Latihan 2. Ruang Vektor. Bagian 1

Latihan 2. Ruang Vektor Bagian 1 1. Andaikan H = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Operasi penjumlahan pada H adalah operasi penjumlahan modulo 6. Apakah H merupakah grup ? Grup abelian ? 2. Dengan operasi penjumlahan modulo 8, selidiki apakah himpunan G merupakan Grup? Grup Komuatif ?, jika G = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 3. Dengan operasi penjumlahan modulo 7, selidiki apakah himpunan H merupakan Grup? Grup Komuatif ?, jika H = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. 4. Andaikan K = {2y | y  B}, di mana B adalah himpunan bilangan bulat. Selidiki apakah K merupakan Grup ? Grup Komutatif, jika operasi pada K adalah : a) penjumlahan b) perkalian 5. Dengan operasi perkalian modulo 8, selidiki apakah himpunan N merupakan Grup? Grup Komuatif ?, jika N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 6. Dengan operasi penjumlahan modulo 7, selidiki apakah himpunan P merupakan Grup? Grup Komuatif ?, jika P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}. 7. Andaikan diketahui a, b  Q, dengan a dan b anggota himpunan bilangan bulat. Operasi * pada Q didefinisikan a*b = a + b + 1. Selidiki apakah (Q, *) merupakan grup? Grup komutatif?. 8. Andaikan diketahui a, b ϵ R, dengan a dan b anggota himpunan bilangan bulat. Operasi # pada R didefinisikan a#b = a + b + ab. Apakah (R, #) merupakan grup? Grup komutatif?. 9. Dengan operasi (i) penjumlahan, (ii) perkalian; manakah himpunan di bawah ini yang merupakan grup? Grup abelian?. Jelaskan jawab saudara ! a) Himpunan bilangan asli b) Himpunan bilangan cacah c) Himpunan bilangan bulat d) Himpunan bilangan rasional e) Himpunan bilangan real 10. Diketahui S = {semua matriks berdimensi 2x2}. Dengan operasi penjumlahan matriks, selidiki apakah (S, +) merupakan grup? Grup komutatif? 11. Diketahui T = {semua matriks berdimensi 2x2}. Dengan operasi perkalian matriks, selidiki apakah (T, x) merupakan grup? Grup komutatif? 12. Dengan operasi penjumlahan modulo 8 dan perkalian modulo 8, selidiki apakah himpunan F merupakan Field ?, jika F = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 13. Dengan operasi penjumlahan modulo 7 dan perkalian modulo 7, selidiki apakah himpunan W merupakan Field ?, jika W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. 14. Dengan operasi penjumlahan dan perkalian, selidiki himpunan bilangan manakah yang merupakan field ? a) Himpunan bilangan bulat Budi Murtiyasa, 2013, Latihan 2. Ruang Vektor

Page 1

b) Himpunan bilangan rasional c) Himpunan bilangan real d) Himpunan bilangan kompleks 15. Andaikan F = { (a + b√5) | a, b  R} di mana R himpunan bilangan real, dengan operasi penjumlahan dan perkalian apakah merupakan field ?  a b  | a, b  R, dengan a ≠ 0 atau b ≠ 0}. Dengan operasi penjumlahan 16. Andaikan M = {   b a dan perkalian, apakah M merupaan field ? 17. Diketahui a, b  N dengan a dan b anggota himpunan bulat. Operasi # pada N didefinisikan a#b = a + b – 1, dan operasi * pada N didefinisikan sebagai a*b = a + b + ab. Selidiki apakah (N, #, *) merupakan field? 18. Diketahui E = {a + b√3 | a,b  B}, B adalah himpunan bilangan bulat. Dengan operasi penjumlahan dan perkalian, selidiki apakah (E, +, x) merupakan field?. 19. Diketahui M = {semua matriks berdimensi 2x2}. Dengan operasi penjumlahan matriks dan perkalian skalar terhadap matriks, selidiki apakah (M, +, x) merupakan field? 20. Diketahui P adalah himpunan semua polinom berderajat dua, di mana P = { a + bt + ct2 | a, b, c  R} dengan R adalah himpunan bilangan real. Dengan operasi penjumlahan polinom dan perkalian skalar terhadap polinom, apakah P merupakan field ?

Bagian 2

a   1. Andaikan V = {  2a  , a  R}. Dengan operasi penjumlahan di antara anggota V, serta  3a    operasi perkalian antara anggota field F dengan anggota V, selidiki apakah V merupakan ruang vektor ? a   2. Andaikan V = {  b  | a, b, c  R}. dengan operasi penjumlahan pada V di definisikan : c    a1   a 2   a1  2a 2   a1   ka1             b1  +  b2  =  b1  2b2  dan operasi perkalian pada V didefinisikan : k  b1  =  kb1  .  c   c   c  2c   c   kc  2   1  2  1  1  1 Selidiki apakah V merupakan ruang vektor ?

Budi Murtiyasa, 2013, Latihan 2. Ruang Vektor

Page 2

a   3. Andaikan V = {  b  | a, b, c  R}. dengan operasi penjumlahan pada V di definisikan : c  

 a1   a 2   a1  a 2   a1   ka1             b1  +  b2  =  b1  b2  dan operasi perkalian pada V didefinisikan : k  b1  =  0  . c  c  c  c   c   kc  2   1  2  1  1  1 Selidiki apakah V merupakan ruang vektor ? 4. Himpuna semua polinom berderajat dua P = { a + bt + ct2; di mana a, b, c  R}. Operasi penjumlahan pada P adalah penjumlahan polinom, dan operasi perkalian pada P adalah perkalian skalar. Selidiki apakah P merupakan ruang vektor ? 5. Diketahui sembarang field F dan X adalah himpunan yang tidak kosong. Pandanglah V sebuah fungsi dari X into F. Jumlah dua fungsi f, g  V adalah sebuah fungsi f + g  V yang didefinisikan (f+g)(x) = f(x) + g(x), dan Perkalian skalar k  F dengan fungsi f  V adalah fungsi kf  V yg didefinisikan (kf)(x) = kf(x). Selidiki apakah V merupakan ruang vektor atas field F ? 6. Selidiki apakah W merupakan subpaces dari V = 3, jika :  x   (a) W = {  y  | x + y + z = 0; x, y, z  R} z  

 x   (b) W = {  y  | xy z = 0; x, y, z  R} z   7. Andaikan V = 3. Himpunan W merupakan himpunan bagian dari V. Selidiki apakah himpunan W berikut ini merupakan subspace (ruang vektor bagian) dari V ?. Jelaskan jawab saudara ! a   (a) W = {  b  | 2a – b = 3c; a, b, c  R}. c  

a   (b) W = {  a  | a  R}.  9a    8. Andaikan V = 3 . Apakah W subspace dari V jika :

a   (a) W = {  b  | a + 2b – c = 0; a, b, c  R} c   Budi Murtiyasa, 2013, Latihan 2. Ruang Vektor

Page 3

a   (b) W = {  b  | a + b > 1 ; a, b, c  R} c   a   (c) W = {  b  | a = b – c ; a, b, c  R} c   a   (d) W = {  b  | a + b = c + 1; a, b, c  R} c   9. Andaikan V = 4. Selidiki apakah W subspace dari V, jika: a   b (a) W = {   | a – 2d = b + c; a, b, c, d  R}. c   d    a   b (b) W = {   | a + 2b + c = 1 + 2d; a, b, c, d  R} c   d   

 x  x     10. Andaikan V = 3. Jika himpunan U = {  y  | x + 2y – z = 0; x, y, z  R} dan W = {  y  | z z     2x + 3y + z =0; x, y, z  R}, carilah U ∩ W. Tunjukkan juga bahwa: (a) U subspace V (b) W subspace V (c) U ∩ W subspace V

Bagian 3

 1   1   2  4          1. Andaikan u =   5  , v =  3  , w =  4  , dan s =   10  . Jika mungkin, nyatakan s  7    2  1   6          sebagai kombinasi linear dari u, v, dan w !

Budi Murtiyasa, 2013, Latihan 2. Ruang Vektor

Page 4

 4  11  , dan himpunan vektor B = {B1, B2, B3}, dengan B1 = 2. Diketahui matriks A =    11  7   1  2  2 1  4  1   , B2 =   , dan B3 =   . Jika mungkin, nyatakan A sebagai kombinasi  2 1   1 3   1  5 linear dari vektor-vektor anggota B !.  1 1 1 2  , A =   , B = 3. Diketahui M =   4 5 3 4

 1 1   , dan C =  1 1 sebagai kombinasi linear dari A, B, dan C !

4 7   . Jika mungkin, nyatakan M 7 9

4. Diketahui V adalah ruang vektor polinomial berderajat 3 atas field bilangan real R. Andaikan u, v, w  V di mana u = t3 + 4t2 – 2t + 3, v = t3 + 6t2 – t + 4, dan w = 3t3 + 8t2 – 8t + 7. Nyatakan jika mungkin u, sebagai kombinasi linear dari v dan w !  1  2  2 1    3  2  1 1          5. Andaikan A =   1 1  , B =  2  1 , C =  1  3  , dan M =   1  6  . Jika mungkin,  2 1  0  3 4 1 2  0        nyatakan M sebagai kombinasi linear dari A, B, dan C ! 6. Diketahui himpunan P = {p1, p2, p3} di mana polinom p1 = – 5 + 5t + 3t2, p2 = 6 + 3t + t2, dan p3 = 1 + 2t + t2. Nyatakan p = 4 + 5t + 2t2 sebagai kombinasi linear dari polinompolinom di dalam P. 7. Diketahui Q = {p1, p2, p3} di mana polinom p1 = 1 + 2t + t2, p2 = 3 + 8t – 2t2, dan p3 = 2 + 5t. Nyatakan p = -1 – 3t + 3t2 sebagai kombinasi linear dari polinom-polinom di dalam Q. 8. Selidiki apakah himpunan B = {b1, b2, b3} ini merupakan sistem pembentuk bagi 2, jika : 1  1    2  (a) b1 =   , b2 =   , dan b3 =    3  1   1

 1 1 0 (b) b1 =   , b2 =   , dan b3 =    1 0 1 9. Selidiki apakah himpunan P = {p1, p2, p3} ini merupakan sistem pembentuk bagi 3, jika : 1 0 0       (a) p1 =   1 , p2 =  1  , dan p3 =  0    1   1 1        3  2 1       (b) p1 =  2  , p2 =  1  , dan p3 =  0  . 1 0 0       Bagian 4 1. Untuk matriks berikut ini, masing-masing carilah vektor-vektor yang membangun ruang baris dan ruang kolom. Budi Murtiyasa, 2013, Latihan 2. Ruang Vektor

Page 5

 4 (a) A =   3  2  (b) B =  0  3 

1 5   2  6  1  1 2 3  1 0 1 0 4  2 1 0 

2. Andaikan u, v, w, dan s adalah vektor-vektor di 3. Dengan matriks, jika mungkin nyatakan vektor s sebagai kombinasi linear dari vektor u, v, dan w, jika :  2   1  3  5          (a) s =  1  , u =  2  , v =  3  , dan w =  5    3   2   1   4          8   2   4   6         (b) s =   1 , u =  1  , v =  2  , dan w =   3   7   2   3   5         3. Andaikan u, v, w, dan s adalah vektor-vektor di 4. Dengan matriks, jika mungkin nyatakan vektor s sebagai kombinasi linear dari vektor u, v, dan w, jika :  1   2    3   1          1   2  3  1 (a) s =  ,u=  ,v=  , dan w =    2 3  4 1           2   4  6   2          3    2   1 1           5  4   2   1 (b) s =   , u =   , v =   , dan w =  1 2  1 3          2   6  0  2        

Budi Murtiyasa, 2013, Latihan 2. Ruang Vektor

Page 6