Latihan 5: Inner Product Space 1 1. Diketahui vektor u, v, w ϵ R3 di mana u = 2 , v = 1
1 1 , dan w = 1
2 1 . Hitunglah : 2
a.
b. c. <3u – 2v, u + 2w> d. <3u – 2v, u + 2v – w> e. 3 – 2 f. <w, w> 2. Diketahui vektor u, v ϵ
R3
4 di mana u = 3 dan v = 2
3 2 . Carilah : 1
a.inner product dari u dan v b. panjang vektor u dan v c. jarak antrara vektor u dan v d. sudut antara vektor u dan v 3. Andaikan u, v, w Rn, dan k adalah skalar, buktikan bahwa : a. = b. = + c. = k d. ≥ 0 1 1 0 0 4. a. Tunjukkan bahwa vektor-vektor u1 = , u2 = , u3 = 0 2 1 1
2 1 3 2 2 , u4 = 1 2 1 adalah himpunan vektor-vektor yang ortogonal di dalam R4. b. dengan melakukan normalisasi masing-masing vektor ui dari soal a) tersebut carilah himpunan vektor-vektor yang ortonormal dalam R4 ! c. Nyatakan vektor w = (1, 1, 1, 1)T sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor ortonormal dari soal b) tersebut. 1 3 5. Andaikan u dan v adalah vektor-vektor di dalam R2, dengan u = dan v = . k 4 Carilah nilai k sedemikian hingga : a. u dan v ortogonal b. sudut antara u dan v adalah /4 c. u dan v sejajar
6. Pada ruang R3, tentukan vektor w yang tidak nol yang orthogonal terhadap vektor 2 1 u = 5 dan vektor v = 2 !. 4 1
1 7. Find two vectors in R3 which have norm 1 and orthogonal to the vectors u = 1 , 1 1 2 v = 0 , and w = 1 ! 1 2 23 13 2 8. Andaikan u, v ϵ R3 di mana u = 3 dan v = 13 . Carilah vektor w ϵ R3 yang 2 2 3 3 orthogonal terhadap vektor u dan v tersebut !. 9. Andaikan u, v adalah vektor-vektor di dalam ruang inner product V. Buktikan bahwa 2 ≤ 10. Andaikan u, v ϵ V, di mana V adalah ruang inner product. Buktikan ketidaksamaan segitiga ||u + v|| = ||u|| + ||v|| jika dan hanya jika u dan v adalah bergantungan linear (linearly dependence)! 2 11. Ruang vektor V pada R3, dengan basis lain dari V = {u1, u2, u3} di mana u1 = 1 , 4 1 u2 = 2 , dan u3 = 1
3 2 . 1
a. apakah vektor-vektor di dalam V orthogonal? b. apakah vektor-vektor di dalam V saling bebas linear (linearly independence)? 0 c. nyatakan v = 2 sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di dalam V. 10
1 1 4 12. Ruang vektor W pada R , dengan basis lain dari W = {u1, u2, u3, u4} di mana u1 = , 1 1 1 1 1 1 u2 = , u3 = , dan u4 = 1 1 1 1
1 1 1 . 1
a. apakah vektor-vektor di dalam W orthogonal? b. apakah vektor-vektor di dalam W saling bebas linear (linearly independence)? 4 4 c. nyatakan v = sebagai kombinasi linear dari u1, u2, u3, u4. 2 2
a b d. carilah koordinat vektor s = relative terhadap basis W. c d 13. Jika himpunan V memuat vektor-vektor yang orthogonal, buktikan bahwa himpunan V adalah bebas linear (linearly independence) ! 1 14. Cari basis orthogonal dari R3 jika salah satu vektor basisnya adalah 3 ! 4 15. Cari basis dari komplemen orthogonal V, yaitu
V⊥ ,
1 jika V = { 2 }. ! 1
16. Tentukan basis bagi ruang bagian W = {u1, u2} pada R4 yang orthogonal terhadap 1 1 2 2 vektor-vektor u1 = , u2 = . (atau dengan kata lain cari basis dari komplemen 3 1 4 12 orthogonal W, yaitu W⊥ ). 17. Tentukan proyesi orthogonal v pada w, jika : 1 a. v = 2 dan w = 1
2 1 . 2
1 b. v = 2 dan w = 1
1 2 . 3
18. Tentukan proyesi orthogonal v pada w, jika : 1 1 1 2 a. v = dan w = . 1 0 1 1
1 2 b. v = dan w = 1 12
1 2 3 . 4
19. Andaikan S adalah subspace dari ruang inner product V. Buktikan bahwa komplemen orthogonal dari S, yaitu S⊥ adalah juga subpace dari V ! 20. Find orthonormal basis of V = R3, if given another basis of V = {X1, X2, X3} where 1 2 X1 = 1 and X2 = 1 . 1 0 21. Carilah basis orthonormal dari R3, jika diketahui salah satu vektor basisnya adalah
1 31 3 ! 1 3 2 22. Carilah basis orthonormal dari jika diketahui salah satu vektor basisnya adalah 0 ! 3 23. Carilah basis orthonormal dari R3, jika diketahui salah satu vektor basisnya adalah 2 1 ! 2 R3,
24. Ruang vektor V pada
R3,
2 dengan basis lain dari V = {v1, v2, v3} di mana v1 = 1 , 0
4 4 v2 = 1 , dan v3 = 0 . Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan 0 1 basis V tersebut ke dalam basis orthonormal ! 1 25. Ruang vektor V pada R3, dengan basis lain dari V = {v1, v2, v3} di mana v1 = 1 , 1 1 1 v2 = 2 , dan v3 = 2 . Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan 1 3 basis V tersebut ke dalam basis orthonormal ! 26. Dengan proses Gram-Schmidt, carilah basis orthonormal dari ruang vektor V, jika basis 1 2 2
lain dari V = { 2 , 1 , 1 } 1 2 4
1 1 2 1 2 2 27. Ruang vektor V dalam R4. Basis lain dari ruang vektor adalah V = { , , }. 1 0 4 1 1 0 Gunakan ortogonalisasi dari Gram-Schmidzt untuk mencari basis ortonormal dari ruang vektor V tersebut !. 1 1 0 0 2 1 28. Basis lain dari R4 adalah basis U = {u1, u2, u3, u4} dengan u1 = , u2 = , u3= , 0 0 1 0 1 0
1 2 dan u4 = . Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan basis U 0 1 tersebut ke dalam basis ortonormal !
1 1 1 2 4 29. Basis lain dari R adalah basis V= {u1, u2, u3} dengan u1 = , u2 = , dan u3 = 1 3 1 4
1 1 2 . 2
Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan basis V tersebut ke dalam basis ortonormal ! 13 23 23 30. Andaikan matriks P = 23 13 23 . Selidiki : 2 2 1 3 3 3 a. apakah matriks P orthogonal? b. carilah P-1. Apakah matriks P-1 orthogonal? c. berapakah det(P) ? dan det(P-1) ? d. carilah PT (transpose dari P). Apakah PT orthogonal ? e. hitunglah P-1 PT. apakah hasilnya matriks orthogonal? x y adalah orthogonal ?. 31. Berapakah nilai x, y, dan z, jika matriks A = 1 z 3 32. Carilah matriks orthogonal P yang berdimensi 3x3 yang baris pertamanya ( 13
1 3
1 3
)!
33. Jika matriks A adalah simetri miring (skew-symmetric) serta (I + A) adalah nonsingular, tunjukkan bahwa matriks P = (I – A)(I + A)-1 adalah orthogonal ! 34. Berdasarkan hasil soal nomor 27 tersebut, carilah matriks orthogonal P, jika matriks :
0 3 3 0 0 1 2 3 b. A = 1 0 2 3 0 35. Jika matriks B = AP dengan matriks A orthogonal dan matriks P nonsingular, tunjukkan bahwa PB-1 adalah orthogonal ! 36. Jika matriks A adalah orthogonal serta (I + A) adalah nonsingular, tunjukkan bahwa matriks B = (I – A)(I + A)-1 adalah simetri miring ! 1 1 1 3 3 3 37. Andaikan matriks transformasi A = 16 26 16 . 1 1 0 2 2 a. A =
a. selidiki apakah matriks transformasi A orthogonal?. 2 b. jika vektor u = 1 , carilah panjang vektor u? 2
c. jika w adalah peta vektor u oleh transformasi A, carilah vektor w ! d. berapakah panjang vektor w? apakah sama dengan panjang u? 38. Buktikan bahwa transformasi orthogonal tidak mengubah panjang vektor ! 39. Jika matriks A dan B adalah commute, serta matriks P orthogonal, buktikan bahwa matriks PTAP dan PTBP adalah commute.
