CHAPTER 6.
INNER PRODUCT SPACE • • • • •
Inner Products Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal Matrices; Change of Basis
6.3. Basis Orthogonal Proses Gram-Schmidt; Dekomposisi QR
Basis Orthogonal dan Orthonormal • Suatu himpunan vektor dalam ruang hasil kali dalam disebut himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal. • Suatu himpunan ortogonal dimana setiap vektor mempunyai norma 1 disebut orthonormal. Dua vektor u dan v dalam suatu hasil kali dalam disebut ortogonal jika u, v = 0. Himpunan W = { v1, v2, … , vn} adalah ortonormal jika:
0, jika i ≠ j vi,vj =
= 1, jika i = j
Basis Orthogonal dan Orthonormal
Contoh: • Jika u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0, -1) dan R3 mempunyai hasil kali dalam Euclidean, maka himpunan vektorvektor S = {u1, u2, u 3} adalah ortogonal karena : u1, u2 = u1, u3 = u2, u3 = 0. u1, u2 = 0.1+1.0+0.1 = 0 u1, u3 = 0.1 + 1.0 + 0.(-1) = 0 u2, u3 = 1.1 + 0.0 + 1.(-1) = 0
Matriks Orthogonal •
Himpunan ortogonal dalam Rn Matriks diagonal.
•
Kolom-kolom matriks Qmxn membentuk himpunan yang ortonormal jika dan hanya jika QTQ = In.
•
Matriks Anxn yang kolom-kolomnya membentuk himpunan yang ortonormal disebut matriks ortogonal.
•
Matriks Anxn adalah matriks ortogonal jika dan hanya jika Q-1=QT (atau dengan kata lain QTQ=QQT=In)
Q-1=QT
QTQ = QQT= In
Matriks Orthogonal Tunjukkan bahwa matriks berikut merupakan matriks ortogonal:
Normalisasi Vektor tak- nol Jika v adalah vektor tak nol dalam suatu ruang hasil kali dalam, maka mempunyai norma 1, karena;
•
Proses mengalikan suatu vektor tak-nol v dengan kebalikan panjangnya untuk mendapatkan suatu vektor bernorma 1 disebut menormalkan v.
•
Suatu himpunan vektor-vektor yang orthogonal bisa selalu diubah menjadi suatu himpunan ortonormal dengan menormalkan masing-masing vektornya.
Contoh Menormalkan Vektor Tak-Nol Jika u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0, -1) Norma Euclidean :
•
u1
2, u3
2
Normalisasi u1, u2, and u3 :
• v1
•
1, u2
u1 u1
(0,1,0),
v2
u2 u2
(
1 1 ,0, ), 2 2
Himpunan S = { v 1, v 2, v
3
}
v3
u3 u3
(
1 ,0, 2
1 ) 2
orthonormal dimana:
Koordinat Relatif Terhadap Basis Ortogonal
Ruang Hasil Kali Dalam
Basis Ortonormal basis yang berisi vektor-vektor ortonormal Contoh: basis standard untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclidean : I = (1,0,0); j = (0,1,0); k = (0,0,1) Basis Orthogonal basis yang terdiri dari vektorvektor orthogonal.
Secara umum, basis standard hasil kali dalam Euclidean Rn: e1 = (1,0,0,.., n);
e2 = (0, 1,0,…,n);
….. ; en = (0,0,0,…, 1)
Koordinat Relatif Terhadap Basis Ortonormal Teorema: Jika S= {v1, v2,… , vn} adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam V, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka u = u, v1 v1 + u, v2 v2 + · · · + u, vn vn
u, v1 , u, v2 , … , u, vn
koordinat-koordinat dari u relatif terhadap basis ortonormal S = {v1, v2, …, vn}
(u)S = ( u, v1 , u, v2 , … , u, vn ) vektor koordinat dari u relatif terhadap basis ini.
Contoh • Jika v1 = (0, 1, 0), v2 = (-4/5, 0, 3/5), v3 = (3/5, 0, 4/5), buktikan bahwa S = {v1, v2, v3} adalah suatu basis ortonormal untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclidean. • Nyatakan vektor u = (1, 1, 1) sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S dan cari vektor koordinat (u)s. Jawab: u, v1 = 1, u, v2 = -1/5, u, v3 = 7/5 u = v1 – 1/5 v2 + 7/5 v3
ortonormal
Vektor koordinat u relatif terhadap S (u)s=( u, v1 , u, v2 , u, v3 ) = (1, -1/5, 7/5)
Basis Orthonormal
Jika S adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam berdimensi –n dan jika (u)s = (u1, u2, …, un) dan (v)s = (v1, v2, …, vn) maka:
u
u12 u 22 u n2
d (u, v ) u, v
(u1 v1 ) 2 (u 2 v2 ) 2 (un vn ) 2 u1v1 u 2 v2 u n vn
Basis Orthonormal Contoh: Diketahui v1 = (0, 1, 0), v2 = (-4/5, 0, 3/5), v3 = (3/5, 0, 4/5), dan
S = {v1, v2, v3} adalah suatu basis ortonormal untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclidean. Vektor u = (1, 1, 1) merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S dan vektor koordinat (u)s =( u, v1 , u, v2 , u, v3 ) = (1, -1/5, 7/5) Maka norma vektor u = (1,1,1) adalah : Norma u juga bisa dihitung berdasarkan vektor koordinat (u)s = (1, -1/5, 7/5)
Kombinasi Linier Vektor dalam Basis Ortogonal S • Jika S = {v1, v2, …, vn} adalah suatu basis ortogonal untuk suatu ruang vektor V, maka menormalkan masing-masing vektor ini menghasilkan basis ortonormal: vn v1 v 2 , ,, v1 v 2 vn
S'
• Jika u sebarang vektor dari V berlaku: atau
u
u,
u
v1 v1
v1 v1
u, v1 v1
2
u,
v1
v2 v2
v2 v2
u, v 2 v2
2
v2
u,
vn vn
u, v n vn
2
vn vn
vn
• Rumus ini menyatakan u sebagai kombinasi linier dari vektorvektor dalam basis ortogonal S.
Orthonormal Basis Jika S = {v1, v2, …, vn} adalah suatu himpunan vektor-vektor tak nol yang ortogonal dalam suatu ruang hasil kali dalam, maka S bebas linier
Proyeksi Ortogonal Dalam R2 atau R3 dengan hasil kali dalam Euclidean, secara geometris, jika W adalah suatu garis atau bidang yang melalui titik asal, maka setiap vektor u dalam ruang tersebut dinyatakan sebagai: u = w1 + w2 dimana w1 berada dalam W dan w2 tegak lurus terhadap W (W ). w1 proyeksi ortogonal u pada W proywu w2 komponen u yang ortogonal terhadap W proy
w
u
Proyeksi Ortogonal w1 proyeksi ortogonal u pada W proywu w2 komponen u yang ortogonal terhadap W proy
Karena w2 = u – w1
u = proyw u + (u – proy
w
u)
w
u
Basis Orthonormal Anggap W adalah suatu sub-ruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasil kali dalam V. a. Jika {v1, …, vr} adalah suatu basis orthonormal untuk W dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka projwu = u,v1 v1 + u,v2 v2 + … + u,vr vr b. Jika {v1, …, vr} adalah suatu basis ortogonal untuk W dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka projW u
u, v1 v1
2
v1
u, v 2 v2
2
v2
u, v r vr
2
vr
Contoh Jika R3 memiliki hasil kali dalam Euclidean, dan anggap W adalah sub ruang yang terentang oleh vektor-vektor ortonormal v1 = (0, 1, 0) dan v2 = (-4/5, 0, 3/5) maka : •
Proyeksi ortogonal u = (1, 1, 1) pada W adalah
•
Komponen u ortogonal terhadap W adalah:
Basis Ortogonal dan Ortonormal Teori Setiap ruang hasil kali dalam tak-nol berdimensi terhingga mempunyai suatu basis ortonormal. Proses mengubah suatu basis sebarang menjadi suatu basis ortonormal disebut Proses Gram-Schmidt
Proses Gram-Schmidt Misal V adalah sebarang ruang hasil kali dalam tak-nol berdimensi terhingga , {u1, u2, …, un} adalah sebarang basis untuk V. Untuk menghasilkan suatu basis ortogonal {v1, v2, …, vn} untuk V dilakukan proses Gram Schmidt berikut:
Langkah 1: Anggap v1 = u1 Langkah 2: Hitung v2 ortogonal v1 dengan menghitung komponen u2 yang ortogonal terhadap ruang W1 yang terentang v1 :
Proses Gram-Schmidt Langkah 3 : Susun vektor v3 yang ortogonal terhadap v1 dan v2, dengan menghitung komponen u1 yang ortogonal terhadap ruang W2 yang terentang oleh v1 dan v2.
Langkah 4: Untuk menentukan vektor v4 yang ortogonal terhadap v1, v2 dan v3, hitung komponen u4 yang ortogonal terhadap ruang W3 yang terentang oleh v1, v2 dan v3.
Vektor-vektor basis ortogonal dinormalkan basis ortonormal V
Contoh Proses Gram-Schmidt
Tinjau ruang vektor R3 dengan hasil kali dalam Euclidean. Terapkan proses Gram Schmidt untuk mengubah vektor-vektor basis u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, 1) Menjadi suatu basis ortogonal {v1, v2, v3}; kemudian normalkan vektor basis ortogonal tersebut untuk mendapatkan suatu basis ortonormal {q1, q2, q3}.
Jawab : Step 1: Anggap v1 = u1 v1 = u1 = (1, 1, 1) Step 2: Anggap v2 = u2 – projW1u2.
u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0,0, 1)
• Step 3: Anggap v3 = u3 – projW2u3.,
• Jadi v1 = (1, 1, 1), v2 = (-2/3, 1/3, 1/3), v3 = (0, -1/2, 1/2) membentuk suatu basis ortogonal untuk R3. Norma vektor-vektor ini adalah:
Sehingga basis ortonormal untuk R3 adalah:
Dekomposisi QR Jika A adalah suatu matriks nxn dengan vektor-vektor kolom yang bebas secara linier, maka A bisa difaktorkan sebagai :
A = QR Q matriks m n dengan vektor-vektor kolom yang ortonormal, dimana QTQ = I R matriks segitiga atas nxn yang dapat dibalik.
Jika QTQ = I, maka :
QTA = QTQR = IR Q TA = R
Dekomposisi QR
Example : QR-Decomposition of a 3 3 Matrix
Carilah dekomposisi QR dari
1 0 0 A
1 1 0 1 1 1
Jawab : • Vektor-vektor kolom A adalah:
• Dengan menerapkan proses Gram-Scmidht dengan rangkaian normalisasi seperti contoh sebelumnya didapat:
q1
1/ 3
2/ 6
1/ 3 , q 2
1/ 6
1/ 3
1/ 6
0 , q3
1/ 2 1/ 2
Q
R matriks
Dekomposisi QR dari A :
6.5. Change of Basis Orthogonal Matrices
2012/5/2
Elementary Linear Algebra
29
Matriks-matriks Orthogonal Definisi: Suatu matriks bujursangkar A dengan sifat A-1 = AT Disebut sebagai matriks ortogonal, dimana;
AAT = ATA = I
30
Matriks-matriks Orthogonal
Matriks
adalah matriks ortogonal, karena; AAT = ATA = I
Matriks
adalah ortogonal dimana terbukti ATA = 1, maka
vektor baris dan vektor kolomnya membentuk himpunan ortogonal.
Sifat Dasar Matriks-matriks Orthogonal Teorema: Untuk suatu matriks Anxn: • •
•
A ortogonal Vektor-vektor baris dari A membentuk suatu himpunan ortonormal pada Rn dengan hasil kali dalam Euclidean. Vektor-vektor kolom dari A membentuk suatu himpunan ortonormal pada Rn dengan hasil kali dalam Euclidean.
Teorema: 1.
Invers dari suatu matriks ortogonal adalah ortogonal.
2. Hasil kali matriks-matriks ortogonal adalah ortogonal.
3. Jika A ortogonal, maka det(A) = 1 atau det(A) = -1
Matriks Orthogonal Sebagai Operator Linear Teorema: Jika A adalah matriks nxn, maka pernyataan berikut ekuivalen:
• • •
A ortogonal. untuk semua x pada Rn. Ax. Ay = x. y untuk semua x dan y pada Rn.
Perubahan Basis
Matriks Koordinat Jika S= {v1, v2,…, vn} adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor V, maka setiap vektor v dalam V dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor basis: v = k1v1 + k2v2 +… + knvn k1,k2 , …, kn koordinat v relatif terhadap S, dan vektor : vs = (k1, k2,…kn) vektor koordinat v relatif terhadap S. Matriks koordinat v relatif terhadap S dinyatakan oleh [v]s adalah matriks berukuran nx1 yang didefinisikan sebagai: Matriks koordinat v relatif terhadap S.
Matriks Koordinat Ortonormal Teorema: Jika S= {v1, v2,… , vn} adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam V, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka u = u, v1 v1 + u, v2 v2 + · · · + u, vn vn u, v1 , u, v2 , … , u, vn
koordinat-koordinat dari u relatif terhadap basis ortonormal S = {v1, v2, …, vn}
(u)S = ( u, v1 , u, v2 , … , u, vn ) vektor koordinat dari u relatif terhadap basis ini.
Matriks koordinat v relatif terhadap S.
Contoh Matriks Koordinat
Masalah Perubahan Basis Jika kita merubah basis untuk suatu ruang vektor V dari old basis B to some new basis B’ , bagaimana matriks koordinat lama [v]B dari vektor v dikaitkan dengan matriks koordinat baru [v]B’ ?
Masalah Perubahan Basis matriks koordinat lama [v]B
matriks koordinat baru [v]B’
Persamaan ini menyatakan bahwa matriks koordinat lama [v]B dihasilkan jika kita mengalikan dari kiri matriks koordinat baru [v]B’ dengan matriks:
Solution of the Change-of-Basis Problem Jika kita mengubah basis untuk suatu ruang vektor V dari suatu basis lama B = ( b1, b2,…, bn ) menjadi suatu basis B’ = ( b’1, b’2,…, b’n ) , maka matriks koordinat lama [v]B dari suatu vektor v dihubungkan dengan matriks koordinat baru [v]B’ dari suatu vektor v yang sama dengan persamaan:
Dimana kolom-kolom dari P adalah matriks –matriks koordinat dari vektor-vektor basis baru relatif terhadap basis lama, yaitu vektorvektor kolom dari P adalah ;
Matriks P disebut matriks transisi dari B’ ke B, dinyatakan dalam bentuk vektor-vektor kolomnya sebagai ;
Example Consider the bases
and
for R 2, where
(a) Find the transition matrix from B’ to B (b) Use
to find [v]B if
Solution (a) First we must find the coordinate vectors for the new basis vectors u’ 1 and u’2 relative to the old basis B.
Solution (b)
Matriks Transisi Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis ortonormal ke basis ortonormal lainnya untuk suatu ruang hasil kali dalam, maka P adalah suatu matriks ortogonal, yaitu :
P-1 = PT Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis B’ ke suatu basis B, maka untuk setiap vektor v berlaku:
Penerapan Pada Rotasi Sumbu Koordinat
B = (u1, u2) B’ = (u1’, u2’)
Sumbu koordinat x’ dan y’ didapat dengan merotasi sumbu xy berlawanan jarum jam terhadap titik asal dengan sudut θ. (x,y)
Q
(x’ ,y’)
P = transisi dari B’ ke B.
Rotasi Sumbu Koordinat
Didapat P matriks ortogonal Komponen u1’ pada basis lama: 1. cos θ 2. sin θ
Komponen u2’ pada basis lama: 1. cos (θ+ π/2) = -sin θ 2. sin (θ+ π/2) = cosθ
P-1 = PT
Misal sumbu sumbu tersebut dirotasikan dengan θ = π/4, maka;
Jika (x, y) = (2, -1), maka koordinat baru dari Q:
