BAB IV NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Bab ini membahas suatu vektor tidak nol x dan skalar l yang mempunyai hubungan tertentu dengan suatu matriks A. Hubungan tersebut dinyatakan dalam bentuk Ax = λx. Bagaimana kita memperoleh x dan λ dimaksud akan dibahas lebih lanjut dalam bagian ini.
TIK : Setelah mengikuti sub bab ini diharapkan mahasiswa dapat menetukan nilai eigen vektor eigen dari suatu matriks.
Definisi : Jika A adalah matriks nxn, maka sebuah vektor tak nol x di dalam Rn, dinamakan vektor karakteristik / vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yakni Ax = λx untuk suatu skalar λ yang dinamakan nilai karakteristik / nilai eigen (eigen value) dari A. Dalam hal ini dikatakan x adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ.
Istialah ”eigen” di dalam bahasa Jerman mempunyai arti ”asli” (”proper”). Beberapa penulis menamakan nilai eigen dengan nilai asli (proper value), nilai karakteristik (characteristie value), atau akar laten (latent root).
Contoh :
⎡1 ⎤ Vektor x = ⎢ ⎥ adalah vektor eigen dari matriks A = ⎣ 2⎦ ⎡3 0 ⎤ dengan nilai eigen λ = 3, karena Ax = ⎢ ⎥ ⎣8 −1⎦
⎡3 0 ⎤ ⎢8 −1⎥ yang bersesuaian ⎣ ⎦
⎡ 1 ⎤ ⎡ 3⎤ ⎡1⎤ ⎢2⎥ = ⎢6⎥ = 3 ⎢2 ⎥ = 3x. ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Untuk menentukan nilai eigen λ dari matriks A yang berukuran n x n, kita tinjau kembali Ax = λx sebagai Ax = λIx yang dapat ditulis dengan (λI – A)x = 0 Bentuk terakhir ini dapat dipandang sebagai system persamaan linear yang homogen. Karena x adalah vektor eigen, maka x bernilai tidak nol. Ini berarti sistem persamaan linear homogen di atas harus mempunyai penyelesaian tidak nol. Hal ini dapat diperoleh jika dan hanya jika det(λI – A) = 0 Persamaan ini dinamakan persamaan karakteristik dari A. Jika ruas kiri diekspansikan, maka det(λI – A) adalah sebuah polinomial di dalam λ yang kita namakan polinomial karakteristik dari A.
2
Teorema : Jika A adalah sebuah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan yang berikut ekivalen satu sama lain. (a) λ adalah nilai eigen dari A (b) Sistem persamaan (λI – A)x = 0 mempunyai penyelesaian yang tak trivial. (c) Ada sebuah vektor tak nol x di dalam Rn sehingga Ax = λx. (d) λ adalah penyelesaian real dari persamaan karakteristik det (λI – A) = 0
Contoh : ⎛ 3 2⎞ ⎟⎟ , tentukan polynomial karakteristik, persamaan ⎝− 1 0⎠
1. Jika matriks A = ⎜⎜
karakteristik, nilai karakteristik, dan vector karakteristik dari A. Jawab : Karena ⎛1 0⎞ ⎛ 3 2⎞ ⎛λ − 3 − 2⎞ ⎟⎟ - ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟ λ ⎟⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝− 1 0⎠ ⎝ 1
λI – A = λ ⎜⎜
maka polinomial karakteristik dari A adalah ⎛λ − 3 − 2⎞ ⎟⎟ = λ2 - 3λ + 2 1 λ ⎝ ⎠
det(λI – A) = det ⎜⎜
dan persamaan karakteristik dari A adalah λ2 - 3λ + 2= 0
Pemecahan-pemecahan persamaan ini adalah λ = 1 dan λ = 2. Inilah nilai eigen nilai eigen dari A.
3
⎛ x1 ⎞ ⎟⎟ adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ jika ⎝ x2 ⎠
Menurut definisi, x = ⎜⎜
dan hanya jika x adalah penyelesaian tak nol dari (λI – A)x = 0, yakni ⎛ λ − 3 − 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛0⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ λ ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 1 ⎝0⎠
Untuk λ = 1, persamaan menjadi ⎛ − 2 − 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛0⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ 1 ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ 1 ⎝0⎠
Ini berarti -2x1 + x2 = 0, yang menghasilkan x2 = 2x1. Jika x1 = t, maka x2 = 2t. Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 1 adalah ⎛t ⎞
⎛ 1⎞
x = ⎜⎜ ⎟⎟ = t ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2t ⎠ ⎝2⎠ Untuk λ = 2, persamaan menjadi ⎛ − 1 − 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛0⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ x 1 2 ⎝ ⎠⎝ 2⎠ ⎝0⎠
Ini berarti x1 + 2x2 = 0, yang menghasilkan x1 = -2x2. Jika x2 = t, maka x1 = -2t. Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 2 adalah ⎛ − 2t ⎞ ⎛− 2⎞ ⎟⎟ = t ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ t ⎠ ⎝ 1 ⎠
x = ⎜⎜
É
⎛ 3 − 2 0⎞ ⎜ ⎟ 3 0⎟ 2. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A = ⎜ − 2 ⎜ 0 0 5 ⎟⎠ ⎝
4
λ−3
Jawab : Karena det (λI – A) = 2 0
3
0
λ−3 0 maka persamaan det (λI – A) = 0, 0 λ−5
menghasilkan λ2 - 6λ + 5 = 0 sehingga diperoleh (λ -1) (λ -5) = 0. Ini berarti nilai eigen dari A adalah λ =1 dan λ = 5. ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ Misalkan x = ⎜ x 2 ⎟ adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ maka ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠
(λI – A)x = 0, menghasilkan 2 0 ⎞ ⎛λ − 3 ⎜ ⎟ λ−3 0 ⎟ ⎜ 2 ⎜ 0 λ − 5 ⎟⎠ 0 ⎝
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠
⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠
Untuk λ = 5, persamaan menjadi ⎛ 2 2 0 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 2 2 0 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜0 0 0⎟ ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠
⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠
sehingga diperoleh persamaan linear homogen: 2x1 + 2x2 + 0x3 = 0 2x1 + 2x2 + 0x3 = 0 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0 Penyelesaiannya adalah x1 = -x2 dan x3 = t. Jika x2 = s, maka x1 = -s dan x3 = t Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 5 adalah ⎛ x1 ⎞ ⎛ − s ⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x = ⎜ x2 ⎟ = ⎜ s ⎟ = s ⎜ 1 ⎟ + t ⎜ 0 ⎟ ⎜x ⎟ ⎜ t ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Untuk λ =1, persamaan karakteristik menjadi
5
0 ⎞ ⎛− 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ 2 −2 0 ⎟ ⎜ 0 0 − 4 ⎟⎠ ⎝
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠
⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠
Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear ini dihasilkan, x1 = x2 dan x3 = 0. Jika x1 = s, maka x2 = s dan x3 = 0 Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan λ =1 adalah ⎛ x1 ⎞ ⎛ s ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x = ⎜ x2 ⎟ = ⎜ s ⎟ = s ⎜ 1 ⎟ É ⎜ x ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Latihan Soal : 1. Carilah persamaan karakteristik dari matriks : ⎛ 1 0⎞ ⎟⎟ ⎝ 0 1⎠
⎛ 2 1⎞ ⎟⎟ ⎝ 0 3⎠
⎛4 − 2⎞ ⎟⎟ ⎝1 1 ⎠
a. ⎜⎜
b. ⎜⎜
c. ⎜⎜
⎛ 4 0 1⎞ ⎜ ⎟ d. ⎜ − 2 1 0 ⎟ ⎜ − 2 0 1⎟ ⎝ ⎠
⎛2 − 3 1⎞ ⎜ ⎟ e. ⎜ 1 − 2 1 ⎟ ⎜1 − 3 2⎟ ⎝ ⎠
⎛1 2 1 ⎞ ⎜ ⎟ f. ⎜ 0 3 1 ⎟ ⎜ 0 5 − 1⎟ ⎝ ⎠
2. Carilah nilai eigen dari matirks pada soal nomor 1. 3. Carilah vektor eigen dari matriks pada soal nomor 1. 4. Teras (trace) dari sebuah matriks Anxn, dinotasikan tr(A), adalah jumlah elemenelemen pada diagonal utama. Perlihatkan bahwa persamaan karak-teristik sebuah matriks A yang berukuran 2x2 adalah λ 2 – tr(A) λ + det(A) = 0 5. Carilah nilai eigen dari A2, jika 2 11 ⎞ ⎛1 3 ⎟ ⎜ 8⎟ ⎜0 − 1 3 A= ⎜ 0 0 −2 4 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜0 0 0 2 ⎟⎠ ⎝
6
@@@
7
Jawaban latihan bab IV 1.a. λ 2 – 2 λ + 1 = 0 d. λ 3 – 6 λ 2+ 11 λ - 6 = 0 ⎡1 ⎤ 3.a. ⎢ ⎥ , ⎣0 ⎦ ⎡0 ⎤ d. ⎢⎢1⎥⎥ , ⎢⎣0⎥⎦
⎡0 ⎤ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ − 1 / 2⎤ ⎢ 1 ⎥, ⎥ ⎢ ⎢⎣ 1 ⎥⎦
⎡− 1⎤ ⎢1⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦
5. 1 , (-1)2 , (-2)2 , (2)2
8
