BAB III RUANG VEKTOR R2 DAN R3
Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari vektor-vektor.
Tujuan
Instruksional
Khusus
:
Setelah
mempelajari
materi
ini
diharapkan mahasiswa dapat : 1. Menentukan basis pada ruang Euclid R2 dan R3. 2. Menentukan hasil operasi vektor pada ruang Euclid R2 dan R3.
3.1. Operasi Aljabar Vektor Sebelum membahas operasi aljabar vektor, terlebih dahulu akan diingatkan kembali pengertian vektor dan skalar. Vektor adalah segmen garis yang mempunyai arah dan panjang. Secara geometris vektor digambarkan dengan anak panah yang mempunyai pangkal dan ujung. B A
Vektor AB
Vektor-vektor yang mempunyai arah dan panjang yang sama dikatakan ekivalen.
Vektor-vektor ekivalen
Definisi : Jika v dan w adalah dua vektor sebarang maka v + w, disebut jumlah vektor v dan w, diperoleh sebagai berikut : letakkan vektor w sehingga titik awal w berimpit dengan titik akhir dari v, maka vektor v + w dinyatakan oleh panah dari titik awal v ke titik ujung w. w v
w
v
w+v
v+w
v w
Penjumlahan vektor
Vektor yang panjangnya nol dinamakan vektor nol dan dinyatakan dengan 0. Penjumlahan dengan vektor nol didefinisikan 0+v=v+0=v Jika v sebarang vektor tak nol, maka −v (negatif v) adalah vektor yang mempunyai besaran sama seperti v tetapi arahnya berlawanan dengan v. Pengurangan dua vektor didefinisikan sebagai penjumlahan dengan negatif vektor. v − w = v + (− w)
v
v
v
∑
-v
v-w
w
−v
-w
Negatif vektor
w w-v
Pengurangan vektor
Definisi : Perkalian vektor tak nol v dengan skalar (bilangan real tak nol) k didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v dan arahnya sama dengan arah v jika k > 0, dan berlawanan arah dengan arah v jika k < 0.
v
1 v 2
−v
2v
-3v
Perkalian vector dengan skalar
Vektor pada Bidang (R2) Misalkan v suatu vektor pada bidang, titik awal v diletakkan pada pusat sistem koordinat, dan titik ujung v terletak pada koordinat (v1, v2), maka (v1, v2) dinamakan komponen dari v. Dalam hal ini ditulis v = (v1, v2). Secara geometri v1 menyatakan komponen pada sumbu x dan v2 menyatakan komponen pada sumbu y.
Jika v = (v1, v2) dan w = (w1, w2) adalah vektor-vektor pada bidang (R2), maka v ekivalen dengan w jika dan hanya jika v1 = w1 dan v2 = w2 . Jika v = (v1, v2) dan w = (w1, w2), maka berlaku 1. v + w = (v1+w1, v2+w2) 2. k v = (kv1, kv2) dengan k suatu skalar Contoh : Misalkan v = (−2, 1) dan w = (1, 3), maka v + w = (−2, 1) + (1, 3) = (−2+1, 1+3) = (−1, 4) 2v = 2(−2, 1) = (2.(−2), 2.1) = (−4, 2) v − w = (−2, 1) − (1, 3) = (−2−1, 1−3) = (−3, −2) w − v = (1, 3) − (−2, 1) = (1−(−2), 3−1) = (3, 2)
v+w 2v
w v
w-v
v-w
Operasi aljabar vektor
Kadang-kadang vektor diletakkan sedemikian sehingga titik awalnya tidak terletak pada pusat koordinat. Misalkan titik awalnya adalah
P1(x1,y1)
dan
titik
ujungnya
adalah
P2(x2,y2)
maka
P1 P2 = ( x2 − x1 , y 2 − y 1 ) . Komponen P1 P2 didapat dengan mengurangkan
koordinat tititk awal dari koordinat titik ujung. Jika dijelaskan dengan gambar, didapat pula P1 P2 = O P2 − O P1 = ( x 2 , y 2 ) − ( x1 , y 1 ) = ( x 2 − x1 , y 2 − y 1 )
Contoh :
OP1
P1 P2
OP2
Jika v = (v1,v2) adalah vektor di R2 maka panjang vektor (disebut norm ) v didefinisikan sebagai v = v1 2 + v 2 2
Jika P1(x1, y1) dan P2(x2, y2) adalah dua titik di R2, maka jarak dua titik tersebut didefinisikan sebagai norm dari vektor P1 P2 , yaitu
d = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2
Vektor pada Ruang (R3) Misalkan v suatu vektor pada ruang (R3), maka komponen dari v adalah (v1, v2, v3) yang secara geometri v1 menyatakan komponen pada sumbu x dan v2 menyatakan komponen pada sumbu y dan v3menyatakan komponen pada sumbu z. Jika v = (v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3), maka 1. v ekivalen dengan w jika dan hanya jika v1 = w1, v2 = w2, v3 = w3. 2. v + w = (v1+w1, v2+w2, v3+w3) 3. k v = (kv1, kv2, kv3) dengan k suatu skalar Jika P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2) adalah titik-titik di R3, maka
P1 P2 = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) Jika w = (w1, w2, w3) suatu vektor di R3, maka panjang vektor (norm) w didefinisikan sebagai w = w1 2 + w2 2 + w3 2
Jika P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2) adalah dua titik di R3, maka jarak antara dua titik tersebut adalah norm dari vektor P1 P2 , yaitu
d = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 Contoh : Norma vektor v = (3, 4, 0) adalah v = 32 + 42 + 02 = 5
Jarak di antara titik P1(2, 1, 0) dan P2(4, −3, 1) adalah
d = ( 4 − 2) 2 + (−3 − 1) 2 + (1 − 0) 2 = 4 + 16 + 1 = 21
Kaidah dasar ilmu hitung vektor akan ditunjukkan di dalam teorema berikut ini.
Teorema : Jika u, v dan w adalah vektor-vektor di dalam R2 atau R3 dan k , l adalah skalar, maka hubungan yang berikut akan berlaku. 1. u + v = v + u 2. (u + v) + w = u + (v + w) __
__
3. u + 0 = 0 + u = u __
4. u + (-u) = 0
5. k(l u) = (kl) u 6. k(u + v) = k u + k v 7. (k +l) u = k u + l u 8. 1 u = u
3.2. Perkalian Titik pada Vektor Perkalian titik atau dot product dan sifat-sifat ilmu hitung dari perkalian ini akan diberikan dalam definisi berikut : Yang dimaksud sudut antara vektor u dan v adalah sudut yang dibentuk antara vektor u dan v yang telah dialokasikan sehingga titik asal keduanya berimpit.
Definisi : Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam R2 atau R3 dan θ adalah sudut di antara u dan v (0 § q § p), maka perkalian titik (dot
product) atau perkalian dalam Eucliden antara u dan v, dinotasikan dengan u.v didefinisikan dengan u.v = u v cos θ
Dari definisi tersebut, jika u = 0 atau v = 0 maka jelas u.v = 0. Misalkan O P = u = (u1, u2, u3) dan O Q = v = (v1, v2, v3) vektorvektor tak nol di R3
P(u1, u2,u3)
z u q O
Q(v1, v2, v3) v y
x
Pandang segitiga OPQ. Menurut hukum kosinus pada segitiga, tentu berlaku
PQ
2
= u
2
+ v
2
− 2 u v cos θ
Mengingat bahwa P Q = v − u maka P Q
(*) 2
2
= v - u . Karena definisi hasil
kali titik, persamaan (*) di atas dapat ditulis sebagai
u.v =
Karena u v-u
2
2
1 2 2 ( u + v − v - u 2) 2 = u1 2 + u 2 2 + u3 2 , v
2
(**) = v1 2 + v 2 2 + v 3 2 , dan
= (v1 − u 1 ) 2 + (v 2 − u 2 ) 2 + (v3 − u 3 ) 2 , dengan penyerdehanaan akan
diperoleh
u.v = u1v1 + u 2 v2 + u 3 v3 Secara sama berlaku pada R2. Jika u = (u1, u2) dan v = (v1, v2) vektorvektor tak nol di R2 maka
u.v = u1v1 + u 2 v2 Teorema : Misalkan u dan v adalah vektor-vektor di dalam R2 atau R3.
a. v.v = v 2 b. Jika u dan v masing-masing tidak nol dan θ adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka θ adalah sudut lancip jika hanya jika u.v > 0 θ adalah sudut tumpul jika hanya jika u.v < 0
θ adalah sudut siku-siku jika hanya jika u.v = 0 Jika sudut antara vektor u dan v siku-siku maka dikatakan bahwa kedua vektor itu orthogonal dan dituliskan u ⊥ v . Jadi vektor u dan v akan orthogonal jika u.v = 0.
Teorema : Misalkan u, v, dan w adalah vektor-vektor di dalam R2 atau R3
dan k adalah skalar, maka a. u.v = v.u b. u.(v + w) = u.v + u.w c. k(u.v) = (ku).v = u.(kv) d. v.v > 0 jika v ∫ 0 dan v.v = 0 jika v = 0
Adakalanya kita perlu menyatakan suatu vektor u ke dalam bentuk jumlahan dua suku, yang satu sejajar vektor tak nol p sedang yang lain tegak lurus terhadap p. Keadaan vektor u dan dua vektor jumlahannya dapat digambarkan sebagai berikut.
w2
u
w1
Kita dapat melihat bahwa w2 = u - w1
sehingga kita peroleh
p
w1 + w2 = w1 + (u - w1) = u
Dalam hal ini vektor w1 dinamakan proyeksi orthogonal u pada p atau disebut pula komponen vektor u sepanjang p, dinotasikan dengan proypu. Vektor
w2 dinamakan komponen vektor u yang orthogonal
terhadap p. Karena w2 = u - w1 maka w2 = u - proypu.
Teorema : Misalkan u dan v adalah vektor-vektor di dalam R2 atau R3 dan k adalah skalar, maka proyvu =
u.v v
2
v
dan u - proyvu = u −
u.v v
2
v
Pada R3, misalkan i, j, dan k menyatakan vektor satuan siku-siku berturut-turut pada komponen x, y, dan z yaitu i = (1,0,0), j = (0,1,0), dan k = (0,0,1). Dapat dilihat bahwa i ⊥ j, j ⊥ k, dan k ⊥ i serta berlaku i = j = k = 1 . Dengan vektor satuan ini, setiap vektor dalam R3 dapat
dinyatakan sebagai jumlahan dari perkalian skalar dengan vektor i, j, dan k. Contoh : Vektor (2,-1,3) dapat dinyatakan sebagai 2i - j + 3k sebab
(2,-1,3) = 2(1,0,0) - (0,1,0) + 3(0,0,1).
3.3. Perkalian Silang pada Vektor
Pada sub bab di atas telah dibahas operasi perkalian dua vektor yang hasilnya berupa skalar, pada sub bab ini akan dibahas operasi perkalian dua vektor yang hasilnya berupa vektor.
Definisi : Misalkan u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) vektor-vektor di R3. Hasil kali silang dari u dan v, dinotasikan dalam u ä v adalah
vektor yang didefinisikan sebagai u ä v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1)
atau dapat ditulis ⎛ u2 u × v = ⎜⎜ ⎝ v2
u3 u1 u3 u1 ,− , v3 v1 v 3 v1
u2 ⎞ ⎟ v 2 ⎟⎠
Hubungan hasil kali titik dan hasil kali silang diberikan dalam teorema berikut.
Teorema : Jika u dan v adalah vektor-vektor di R3, maka
a. u.(uäv) = 0 b. v.(uäv) = 0 c.
u×v
2
= u
2
v
2
− (u.v ) 2 (Identitas Lagrange)
Sifat-sifat perkalian silang didefinisikan sebagai berikut. Teorema : Jika u, v dan w adalah vektor-vektor di R3, k sebarang skalar, maka :
a. uäv = -(väu) b. uä(v + w) = (uäv) + (uäw) c. (u + v) ä w = (uäw) + (väw) d. k (uäv) = (ku)äv = uä(kv) e. uä 0 = 0ä u = 0 f. uäu = 0
Jika i = (1,0,0), j = (0,1,0), dan k = (0,0,1) menyatakan vektor satuan sikusiku di R3, maka ⎛0 0 1 0 1 0⎞ ⎟ = (0,0,1) = k i × j = ⎜⎜ ,− , 0 0 0 1 ⎟⎠ ⎝1 0
Secara sama akan diperoleh pula jäk = i, käi = j jäi = -k, käj = -i, iäk = -j iäi = jäj = käk = 0
Oleh karena itu hasil kali silang u dan v dapat dinyatakan pula sebagai :
u×v =
u2
u3
v2
v3
i−
u1
u3
v1
v3
j+
u1
u2
v1
v2
i
j
k
k = u1
u2
u3
v1
v2
v3
Jika norma vektor mempunyai tafsiran geometri sebagai panjang suatu vektor, maka norma uäv juga mempunyai tafsiran geometri yang khas. Dari identitas Lagrange
u×v
2
= u
2
v
2
− (u.v ) 2
dan definisi u.v = u v cos θ dengan q menyatakan besar sudut antara u dan v, maka u× v
2
= u
2
= u
2
v
v
2
− ( u v cos θ) 2
2
(1 − cos 2 θ) = u
2
v
2
sin 2 θ
sehingga diperoleh u × v = u v sin θ
Jika digambarkan, v sin θ adalah tinggi jajaran genjang dengan sisi u dan v. Ini berarti u × v menyatakan luas jajaran genjang tersebut.
v
q
v sin θ u
3.4. Kombinasi linear dan kebebasan linear
Pada sub bab-sub bab di atas, kita telah membahas vektor-vektor di R2 dan R3 berikut beberapa operasinya. Vektor-vektor di R2 dapat kita
nyatakan dalam bentuk 2-tupel (v1, v2) sedangkan vektor-vektor di R3 kita nyatakan dalam bentuk 3-tupel (v1, v2, v3) dengan v1, v2, dan v3 adalah bilangan-bilangan real. Vektor-vektor tersebut dapat kita perumum dengan menuliskannya dalam bentuk n-tupel (v1, v2, ... , vn) dengan v1, v2,
... ,vn masing-masing adalah bilangan real. Himpunan semua vektor berbentuk n-tupel ini dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan Rn. Dengan perumuman ini, operasi penjumlahan, perkalian skalar, dan hasil kali dalam didefinisikan secara sama seperti pada R2 dan R3. Jika u = (u1, u2, ... , un) dan v = (v1, v2, ... , vn) vektor-vektor di Rn dan k skalar, maka •
u + v = (u1+v1, u2+v2, … , un+vn)
•
k v = (kv1, kv2, ... , kvn)
•
u.v = u1 v1 + u 2 v2 + K + u n vn
•
u = u1 2 + u2 2 + K + un 2
Kita perhatikan bahwa operasi yang berlaku pada Rn di atas, merupakan perumuman operasi yang sama yang berlaku pada R2 dan R3. Kita dapat menunjukkan bahwa sifat-sifat yang berlaku pada R2 dan R3 terkait dengan operasi di atas juga berlaku pada Rn. Sekarang kita akan memperumum vektor beserta himpunan penghimpunnya dalam suatu sistem, yang akan berlaku tidak hanya pada R2, R3, dan Rn tetapi juga pada sistem yang lain.
Definisi : Misalkan V sebuah himpunan yang dilengkapi dengan dua
operasi yang kita definisikan yaitu penjumlahan (+) dan perkalian
skalar (bilangan real). Jika untuk setiap u, v, dan w elemen pada V dan k, l sebarang skalar berlaku aksioma-aksioma : 1. u + v œ V 2. u + v = v + u 3. u + (v + w) = (u + v) + w 4. Ada 0 œ V sehingga u + 0 = 0 + u = u untuk setiap u œ V. 5. untuk setiap u œ V ada -u œ V, disebut negatif u, sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 6. k u œ V untuk setiap skalar k 7. (k +l) u = k u + l u 8. k(u + v) = k u + k v 9. k(l u) = (kl) u 10. 1 u = u maka V kita sebut sebagai ruang vektor. Dalam hal ini elemen V kita sebut sebagai vektor. Elemen 0 pada aksioma 4 kita sebut vektor nol. Aksioma 1 dan 6 menunjukkan bahwa penjumlahan dua vektor dan perkalaian skalar dengan vektor menghasilkan suatu vektor.
Contoh : a. Himpunan V = Rn dengan operasi di atas merupakan ruang vektor.
b. Himpunan titik-titik pada sebuah garis yang melalui titik asal pada R2 akan membentuk ruang vektor. c. Himpunan titik-titik pada R2 yang terletak pada kuadran pertama bukanlah ruang vektor. d. Himpunan semua matriks berukuran 2x2 dengan elemen bilangan real, ditulis M2x2(R), merupakan ruang vektor.
Sifat penting vektor diberikan pada teorema berikut. Teorema : Milakan u elemen suatu ruang vektor V dan k sebarang skalar,
maka berlaku : a. 0u = 0 b. k 0 = 0 c. (-1)u = -u d. Jika k u = 0 maka k = 0 atau u = 0
Kadang-kadang untuk suatu keperluan, kita mengambil suatu himpunan bagian dari suatu himpunan yang masih memiliki kaidahkaidah seperti yang berlaku pada himpunannya. Hal ini juga terjadi pada ruang vektor.
Definisi : Misalkan W himpunan bagian dari ruang vektor V. Jika W
merupakan ruang vektor dengan operasi penjumlahan dan
perkalian skalar seperti yang didefinisikan pada V maka W disebut ruang bagian (subspace) dari V.
Dengan definisi tersebut untuk menunjukkan apakah suatu himpunan bagian dari suatu ruang vektor merupakan ruang bagian, kita harus memeriksa apakah ke sepuluh aksioma ruang vektor juga berlaku pada himpunan bagian tersebut. Akan tetapi pada kenyataannya ada aksiomaaksioma yang otomatis berlaku pada ruang bagian karena aksioma tersebut ”diwarisi” dari himpunannya. Aksioma tersebut adalah aksioma 2, 3, 7, 8, 9, dan 10. sehingga yang harus dibuktikan tinggal aksioma 1, 4, 5, dan 6. Teorema berikut memberikan cara lebih singkat karena aksioma 4 dan 5 dapat pula dihilangkan. Teorema : Misalkan W himpunan bagian dari ruang vektor V. Himpunan bagian W merupakan ruang bagian dari V jika hanya jika memenuhi: a. Jika u, v œ V maka u + v œ V b. Jika u œ V dan k sebarang skalar maka k u œ V Dua kondisi di atas menyatakan bahwa W tertutup di bawah operasi penjumlahan dan tertutup di bawah operasi perkalian skalar.
Pada ruang vektor berlaku operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar dengan vektor. Kombinasi dari dua operasi tersebut menghasilkan suatu vektor yang kita definisikan sebagai berikut.
Definisi : Vektor w dikatakan sebagai kombinasi linear (linear combination) dari vektor-vektor v1, v2
,
… , vn jika w dapat
dinyatakan dalam bentuk w = k1v1 + k 2v2 … + k nvn
dengan k i , i=1,2,…,n adalah skalar-skalar. Definisi : Vektor-vektor v1, v2 , … , vn dikatakan merentang ruang vektor V jika setiap vektor dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi
linear dari vektor-vektor v1, v2 , … , vn, ditulis V = span{ v1,v2 ,…, vn}.
Definisi : Jika S = { v1,v2 ,…, vn} adalah himpunan vektor-vektor, maka
persamaan k1v1 + k 2v2 … + k nvn = 0
mempunyai paling sedikit satu penyelesaian yaitu k1 = 0, k 2 = 0, … , k n = 0
Jika ini merupakan satu-satunya penyelesaian maka S dinamakan himpunan bebas linear (linear independent). Jika ada pemecahan
lain maka S dinamakan himpunan bergantung linear / himpunan tak bebas linear (linear dependent).
Dengan kata lain S = { v1,v2 ,…, vn} himpunan bebas linear jika k1v1 + k 2v2 … + k nvn = 0
mengakibatkan k1 = 0, k 2 = 0, … , k n = 0. Sedangkan S = { v1,v2 ,…, vn} himpunan tak bebas linear jika k1v1 + k 2v2 … + k nvn = 0
dan terdapat i=1,2,...,n dengan k i ∫ 0.
Definisi : Misalkan V suatu ruang vektor dan S = { v1,v2 ,…, vn} himpunan
vektor-vektor anggota V. Himpunan S disebut basis untuk V jika :
a. S bebas linear b. S merentang V Ruang vektor V dikatakan berdimensi hingga (finite dimensional) jika V memuat himpunan berhingga vektor-vektor yang merupakan basis. Jika tidak ada himpunan seperti ini maka V dikatakan berdimensi tak hingga (infinite dimensional). TUGAS RUMAH Materi : Perkalian Silang.
1. Jika u = (-1,-1,-1) dan v = (2,0,2), carilah sebuah vektor yang ortogonal kepada ke dua vektor u dan v. 2. Carilah luas segitiga yang mempunyai titik-titik sudut P(2,0,-3), Q(1,4,5) dan R(7,2,9). 3. Misalkan u = (-1,3,2) dan w = (1,1,-1), carilah semua vektor x yang memenuhi u x x = w. 4. Buktikan bahwa (u + kv) x v = u x v. Materi : Ruang Vektor .
