PERTEMUAN – 13 VEKTOR dalam R3 Pengertian Ruang Vektor R n Definisi Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka tupel - n- terorde (ordered-n-tuple) adalah sebuah urutan n bilangan riil (a 1 , a 2 ,..., a n ) . Semua tupel - n-terorde dinamakan ruang -n dan dinyatakan dengan R n , n dan ditulis sebagai R = {(a 1 , a 2 ,..., a n ) / a ∈ R , i = 1,2,..., n} Contoh: 1) (1,2,4,0) ∈ R 4 2)
(i,1,2,3) ∉ R 4
3) (1,2,3) ∉ R 4
7.2 Ruang Vektor Umum Misalkan V sebarang himpunan sesuatu dan didefinisikan dua operasi berikut: 1) 2)
r r Jika u , v ∈ V , maka (u + v ) ∈ V (operasi penjumlahan) Jika k sebarang skalar riil dan u ∈ V , maka ku ∈ V (operasi perkalian dengan skalar)
Karena V memenuhi definisi di atas maka V merupakan ruang vektor umum. Sifat-sifat ruang vektor umum: r r r r u +v = v +u r r u + (v + w) = ( u + v) + w
Ada sebuah 0 ∈ V sehingga 0 + v = v + 0 = v, untuk semua v ∈ V r r r u + (- u ) = (- u ) + u = 0
k(u + v) = ku + kv r u (k+ l) u = ku + lu
r u k(lu) = (kl)u r u 1. u = u
7.3 Ruang Bagian Suatu ruang vektor dapat saja tergandung di ruang vektor yang lebih besar. Sebagai contoh garis dan bidang yang melalui titik asal adalah ruang vektor yang terkandung dalam ruang vektor R 3 Definisi Himpunan bagian W dari sebuah ruang vektor V, dinamakan ruang bagian dari V, jika W itu sendiri adalah ruang vektor dengan operasi pejumlahan dan perkalian dengan skalar yang didefinisikan pada V. Teorema Jika W adalah himpunan bagian dari ruang vektor V, maka W adalh ruang bagian dari V jika dan hanya jika dipenuhi: 3)
Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u + v terletak di W.
4)
Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang vektor pada W, maka ku berada di W.
Setiap ruang vektor V mempunyai paling sedikit dua ruang bagian yaitu V sendiri dan ruang bagian nol (zero subspace). Contoh:
0 b Ruang vektor W = b, c ∈ R c 0
merupakan ruang bagian a b V= a , b, c, d ∈ R c d
dari
ruang
vektor
Contoh: Misalkan n adalah sebuah bilangan bulat positif dan W terdiri dari semua fungsi polinomial yang mempunyai derajat ≤ n ; jadi W adalah himpunan semua fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk
p(x ) = a 0 x 0 + a 1 x + ... + a n x n (*), bilangan - bilangan riil
di
mana
a 0 , a 1 ,..., a n
adalah
Penyelesaian: Untuk menunjukkan hal di atas , misalkan p dan q merupakan polinom - polinom
p(x ) = a 0 x 0 + a 1 x + ... + a n x n q(x ) = b 0 x 0 + b 1 x + ... + b n x n
dan maka
(p + q) x = p(x) + q(x) = (a 0 + b 0 )x 0 + (a 1 + b 1 )x + ... + (a n + b n )x n Juga (kp )(x ) = kp(x ) = (ka 0 )x 0 + (ka 1 )x + ... + (ka n )x n mempunyai bentuk yang diberikan dalam (*). Jadi p + q dan kp berada di W. Berarti W adalah ruang bagian dari himpunan semua fungsi bernilai riil, yang diberi simbol p n .
Ruang Baris, Ruang Kolom Definisi a 11 a 12 ... a 1n a a ... a 2n Tinjaulah matriks m × n , A = 21 22 : : ::: : a m1 a m 2 ... a mn
Vektor - vektor
r1 = (a 11 , a 12 ,...a 1n )
r2 = (a 21 , a 22 ,...a 2 n )
:
:
rm = (a m1 , a m 2 ,...a mn )
yang dibentuk oleh baris - baris matriks A dinamakan vektor - vektor baris a 11 a 12 a 1n a a a 21 22 dari A, dan vektor - vektor c1 = , c2 = …, c n = 2 n : : : a m1 a m 2 a mn yang dibentuk oleh kolom - kolom matriks A, dinamakan vektor - vektor kolom dari A. Sub ruang dari R n yang direntang oleh vektor - vektor baris dinamakan ruang baris( row space) dari A dan sub ruang dari R m yang direntang oleh vektor - vektor kolom dinamakan ruang kolom ( column space) dari A. Contoh:
2 1 0 Misalkan A = , 3 − 1 4 vektor - vektor baris dari A adalah r1 = (2,1,0 ) dan r2 = (3,−1,4 )
Vektor - vektor kolom dari A adalah
2 c1 = 3
,
1 c 2 = dan − 1
0 c3 = 4 Teorema Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks.
Teorema ini menunjukkan bahwa ruang baris sebuah matriks A tidak berubah dengan mereduksi matriks tersebut menjadi bentuk eselon baris. Akan tetapi, vektor - vektor baris yang tak nol dari sebuah matriks di dalam bentuk eselon baris selalu bebas linier sehingga vektor - vektor baris yang tak nol ini membentuk sebuah basis untuk ruang baris tersebut.
Teorema Vektor - vektor baris yang tak nol di dalam sebuah bentuk eselon baris dari sebuah matriks A, membentuk sebuah baris untuk ruang baris dari A. Contoh: Carilah sebuah baris untuk ruang yang direntang oleh vektor - vektor: v 1 = (1,−2,0,0,3 ) , v 4 = (2,6,18,8,6 )
v 2 = (2,−5,−3,−2,6 ) ,
v 3 = (0,5,15,10,0) ,
Pemecahan: Ruang yang direntang oleh vektor - vektor ini adalah ruang baris dari matriks
1 − 2 0 0 3 2 − −5 − 3 − 2 6 0 5 15 10 0 2 6 18 8 6
dengan memproses matriks ini menjadi bentuk eselon baris diperoleh
1 − 2 0 0 3 0 1 3 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 vektor - vektor baris yang tak nol di dalam matriks ini adalah w 1 = (1,−2,0,0,3) , w 2 = (0,1,3,2,0 ) , w 3 = (0,0,1,1,0)
vektor - vektor ini membentuk sebuah basis untuk ruang baris tersebut dan sebagai konsekuensinya akan membentuk sebuah basis untuk ruang yang direntang oleh v 1 , v 2 , v 3 , v 4
Kombinasi Linier Definisi Kombinasi Linier Suatu vektor W dinamakan kombinasi linier dari vektor - vektor v 1 , v 2 ,..., v r , jika vektor tersebut dapat ditulis dalam bentuk w = k 1 v 1 + k 2 v 2 + ... + k r v r , dengan ketentuan k 1 k ,...k r merupakan skalar. Contoh: Diketahui vektor - vektor u = (1,2,-1) dan v = (6,4,2) di R 3 . Tunjukkan w = (9,2,7) merupakan kombinasi linier u dan v serta z = (4, -1, 8) bukan merupakan kombinasi linier u dan v. Penyelesaian: Agar w merupakan kombinasi linier u dan v, maka harus ada skalar k1 dan k2 sedemikian hingga w = k 1 u + k 2 v , yaitu:
(9,2,7 ) = k 1 (1,2,−1) + k 2 (6,4,2) atau
(9,2,7 ) = (k 1 + 6k 2,2k1 + 4k 2,−k1 + 2k 2)
Penyamaan komponen menghasilkan:
-
komponen
yang
bersesuaian
k 1 + 6k 2 = 9 2k 1 + 4k 2 = 2 − k 1 + 2k 2 = 7
Sistem ini menghasilkan k 1 = −3, k 2 = 2 , sehingga w = −3u + 2 v Demikian juga untuk w” yang merupakan kombinasi linier u dan v harus ada skalar k 1 dan k 2 sehingga w" = k 1 u + k 2 u , yaitu:
(4,−1,8) = k 1 (1,2,−1) + k 2 (6,4,2) atau
(4,−1,8) = (k 1 + 6k 2 ,2k 1 + 4k 2 ,−k 1 + 2k 2 ) Penyamaan komponen menghasilkan:
-
komponen
yang
bersesuaian
k 1 + 6k 2 = 4 2k 1 + 4k 2 = −1 − k 1 + 2k 2 = 8
Sistem persamaan ini tidak konsisten (buktikan), sehingga tidak ada skalar - skalar seperti itu. Sebagai konsekuensinya z bukanlah kombinasi linier u dan v.
Pembangun Definisi Jika v 1 , v 2, ..., v r adalah vektor - vektor pada ruang vektor V dan masing masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier v 1 , v 2, ..., v r maka kita mengatakan bahwa vektor - vektor ini membangun V.
Contoh: Tentukan
apakah
v 1 = (1,2,1), v 2 = (2,5,0 )
dan
v 3 = (3,3,8)
membangun di R 3 .
Penyelesaian: Untuk menyelidiki vektor di atas membangun di R 3 maka harus diselidiki untuk sembarang vektor b = (b1 , b 2 , b 3 ) pada R 3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ketiga vektor di atas, sehingga diperoleh
(b1 , b 2 , b 3 ) = k 1 (1,2,1) + k 2 (2,5,0) + k 3 (3,3,8) atau (b1 , b 2 , b 3 ) = (k 1 + 2k 2 + 3k 3 ,2k 1 + 5k 2 + 3k 3 , k 1 + 8k 3 ) Dalam bentuk SPL:
k 1 + 2k 2 + 3k 3 = b1 2k 1 + 5k 2 + 3k 3 = b2 k 1 + 8k 3 = b 3 SPL di atas dapat diselesaikan untuk setiap nilai b karena matriks koefisiennya dapat dibalik (invertable).
Kebebasan Linier Dan Ketergantungan Linier Diketahui bahwa ruang vektor V dibangun oleh himpunan vektor S = {v1 , v 2 ,..., v r } , maka setiap vektor di dalam V adalah kombinasi linier dari v1 , v 2 ,..., v r . Dengan membangun himpunan tersebut akan berguna dalam berbagai soal, karena kita sering menelaah ruang vektor V dengan menalaah terlebih dahulu vektor-vektor dengan membangun himpuan S, dan dengan memperluas hasil-hasil tersebut pada bagian selebihnya dari V, kemudian perlu dipertahankan membangun himpunan S sekecil mungkin. Permasalahan untuk mendapatkan pembangunan himpunan
terkecil untuk ruang vektor bergantung pada pengertian kita mengenai kebebasan linier, yang akan kita telaah pada bagian ini. Definisi Jika S = {v1 , v 2 ,..., v r } adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor k 1 v 1 + k 2 v 2 + ...k r v r = 0
mempunyai paling sedikit satu pemecahan yakni k 1 = 0, k 2 = 0,...kr = 0
atau dapat dinyatakan sebagai: Himpunan r buah vektor
{v1 , v 2 ,..., v r }
disebut bebas linier bila
mengakibatkan kj = 0∀j = 1,2,..., r .
Himpunan r buah vektor jika SPL
{v1 , v 2 ,..., v r } adalah bebas linier jika dan hanya
u11 u21 .. um1 s1 u u .. u s 12 22 m2 2 = 0 , : : .. : : u1n u2 n .. umn sm hanya punya jawab trivial sj = 0, ∀j = 1,2,..., m
Soal-soal Kombinasi Linear :
1. Diketehui :
a = (3,2,1,−1)
b = (4,3,2,1) c = (18,13,8,1) Apakah c merupakan kombinasi linear dari a dan
2. Diketehui :
a = (3,2,1,−1)
b = (2,3,−1,−2) c = (5,5,0,7 ) Apakah c merupakan kombinasi linear dari a dan
3. Diketehui :
b ?
a = (3,2,1,−1,−2 )
b = (2,3,−2,1,5) c = (16,14,0,−2,26 ) Apakah c merupakan kombinasi linear dari a dan
4. Diketehui :
b ?
a = (3,2,1,−3)
b ?
b = (4,2,1,−2) c = (2,1,3,−1) d = (19,11,8,−14) Apakah d merupakan kombinasi linear dari a , b dan c ?
Soal-soal Bebas Linear atau Tidak Bebas Linear :
Vektor di R3 a = (2,1,3) b = (1,−2,−4) c = (8,−1,1) Apakah vector a , b dan c bebas atau tidak bebas linear ?
5. Diketehui :
6. Diketehui :
Vektor di R3 a = (2,1,3)
b = (1,1,4) c = (3,2,5) Apakah vector a , b dan c bebas atau tidak bebas linear ? 7. Diketehui :
Vektor di R4 a = (3,2,1,−1)
b = (4,3,2,1) c = (18,13,8,1) Apakah vector a , b dan c bebas atau tidak bebas linear ? Vektor di R5 a = (3,2,1,−1,4 ) b = (2,3,−2,1,5) c = (16,14,0,−2,26 ) Apakah vector a , b dan c bebas atau tidak bebas linear ?
8. Diketehui :
∗ Karakteristik
• Batasan Anxn matriks bujur sangkar - Vektor karakteristik dari A : x ∈ Rn jika Ax = λ x ; x <> 0 , λ bilangan nyata - λ nilai karakteristik - x vektor karakteristik yang ber-korespondensi dengan λ
• Penentuan nilai karakteristik dari matriks bujur sangkar − SPL homogen yang melibatkan matriks bujur sangkar, matriks satuan , vektor di Rn dan bilangan nyata λ − Jawab SPL − Persamaan karakteristik − λ nilai karakteristik matriks bujur sangkar (memenuhi pers. karakteristik) ∗ Penentuan vektor karakteristik dari matriks bujur sangkar − SPL homogen yang melibatkan matriks bujur sangkar, matriks satuan, vektor di Rn dan λ − Vektor jawab tak nol dari SPL − Ruang karakteristik dari matriks yang berkorespondensi dengan λ − Vektor karakteristik dari matriks ∗ Nilai karakteristik dan vektor karakteristik dari suatu transformasi linier Transformasi linier T : V --> V
V ruang vektor atas R berdimensi hingga
− λ nilai karakteristik dari T − x < > 0 di V vektor karakteristik dari T yang berkorespondensi dengan λ jika T(x) = λx
∗ Matriks representasi dari transformasi linier A matriks representasi dari transformasi linier T
− Nilai karakteristik dari T = nilai karakteristik dari A − x vektor karateristik dari T yang berkorespondensi dengan λ [x]s vektor karakteristik dari A yang berkorespondensi dengan λ
∗ Nilai karakteristik dari matriks segitiga
Soal-soal Nilai Eigen dan Vektor Eigen : 1. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dari matriks A,
7 − 4 Jika A = 1 2
!
2. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dari matriks A,
3 − 2 Jika A = ! − 1 4 3. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dari matriks A, 9 9 8 Jika A = 3 2 3 ! − 9 − 9 − 10
4. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dari matriks A, 3 0 0 Jika A = 4 3 0 ! 5 6 1
5. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dan Vektor eigen dari 1 0 8 matriks A, Jika A = 0 2 1 1 0 3
!
6. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dan Vektor eigen dari 1 7 5 matriks A, Jika A = 0 2 4 0 0 3
!
7. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dan Vektor eigen dari 3 − 1 0 matriks A, Jika A = 0 2 0 − 1 0 5
!
