Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES

Definisi : VECTOR SPACE • Jika V adalah ruang vektor dimana u,v,w merupakan objek dalam V sebagai vektor, dan terdapat skalar k dan l, maka perhatikan 10 aksioma berikut; 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

If u and v are objects in V, then u + v is in V. u +v = v +u u + (v + w) = (u + v) + w There is an object 0 in V, called a zero vector for V, such that 0 + u = u + 0 = u for all u in V. For each u in V, there is an object -u in V, called a negative of u, such that u + (-u) = (-u) + u = 0. If k is any scalar and u is any object in V, then ku is in V. k (u + v) = ku + kv (k + l) u = ku + lu k (lu) = (kl) (u) 1u = u

Definisi : VECTOR SPACE • Skalar k, l dapat berupa bilangan real atau bilangan complex. • Ruang vektor dengan skalar bilangan real : ruang vektor real • Ruang vektor dengan skalar bilangan kompleks : ruang vektor kompleks. • Setiap jenis objek bisa menjadi suatu vektor, namun ke-10 aksioma harus dipenuhi.

Real Vector Spaces

Real Vector Spaces Example Vector Spaces of 2x2 Matrices • The set V of all 2 2 matrices with real entries is a vector space if vector addition is defined to be matrix addition and vector scalar multiplication is defined to be matrix scalar multiplication. • Let u

u11

u12

u21 u22

and v

v11

v12

v21 v22

• If u and v is an object in V; then u + v is a 2 2 matrix in V. Axiom 1

: : : Axiom 10

Real Vector Spaces Example Plane Through The Origin Jika V merupakan sebarang bidang yang melalui titik asal dalam R3, maka; Titik-titik dalam V membentuk suatu ruang vektor yang memenuhi ke-10 aksioma ruang vektor untuk operasi penjumlahan dan perkalian skalar vektor –vektor dalam R3. Suatu vektor V yang melalui titik asal memiliki persamaan : ax + by + cz = 0 Bukti : Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah titik-titik dalam V, maka: au1 + bu2 + cu3 = 0 av1 + av2 + av3 = 0

+ a(u1+v1) + b(u2+v2) + c(u3+v3) = 0 Koordinat titik u + v = (u1+v1, u2+v2, u3+v3) Memenuhi aksioma (1), jadi u+ v terletak pada bidang V.

Real Vector Spaces Example Polynomial Pn P2 adalah himpunan semua polinomial berderajat 2 atau kurang dengan koefisien bilangan real. Didefinisikan penjumlahan dan perkalian skalar sebagai berikut: p(x) = a0 + a1x + a2x2

dan

q(x) = b0 + b1x + b2x2

maka,

p(x) + q(x) = (a0+ b0) + (a1+ b1) x + (a2+ b2) x2

Dan bila c suatu skalar, maka: cp(x) =c a0 + ca1x +ca2x2

P2 merupakan ruang vektor dan dapat diperluas untuk Pn dengan n ≠0

Real Vector Spaces ; Zero Vector Space • Jika V terdiri dari suatu objek tunggal 0, maka : 0 + 0 = 0 dan k 0 = 0 untuk semua skalar k. • Seluruh aksioma terpenuhi dan disebut zero vector space.

• Jika V adalah ruang vektor, u suatu vektor dalam V, and k suatu skalar; maka: o 0u=0 o k0=0 o (-1) u = -u o Jika k u = 0 , maka k = 0 or u = 0.

5.2. SubSpaces

SubSpaces Definisi: Suatu himpunan bagian W dari suatu ruang vektor V disebut sub ruang dari V jika W merupakan suatu ruang vektor yang penjumlahan dan perkalian skalarnya didefinisikan pada V. V adalah ruang vektor

W adalah sub ruang vektor jika 10 aksioma yang ada dipenuhi oleh W

SubSpaces Contoh 1. Titik-titik pada suatu bidang melalui titik asal R3 membentuk sub ruang R3.

• W merupakan bidang yang melalui titik asal dan anggap u dan v sebarang vektor dalam W. o u + v pasti terletak dalam W (diagonal jajaran genjang). o ku pasti terletak di W

Vektor u +v dan ku terletak pada bidang yang sama dengan u dan v.

• W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar, sehingga W merupakan sub ruang dari R3.

SubSpaces Contoh 2: Garis yang Melalui Titik Asal R3 merupakan sub ruang R3 • W garis yang melalui titik asal R3 dengan 2 vektor u dan v. • Maka u+v dan ku  terletak pada garis tersebut di R3 • Jadi W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar • Terbukti bahwa W adalah sub ruang R3.

Subset of R2 That Is Not a Subspace Contoh 3: W bukan Ruang Vektor • Jika W adalah himpunan semua titik (x, y) dalam R2 dimana x 0 dan y 0 : titik-titik dalam Q1. • Himpunan W bukan Sub Ruang R2 karena tidak tertutup terhadap perkalian skalar.

• v = (1, 1) terletak pada W, tetapi (-1)v = -v = (-1, -1) tidak terletak pada W.

SubSpaces PERHATIKAN !! Setiap ruang vektor tak nol V setidaknya memiliki: 1. V sendiri sebagai suatu sub ruang dan; 2. Himpunan {0} yang terdiri dari vektor nol dalam V dan disebut sub ruang nol. Sub-ruang dari R2: • {0} • Garis-garis yang melalui titik asal • R2

Sub-ruang dari R3: • {0} • Garis-garis yang melalui titik asal • Bidang yang melalui titik asal • R3

Subspaces of Mnn

Contoh 4: Matriks Simetris n x n  sub Ruang dari ruang vektor Mnn

• Jumlah dua matriks simetris adalah simetris. • Perkalian skalar matriks simetris adalah simetris

• Himpunan matriks simetris n x n merupakan sub ruang dari ruang vektor Mnn dari semua matriks-matriks nxn. • Setiap himpunan matriks (matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah dan matriks diagonal) nxn tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar.

A Subspace of Polynomials Contoh 5: Polinom real berderajat n Anggap n adalah suatu bilangan bulat positif dan anggap W terdiri dari semua fungsi yang dinyatakan dalam bentuk : p(x) = a0 + a1x + … + anxn

dimana : a0,…, an adalah bilangan-bilangan real ; n bilangan bulat positif Jika p dan q terletak pada W, maka: p(x) = a0 + a1x + … + anxn q(x) = b0 + b1x + … + bnxn (p+q)(x) = p(x) + q(x) (p+q)(x) = (a0+ b0) + (a1+ b1)x + … + (an+bn)xn

dan

(kp)(x) = kp (x)= (ka0) + (ka1)x + … + (kan)xn

Ruang Penyelesaian untuk Sistem Homogen o Jika Ax = b adalah suatu sistem persamaan linear, maka setiap vektor x yang memenuhi persamaan ini disebut vektor penyelesaian dari sistem tersebut. o Vektor penyelesaian dari suatu sistem linear homogen Ax = 0 membentuk suatu ruang vektor atau ruang penyelesaian dari sistem homogen tersebut.

[A]

[x]

=

vektor penyelesaian

[0] Ruang vektor/ ruang penyelesaian

• Theorema Jika Ax = 0 adalah suatu sistem linear homogen dari m persamaan dalam n peubah, maka himpunan vektor penyelesaiannya adalah subruang dari Rn.

SubSpaces Example 1. • Find the solution spaces of the linear systems. mempunyai tiga peubah, sehingga penyelesaiannya membentuk subruang dari R3.

Mis al y = s, z = t, maka x = 2s - 3t, x = 2y - 3z or x – 2y + 3z = 0 This is the equation of the plane through the origin with n = (1, -2, 3) as a normal vector.

SubSpaces Example 2. • Find the solution spaces of the linear systems. mempunyai tiga peubah, sehingga penyelesaiannya membentuk subruang dari R3.

SubSpaces Example 3. • Find the solution spaces of the linear systems. mempunyai tiga peubah, sehingga penyelesaiannya membentuk subruang dari R3.

Solution

Kombinasi Linear  Definisi o Suatu vektor w adalah Kombinasi Linear dari vektor v1, v2,…, vr jika vektor w tersebut bisa dinyatakan dalam bentuk w = k1v1 + k2v2 + · · · + kr vr dimana k1, k2, …, kr adalah skalar.

Vektor in R3 are Linear Combination of i, j, and k Setiap vektor v = (a, b, c) dalam R3 bisa dinyatakan sebagai suatu Kombinasi Linear dari vektor – vektor basis standar i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) karena v = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = a i + b j + c k

Example : Checking a Linier Combination

Diketahui vektor u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) in R3. Tunjukkan bahwa w = (9, 2, 7) adalah sebuah Kombinasi Linear dari u dan v

Syarat w merupakan Kombinasi Linear dari u dan v, hrs terdpt skalar k1 dan k2 sedemikian hingga w = k1u + k2v; (9, 2, 7) = k1 (1,2,-1) +k2 (6,4,2) (9, 2, 7) = (k1 + 6k2, 2k1 + 4k2, -k1 + 2k2) Atau : k1 + 6k2 = 9 2k1+ 4k2 = 2 -k1 + 2k2 = 7 Didapat k1 = -3, k2 = 2, sehingga w = -3u + 2v

Kombinasi Linear Diketahui vektor u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) in R3. Tunjukkan bahwa w = (4, -1, 8) bukan suatu Kombinasi Linear dari u dan v.

Agar w‘ merupakan Kombinasi Linear of u dan v, harus ada k1 dan k2 sehingga w'= k1u + k2v; (4, -1, 8) = k1(1, 2, -1) + k2(6, 4, 2) (4, -1, 8) = (k1 + 6k2, 2k1 + 4k2, -k1 + 2k2) Atau k1 + 6k2 = 4 2 k1+ 4k2 = -1 - k1 + 2k2 = 8 Sistem persamaan ini tidak konsisten sehingga tidak ada k1 dan k2. Maka w' bukan Kombinasi Linear u dan v.

Kombinasi Linear  Theorema Jika v1, v2, …, vr adalah vektor-vektor dalam ruang vektor V, maka: o Himpunan W sebagai kombinasi linier v1, v2, …, vr merupakan sub-ruang dari V. o W adalah sub ruang terkecil dari V berisi v1, v2, …, vr dalam arti bahwa setiap sub ruang lain dari V yang v1, v2, …, vr pasti mengandung W.

Kombinasi Linear dan Rentang  Definition o Jika S = {v1, v2, …, vr} adalah suatu himpunan vektor dalam suatu ruang vektor V, maka sub ruang W dari V yang mengandung semua kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S disebut ruang terentang oleh v1, v2, …, vr, dan disebut vektor-vektor v1, v2, …, vr adalah terentang W. o W ruang terentang oleh vektor-vektor dalam himpunan S = {v1, v2, …, vr}, ditulis;

W = rent(S) or W = span{v1, v2, …, vr}.

Kombinasi Linear dan Rentang • Jika v1 and v2 adalah vektor-vektor tak kolinear dalam R3 dengan

titik pangkal di titik asal, maka span{v1, v2} berisi semua kombinasi linear k1v1 + k2v2 adalah bidang yang ditentukan oleh v1 and v2 (a). • Jika v vektor tidak nol dalam R2 atau R3, maka span{v} merupakan himpunan perkalian skalar kv, adalah garis yang dibentuk oleh v (b).

Rent (v1, v2) adalah bidang yang melalui titik asal yang dibentuk oleh v1 dan v2

Rent (v) adalah garis yang melalui titik asal yang dibentuk oleh v

Kombinasi Linear dan Rentang Theorema

• J ika S = {v1, v2, …, vr} dan S = {w1, w2, …, wr} adalah dua himpunan vektor dalam suatu ruang vektor V, maka span{v1, v2, …, vr} = span{w1, w2, …, wr} jika dan hanya jika setiap vektor dalam S adalah Kombinasi Linear dari S dan tiap vector dalam S adalah sebuah Kombinasi Linear dari vektor-vektor dalam S.

Three Vectors that Do Not Span R3 Tentukan apakah v1 = (1, 1, 2), v2 = (1, 0, 1), and v3 = (2, 1, 3) merentang dalam ruang vektor R3. • Misal kan vektor b = (b1, b2, b3) in R3 diekspresikan sebagai Kombinasi Linear b = k1v1 + k2v2 + k3v3 b = (b1, b2, b3) = k1(1, 1, 2) + k2(1, 0, 1) + k3(2, 1, 3) = (k1+k2+2k3, k1+k3, 2k1+k2+3k3) k1 + k2 + 2k3 = b1 k1 + k3 = b2 2k1 + k2 + 3 k3 = b3 • Sistem ini konsisten untuk semua b1, b2, b3 jika dan hanya jika matriks koefisien memiliki invers atau determinan matriks koefisien ≠ 0. • Buktikan bahwa det (A) = 0, sehingga v1, v2, and v3, tidak terentang pada R3.