RUANG VEKTOR BAGIAN RANK KONSTAN DARI BEBERAPA RUANG VEKTOR MATRIKS CONSTANT RANK VECTOR SUBSPACE OF SOME VECTOR SPACE MATRICES
Iin Karmila Putri Karsa, Amir Kamal Amir, Loeky Haryanto Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin
Alamat Korespondensi: Iin Karmila Putri Karsa Jurusan Matematika Fakultas Matematika Universitas Hasanuddin Makassar, 90245 HP: 085299314213 Email:
[email protected]
Abstrak Suatu ruang vektor atas lapangan adalah suatu himpunan yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan + , , , dan perkalian dengan skalar , ∈ , yang memenuhi syarat tertentu. Penelitian ini bertujuan mengkaji pengembangan berdasarkan sifat atau teori tentang ruang vektor bagian dengan rank konstan. Penelitian ini bekerja pada ruang vektor matriks Hermit atas bilangan kompleks dan matriks simetri atas bilangan riil. Dengan melakukan pengembangan pada rank konstannya, yaitu jika terdapat subruang dengan rank konstan maka terdapat subruang ′ dengan rank konstan 2 . Dikembangkan menjadi jika terdapat subruang dengan rank konstan maka terdapat subruang ′ dengan rank konstan . Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa jika subruang rank konstan dari ruang vektor matriks atas ℝ, maka terdapat subruang ′ rank konstan ) (ℝ) yang berdimensi ×( dari ruang vektor matriks (ℂ) yang berdimensi 2 atas ℂ. Dan jika terdapat subruang rank konstan dari ruang vektor matriks ×( rank konstan dari ruang vektor matriks bertipe positif.
) (ℝ)
yang berdimensi atas ℝ. Maka terdapat subruang ′ (ℝ) yang berdimensi atas ℝ dan setiap elemen taknolnya
Kata kunci: Ruang Vektor, Subruang Vektor, Rank Konstan, Matriks Hermit, Matriks Simetri
Abstract A vector space over a field is a set which is equipped with the operations of addition + , , , and multiplication by a scalar , ∈ , who meet certain requirements. This study examines development based on the properties or theory of constant rank vector subspace. The development was made by determining the constant rank vector subspace of some vector space matrices so that they will be more established. The research worked on vector space of Hermit matrices over complex numbers and symmetric matrices over real numbers. The development was done on the constant rank. If there is a subspace with constant rank , then there is a subspace ′ with constant rank 2 . It was developed into if there is a subspace with constant rank then there is a subspace ′ with constant rank . The results of this research indicate that if a subspace with constant rank of a vector space matrices over ℝ, then there is a subspace ′ with constant rank ) (ℝ) has the dimension of ×( of a vector space matrices (ℂ) with the dimension 2 over ℂ. Furthermore, if a subspace with constant rank of the vector space matrices over ℝ, then there exists ) (ℝ) has the dimension ×( (ℝ) and a dimension of over ℝ in a subspace ′ with constant rank of vector space matrices each of its nonzero element is positive type.
Keywords: Vector Space, Vector Subspace, Constant Rank, Hermit Matrices, Symmetric Matrices
PENDAHULUAN Pada saat pertama kali teori vektor dikembangkan, hanya dikenal vektor–vektor di
dan
saja, tetapi dalam perkembangannya ternyata didapatkan permasalahan
yang lebih kompleks sehingga dikembangkan vektor–vektor di ruang berdimensi 4 , 5 atau secara umum merupakan vektor–vektor di geometris vektor–vektor di
(Haryanto dkk., 2012). Secara
dan seterusnya belum bisa digambarkan, tetapi dasar
yang digunakan seperti operasi–operasi vektor masih sama seperti operasi pada vektorvektor di
dan
(Herstein, 1996). Konsep vektor pertama kali dijumpai pada
‘School Of Euclid’ sekitar 300 sebelum masehi, sehingga vektor–vektor yang berada di dikenal sebagai vektor Euclidis, sedangkan ruang vektornya disebut ruang–n Euclidis. Suatu ruang vektor
atas lapangan
dilengkapi dengan operasi penjumlahan ,
∈ ,
jika
Subhimpunan
, dan perkalian dengan skalar
dari sebuah ruang vektor
dinamakan subruang (subspace)
itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penambahan dan perkalian skalar yang
ruang vektor
. Jika
, maka
adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah adalah subruang dari
berikut berlaku, yaitu jika dan jika
bahwa
+ , ,
yang
yang memenuhi syarat tertentu (Spindler, 1994).
didefinisikan pada
di
adalah suatu himpunan
dan
jika dan hanya jika kondisi-kondisi
adalah vektor-vektor pada
adalah sebarang skalar dan
, maka
adalah sebarang vektor pada
+
berada di ,
berada
(Grillet, 2007). Kondisi-kondisi tersebut sering dijelaskan dengan menyatakan tertutup pada penambahan dan tertutup pada perkalian skalar. Setiap ruang
vektor pada
mempunyai paling sedikit dua subruang.
sendiri adalah sebuah
subruang, dan himpunan {0} yang terdiri dari vektor nol saja pada
yang merupakan
sebuah subruang yang dinamakan subruang nol (Lipschutz et al., 2004). Subruang
yang direntang oleh vektor-vektor baris matriks A dinamakan
ruang baris A dan Subruang
yang direntang oleh vektor-vektor kolom dinamakan
ruang kolom A (Lidl et al., 1994). Rank (A) adalah dimensi ruang baris atau ruang kolom dari suatu matriks A (Howard et al., 2005). Dalam hal ini, dimensi ruang baris suatu matriks selalu sama dengan dimensi ruang kolom. Pada sisi lain, misalkan adalah subruang taknol dari ruang vektor matriks
×
(ℝ). Subruang
suatu subruang dengan rank konstan jika semua unsur taknol dari yang sama (Gallian, 1990).
dinamakan
mempunyai rank
Penelitian sebelumnya pada tahun 2010 oleh Jean Guillaume Dumas, Rod Gow, dan John Sheekey dalam penelitian “Rank Properties of Subspaces of Symmetric and Hermitian Matrices over Finite Fields” menjelaskan mengenai sifat-sifat rank matriks dari suatu subruang matriks simetris dan matriks Hermit atas lapangan berhingga (Guillaume et al., 2010). Pada kesempatan berbeda pada tahun 2011, Shekeey dalam penelitiannya yang berjudul “On Rank Problems for Subspaces of Matrices over Finite Field” membuktikan beberapa sifat tentang subruang vektor rank konstan dari beberapa ruang vektor matriks dengan rank konstan 2 . Salah satu teori yang berlaku adalah jika ada subruang vektor rank konstan dengan rank , maka dapat dibentuk subruang vektor
rank konstan yang baru dengan rank 2 dan untuk dimensi dan tipe yang sama dengan ruang vektor sebelumnya (Sheekey, 2011).
Sehingga penelitian ini bertujuan untuk menentukan ruang vektor bagian rank konstan dari beberapa ruang vektor matriks agar berlaku lebih luas yaitu jika ada subruang vektor rank konstan dengan rank , maka dapat dibentuk subruang vektor rank konstan yang baru dengan rank
.
METODE PENELITIAN Rancangan Penelitian Langkah awal dari penelitian adalah mengidentifikasi masalah yang bertujuan untuk menetapkan fokus permasalahan penelitian. Studi pustaka dilakukan terhadap jurnal-jurnal penelitian yang berkaitan dengan bidang penelitian sebagai tahap melengkapi pengetahuan daftar peneliti untuk keperluan pelaksanaan penelitian. Analisis Data Penelitian ini dilakukan dengan langkah-langkah yaitu, mencermati sifat-sifat dan teori yang mendukung mengenai subruang vektor bagian rank konstan, mengumpulkan sifat-sifat dan teori yang mendukung mengenai subruang vektor bagian rank konstan, membuktikan sifat ruang vektor bagian rank konstan dengan rank berlaku untuk beberapa contoh, membuktikan sifat ruang vektor bagian rank konstan dengan rank
berlaku secara umum dan terakhir verifikasi hasil.
HASIL PENELITIAN Teorema 1. Misalkan terdapat subruang vektor matriks terdapat subruang
×( ′
berdimensi 2 atas ℂ.
) (ℝ)
yang berdimensi
atas ℝ dengan 1 ≤
′
̅
0
′
. Dapat dilihat bahwa setiap elemen dari
rank 2 . Selanjutnya dibuktikan,
={
maka dapat dilihat bahwa ′
={
′
′
′′
′
′′
′
′′
adalah basis dari ′. Misalkan dan misalkan Misalkan
={
,
,
′′
,
, ′
,
,…,
,
(ℂ) yang
,…, ′
=
adalah Hermit dan memiliki
′′
,…,
0 ∈ 0 0 0 0 = ∈ 0
=
0 ∈ 0 0 0 0 = ∈ 0 =
⋮
0 ∈ 0 0 0 0 = ∈ 0 =
} ′
′
,
′′
′
′
′
′
′
} adalah basis dari . 0 ̅
0
}
,
adalah subruang vektor dari matriks ,
, maka
merupakan subruang berdimensi 2 atas ℂ.
′
adalah
dengan
<
adalah himpunan dari matriks-matriks yang berbentuk 0
Misalkan basis dari
dari ruang
dengan rank konstan 2 dari ruang vektor matriks
Bukti: Misalkan
dengan
dengan rank konstan
∈
×(
) (ℝ)
berdimensi
∈
Karena
maka, =
0
=
̅
0 0
=
0 0
=
0
+
0
0
0
+
+
+
+
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
+
+
0 0
+
0
+
0 0
0
′
′
,
= ′′
,
0 0 ′
,
′′
dan
0
,…,
′
,
′′
{
′
,
′′
′
0
=
′′
,
,
′′
0
0
} membangun ′.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa {
′
′
sebagai berikut, 0=
′
= =
′′
0 0
=
=
+
0
0
0
0
+
0
+ +
′
+
+
+ +
0
+
0 0 0
′′
0 0
0
+ ⋯+ 0
0
0
+⋯+
0
+
′
+
0
+ ⋯+
,
0
′′
,
+⋯+
0
+
.
,
′′
+
0 0
0
0
+⋯ 0
+⋯
}
′
,
′′
,…,
′
,
′′
} bebas linear
′′
0 0
+ ⋯+
+
0
0
,…,
0
0
0
0
+ 0
0
+ ⋯+
0
0
.
+
+ ⋯+
0
+⋯+
dapat ditulis dengan kombinasi linear dari
dimana Jadi, {
+
0
0 0
=
Jadi,
+
+
∈ ′ dapat ditulis
Maka untuk setiap =
+
0
0
0
+
+
0 0 0
0
0
0
+⋯
0
+ 0
+ ⋯+
.
+
Karena
+
+⋯+ =
Maka
Jika {
′
,
0=
dan ′′
,
′
,
hanya ′′
,…,
+
′
jika ,
′
′′
′′
+
= 0, jika dan hanya jika
=
=⋯=
+
′
=
=
} bebas linear.
Teorema 1 hanya berlaku untuk subruang 0
′′
+ ⋯+
=⋯=
′
̅
=0
′
=
+
′′
= 0.
Karena
itu,
dari matriks-matriks yang berbentuk
0
akan dikembangkan menjadi seperti pada teorema berikut ini: Teorema 2. Misalkan terdapat subruang
dengan rank konstan
dari ruang
) (ℝ)
atas ℝ dengan 1 ≤
< , maka
Teorema 3. Misalkan terdapat subruang
dengan rank konstan
dari ruang
) (ℝ)
atas ℝ dengan 1 ≤
< . Maka
vektor matriks terdapat subruang
×( ′
yang berdimensi
dengan rank konstan
dari ruang vektor matriks
berdimensi 2 atas ℂ. vektor matriks terdapat subruang berdimensi
×( ′
dengan rank konstan 2 dari ruang vektor matriks
atas ℝ dan setiap elemen taknolnya bertipe positif.
Bukti: Misalkan
dengan
yang berdimensi
′
∈ .
0
Misalkan basis dari
merupakan suatu subruang berdimensi
adalah ={
maka dapat dilihat bahwa ′
dengan
adalah simetri dan memiliki rank 2 .
′
Maka untuk melihat bahwa elemen dari ′
(ℝ) yang
adalah himpunan matriks-matriks yang berbentuk 0
Selanjutnya dibuktikan,
(ℂ) yang
={ ′
=
, ′
,
0
, ′
,
,…, ′
0
}
,…,
′
∈
′
}
atas ℝ.
adalah basis dari ′.
Misalkan
,
,
∈
maka, =
0
0
=
0
=
=
Jadi,
0
=
′
∈
′
+
+
+ ⋯+ +
0
+
+
0
0
0
+⋯+
0
0
′
′
,,
= ′
,
0
′
0
,…,
{ ′
′
,,
} membangun ′.
′
,
′
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa { ′
+
0
′
0
+ ⋯+ +
.
,…,
′
}
,,
′
,
′
0
0
+ ⋯+
0
′
0
+ ⋯+
0
.
0
,…,
′
0
berdimensi
+ ⋯+
+ ⋯+
0
) (ℝ)
×(
∈
0
berikut, 0=
∈
dapat ditulis dengan kombinasi linear dari
dimana Jadi, {
+
0
0
=
∈ ′ dapat ditulis
Maka untuk setiap =
0
′
} adalah basis dari .
,…, ′
Karena
0
∈
adalah subruang vektor dari matriks
={
dan misalkan
⋮
0
=
′
0
0
=
′
Misalkan
0
=
′
0
′
} bebas linear sebagai
=
0
=
+
0
+
Karena
+
0
0
0
+⋯+ +
+
+⋯+ =
Maka =
Jika dan hanya jika linear. Sekarang elemen
0=
= ′
=
∈
0
+ ⋯+ 0
+⋯+
.
= 0, jika dan hanya jika
+
=⋯= ′
=⋯=
=0
+ ⋯+
′
= 0. Karena itu, {
( ) dari rank 2
terdapat subruang berdimensi ( −
0
) dari
′
,
′
,…,
′
bertipe positif jika dan hanya jika
(ℝ) yang total isotropik terhadap bentuk
. Hal ini menjelaskan bahwa subruang dari vektor (0,0, … ,0,
kuadratik
membentuk suatu subruang berdimensi ′
)
,…,
yang total isotropik untuk setiap elemen (ℝ).
taknol dari matriks simetri atas lapangan hingga Teorema 3 berlaku untuk subruang
} bebas
dengan matriks-matriks yang berbentuk 0
0
akan dikembangkan menjadi Teorema 3 seperti berikut ini, Teorema 4. Misalkan terdapat subruang
dengan rank konstan
dari ruang
) (ℝ)
atas ℝ dengan 1 ≤
< . Maka
vektor matriks terdapat subruang berdimensi
atas
×( ′
yang berdimensi
dengan rank konstan
dari ruang vektor matriks
dan setiap elemen taknolnya bertipe positif.
(ℝ) yang
PEMBAHASAN Berdasarkan hasil penelitian yang telah dikerjakan, maka untuk Teorema 1 yaitu, misalkan terdapat subruang
′
×(
) (ℝ)
yang berdimensi
dengan rank konstan atas ℝ dengan 1 ≤
dengan rank konstan 2 dari ruang vektor matriks
dari ruang vektor matriks <
, maka terdapat subruang
(ℂ) yang berdimensi 2 atas
ℂdikembangkan menjadi Teorema 2 berikut yaitu, misalkan terdapat subruang dengan rank konstan ℝ dengan 1 ≤
dari ruang vektor matriks
< , maka terdapat subruang
′
×(
) (ℝ)
yang berdimensi
dengan rank konstan
atas
dari ruang
(ℂ) yang berdimensi 2 atas ℂ, berlaku secara umum untuk setiap
vektor matriks nilai
> 2.
Begitupun untuk Teorema 3 yaitu misalkan terdapat subruang
konstan 1≤
dari ruang vektor matriks
< . Maka terdapat subruang (ℝ) yang berdimensi
matriks
) (ℝ)
×(
′
atas ℝ dengan
yang berdimensi
dengan rank konstan 2
dengan rank
dari ruang vektor
atas ℝ dan setiap elemen taknolnya bertipe positif
dilakukan pengembangan teorema tersebut pada rank konstannya dan berlaku secara umum pada Teorema 4 yaitu, misalkan terdapat subruang ruang vektor matriks Maka terdapat subruang yang berdimensi
×( ′
) (ℝ)
yang berdimensi
dengan rank konstan
dengan rank konstan
dari
atas ℝ dengan 1 ≤
< .
(ℝ)
dari ruang vektor matriks
atas ℝ dan setiap elemen taknolnya bertipe positif.
KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah penulis lakukan, serta pengembangan teorema-teorema yang telah dibuktikan, maka dapat diambil kesimpulan untuk teorema-teorema berikut terbukti dan berlaku secara umum yaitu, misalkan terdapat subruang berdimensi matriks
rank konstan
dari ruang vektor matriks
atas ℝ, maka terdapat subruang
rank konstan
(ℂ) yang berdimensi 2 atas ℂ. Dimana
×(
) (ℝ)
dari ruang vektor
adalah bilangan genap positif
yang lebih besar dari 2, dan kesimpulan kedua yaitu misalkan terdapat subruang konstan
dari ruang vektor matriks
terdapat subruang berdimensi
rank konstan
×(
) (ℝ)
yang
yang berdimensi
dari ruang vektor matriks
rank
atas ℝ. Maka
(ℝ) yang
atas ℝ dan setiap elemen taknolnya bertipe positif. Dimana
adalah
bilangan genap positif yang lebih besar dari 2.
Mengacu pada hasil-hasil yang dicapai dan manfaat yang diharapkan dari hasil
penelitian, maka penulis menyarankan agar peneliti selanjutnya yang berminat dengan materi ini sebaiknya bekerja dalam ruang vektor matriks lain yaitu selain matris hermit (ℂ) dan matriks simetri
(ℝ). Pada penelitian ini penulis bekerja pada bilangan
real ℝ. Jadi, penulis menyarankan untuk penelitian lebih lanjut dapat bekerja dalam lapangan hingga dengan
elemen yaitu
(
(
)dan
(
)).
UCAPAN TERIMA KASIH Penulis menyampaikan terima kasih kepada Mr. John Sheekey yang telah memberikan pengarahan dan petunjuk melalui diskusi melalui e-mail dalam menyelesaikan jurnal ilmiah ini, serta kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan dan fasilitas dalam penulisan jurnal ilmiah ini.
DAFTAR PUSTAKA Gallian, J.A. (1990). Contemporary Abstract Algebra. 2nd Edition. Massachussets : D.C. Heath and Company. Grillet, P. Antoine. (2007). Abstract Algebra. 2nd Edition. New York : Spgelangganger Science and Business Media, LLC. Guillaume, Jean., Gow, Row., McGuire, Gary and Sheekey, John. (2010). Subspaces Of Matrice with Special Rank Properties. Journal Of Mathematic. Science Foundation Ireland Grant 06/MI/006. Haryanto, Loeky dan Amir Kamal, Amir. (2012). Bahan Ajar Untuk Pasca Sarjana Aljabar Linear Lanjut. Bagian I. Universitas Hasanuddin: Jurusan Matematika. Herstein, I. N. (1996). Abstract Algebra. 3rd Edition. New Jersey : Prentice Hall International,Inc. Horward, Anton and Chris Rorres. (2005). Elementary Linear Algebra, Application Version, John Wiley & Sons. Lidl, Rudolf and Harald Niederreiter. (1994). Introduction to Finite fields and Their Applications. United Kingdom : Cambridge University Press. Lipschutz, Seymour and Lipson Marc. (2004). Schaum’s Outlines Linear Algebra. Third Edition. Mc Graw-Hill. Sheekey, John. (2011). On Rank Problems for Subspaces of Matrices over Finite Field. Disertasi. Ireland: Program Studi Doktor Matematika-Universitas Dublin. Spindler, Karlheinz. (1994). Abstract Algebra with Applications In Two Volumes. Volume II. Germany: Darmstadt.
