan grup hingga komutatif dengan order bilangan prima. Karena himpunan automorfisma grup adalah himpunan bagian dari himpunan endomorfisma grup, maka mempelajari automorfisma grup dapat melalui endomorfisma grup . Dengan adanya pemetaan homomorfisma surjektif dari gelanggang matriks ke gelanggang endomorfisma , maka setiap endomorfisma akan memiliki padanan suatu matriks. Dalam skripsi ini dibahas tentang karakter matriks dari endomorfisma yang dapat memberikan automorfisma
Kata kunci x+33 halaman Daftar Pustaka
: Grup hingga komutatif, automorfisma grup, endomorfisma grup. : : 8 (1907-2007)
viii Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
Universitas Indonesia
ABSTRACT
Name Major Title
: Citra Natalia : Mathematics : Character of Matrix Endomorphism as an Automorphism of Finite Abelian Group.
Let denotes a finite commutative group of order where is a prime number. Since automorphism group is a subset of endomorphism group, then it is possible to study the group automorphism of by analyzing the group endomorphism of . With the existence of a surjective homomorphism mapping from the ring of matrices to the endomorphism ring of , then each element in the endomorphism ring of will have a matrix associated to it. This mini thesis will discuss the characteristic of the matrix of the endomorphism that gives the automorphism of .
Keywords : Finite abelian group, group automorphism, group endomorphism. x+33 pages : Bibliography : 8 (1907-2007)
ix Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
Universitas Indonesia
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL..............................................................................................ii HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS ..................................................iii HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................... iv KATA PENGANTAR ........................................................................................... v HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ...........................vii ABSTRAK ..........................................................................................................viii DAFTAR ISI .......................................................................................................... x 1. PENDAHULUAN ............................................................................................. 1 1.1 Latar Belakang ........................................................................................... 1 1.2 Rumusan Masalah dan Ruang Lingkup ..................................................... 2 1.3 Metode Penelitian....................................................................................... 2 1.4 Tujuan Penulisan ........................................................................................ 2 2. LANDASAN TEORI........................................................................................ 3 2.1 Teori Bilangan ............................................................................................ 3 2.2 Pemetaan .................................................................................................... 4 2.3 Grup ........................................................................................................... 6 2.4 Gelanggang ................................................................................................ 9 3. KARAKTER MATRIKS ENDOMORFISMA GRUP HINGGA KOMUTATIF SEBAGAI AUTOMORFISMA .............................................. 12 3.1 Gelanggang Endomorfisma dari ........................................................ 12 3.2 Karakter Matriks Endomorfisma sebagai Automorfisma ............ 24 4. KESIMPULAN ............................................................................................... 32 DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 33
x Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
Universitas Indonesia
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Dalam Teorema Fundamental dari Grup Hingga Komutatif, dikatakan bahwa setiap grup hingga yang komutatif dapat dinyatakan sebagai hasil kali langsung dari grup-grup siklik (Herstein, 1996). Misalkan yang komutatif, maka menurut Teorema Fundamental, dimana siklik dengan order
,
adalah grup hingga
dapat ditulis sebagai
dengan
adalah grup
bilangan prima (Hillar & Rhea, 2007).
adalah
grup-grup hingga komutatif dengan order yang saling relatif prima. Dengan kata lain, Teorema Fundamental menyatakan bahwa grup hingga komutatif
dapat
dinyatakan sebagai hasil kali langsung dari grup berorder pangkat dari bilangan prima
yaitu
.
Automorfisma dari suatu grup merupakan isomorfisma yang memetakan sebuah grup ke dirinya sendiri. Untuk suatu grup hingga, automorfisma dari grup tersebut memiliki order yang terbatas (Horosevskii, 1974). Ranum pada penelitiannya telah mencoba untuk memberikan karakter pada automorfisma dari grup hingga komutatif kali langsung dari
(Ranum, 1907). Karena
, maka automorfisma dari
automorfisma dari hasil kali langsung
, yaitu
dapat dinyatakan sebagai hasil dapat dinyatakan sebagai ( )
(
).
Lebih lanjut, karena automorfisma dari hasil kali langsung dua buah grup yang ordernya saling relatif prima isomorfik dengan hasil kali langsung dari masingmasing automorfisma grup tersebut (Hillar & Rhea, 2007), maka automorfisma akan isomorfik dengan hasil kali langsung dari automorfisma (
)
.
,
( )
/ Dengan demikian untuk mempelajari automorfisma
dapat melalui automorfisma
.
Karena himpunan automorfisma suatu grup merupakan himpunan bagian dari himpunan endomorfisma, maka untuk melihat karakter dari himpunan
1
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
2
automorfisma (
dengan
dapat melalui gelanggang endomorfisma
). Melalui sebuah pemetaan homomorfisma yang memetakan (
suatu himpunan matriks ke (
), dapat ditunjukkan setiap elemen di
) memiliki padanan matriks. Padanan matriks yang berkoresponden (
dengan elemen-elemen automorfisma pada
1.2
yang dinotasikan
) dan memenuhi sifat tertentu akan memberikan
.
Rumusan Masalah dan Ruang Lingkup
Berdasarkan latar belakang diatas permasalahan tugas akhir ini adalah menentukan karakter dari matriks endomorfisma automorfisma
. Ruang lingkup dari permasalahan ini adalah grup yang
ditelaah adalah grup hingga komutatif ⁄
⁄
, dan
yang memberikan
untuk
dimana adalah bilangan prima, berlaku
adalah bilangan bulat positif yang bernilai unik untuk suatu
dekomposisi.
1.3
Metode Penelitian
Penelitian dilakukan dengan studi literatur.
1.4
Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah mempelajari karakter dari matriks suatu
(
) yang memberikan automorfisma
.
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
BAB 2 LANDASAN TEORI
Pada bab ini dibahas beberapa teori dasar yang diperlukan untuk mempelajari karakter matriks bagi gelanggang endomorfisma dari grup hingga komutatif. Materi yang dibahas adalah mengenai teori bilangan, pemetaan, grup, dan gelanggang.
2.1
Teori Bilangan
Sebuah bilangan bulat , dinotasikan dengan simbol sedemikan sehingga
dikatakan habis dibagi oleh bilangan bulat , jika terdapat sebuah bilangan bulat
. Dua buah bilangan bulat
dan , dimana salah
satunya tidak sama dengan nol, memiliki faktor persekutuan terbesar , yang (
dinotasikan dengan adalah
habis membagi
terdapat
) dan
jika memenuhi dua kondisi. Kondisi pertama habis membagi . Kondisi kedua adalah jika
dimana habis membagi
dan
habis membagi
maka
(Burton, 2002). Misalkan dan
dan
adalah bilangan bulat yang tidak sama dengan nol, maka (
dikatakan saling relatif prima jika
)
(Burton, 2002). Berikut
lemma yang menunjukkan sifat dari dua bilangan bulat yang saling relatif prima.
Lemma 2.1.1 Misalkan dengan nol.
dan
bilangan bulat
dan
dan
adalah dua buah bilangan bulat yang tidak sama
dikatakan saling relatif prima jika dan hanya jika terdapat sedemikian sehingga
.
(Burton, 2002)
Definisi 2.1.2 Misalkan
adalah bilangan bulat positif. Dua bilangan bulat (
dikatakan kongruen modulo , yang disimbolkan sebagai habis membagi
atau
dan
), jika
untuk suatu bilangan bulat .
(Burton, 2002)
3
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
4
Himpunan bilangan bulat ̅, untuk suatu bilangan bulat (
(
yang memenuhi
), dinotasikan adalah ̅
dan bilangan bulat positif
*
)+.
Contoh 2.1.3 Misalkan untuk
, maka
(
(
)
Sifat 2.1.4 Misalkan untuk
)
dan
(
)
adalah bilangan bulat sembarang,
maka bilangan bulat ini memenuhi sifat-sifat (
(a)
).
(b)
Jika
(
), maka
(c)
Jika
(
) dan
(
), maka
(d)
Jika
(
) dan
(
), maka
(
(
). (
). (
) dan
).
(e)
Jika
(
), maka
(f)
Jika
(
), maka
( (
) dan
(
).
) untuk suatu bilangan bulat
positif . (Burton, 2002)
2.2
Pemetaan
Misalkan terdapat dua himpunan
dan . Pemetaan
sebuah aturan yang memasangkan tiap elemen di Pemetaan
di
( ). Pemetaan
dimana berlaku ( )
ke
adalah
dengan tepat satu elemen di .
dikatakan surjektif atau pada, jika untuk setiap di
sedemikian sehingga untuk
dari
terdapat di
dikatakan injektif atau satu-satu jika ( ), maka
. Pemetaan yang
memenuhi sifat surjektif dan injektif disebut sebagai pemetaan bijektif . Pemetaan dari suatu himpunan jika memenuhi
( )
ke
untuk setiap
disebut sebagai pemetaan identitas,
,
di .
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
5
Misalkan dengan
adalah pemetaan dari
, adalah pemetaan dari dan
ke . Invers dari , yang dinotasikan
ke
sedemikian sehingga memenuhi
dimana
dan
adalah pemetaan identitas di
dan di . Berikut lemma yang menunjukkan keterkaitan antara pemetaan bijektif dengan invers dari pemetaan tersebut.
Lemma 2.2.1 Pemetaan terdapat dan
adalah pemetaan bijektif jika dan hanya jika
yang memenuhi
dan
masing-masing adalah pemetaan identitas dari
dimana dan .
(Herstein, 1996)
Bukti. Misalkan untuk suatu pemetaan memenuhi identitas dari ditunjukkan
terdapat
dan
dimana
dan , maka akan dibuktikan
dan
yang adalah pemetaan
pemetaan bijektif. Pertama akan
adalah pemetaan injektif. Misalkan ( )
( ) untuk
,
maka, ( ) (
)( ) ( ( )) ( ( )) ( )
Dengan demikian, untuk ( )
( ) maka
. Jadi terbukti
adalah
pemetaan injektif. Kemudian akan dibuktikan
adalah pemetaan surjektif. Misalkan adalah
sembarang elemen di . Karena terdapat pemetaan
, dimana
( )
maka, ( ) ( ) (
( ))
( )
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
6
Dengan demikian terbukti
adalah pemetaan surjektif. Jadi terbukti
adalah
pemetaan bijektif. Sebaliknya akan dibuktikan jika maka terdapat pemetaan dimana
dan
yang memenuhi
adalah pemetaan identitas dari
untuk sembarang
terdapat
Definisikan pemetaan ( )
merupakan pemetaan bijektif
( )
. maka
adalah invers dari dari .
terdefinisi dengan baik. Misalkan dan ( )
dimana
injektif dan (
. Karena
atau didapat ( )
), maka
surjektif,
( )
yang memenuhi untuk setiap
Pertama akan ditunjukkan
(
dan . Karena
sedemikian sehingga
. Akan dibuktikan bahwa pemetaan
, serta
dan
)
( ). Jadi terbukti
terdefinisi dengan baik. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa pemetaan yaitu memenuhi sifat , yaitu ( )
definisi
dan
sedemikian sehingga
dan
. Ambil
. Berdasarkan
( )
diperoleh ( ( ))
( )
atau
. Karena ( )
. Ambil
. Karena ( )
injektif maka
. Karena
dan
maka
adalah invers dari
dan
,
( ) dan
, akibatnya ( ( ))
( )
terdefinisi dengan baik dan memenuhi adalah invers dari
dan ditulis sebagai
.
2.3
Grup
Grup adalah suatu himpunan yang tidak kosong, dimana didalamnya didefinisikan suatu operasi biner yang memenuhi beberapa sifat tertentu. Berikut definisi dan contoh dari grup.
Definisi 2.3.1 Misalkan
adalah himpunan tak kosong.
disebut grup jika di
didefinisikan suatu operasi biner , sedemikian sehingga memenuhi keempat aksioma berikut:
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
7
maka
.
(a)
Jika
(b)
Jika
maka (
(c)
Terdapat
sedemikian sehingga
(d)
Untuk setiap
)
(
terdapat
). untuk setiap
.
sedemikian sehingga
. (Herstein, 1996)
20
Contoh 2.3.2 Misalkan matriks.
1 0
13 dan * merupakan operasi perkalian 0
merupakan suatu grup dengan
1; 0
1
0
1.
Apabila sebuah himpunan hanya memenuhi sifat tertutup dan asosiatif, maka himpunan tersebut disebut sebagai semigrup. Grup komutatif jika grup
untuk setiap
hingga maka
sebagai order dari
dikatakan grup
. Apabila banyak elemen di
disebut grup hingga. Banyaknya elemen dalam dan dinotasikan dengan
Definisi 2.3.3 Sebuah grup
disebut
(Herstein, 1996).
dikatakan grup siklik jika terdapat
sedemikian sehingga untuk setiap suatu bilangan bulat . Elemen
dapat dinyatakan sebagai
untuk
disebut sebagai pembangkit untuk .
(Herstein, 1996)
Misalkan terdapat subhimpunan tak kosong
dari grup , dimana
subhimpunan tersebut juga memenuhi keempat aksioma grup terhadap operasi yang sama yang didefinisikan di dalam , maka subhimpunan
dikatakan
sebagai subgrup dari .
Definisi 2.3.4 Misalkan
adalah subgrup dari
*
+ disebut sebagai koset kanan dari
*
+ disebut sebagai koset kiri dari
dan di
. Himpunan dan himpunan
di .
(Herstein, 1996)
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
8
suatu grup dengan operasi penjumlahan dan
Contoh 2.3.5 Misalkan
adalah subgrup dari . Maka didapat himpunan koset kanan dan koset kiri sebagai berikut *̅ ̅ ̅ ̅+ * ̅ ̅ ̅ ̅ +.
dari grup
Subgrup
yang memenuhi
untuk setiap
,
disebut sebagai subgrup normal di . Peranan subgrup normal sangat penting dalam aljabar. Berikut salah satu peranan dari subgrup normal.
Definisi 2.3.6 Misalkan
adalah subgrup normal dari . Grup faktor
oleh
,
yang dinotasikan dengan ⁄ , adalah ⁄ dengan operasi , -, -
,
*, -
+
+
*
-.
(Herstein, 1996)
Contoh 2.3.7 Misalkan ⁄
adalah subgrup normal dari grup
* ̅ ̅ ̅ + adalah grup faktor
oleh
, maka
.
Berikutnya dibahas mengenai pemetaan homomorfisma pada grup.
Definisi 2.3.8 Misalkan
dan
adalah grup. Pemetaan
homomorfisma jika memenuhi (
)
adalah
( ) ( ) untuk setiap
.
(Herstein, 1996)
Contoh 2.3.9 Misalkan
adalah grup komutatif. Misalkan pula pemetaan
didefinisikan sebagai ( ) berlaku (
)
(
homomorfisma dari
)
untuk setiap ( ) ( ). Maka
. Untuk adalah pemetaan
ke dirinya sendiri.
Homomorfisma
dikatakan isomorfisma jika
yang bijektif. Homomorfisma yang memetakan
adalah homomorfisma
ke dirinya sendiri disebut
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
9
endomorfisma. Sedangkan sebuah isomorfisma yang memetakan
ke dirinya
sendiri adalah automorfisma (Herstein, 1996). Pada suatu homomorfisma dikenal himpunan yang dinamakan kernel. Berikut adalah definisi dari kernel suatu homomorfisma.
Definisi 2.3.10 Jika kernel dari
adalah suatu homomorfisma dari grup
, maka
adalah *
adalah elemen identitas di
dimana
ke grup
( )
+
.
(Herstein, 1996)
2.4
Gelanggang
Gelanggang adalah himpunan yang tidak kosong dimana pada himpunan ini didefinisikan dua buah operasi, yaitu penjumlahan dan perkalian sedemikian sehingga memenuhi beberapa aksioma. Berikut adalah definisi serta contoh dari gelanggang.
Definisi 2.4.1 Misalkan jika didalam
adalah himpunan tidak kosong.
terdapat dua operasi
disebut gelanggang
dan sedemikian sehingga membentuk
grup komutatif terhadap operasi penjumlahan, semigrup terhadap operasi perkalian dan memenuhi sifat distributif terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. (Lang, 2002)
Contoh 2.4.2 Misalkan entri di . Himpunan
{(
)
} adalah himpunan matriks dengan
akan membentuk gelanggang terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian matriks.
Gelanggang yang memiliki elemen identitas terhadap operasi perkalian dikatakan sebagai gelanggang dengan unit. Sedangkan gelanggang yang memenuhi sifat komutatif terhadap operasi perkalian disebut sebagai gelanggang
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
10
dalam gelanggang memiliki invers
komutatif. Apabila setiap elemen
terhadap operasi perkalian, maka gelanggang tersebut disebut gelanggang hasil bagi (Herstein, 1996). Sama halnya dengan grup, pada bagian ini juga akan dibahas homomorfisma gelanggang. Berikut adalah definisi dari homomorfisma gelanggang serta kernel dari homomorfisma gelanggang.
Definisi 2.4.3 Misalkan
dan
homomorfisma jika (
)
setiap
adalah gelanggang. Pemetaan ( )
( ) dan
(
)
adalah ( ) ( ) untuk
.
(Herstein, 1996)
Definisi 2.4.4 Misalkan maka kernel dari
adalah sebuah homomorfisma gelanggang dari
adalah *
dimana
pada
adalah elemen identitas di
( )
+
.
(Herstein, 1996)
Misalkan Definisikan
adalah grup komutatif terhadap operasi penjumlahan. ( ) adalah himpunan endomorfisma dari
ke
dengan operasi
penjumlahan dan perkalian sebagai berikut (
)( )
( )
( ) dan
untuk setiap
( ) dan ( . Himpunan
)( )
( ( ))
( ) dengan dua operasi
biner ini membentuk gelanggang. (Bhattacharya, Jain, & Nagpul, 1994)
Contoh 2.4.5 Misalkan
adalah grup komutatif terhadap operasi
penjumlahan modulo 6. Himpunan pemetaan endomorfisma dari
ke
akan
membentuk gelanggang terhadap operasi penjumlahan dan komposisi fungsi.
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
11
Gelanggang yang elemen-elemennya membentuk grup komutatif terhadap operasi perkalian disebut sebagai lapangan. Berikut definisi lengkap dari lapangan.
Definisi 2.4.6 Misalkan didalam
adalah himpunan tidak kosong.
terdapat dua operasi
disebut lapangan jika
dan sedemikian sehingga membentuk
gelanggang hasil bagi yang komutatif. (Herstein, 1996)
Sebuah lapangan
dikatakan memiliki karakteristik
sebuah bilangan bulat ,
untuk setiap
jika untuk
, dan tidak ada bilangan bulat
positif yang lebih kecil dari
yang memenuhi sifat ini (Herstein, 1996).
Contoh 2.4.7 Misalkan
* ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ + adalah lapangan terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian modulo. Karena berlaku maka lapangan
memiliki karakteristik
̅ untuk setiap ̅ ̅
,
.
Berikut didefinisikan himpunan matriks invertibel dimana entri-entrinya merupakan elemen dari suatu lapangan.
Definisi 2.4.8 Himpunan matriks berukuran suatu lapangan
yang invertibel dengan entri di
yang memiliki order , membentuk grup dengan operasi
perkalian matriks, dan dilambangkan dengan
( ).
(Lang, 2002)
Contoh 2.4.9 Misalkan terdapat lapangan , dimana himpunan
* ̅ ̅ +. Dibentuk
yang anggotanya adalah matriks-matriks invertibel yang entri-
entrinya adalah elemen dari {[ maka
̅ ̅
̅ ̅ ] [ ̅ ̅
̅ ̅ ] [ ̅ ̅
̅ ̅ ] [ ̅ ̅
̅ ̅ ] [ ̅ ̅
̅ ̅ ] [ ̅ ̅
̅ ]} ̅
akan membentuk grup terhadap perkalian matriks.
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
BAB 3 KARAKTER MATRIKS ENDOMORFISMA GRUP HINGGA KOMUTATIF SEBAGAI AUTOMORFISMA
Seperti yang sudah disebutkan pada Bab 1, komutatif. Menurut Teorema Fundametal,
adalah grup hingga
dapat dinyatakan sebagai hasil kali
langsung dari grup-grup siklik yaitu ⁄ untuk
⁄
adalah bilangan prima dan
dengan
adalah bilangan
bulat positif yang bernilai unik untuk suatu dekomposisi. Pada bab ini dibahas tentang gelanggang endomorfisma dari yang memenuhi automorfisma
3.1
, serta sifat matriks endomorfisma dari
.
Gelanggang Endomorfisma dari
Definisi 3.1.1 Himpunan matriks *(
)
, adalah
untuk setiap dan yang memenuhi
+. (Hillar & Rhea, 2007)
Berikut diberikan contoh anggota-anggota di
untuk
Contoh 3.1.2 Misalkan untuk
dimana
.
. Karena memenuhi maka didapat
. Dengan demikian didapat himpunan
12 Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
Universitas Indonesia
13
{[
]
}.
Pada lemma berikut ditunjukkan bahwa setiap matriks yang merupakan elemen dari
dapat didekomposisi.
Lemma 3.1.3
jika dan hanya jika
dapat dinyatakan sebagai dekomposisi
untuk matriks diagonal , dimana
) dan
diagonal(
.
Bukti. Pertama, misalkan
, akan dibuktikan terdapat matriks
(
dengan
) . Karena
+ maka berlaku
Akibatnya terdapat
untuk
sedemikian sehingga (
Bentuk matriks
(
dimana
sedemikian sehingga
)
dan
ditunjukkan bahwa
untuk
.
(
)(
(
)
)
(
)(
Jadi terbukti bahwa untuk setiap dengan
.
), maka dapat
diagonal(
atau
.
dan
)
dapat didekomposisi menjadi diagonal(
).
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
14
Sebaliknya akan dibuktikan, bahwa apabila terdapat matriks dan matriks
) sedemikian sehingga
diagonal( (
. Misalkan
(
)
, maka
,(
(
maka
,
,(
,(
,
. (
)
Jadi
. (
)
Akibatnya
untuk
demikian berlaku
untuk
dan
(
) untuk
. Dengan
. Hal ini mengakibatkan
(
)
Dengan menggunakan Lemma 3.1.3, dapat ditunjukkan bahwa himpunan matriks
dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks membentuk
gelanggang dengan unit.
Lemma 3.1.4
membentuk gelanggang terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian matriks dan
yang memuat unit.
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
15
Bukti. Pertama akan dibuktikan
membentuk grup komutatif terhadap operasi
penjumlahan matriks. Misalkan
(
ditunjukkan
)
dan
(
)
, akan
tertutup terhadap operasi penjumlahan matriks. Karena
maka
dengan
(
)
(
, dan
(
)
(
,
. (
)
(
(
(
)
(
)
Karena
(
,
,.
, dengan demikian didapat
,
(
)
,
(
Karena
(
dan berlaku
(
)
(
)
|(
) maka
(
,
. Jadi
tertutup terhadap operasi penjumlahan matriks. Karena
untuk setiap
matriks 0 juga merupakan anggota untuk setiap
yang memenuhi
maka
. Lebih lanjut karena berlaku
, maka matriks 0 merupakan identitas terhadap operasi
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
16
penjumlahan matriks di
. Berdasarkan sifat penjumlahan pada matriks maka , yaitu (
sifat asosiatif dan komutatif berlaku juga di ) dan
untuk
)
(
. Dengan demikian, terbukti
merupakan grup komutatif terhadap operasi penjumlahan matriks. Selanjutnya akan dibuktikan matriks. Misalkan
tertutup terhadap operasi perkalian
. Berdasarkan Lemma 3.1.3, dan
dinyatakan sebagai
dan
dapat
untuk suatu
dan
). Maka
diagonal(
(
)( (
Karena
)
)
dapat dinyatakan sebagai dekomposisi (
dan
. Jadi terbukti
maka menurut Lemma 3.1.3
)
tertutup terhadap operasi
perkalian matriks. Berdasarkan sifat perkalian pada matriks berlaku sifat asosiatif pada yaitu (
)
(
) untuk
. Lebih lanjut, sifat distributif
terhadap penjumlahan dan perkalian juga berlaku di dan (
,
)
(
, yaitu
untuk
)
. Jadi terbukti
adalah gelanggang. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa gelanggang unitnya adalah matriks identitas. Karena berlaku untuk setiap adalah elemen
untuk
yang memenuhi
dan berlaku
demikian terbukti himpunan
memuat unit dan dan
, maka matriks identitas untuk setiap
. Dengan
membentuk gelanggang terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian matriks dan memuat unit yang berupa matriks identitas .
Sebelum pembahasan dilanjutkan, diberikan beberapa notasi yang ⁄
nantinya digunakan. Misalkan penjumlahan modulo
dimana
dapat dilihat sebagai kelas ̅
adalah grup siklik terhadap operasi
adalah generator untuk *
(mod
. Secara spesifik
)+. Misalkan pula
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
17 ̅
⁄
(̅̅̅
untuk
, maka
dapat dinyatakan sebagai vektor kolom
̅̅̅) . Selanjutnya definisikan pemetaan (
)
(
dari
( )
ke
dengan
))
(̅̅̅
(
̅̅̅)
(3.1)
. Pada Lemma 3.1.5 ditunjukkan bahwa pemetaan
dimana
ini
adalah suatu homomorfisma grup.
Lemma 3.1.5 Pemetaan
dengan (
(̅̅̅
)
̅̅̅)
adalah suatu homomorfisma grup. Bukti. Misalkan ( )
((
) (
(
) )
)
, maka
(
) (
(
)
(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
(̅̅̅
̅̅̅
(̅̅̅
̅̅̅ ̅̅̅)
( )
) )
̅̅̅)
(̅̅̅ )
))
̅̅̅)
(
(
) .
)
(
Selanjutnya ditunjukkan bahwa setiap elemen di
(
Karena ((
(
(
) maka
adalah homomorfisma grup.
padanan matriks di
melalui pemetaan
,(
Definisi 3.1.6 Misalkan (
Pemetaan
ke
dan (̅̅̅
)
̅̅̅) )
(
).
.
) adalah ( )(̅̅̅
dengan
yang memetakan
) memiliki
̅̅̅)
( (
) )
seperti didefinisikan pada Persamaan (3.1).
(Hillar & Rhea, 2007)
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
(3.2)
18
Sebelum masuk pada pemetaan , akan ditunjukkan terlebih dahulu ( )
pada Persamaan (3.2) adalah pemetaan yang terdefinisi dengan (
baik dan merupakan elemen di
).
Lemma 3.1.7 Pemetaan ( ) ( )(̅̅̅ (
adalah elemen dari
dengan
dan
( (
) )
̅̅̅)
).
Bukti. Pertama akan dibuktikan ( ) merupakan pemetaan yang terdefinisi (
dengan baik. Misalkan untuk ( ̅
̅) (̅
)
̅)
. Misalkan pula ( ̅ dan
cara menunjukkan ( ( selisih ( (
) ) ((
) )
̅)
untuk
( )( ̅
̅ ) dengan
̅ . Perhatikan bahwa
) )
) ) adalah
+ ( +)
((
+
(
̅)
( (
( (
(̅
dengan
. Akan dibuktikan ( )( ̅
setiap
̅)
+ ( +)
+
(
atau dapat dinyatakan dalam selisih vektor baris ke- sebagai berikut (∑ untuk
. Karena (∑
+
+
(∑
+
adalah homomorfisma maka (∑
+
(∑
∑
(∑
∑
(
+
+
(
))
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
19
Jika
(
) dikalikan dengan (∑
+
(∑
Karena (
)
maka
karena
(
) maka (
dari (
)
maka didapat +
∑
)
. Jika kedua ruas
maka diperoleh )
(
) ). Sedangkan untuk
(
(
untuk
* . Lebih lanjut
untuk suatu
(
didapat
. Karena
)
atau dengan kata lain
dikalikan dengan
Jadi, untuk
(
(
) dan
) Dengan demikian
(
maka
diperoleh
didapat (∑
atau ( )( ̅
+
(∑
+
(∑
+
̅)
( )( ̅
(
(
(∑
+
∑
)
̅
*
̅ ) . Jadi terbukti ( ) merupakan
pemetaan yang terdefinisi dengan baik. Kemudian akan dibuktikan ( ) adalah homomorfisma grup. Karena homomorfisma grup dan operasi pada (̅̅̅
̅̅̅)
( ) .(̅̅̅
dan (̅̅̅ ̅̅̅)
(̅̅̅
memenuhi sifat distributif, maka untuk
̅̅̅)
berlaku
̅̅̅) /
( ) .(̅̅̅
̅̅̅
( )(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅) /
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
( (
) )
( (
)
(
( (
) )
( (
( )(̅̅̅
̅̅̅)
) ) ) )
( )(̅̅̅
̅̅̅)
Jadi terbukti ( ) merupakan homomorfisma grup. Karena ( ) merupakan pemetaan yang terdefinisi dengan baik dan juga homomorfisma grup dari
ke
, maka terbukti ( )
(
)
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
20
Setelah ditunjukkan ( ) pemetaan yang terdefinisi dengan baik dan ( )
(
), akan ditunjukkan pemetaan
seperti pada Definisi 3.1.6
merupakan homomorfisma gelanggang yang surjektif. (
Teorema 3.1.8 Pemetaan ( )(̅̅̅
̅̅̅)
) yang didefinisikan sebagai ( (
) )
adalah suatu homomorfisma gelanggang yang surjektif. (Hillar & Rhea, 2007)
Bukti. Pertama akan ditunjukkan baik. Misalkan
dimana
ditunjukkan ( )(̅̅̅
̅̅̅)
merupakan pemetaan yang terdefinisi dengan dan (̅̅̅ ( )(̅̅̅
̅̅̅)
(
), maka
( (
) )
( (
) )
( )(̅̅̅ Jadi terbukti
̅̅̅)
terdefinisi dengan baik.
Selanjutnya akan dibuktikan pemetaan (̅
Misalkan
̅)
merupakan generator dari setiap
. Akan
̅̅̅) . Berdasarkan Lemma 3.1.7,
( ) terdefinisi dengan baik dan ( ) ( )(̅̅̅
̅̅̅)
dengan
adalah pemetaan surjektif. adalah elemen ke- dan (
. Misalkan pula
) memetakan
. Namun tidak ada kebebasan penuh dalam mendefinisikan pemetaan ini,
secara khusus misalkan ( untuk order
,
)
(̅̅̅̅
. Karena
, maka
̅̅̅̅)
(
)
adalah generator dari grup
(3.3) dengan
̅ . Akibatnya, (̅
̅)
(̅
̅)
(̅ (
̅) )
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
21
(̅
dengan (
) (
̅ ) . Karena
⏟( )
) ⏟(
( )
(
), maka berlaku
). Berdasarkan Persamaan 3.3 didapat (
(⏟̅̅̅̅
)
̅̅̅̅)
(̅̅̅̅̅̅̅̅ Maka diperoleh (̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅)
. Dengan kata lain untuk
. Karena
(
dimana
)
untuk setiap
( )(̅̅̅
̅̅̅̅)
̅̅̅̅̅̅̅̅)
̅ ) atau ̅̅̅̅̅̅̅̅
(̅
untuk
(̅̅̅̅
̅ , untuk
. Akibatnya
, maka dapat dibentuk matriks
̅̅̅)
( (
) )
((
+(
(
+)
+
(
(
(
+
(
+)
+
(
+
)
(
Berdasarkan Persamaan (3.3) (
+
(
(
+
)
Dengan demikian didapat ( )(̅̅̅
̅̅̅)
( ( (
)
(
) (
)
(
)
)
(
),
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
22
( Karena ̅
adalah generator dari
*
, maka
dapat dipandang sebagai
( )(̅̅̅ (
atau untuk setiap
̅̅̅)
(̅̅̅
̅̅̅)
sedemikian sehingga ( )
) terdapat
pemetaan surjektif.
. Jadi terbukti bahwa
Berikutnya, akan dibuktikan dan (̅̅̅
adalah homomorfisma gelanggang.
̅̅̅)
)(̅̅̅
(
̅̅̅)
)(
((
Karena sifat asosiatif pada operasi matriks dan )(̅̅̅
(
̅ dan akibatnya
)+. Dengan demikian
(mod
Misalkan
+
̅̅̅)
) )
adalah homomorfisma, maka
( (
)
(
( (
) )
( (
( )(̅̅̅
̅̅̅)
( )(̅̅̅
( ))(̅̅̅
( ( )
) ) ) ) ̅̅̅)
̅̅̅)
Lebih lanjut, (
)(̅̅̅
̅̅̅)
(
(
) )
( (
) )
( )(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
( )( (
))
( )( ( ( ( ) . ( )(̅̅̅ ( ) Terbukti
( )(̅̅̅
) )) ̅̅̅) / ̅̅̅)
adalah homomorfisma gelanggang.
Terakhir akan dibuktikan pemetaan ke identitas di
(
) yaitu
.
( )(̅̅̅
̅̅̅)
memetakan matriks identitas di
( ( (
) ) )
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
23 (̅̅̅
̅̅̅) (̅̅̅
Jadi terbukti ( )
̅̅̅)
. Dengan demikian terbukti
adalah homomorfisma
gelanggang yang surjektif. (
Teorema diatas memiliki makna bahwa setiap elemen di memiliki padanan matriks di
)
. Lemma berikut akan menunjukkan matriks
seperti apa yang merupakan anggota dari kernel . (
Lemma 3.1.9 Misalkan
)
. Misalkan pula
adalah pemetaan
seperti pada Definisi 3.1.6. yaitu, ( )(̅̅̅ Maka
̅̅̅)
( (
) )
jika dan hanya jika memenuhi
untuk setiap
.
(Hillar & Rhea, 2007)
Bukti. Pertama-tama misalkan untuk setiap (̅
̅)
dipandang sebagai ̅ untuk
(
)
(
)
adalah matriks yang memenuhi
. Maka akan dibuktikan , dengan *
. Misalkan pula
adalah generator dari (
yang dapat
)+. Berdasarkan Persamaan 3.3
, maka ( )
( )( ̅ ( )( ̅ ( (
̅) ̅
̅) ) )
(( (
) ( )) +
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
24
. Karena berlaku (
linier dari
)
(
(̅
, maka ( )
̅)
maka didapat
. Karena
untuk setiap .
(
Untuk pembuktian sebaliknya, misalkan (
, maka matriks
) memenuhi
adalah elemen
berlaku ( )
untuk
. Dengan menggunakan perhitungan sebelumnya ( )
Berdasarkan definisi (
)
. Berdasarkan definisi
kernel homomorfisma gelanggang, untuk setiap
adalah kombinasi . Berdasarkan definisi dari
kernel homomorfisma gelanggang maka
dari
)/
dan berdasarkan definisi
̅ atau ( )
)
(
)
.
, karena
memenuhi
adalah elemen dari kenel
( (
) )
(
)/
̅ maka
. Jadi terbukti untuk (
. Dengan demikian terbukti
jika dan hanya jika memenuhi
)
untuk setiap
.
3.2
Karakter Matriks Endomorfisma
sebagai Automorfisma
Pada Lemma 3.1.7 telah ditunjukkan bahwa ( ) dimana merupakan elemen dari elemen-elemen
(
(
). Dengan demikian, dalam menunjukkan
) yang merupakan automorfisma, matriks yang akan
dipelajari adalah matriks didalam himpunan
. Namun sebelum itu terlebih
dahulu dipelajari beberapa penggunaan teori matriks pada himpunan matriks
Lemma 3.2.1 Misalkan yang unik
dengan
( )
.
. Maka terdapat matriks
, yang disebut sebagai adjugate dari
sedemikian sehingga
( ) . (Hillar & Rhea, 2007)
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
25 (
Bukti. Misalkan terdapat
)
( )
dengan
, akan ditunjukkan ( ) .
yang unik sedemikian sehingga
Misalkan
*
dengan
+ adalah determinan matriks (
)
(
) dengan menghilangkan baris ke- dan kolom ke- dari matriks . Karena maka (
)
. Selanjutnya misalkan pula (
). Karena
, maka (
Definisikan matriks (
Untuk
) dan
. Untuk )
. Maka
+
+
( ∑
( ).
adalah matriks yang diperoleh dari
dengan mengganti elemen-elemen baris ke- dengan baris ke-
matriks
*
sedemikian sehingga dua baris tersebut identik, dimana . Karena matriks
+ dan (
memiliki dua baris yang identik maka *
dengan
Misalkan
+ adalah determinan matriks (
) dengan menghilangkan baris ke- dan kolom ke- dari matriks maka (
)
+.
dimana
berlaku
(
, dimisalkan
*
untuk setiap
+(
∑
dengan
kofaktor dari , yaitu
(
. Misalkan pula
). Karena
Karena pada
kofaktor dari
, maka
)
.
)
(
. Karena
yaitu *
untuk setiap
+.
baris ke- sama dengan baris ke- , dan baris ke- pada
sama dengan baris ke- pada
maka diperoleh
dan
, dengan demikian didapat ( untuk
)
∑
∑
. Jadi dapat disimpulkan {
( )
( ) ( )
(
( )
, ( )
Karena
dan
( )
maka terdapat
( ) dikalikan dengan matriks
. Jika kedua ruas dari
dan , maka Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
26 ( )
( )
. Dengan demikian diperoleh
( ) . Jadi telah ditunjukkan terdapat Selanjutnya akan ditunjukkan
yang merupakan adjugate dari
adalah
( ) maka
dikalikan dengan
matriks adjugate dari
.
dan memenuhi
juga memenuhi
. Jika kedua ruas dari
Jadi terbukti
( )
dimana
matriks yang unik. Misalkan terdapat matriks ( ) . Karena matriks
atau
didapat
( )
yang memenuhi
adalah matriks yang unik.
Selanjutnya akan ditunjukkan untuk setiap maka
memiliki matriks adjugate
Lemma 3.2.2 Jika
dengan
( )
.
, maka terdapat matriks
( ) . ( )
dengan
matriks adjugate dari
dengan
yang juga terdapat di
sedemikian sehingga
Bukti. Misalkan
di
. Misalkan pula
adalah
( ) . Akan ditunjukkan
yang memenuhi
. Berdasarkan Lemma 3.1.3 untuk setiap ) sedemikian sehingga
diagonal( . Karena maka
, terdapat
similar dengan
( )
maka
untuk suatu
( )
( ). Karena
( )
. Dengan demikian berdasarkan Lemma 3.2.1 untuk suatu
dimana
( )
terdapat ( )
memenuhi
sedemikian sehingga ( ) . Pilih
yang memenuhi
maka ( ) ( ) ( )
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
27
( ) ( )
( )
( ) . Berdasarkan Lemma 3.2.1,
Dengan demikian didapat
matriks adjugate dari , adalah matriks yang unik, maka
.
Jadi terbukti
Lemma 3.2.3 Jika ( )
maka
dimana (
Bukti. Misalkan
untuk suatu bilangan prima
). (
)
(
)
dengan
dapat
dinyatakan sebagai (
Akan ditunjukkan
,
( )
(
) dengan mengunakan induksi. ( )
Akan ditunjukkan benar bahwa
(
) untuk
( ( )
(
.
* )
)(
(
)(
)
(
)
Misalkan
, maka
demikian berlaku
( )
(
Asumsikan benar bahwa ditunjukkan benar bahwa
( )
) untuk ( ) (
( )
. Dengan
.
(
) untuk
. Akan
) untuk
(
)
Dengan ekspansi baris pertama diperoleh
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
28
( )
(
)|
|
|
|
|
|
| adalah
Berdasarkan asumsi, nilai dari| untuk suatu
atau
)
. Misalkan |
| untuk
(
|
|
, dimana
. Maka diperoleh ( )
(
)(
)
(
)
Misalkan pula
( )
, maka
untuk
( )
. Jadi terbukti
(
) untuk
dimana
Lemma 3.2.4 Untuk setiap
( ) jika dan hanya jika
,
(
)
( ).
Bukti. Pertama misalkan (
dengan (
( ) maka akan ditunjukkan , definisikan ̅
)
( ). Untuk
)
(
). Berdasarkan definisi determinan
(
( )
∑
( )
( )
( )
)
[∑
( )
( )
( )] (
) dimana
maka ( )(
)
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
29
( )
∑
( )
( ̅) ( ( ) maka
Karena
)
. Jadi terbukti (
)
Sebaliknya, misalkan ( Karena ̅ ( ̅) (
)
( ). )
( ), akan ditunjukkan )
( )(
( )(
atau
. Sehingga ̅ invertibel menurut
( ̅) (
( ) maka ) maka
)
untuk setiap
( ̅) (
. Dengan demikian operasi di
( )
( )
)
( )(
. Karena ( )
atau
( ). )
untuk setiap
( )
. Dengan demikian terbukti
Dengan informasi tersebut maka untuk memeriksa elemen-elemen (
) yang dapat menjadi automorfisma dapat melalui matriks didalam
himpunan
yang berkoresponden dengan endomorfisma
.
( ), dengan
Teorema 3.2.5 Endomorfisma
suatu automorfisma jika dan hanya jika (
(
)
), adalah
( ).
(Hillar & Rhea, 2007) Bukti. Pertama, misalkan (
ke
( ) dimana
. Akan
( ) adalah automorfisma. Karena ( ) adalah endomorfisma
dibuktikan dari
)
, maka cukup ditunjukkan ( ) pemetaan bijektif. Dengan
menggunakan Lemma 2.2.1 akan ditunjukkan ( ) memiliki invers yang memenuhi ( )( ( )) (
)
( ) dan
( )
Misalkan 3.2.4
( ( ))
( )
( ) dengan
merupakan invers dari berlaku pula
( )
(
( )
( ) ( ) mod
maka menurut Lemma ( ) maka
. Karena
. Berdasarkan Lemma 2.1.1 diperoleh yang mengakibatkan
.
( )
untuk
) ,
. Dengan demikian . Karena untuk
( )
maka
.
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
30
Berdasarkan Lemma 3.2.2, untuk suatu terdapat dimana
)
, maka
( ) . Misalkan
sedemikan sehingga (
( )
dan
(
)
, maka (
)
Karena (
( ) )
dan (
( (
( atau terdapat (
(
(
( )
)
) )
adalah homomorfisma dengan demikian
)
( ) (
)
(
(
)
( ( ))
)
)
(
)
) ( )
(
) yang memenuhi
( ( ))
( )( ( ))
)
( )
Jadi terbukti ( ) pemetaan bijektif serta ( ) merupakan automorfisma pada Sebaliknya, dimisalkan ( ) adalah automorfisma untuk )
akan dibuktikan ( (
maka
( ). Berdasarkan Teorema 3.1.8, untuk setiap sedemikian sehingga ( )
) terdapat
(
adalah automorfisma, maka terdapat (
. Karena sedemikian sehingga ( )
.
. Karena ( )
) sedemikian sehingga
) maka terdapat
homomorfisma gelanggang, dengan
demikian diperoleh (
)
(
)
( )
( ) ( )
Jadi
(
. Misalkan (
,
Berdasarkan Lemma 3.1.9, jika elemen matriks
) maka (
,
maka
habis membagi elemen-
, akibatnya
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
31
{ untuk
. (
Pilih
,
( (
didapat
)
, maka )
( )
(
,
. Dengan menggunakan Lemma 3.2.3 ( )
Berdasarkan Lemma 3.2.4, karena
(
). Dengan demikian ( ), terbukti
(
( ).
)
( ).
Jadi terbukti endomorfisma ( ) adalah suatu automorfisma jika dan hanya jika (
)
( ).
Dengan demikian telah ditunjukkan, melalui Teorema 3.2.5, karakter yang harus dipenuhi matriks di
yang dapat memberikan automorfisma
.
Universitas Indonesia
Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
BAB 4 KESIMPULAN
Pada skripsi ini telah ditunjukkan bahwa setiap pemetaan endomorfisma memiliki matriks padanan di himpunan gelanggang matriks
(Teorema
3.1.8). Teorema 3.2.5 menyatakan bahwa, jika matriks endomorfisma masing-masing entrinya dimodulo dengan , merupakan anggota matriks tersebut berpadanan dengan automorfisma jika endomorfisma
, yang ( ), maka
. Berlaku pula sebaliknya,
merupakan automorfisma, maka matriks endomorfisma
yang masing-masing entrinya dimodulo dengan
merupakan anggota
32 Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
,
( ).
Universitas Indonesia
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. (2000). Elementary Linear Algebra 8th ed. New York: Willey. Bhattacharya, P., Jain, S., & Nagpul, S. (1994). Basic Abstract Algebra 2nd ed. New York: Cambridge University Press. Burton, D. M. (2002). Elementary Number Theory 5th ed. New York: McGrawHill Companies, Inc. Herstein, I. N. (1996). Abstract Algebra 3rd ed. New Jersey: Prentice-Hall. Hillar, C., & Rhea, D. L. (2007). Automorphisms of Finite Abelian Groups. The American Mathematical Monthly, 917-923. Jacob, B. (1990). Linear Algebra. New York: W. H. Freeman and Company. Lang, S. (2002). Algebra 3rd ed. New York: Springer-Verlag. Ranum, A. (1907). The Group of Classes of Congruent Matrices with Application to the Group of Isomorphism of any Abelian Group. Trans. Amer. Math. Soc, 71-91.
33 Karakter matriks..., Citra Natalia, FMIPA UI, 2012
Universitas Indonesia