PERTEMUAN 11
RUANG VEKTOR
1
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan mahasiswa diharapkan :
pertemuan
ini
Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari subruang vektor Dapat menghitung kombinasi linier dan span Dapat mengetahui contoh aplikasinya
RUANG VEKTOR
2
Ruang Vektor (bentuk Umum)
RUANG VEKTOR
3
Ruang Vektor V adalah himpunan tidak kosong
Didefinisikan 2 operasi terhadap obyekobyek di V: penjumlahan, notasi u + v perkalian skalar, notasi kv Catatan: perlu diingat bahwa •penjumlahan tidak selalu seperti (2, 1) + (1, 3) = (3, 4) •perkalian skalar tidak selalu seperti 5( 2, 1) = (10, 5) RUANG VEKTOR
4
Ruang Vektor V disebut ruang vektor jika dipenuhi 10 (sepuluh) aksioma berikut: 1.
Jika u, v V maka (u + v) V
2.
u+v=v+u
3.
u+(v+w)=(u+v)+w
4.
Ada vektor nol 0 V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u
5.
Untuk tiap u V, ada vektor –u V yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u + (– u) = (– u) + u = 0
6.
Jika k adalah skalar dan u V, maka ku V
7.
k (u + v) = ku + kv
8.
(k+m)u = ku + mu
9.
k(mu) = (km) u
10. 1u = u
RUANG VEKTOR
5
Ruang Vektor perhatikan aksioma 1, 4, 5, 6 berikut: 1.
Jika u, v V maka (u + v) V
4.
Ada vektor nol 0 V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u
5.
Untuk tiap u V, ada vektor –u V yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u +(-u) = (-u) + u = 0
6.
Jika k adalah skalar dan u V, maka k u V
ruang vektor
u -u v -v 0 u+v 1
bukan ruang vektor
ruang vektor
bukan ruang vektor
0
u
0
u
v 0
u
ku u+v
ku 6
RUANG VEKTOR
6
Teorema 5.1.1: V merupakan ruang vektor, u V dan k adalah skalar. Maka
1) 0u = 0 2) k0 = 0 3) (–1)u = -u 4) Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0
RUANG VEKTOR
7
Contoh :
V = himpunan semua tripel bilangan nyata (x,y,z) dengan operasi-operasi penjumlahan : (x, y, z) + (x’, y’, z’) = (x+x’, y+y’, z+z’) perkalian skalar : k(x, y, z) = (kx, y, z) Apakah V merupakan ruang vektor ?
RUANG VEKTOR
8
penjumlahan
: (x, y, z) + (x’, y’, z’) = (x + x’, y + y’, z + z’)
perkalian skalar
: k(x, y, z) = (kx, y, z)
V disebut ruang vektor jika dipenuhi 10 aksioma berikut:
1.
Jika u, v V maka (u + v) V jika u, v adalah tripel, maka (u+v) adalah tripel juga
2.
u+v=v+u penjumlahan dua tripel, menurut aturan penjumlahan di atas, bersifat komutatif (x, y, z) + (x’, y’, z’) = (x + x’, y + y’, z + z’) = (x’ + x, y’ + y, z’ + z)
= (x’, y’, z’) + (x, y, z) 3.
u+(v+w)=(u+v)+w sifat asosiatif RUANG VEKTOR
9
penjumlahan
: (x, y, z) + (x’, y’, z’) = (x+x’, y+y’, z+z’)
perkalian skalar
: k(x, y, z) = (kx, y, z)
4.
Ada vektor nol 0 V sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u
vektor nol 0 = (0, 0, 0)
5.
Untuk tiap u V, ada vektor –u V yg dinamakan negatif u sedemikian sehingga u + (-u) =( -u) + u = 0
negasi dari vektor (x, y, z) = (– x, – y, – z)
6.
Jika k adalah skalar dan u V, maka ku V jika k adalah skalar, maka ku adalah tripel
RUANG VEKTOR
10
penjumlahan
: (x, y, z) + (x’, y’, z’) = (x+x’, y+y’, z+z’)
perkalian skalar
: k(x, y, z) = (kx, y, z)
7.
k(u + v) = ku + kv ?
k ( (x, y, z) + (x’, y’, z’) )= k (x+x’, y+y’, z+z’) = ( k(x+x’), y+y’, z+z’) = (kx, y, z) + (kx’, y’, z’) = k(x, y, z) + k(x’, y’, z’)
8.
(k + m)u = ku + mu ? (k + m)u =( (k + m) x, y, z ) ku + mu = ( kx, y, z ) + ( mx, y, z ) = ( (k + m) x, 2y, 2z ) ternyata (k + m)u
ku + mu
Karena aksioma 8 gagal, maka V bukan ruang vektor RUANG VEKTOR
11
penjumlahan
: (x, y, z) + (x’, y’, z’) = (x+x’, y+y’, z+z’)
perkalian skalar
: k(x, y, z) = (kx, y, z)
9.
k(mu) = (km)u k(mu) = k(mx , y, z) = (km x, y, z) = (km)u
10. 1u = u 1(x, y, z) = (1x, y, z) = (x, y, z)
RUANG VEKTOR
12
Bab 5.2 Sub-ruang (subspace) RUANG VEKTOR
13
Ruang Vektor Himpunan dengan operasi penjumlahan & perkalian skalar. V disebut ruang vektor jika dipenuhi 10 (sepuluh) aksioma.
RUANG VEKTOR
14
Ruang Vektor W disebut ruang vektor jika dipenuhi 10 (sepuluh) aksioma berikut: 1.
Jika u, v W maka (u + v) W
2.
u+v=v+u
(*)diwariskan dari ruang vektor V
3.
u+(v+w)=(u+v)+w
(*)
4.
Ada vektor nol 0 W sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u
5.
Untuk tiap u W, ada vektor –u W yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u + (– u) = (– u) + u = 0
6.
Jika k adalah skalar dan u W, maka ku W
7.
k (u + v) = ku + kv
(*)
8.
(k+m)u = ku + mu
(*)
9.
k(mu) = (km) u
(*)
10. 1u = u
diketahui
diketahui
(*) RUANG VEKTOR
15
Ruang Vektor W disebut ruang vektor jika dipenuhi 10 (sepuluh) aksioma berikut: 4.
Ada vektor nol 0 W sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u
5.
Untuk tiap u W, ada vektor –u W yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u + (– u) = (– u) + u = 0
Bukti 4: k = 0, u W ku = 0
lihat Teorema 5.1.1.(a)
menurut 6: Jika k adalah skalar dan u W, maka ku W maka vektor nol 0 W Bukti 5: k = – 1 , u W ku = ( – 1 ) u = – u lihat Teorema 5.1.1.(c) menurut 6: Jika k adalah skalar dan u W, maka ku W maka vektor negatif u, – u W ( berlaku untuk setiap vektor u W ) Catatan: u + (– u) = (– u) + u = 0
benar, sifat yang diwariskan dari V
RUANG VEKTOR
16
Sub-Ruang : W merupakan subset dari V. W disebut sub-ruang dari V jika dan hanya jika W adalah ruang vektor, di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan di V, artinya 1.
Jika u, v W maka (u + v) W
6.
Jika k adalah skalar dan u W, maka ku W
RUANG VEKTOR
17
V
V –u
W
W
0
u 0
v
(u+v) –u v – (u+v) –v
(u+v)
u – (u+v) –v
W subspaceV
W bukan subspace V RUANG VEKTOR
18
Teorema 5.2.1.: W merupakan subset dari V. W disebut sub-ruang dari V jika dan hanya jika 1. Jika u, v W maka (u + v) W 6.
Jika k adalah skalar dan u W, maka ku W
Bukti: (1) diketahui : W subruang dari V buktikan : 1 dan 6 (2) diketahui : 1 dan 6 buktikan : W subruang dari V (artinya buktikan aksioma 1-10 dipenuhi di W) RUANG VEKTOR
19
Teorema 5.2.1.: W merupakan subset dari V. W disebut sub-ruang dari V jika dan hanya jika 1. Jika u, v W maka (u + v) W
6.
Jika k adalah skalar dan u W, maka ku W
Bukti: (1) diketahui : W subruang dari V
buktikan : 1 dan 6 bukti : karena W adalah sub-ruang V, maka W sendiri adalah ruang vektor aksioma 1-10 dipenuhi di W jadi 1, 6 dipenuhi RUANG VEKTOR
20
Teorema 5.2.1.: W merupakan subset dari V. W disebut sub-ruang dari V jika dan hanya jika 1. Jika u, v W maka (u + v) W
6.
Jika k adalah skalar dan u W, maka ku W
Bukti: (2) diketahui : 1 dan 6 buktikan : W subruang dari V (artinya buktikan aksioma 1-10 dipenuhi di W)
RUANG VEKTOR
21
Contoh : Misalkan W merupakan kumpulan vektor (x1,x2, x3,x4) di R4 yang memenuhi persamaan x1.x2 = 0, apakah W merupakan subruang? Ambil : u (1, 0, x3 , x4 ) u v (1,1), v (0,1, x3 y3 , x4 y4 ) v (0,1, y3 , y4 )
Bukan subruang sebab hasil perkalian komponen pertama dan kedua pada u v 0 RUANG VEKTOR
22
Sub
Ruang
Hasil
Jawaban
SPL
Himpunan dari semua vektor yang merupakan jawaban dari sistem persamaan homogin merupakan subruang di Rn, dengan orde A adalah m x n. Contoh : Diberikan SPL homogen, x1 + 3x2 – 5x3 + 7x4 = 0 x1 + 4 x2 – 19x3 + 10x4 = 0 2x1 + 5x2 – 26x3 + 11x4 = 0 RUANG VEKTOR
23
Matriks Eselon-nya :
x3 x4
1 0 3 2 0 1 4 3 0 0 0 0
variable bebas, misal : x3 = s dan x4 = t x2 = 4s – 3t dan x1 = 3s + 2t
Jawaban dalam bentuk vektor :
x1 3s 2t 3 2 x 4 3 4 s 3 t 2 s t x x3 s 1 0 t x 0 1 4 x su tv u (3, 4,1, 0) dan v (2, 3, 0,1)
Subruang dari jawaban SPL Homogin disebut Ruang Jawab. RUANG VEKTOR
24
Kombinasi Linier (Linear Combination) & Rentang (Span) RUANG VEKTOR
25
Definisi: Vektor w disebut kombinasi linier dari v1, v2, …, vn jika w = k1 v1 + k2 v2 + ….. + kn vn
k1 , k2 , ….. kn adalah skalar
Teorema 5.2.3.: Jika v1, v2, …, vn merupakan himpunan vektor di V, maka 1. Himpunan dari semua kombinasi linier dari v1, v2, …, vn, disebut himpunan W, adalah subspace V 2. W adalah subspace terkecil yang berisi v1, v2, …, vn RUANG VEKTOR
26
Teorema 5.2.3.:
Jika v1, v2, …, vr merupakan himpunan vektor di V, maka 1.
Himpunan dari semua kombinasi linier dari v1, v2, …, vr, disebut himpunan W, adalah subspace V
2.
W adalah subspace terkecil yang berisi v1, v2, …, vr
Bukti 1: W adalah subspace jika u, v W, maka (u + v) W Vektor u, v W; ki, ci, ai adalah skalar u = c1 v1 + c2 v2 + ….. + cr vr
kombinasi linier dari v1, v2, …, vr
v = k1 v1 + k2 v2 + ….. + kr vr
kombinasi linier dari v1, v2, …, vr
(u + v) = (c1 + k1)v1 + (c2 + k2)v2 + ….. + (cr + kr)vr = a1 v1 + a2 v2 + ….. + ar vr kombinasi linier dari v1, v2, …, vr RUANG VEKTOR
27
Teorema 5.2.3.:
Jika v1, v2, …, vr merupakan himpunan vektor di V, maka 1.
Himpunan dari semua kombinasi linier dari v1, v2, …, vr, disebut himpunan W, adalah subspace V
2.
W adalah subspace terkecil yang berisi v1, v2, …, vr
Bukti 1: W adalah subspace jika u W, maka ku W Vektor u W; k, ci, di adalah skalar u = c1 v1 + c2 v2 + ….. + cr vr
kombinasi linier dari v1, v2, …, vr
ku = kc1 v1 + kc2 v2 + ….. + kcr vr = d1 v1 + d2 v2 + ….. + dr vr kombinasi linier dari v1, v2, …, vr RUANG VEKTOR
28
Contoh (1) : Nyatakanlah=(7,7,9,11) sebagai kombinasi linier dari=(2,0,3,1),= (4,1,3,2) dan= (1,3,-1,3) Jawab : Tentukanlah s1,s2, dan s3 yang memenuhi : a s1u1 s2 u1 s3 u3 Dalam bentuk matriks dinyatakanlah sebagai : 2 4 1 7 0 1 3 7 s1 s2 s3 3 3 1 9 1 2 3 11
ATAU
RUANG VEKTOR
2s1 + 4s2 + s3 = 7 s2 + 3s3 = 7 3s1+ 3s2 – s3 = 9 s1 + 2s2 + 3s3 = 11
29
Matriks lengkapnya :
2 0 3 1
Matriks Eselonnya :
2 0 0 0
7 7 3 1 9 2 3 11
4 1
1 3
7 1 3 7 0 13 39 2 2 0 0 0 4
1
s3 = 3, s2 = -2, dan s1 = 6
Dengan demikian dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari : a 6u1 2u1 6u3
RUANG VEKTOR
30
Contoh (2) : Jika u = (1,2,-1) dan v = (6,4,2), tunjukkan bahwa w = (9,2,7) adalah kombinasi linier dari u dan v Penyelesaian: (9,2,7) = k1 (1,2,-1) + k2 (6,4,2) SPL nya : k1 + 6 k 2 = 9 2k1 + 4 k2 = 2 -k1 + 2 k2 = 7 Jika diselesaikan, didapatkan k1 = -3 dan k2 = 2 RUANG VEKTOR
31
Rentang: Diketahui suatu Ruang Vektor V S = {v1, v2, …, vr } dan S V W = { x | x merupakan kombinasi linier vektor-vektor S artinya: x = k1 v1 + k2 v2 + ….. + kn vr }
maka S adalah rentang (span) W
RUANG VEKTOR
32
apakah R(7,7,9,11) == direntang adalah kombinasi linier dari Merentang : u=(2,0,3,1), v= (4,1,3,2) dan w= (1,3,-1,3)
RUANG VEKTOR
33
Contoh (1): Jika u = (1,0,0),v = (0,1,0),dan w = (0,0,1) membangun R3 sebab setiap vektor (x,y,z) di R3 dapat dinyatakan sebagai (x,y,z) = x + y + z Contoh (2): Tentukan apakah merupakan span di R3
vektor-vektor
berikut
u = (2,2,2), v = (0,0,3), w = (0,1,1) u = (3,1,4), v = (2,-3,5), w = (5,-2,9) u = (3,1,4), v = (2,-3,5), w = (5,-2,9), z = (1,4,-1) RUANG VEKTOR
34
Catatan jumlah vektor penyusun > jumlah ruang tidak merentang Determinan matriks = 0 tidak merentang Hasil SPL = non trivial tidak merentang
RUANG VEKTOR
35
Contoh: R2 : ruang vektor di bawah operasi penjumlahan vektor & perkalian skalar
Sub-Ruang di R2 : { (0, 0) } dan R2 sendiri R3 : ruang vektor di bawah operasi penjumlahan vektor & perkalian skalar
Sub-Ruang di R3: { (0, 0, 0) } dan R3 sendiri
RUANG VEKTOR
36
RUANG VEKTOR
37
RUANG VEKTOR
38
c) (a,b,c), dimana b = a + c Jadi vektornya baru bisa ditulis (a, a+c, c) ambil U = (a1, a1 + c1, c1) dan V = (a2, a2+c2, c2) U + V = (a1 + a2 , a1 + c1 + a2+c2, c1 + c2 ) memenuhi Ambil k skalar
k U = k (a1, a1 + c1, c1) = ( k a1, k(a1 + c1), k c1) memenuhi
Jadi sub ruang R3
RUANG VEKTOR
39
Semua vektor yang berbentuk (a,b,c) ; b = a + c + 1 Jadi bisa ditulis (a, (a + c + 1), c) ambil U (a, ( a1+c1+1), c1)
V (a2 , a2 c2 1, c2 )
Adalah vektor (a, b, c)
U V a1 a2 , a1 a2 c1 c2 2, c1 c2 Ternyata b = a1 + a2 +c1 + c2 + 2 tidak memenuhi, jadi bukan sub ruang.
RUANG VEKTOR
40
