Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity
5.5. Row Space, Column Space, Nullspace
Vektor-Vektor Baris & Kolom Vektor baris A (dalam Rn)
Vektor kolom A (dalam Rm)
Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null Definisi: Jika A adalah suatu matriks m x n, maka: • Sub ruang dari Rn yang terentang oleh vektor-vektor baris dari A disebut Ruang Baris dari A. • Sub ruang dari Rm yang terentang oleh vektor-vektor kolom disebut Ruang Kolom dari A. • Ruang penyelesaian dari sistem persamaan homogen Ax= 0, yang merupakan suatu sub ruang dari Rn disebut Ruang Null dari A Ruang Baris
Ruang Kolom
Ruang Null
Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null
Maka vektor-vektor baris A adalah:
Dan vektor-vektor kolom A adalah:
Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null Theorema 1. Suatu sistem persamaan linier Ax = b konsisten jika dan hanya jika b berada dalam ruang kolom A. Contoh :
Dengan eliminasi Gaussian didapat : x1 = 2; x2 = -1; x3 = 3 Karena sistem punya solusi/konsisten, maka b berada dalam ruang kolom A
Ax = b
dan
Ax = 0
Teorema 2. •
Jika x0 menyatakan sembarang penyelesaian tunggal dari suatu sistem linier tak homogen yang konsisten Ax = b ,
•
v1, v2, …, vk merupakan vektor-vektor baris untuk ruang null A & merupakan ruang penyelesaian dari sistem homogen Ax = 0,
•
Setiap penyelesaian dari Ax = b bisa dinyatakan dalam bentuk:
x = x0 + c1v1 + c2 v2 + … + ckvk
•
Dan sebaliknya, untuk semua pilihan sklalar, c1, c2, …, ck vektor x dalam rumus ini merupakan penyelesaian dari Ax = b
x = x0 + c1v1 + c2 v2 + … + ckvk Penyelesaian khusus Ax = b
Penyelesaian umum Ax = 0
Penyelesaian umum Ax = b
Ax = b
dan
Ax = 0
Tentukan penyelesaian khusus dan penyelesaian umum dari Sistem Persamaan Linier berikut :
H21 (-2)
H2 (-1) H32 (-5) H42 (-4)
H23 (-3) H34; H3 (1/6),
Ditulis dalam bentuk vektor sebagai berikut: Penyelesaian umum dari SPL
Solusi khusus Ax = b
Solusi umum Ax = 0
Bukti solusi umum Ax = 0
x1= -3r -4s – 2t; x2 = r; x3 = -2s;
x4 = s; x5 = t; x6 = 0
Terbukti!!
Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null
Operasi baris dasar pada matriks A tidak mengubah himpunan penyelesaian dari sistem linier yang berpadanan Ax = 0
Theorema 3. Operasi baris dasar tidak mengubah ruang Null suatu matriks
Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null Contoh : Cari basis untuk ruang null dari : Basis ruang null didapat melalui himpunan penyelesaian SPL Homogen Ax = 0
OBE
OBE
x1 = -s-t
x2= s
x3= -t
x4= 0
x5= t
Dengan solusi umum yang diperoleh adalah; x1 = -s-t
x2= s
x3= -t
x4= 0
x5= t
Vektor penyelesaiannya dapat ditulis sbb:
Didapat vektor-vektor v1 dan v2 merentang dan membentuk suatu basis untuk ruang ini, atau basis ruang null adalah v1 dan v2 S= {v1, v2 } adalah himpunan vektor-vektor dalam R2 dan bebas linier (karena 2 vektor dalam R2) Maka {v1, v2 } adalah suatu basis, dan ruang penyelesaiannya adalah berdimensi dua.
Ingat!!!! • Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika V berisi suatu himpunan vektor terhingga {v1, v2, …, vn} yang membentuk suatu basis. • Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama
Konsep DIMENSI
Basis Basis Basis Basis
standar standar standar standar
untuk Rn mempunyai n vektor untuk R3 mempunyai 3 vektor (R3 berdimensi ruang). untuj R2 mempunyai 2 vektor (R2 berdimensi bidang). untuk R1 mempunyai 1 vektor (R1 berdimensi garis).
Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null Teorema 4. Operasi baris dasar tidak mengubah ruang baris dari suatu matriks, namun bisa mengubah ruang kolom matriks tersebut. Misal vektor baris matriks A adalah r1, r2, … , rn dan B diperoleh dari A melalui OBE, maka; Jika OBE adalah pertukaran baris, maka A dan B tetap memiliki vektor baris yang sama, namun vektor kolom beda.
Jika OBE adalah perkalian suata baris dengan skalar tidak nol atau penambahan perkalian skalar suatu baris ke baris lainnya, maka ruang baris pada matriks B merupakan kombinasi linear ruang baris matriks A dan juga terletak pada ruang baris A, namun mengubah ruang kolom A.
Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null Jika diketahui Ax = 0 dan Bx = 0, dimana matriks Bmxn dihasilkan melalui OBE pada matriks Amxn, maka A dan B memiliki himpunan penyelesaian yang sama.
Sistem pertama mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanya jika sistem kedua mempunyai penyelesaian tak trivial. Atau vektorvektor kolom dari A bebas secara linier jika dan hanya jika vektorvektor kolom dari B juga bebas secara linier. Jika vektor-vektor kolom dari A dan B masing-masing adalah: c1, c2, …, cn
dan c’1, c’2, …, c’n
Maka kedua sistem tersebut bisa ditulis ulang : atau
x1c1 + x2c2 + … + xncn = 0 x1c’1 + x2c’2 + … + xnc’n = 0
Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null Teorema 5. Jika A dan B adalah matriks –matriks yang ekuivalen baris,maka: • Suatu himpunan vektor kolom dari A bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor kolom B yang bersepadanan juga bebas linier.
• Suatu himpunan vektor kolom dari A yang membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari A jika dan hanya jika vektor-vektor kolom yang bersepadanan dari B membentuk suatu baris untuk ruang kolom dari B.
Matriks Eselon untuk mencari Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null Teorema 6. Jika suatu matriks R berada dalam bentuk baris-eselon, maka vektor-vektor baris dengan utama 1 (yaitu vektor-vektor baris tak-nol) membentuk suatu basis untuk ruang baris dari R, dan vektor-vektor kolom dengan utama 1 dari vektor-vektor baris membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari R. Contoh : Matriks dengan eselon tereduksi memiliki 3 vektor yang membentuk suatu basis untuk ruang baris dan 3 vektor yang membentuk suatu basis untuk ruang kolom r1
r2 r3
c1
c2
c4
Matriks Eselon untuk mencari Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null Cari basis-basis untuk ruang baris dan kolom berikut:
OBE tidak merubah ruang baris dari suatu matriks, sehingga basis untuk ruang baris A dicari dengan suatu basis untuk ruang baris eselon A. Hasil reduksi A menjadi baris eselon dalam matriks R sbb: Vektor-vektor baris tak-nol dari R membentuk basis untuk ruang baris R, sehingga membentuk suatu basis untuk ruang baris dari A, sbb:
OBE Tereduksi
• A dan R memiliki ruang kolom yg berbeda • Basis untuk ruang kolom A tidak bisa langsung didapat dari OBE Tereduksi R. • Namun vektor kolom R yang bersepadanan dengan A akan membentuk basis untuk ruang kolom A. • Kolom pertama, ketiga dan kelima mengandung utama 1 dari vektor-vektor tsb dan membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari R, jadi vektor-vektor kolom yang bersepadanan dari A yaitu:
Kolom 1, 3, 5 dari R mengandung utama 1 dari vektor-vektor kolom
Vektor-vektor kolom yang bersepadanan dari A dan membentuk suatu basis untuk ruang kolom A
Matriks Transpose untuk mencari Basis Ruang Kolom
Carilah basis untuk ruang kolom dari :
Supaya bisa di OBE, maka ditranspose dulu: OBE
w1= (1,3,0) dan w2 = (0,1,2) membentuk basis untuk ruang baris AT Tranpose kembali: Membentuk basis untuk ruang kolom A
Basis & Kombinasi Linier Operasi baris dasar tidak mengubah hubungan kebebasan dan ketidakbebasan linier antar vektor kolom. Operasi baris dasar tidak mengubah rumus-rumus kombinasi linier yang menghubungkan vektor-vektor kolom yang tidak bebas linier.
Himpunan vektor S= {v1, v2,…, vk} dalam Rn, prosedur pada contoh berikut menghasilkan suatu himpunan bagian dari vektor-vektor S yang membentuk suatu basis untuk rent(S) dan menyatakan vektorvektor dalam S yang tidak berada dalam basis tersebut sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis tersebut.
Basis & Kombinasi Linier a.
Cari himpunan bagian dari vektor-vektor kolom yang membentuk suatu basis untuk ruang yang terentang oleh vektor-vektor tersebut:
b. Nyatakan vektor-vektor yang tidak berada dalam basis sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis Langkah 1: Bentuk matriks A dengan v1, v2, v3, v4 dan v5 sebagai vektor kolom.
Langkah 2: Reduksi matrik A menjadi bentuk baris – eselon tereduksi R, dan anggap w1, w2, w3, w4, w5 adalah vektor-vektor kolom R.
Langkah 3: Kenali kolom-kolom yang mengandung utama 1 dalam R. Vektor-vektor kolom yang bersepadanan dari A merupakan vektor-vektor basis untuk rent(S). {w1, w2, w4} basis untuk ruang kolom R, sehingga {v1, v2, v4} basis untuk ruang kolom A.
Langkah 4: Nyatakan setiap kolom R yang tidak mengandung utama 1 (yaitu w3 dan w5) sebagai kombinasi linier dari vektor kolom yang mengandung utama 1 {w1, w2, w4}, sehingga menghasilkan suatu himpunan persamaan ketergantungan yang melibatkan vektor-vektor kolom dari R.
Persamaan yang bersepadanan untuk vektor-vektor kolom A menyatakan vektor-vektor yang tidak ada dalam basis tersebut sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis.
5.6. Peringkat dan Kekosongan
Empat Ruang Matriks Dasar
Ruang baris dari A Ruang kolom dari A Ruang kosong dari A
Ruang baris dari AT Ruang kolom dari AT Ruang kosong dari AT
Tetapi mentranspose suatu matriks berarti mengubah vektor baris menjadi vektor kolom dan vektor kolom menjadi vektor baris, sehingga: • ruang baris AT = ruang kolom A ruang matriks dasar • ruang kolom AT = ruang baris A yang dikaitkan dengan A
Ruang Baris , Ruang Kolom dengan Dimensi Sama Teorema 1. Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom dari A mempunyai dimensi yang sama dengan matriks R yang merupakan bentuk baris-eselon tereduksi dari A. dim (ruang baris dari A) = dim (ruang baris dari R) dim (ruang kolom dari A) = dim (ruang kolom dari R)
Rank(A) dan Kekosongan(A)
•
Dimensi bersama dari ruang baris dan kolom dari suatu matriks A disebut peringkat/rank dari A dan dinyatakan dengan Rank (A)
•
Dimensi dari ruang-ruang null dari A disebut kekosongan dari A dan dinyatakan dengan kekosongan (A).
Cari Rank(A) dan Kekosongan(A) Cari peringkat dan kekosongan dari matriks A sbb:
Bentuk baris-eselon tereduksi A: Ada 2 baris tak-nol atau ada dua utama 1, maka; Ruang baris dan ruang kolom berdimensi 2, sehingga rank(A) = 2
Untuk mencari kekosongan dari A, cari dimensi ruang penyelesaian dari sistem liner homogen Ax = 0
Ruang Null
Empat vektor membentuk suatu basis untuk ruang penyelesaian, sehingga; kekosongan(A) = 4
Rank(A) dan Rank(AT) Teorema 2. Jika A adalah sebarang matriks, maka: rank(A) = rank(AT) Rank(A)=dim(ruang baris dari A)=dim(ruang kolom dari AT)=rank(AT)
Buktikan rank(A) = rank(AT)
Teorema Dimensi Teorema 3. Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka: rank(A) + kekosongan(A) = n Contoh : Cari peringkat dan kekosongan dari matriks A sbb:
n = jumlah kolom = 6 Ruang baris dan ruang kolom berdimensi 2, sehingga rank(A) = 2
Empat vektor membentuk suatu basis untuk ruang penyelesaian, sehingga; kekosongan(A) = 4 6 = 2 + 4…..ok
Rank & Kekosongan Teorema 4.
Jika A adalah matriks m x n, maka: • •
rank(A) = jumlah peubah bebas dalam penyelesaian Ax = 0 kekosongan(A) = jumlah parameter dalam penyelesaian Ax = 0
Contoh : Cari peringkat dan kekosongan dari matriks A sbb:
Ruang penyelesaian dari sistem liner homogen Ax = 0 2 peubah bebas ; rank(A) = 2 4 parameter ; kekosongan(A) = 4
Dimensi Matriks A berperingkat r Jika : • •
A adalah matriks m x n berperingkat r AT adalah matriks n x m berperingkat r. Ruang Dasar
Dimensi
Ruang baris dari A
r
Ruang kolom dari A
r
Ruang Kosong dari A
n-r
Ruang kosong dari AT
m-r
Nilai Maksimum Peringkat Definisi: Jika A adalah suatu matriks m x n, maka: • Vektor baris terletak pada Rn ruang baris A max dimensi n • Vektor kolom terletak pada Rm ruang kolom A max dimensi m rank(A) ≤ min(m,n) Dimana min(m,n) menyatakan angka yang lebih kecil antara m dan n jika m ≠ n atau nilai bersama mereka jika m=n
Contoh:
A 7x 4 peringkat max : 4 A 4 x 7 peringkat max : 4
Teorema Konsistensi: SPL dengan m Persamaan dalam n Peubah Teorema 5. Jika Ax = b adalah suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka; a. Ax = b konsisten b. b berada dalam ruang kolom dari A (ingat teorema 1 ruang baris) c. A dan [Al b] mempunyai peringkat yang sama Penjelasan c. Peringkat matrik A sebagai jumlah baris tak nol dalam bentuk eselon tereduksi A, contoh:
Perhatikan baris : 0 0 0 0 1 menunjukkan sistem tidak konsisten Teorema konsistensi : sistem linear Ax=b konsisten untuk suatu vektor b tertentu dengan memenuhi syarat pada teorema 6 berikut.
Teorema Konsistensi: SPL dengan m Persamaan dalam n Peubah Teorema 6. Jika Ax = b adalah suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka; a. Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, m x 1 b. Vektor-vektor kolom A merentang Rm. c. rank(A) = m
Matriks Eselon untuk mencari Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null Cari suatu basis untuk ruang yang terentang oleh vektor-vektor:
Ruang yang terentang oleh v1, v2, v3 dan v4 adalah ruang baris dari matriks:
Dengan reduksi matriks didapat bentuk baris- eselon sbb: w1 = (1,-2,0,0,3) w2 = (0,1,3,2,0) w3 = (0,0,1,1,0) • •
Vektor baris tak-nol w1, w2, w3 membentuk basis untuk ruang baris. Dengan demikian w1, w2, w3 membentuk basis untuk sub ruang R5 yang terentang oleh vektor-vektor v1, v2, v3 dan v4
Matriks Transpose untuk mencari Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null Cari suatu basis untuk ruang baris dari:
A AT, maka ruang baris A menjadi ruang kolom AT Dengan matriks eselon, cari suatu basis ruang kolom AT. OBE
Tranpose kembali mengubah vektor kolom menjadi vektor baris
Merupakan vektor-vektor basis untuk ruang baris A
Kolom 1,2 dan 4 berisi utama 1, shg vektor kolom AT membentuk suatu basis untuk ruang kolom AT
