Chapter 4.
EUCLIDEAN VECTOR SPACES •EUCLIDEAN n –SPACE •LINEAR TRANSFORMATION Rn to Rm •PROPERTIES OF LINEAR TRANSFROMATION Rn to Rm •LINEAR TRANSFORMATI ONS AND POLYNOMIALS
EUCLIDEAN n - SPACES Vektor Dalam Ruang Berdimensi n : Rn Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka ganda n berurut adalah sederet n bilangan real (a1, a2,…,an) . Himpunan semua ganda n berurut disebut ruang berdimensi n dan dinyatakan Rn .
coordinate
Ex : R3 : (a1, a2, a3) Pasangan tiga berurut bisa diintepretasikan secara geometris sebagai suatu titik atau vektor
vector
EUCLIDEAN n - SPACES
Definisi Dua vektor u=(u1 ,u2 ,…,un) dan v=(v1 ,v2 ,…, vn) dalam Rn disebut equal jika u1 v1, u 2 v2 ,..., u n vn Dimana:
u v (u1 v1 , u2
v2 ,..., un
vn )
dan jika k adalah sebuah skalar, perkalian skalar ku adalah ku
(ku1 , ku2 ,..., kun )
Operasi penambahan dan perkalian skalar pada definisi ini disebut standard operations pada Rn.
EUCLIDEAN n - SPACES • Vektor nol (Zero vektor ) pada Rn dinyatakan oleh 0 dan merupakan vektor 0=(0,0,…,0) • Jika u=(u1 ,u2 ,…,un) adalah sebarang vektor di Rn , maka negatif ( or kebalikan positif) dari u dinyatakan dgn –u; -u=(-u1 ,-u2 ,…,-un) • Beda vektor pada Rn dinyatakan sbb: v-u=v+(-u) v-u =(v1-u1 ,v2-u2 ,…,vn-un)
Sifat-sifat Operasi Vektor pada Ruang Berdimensi n - Rn
• Jika u=(u1 ,u2 ,…,un), v=(v1 ,v2 ,…, vn) , dan w=(w1 ,w2 ,…, wn) adalah vektor-vektor pada Rn dan k dan l adalah skalar, maka: (a) u+v = v+u (c) u+0 = 0+u = u (e) k(lu) = (kl)u (g) (k+l)u = ku+lu
(b) u+(v+w) = (u+v)+w (d) u+(-u) = 0; that is u-u = 0 (f) k(u+v) = ku+kv (h) 1u = u
Hasil Kali dalam Euclidean
• Jika u=(u1 ,u2 ,…,un), v=(v1 ,v2 ,…, vn) adalah vektor-vektor dalam Rn , maka Euclidean Inner Product u v dinyatakan oleh
u v
u1v1 u2 v2 ... un vn
1. EUCLIDEAN n - SPACES Contoh:
• Perkalian titik Euclidean pada vektor u=(-1,3,5,7) dan v=(5,-4,7,0) pada R4 adalah
• Jawab : • u v=(-1)(5)+(3)(-4)+(5)(7)+(7)(0)=18 Hitung perkalian titik Euclidean berikut; a. b. c.
Sifat-sifat dari Perkalian Titik Euclidean
• Jika u, v dan w are vektor in Rn dan k sebarang skalar, maka (a) u v = v u (b) (u+v) w = u w+ v w (c) (k u) v = k(u v) (d)v v 0 lebih jauh ,v v 0 Jika dan hanya jika v=0
1. EUCLIDEAN n - SPACES
Contoh 2
(3u+2v) (4u+v) = (3u) (4u+v)+(2v) (4u+v) = (3u) (4u)+(3u) v +(2v) (4u)+(2v) v =12(u u)+11(u v)+2(v v)
Norma/Panjang dan Jarak pada Ruang berdimensi-n Euclidean
• Norma/Panjang Euclid dari suatu vektor u=(u1 ,u2 ,…,un) pada Rn dengan
u
(u u)
1
2
u12 u22 ... un2
• Jarak Euclid antara dua titik u=(u1 ,u2 ,…,un) dan v=(v1 , v2 ,…,vn) pada Rn dinyatakan oleh
d (u, v)
u v
(u1 v1 ) 2 (u2 v2 ) 2 ... (un vn ) 2
1. EUCLIDEAN n - SPACES Contoh :
• Jika u=(1,3,-2,7) dan v=(0,7,2,2), maka pada ruang berdimensi Euclidean R4 u
(1) 2
(3) 2
( 2) 2
(7 ) 2
63 3 7
dan d (u, v)
(1 0) 2
(3 7) 2
( 2 2) 2
(7 2) 2
1. EUCLIDEAN n - SPACES
Hitung Euclidean Norm of the vector : 1. v= (3,4,0, -12) 2. u = (-2,1,1,-3,4)
Hitung Euclidean Distance between u and v: 1. 2. 3.
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz pada Rn • Jika u=(u1 ,u2 ,…,un) dan v=(v1 , v2 ,…,vn) adalah vektor in Rn, maka
u v
u v
In each part, verify that the Cauchy–Schwarz inequality holds: 1. 2. 3.
Sifat-sifat panjang dan jarak pada Rn • Jika u dan v adalah vektor pada Rn dan k adalah sebarang skalar, maka (a) u
0
(b) u
0 jik a dan hanya jik a u
(c) ku (d) u v
0
k u u
v (Ketak samaan Segitiga)
Sifat-sifat Jarak pada Rn
• Jika u, v, dan w adalah vektor pada Rn dan k sebarang skalar, maka: (a) (b) (c) (d)
d (u, v ) d (u, v) d (u, v ) d (u, v)
0 0 jika dan hanya jika u v d ( v, u ) d (u, w ) d (w, v) (Ketaksama an segitiga)
1. EUCLIDEAN n - SPACES
Teorema • Jika u, v adalah vektor pada Rn dengan hasil kali dalam Euclidean, maka u v
1 u v 4
2
1 u v 4
2
1. EUCLIDEAN n - SPACES
Definisi Keorthogonalan • Dua vektor u dan v pada Rn disebut orthogonal Jika u v=0
Pada ruang Euclidean R 4 vektor u ( 2, 3, 1, 4) dan v (1, 2, 0, 1) orthogonal , karena u v ( 2)(1) (3)( 2) (1)(0) (4)( 1) 0
Teorema Pythagoras pada Rn
Jika u dan v adalah vektor orthogonal pada R n dengan hasil kali dalam Euclidean, maka u v
2
u
2
v
2
Notasi Alternatif untuk vektor pada Rn Vek toru
(u1 , u 2 ,...,u n ) di R n bisa ditulis dalam
notasi matrik ssebagai matrik sbaris atau matrik scolumn u1 u
u v
u2 un
or u
u1 u 2 ... u n
u1
v1
u1
v1
u1
k u1
u2
v2
u2
v2
u2
k u2
un
vn
un
k un
un
vn
,
ku
k
Notasi Alternatif untuk vektor pada Rn atau u v
u1 u2 ... un u1 v1 u2
ku k u1 u2 ... un
v1 v2 ... vn v1 ... un
vn
ku1 ku2 ... kun
menghasilk an nilai yang sama dengan operasi vektor u
v (u1, u2 , ... , un ) (v1 , v2 , ..., vn ) (u1 v1, u2
v2 , ..., un
vn )
Formula Matriks untuk perkalian titik If we use column matrix notation for the vectors
u
u1
v1
u2
v2
un
and v
u1 T
v u
v1 v2 ... vn
vn u v
u2 un
u1v1
u2 v2
... un vn
u v
Thus, for vectors in column matrix notation we have the following formula for theEuclidean inner product u v
v Tu
Formula Matriks untuk perkalian Titik
If A is a n n matrix, then properties of the transpose that Au v
v T (Au)
u Av ( Av)T u
( v T A) u
( AT v)T u u A T v
( v T AT )u
Au v
u AT v
u Av
AT u v
v T ( AT u)
AT u v
Formula Matriks untuk perkalian Titik Au v u AT v
Contoh Misalkan bahwa : A
1
2
3
2
4
1 ,
1
0
1
1 2
2 4
3 1
1 2
7 10
0
1
4
5
u
1
2
2 , v
0
4
5
Maka Au
1 1 AT v
2
1
2
7
2 4
0
0
4
3
1
5
1
1
Au v 7( 2) 10(0) 5(5) 11 u AT v ( 1)( 7) 2(4) 4( 1) 11
Pandangan hasil kali titik mengenai perkalian matriks Jika A
aij adalah sebuah matriks m r dan B
bij adalah sebuah matriks r n ,
maka anggota ke - ij dari AB adalah ai1b1 j ai 2b2 j ... air brj yang merupakan hasil kali titik dari vektor A bari ke - i. ai1 ai 2 ... air dan vektor B kolom ke - j. b1 j b2 j brj
1. EUCLIDEAN n - SPACES Thus, if the row vectorsof A are r1,r2 ,...,rm and the column vectors of B are c1,c 2 ,...,c n , then the matrix product AB can be expressedas r1 c1 r1 c 2 r1 c n AB
r2 c1 r2 c 2 r2 c n
(10)
rm c1 rm c 2 rm c n A linear system Ax b can be expressedin dot product form as r1 x
b1
r2 x
b2
rm x
bm
(11)
wherer1,r2 ,...,rm are the row vectorsof A, and b1 , b2 ,...,bm are the entries of b
1. EUCLIDEAN n - SPACES
Contoh: Sistem
3x1 4 x2
Bentuk Perkalian Titik
x3 1
(3, 4,1) ( x1 , x2 , x 3 )
1
2 x1 7 x2 4 x3
5
(2, 7, 4) ( x1 , x2 , x 3 )
5
x1 5 x2 8 x3
0
(1,5, 8) ( x1 , x2 , x 3 )
0
Transformasi Linier Rn to Rm Fungsi berbentuk w = f(x) dimana: • peubah bebas x : vektor dalam Rn • peubah tak bebas w :vektor dalam Rm
Transformasi Linier Rn to Rm codomain of f
domain of f
b = f(a) Function is a rule f that associates with each element in a set A one and only one element in a set B
Transformasi Linier Rn to Rm Fungsi dari Rn ke R Formula
f (x)
f ( x, y )
f ( x, y, z ) f ( x1 , x2 ,..., xn )
Contoh
Klasifikasi 2
f ( x)
x
f ( x, y )
2
x
f ( x, y , z ) y2
y
x2
z2
f ( x1 , x2 ,...,xn ) x12 x22 ... xn2
2
Deskripsi
Fungsi bernilai real dari suatu peubah real
Fungsi dari R ke R
Fungsi bernilai real dari dua peubah real
Fungsi dari R2 ke R
Fungsi bernilai real dari tiga peubah real
Fungsi dari R3 ke R
Fungsi bernilai real dari n peubah real
Fungsi dari Rn ke R
Transformasi Linier Rn to Rm Fungsi-fungsi dari Rn ke Rm • Jika domain dari suatu fungsi f adalah Rn dan kodomain adalah Rm, maka f disebut sebuah map atau transformasi dari Rn ke Rm , dan kita menyatakan bahwa fungsi f maps Rn ke Rm. Kita tuliskan dengan f : Rn Rm Pada kasus dimana m=n transformasi f : R n R m adalah disebut suatu operator pada Rn
Transformasi Linier Rn to Rm • Misalkan f1,f2,…,fm adalah fungsi bilangan riil dengan n variabel, dimana; w1=f1 (x1,x2,…,xn) d w2=f2 (x1,x2,…,xn)
wm=fm (x1,x2,…,xn)
Persamaan-persamaan m diatas menempatkan suatu titik unik (w1,w2,…,wm) dalam Rm setiap titik (x1,x2,…,xn) dalam Rn dan dengan demikian mendefinisikan suatu transformasi dari Rn ke Rm. Jika kita menyatakan transformasi ini dengan T, maka R n R m dan T(x1,x2,…,xn)= (w1,w2,…,wm)
Transformasi Linier Rn to Rm Contoh 1: The equations w1 x1 x2 w2 w3
3x1 x2 2 1
x
x
2 2
define a transformation T:R2 T(x1,x2 ) ( x1
x2 ,3x1 x2 , x12
R3. x22 )
Thus, for example, T (1, 2) ( 1, 6, 3)
Transformasi Linier Rn to Rm
T : Rn if
Rm
n = m : linier transformation
Suatu transformasi linier T : Rn Rm didefinisikan oleh persamaan berbentuk:
w1
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn
w2
a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn
wm
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn
w = Ax
Matriks A=[aij] disebut Matriks Standar untuk transformasi linier T, dan T disebut perkalian dengan A.
Transformasi Linier Rn to Rm Beberapa masalah notasi • Kita menyatakan transformasi linear T dimana, T (x) Ax
Rn
Rm
dg TA
A
Vektor x dinyatakan dalam suatu matrik kolom.
Jika matrik standar utk T dinyatakan dengan simbol [T], maka
T (x) [T ]x Kadangkala, dua notasi untuk matriks standar akan dicampur, dimana kita mempunyai hubungan :
[TA ]
A
Rn
Rm
Transformasi Linier Rn to Rm Geometry of Linear Transformations Operasi Linier yang penting pada R2 ke R3 : - Pencerminan - Proyeksi - Rotasi
Misal :
T0(x) = 0x=0 zero transformation from Rn to Rm. TI(x) = Ix=x identity operator on Rn.
Transformasi Linier Rn to Rm Operator Pencerminan • Secara umum R2 dan R3 yang memetakan setiap vektor bayangan simetrisnya terhadap suatu garis atau bidang disebut operators pencerminan. Operator-operator tersebut linear.
Transformasi Linier Rn to Rm Operator R2 dan R3 yang memetakan setiap vektor ke bayangan simetrisnya terhadap suatu garis atau bidang disebut operator pencerminan yang bersifat linier
Transformasi Linier Rn to Rm
Transformasi Linier Rn to Rm Use matrix multiplication to find the reflection of (1,3) about x –axis.
So the reflection of (1,3) is (1,-3). Find : -Reflection on y-axis -Reflection on the line y=x Use matrix multiplication to find the reflection of (2, −5, 3) about the xy -plane
so the reflection of (2, –5, 3) is (2, –5, –3). Find : -Reflection on xz-plane -Reflection on yz-plane
Transformasi Linier Rn to Rm Operator Proyeksi Tinjau Operator T : R2 R2yang memetakan setiap vektor ke proyeksi orthogonalnya pada x-axis. Persamaan yang menghubungkan komponen x dan w=T(x) adalah;
T adalah operator linier dan matriks standard T :
Secara umum, sebuah operasi proyeksi (atau lebih tepatnya operator projeksi orthogonal) pada R2 atau R3 adalah sebarang operator yang memetakan setiap vektor ke proyeksi ortogonalnya pada suatu garis atau bidang yang melalui titik asal.
Transformasi Linier Rn to Rm Basic Projections Operators on R2
Transformasi Linier Rn to Rm Basic Projections Operators on R2
Transformasi Linier Rn to Rm Operator Rotasi • Operasi yang merotasikan setiap vektor dalam R2 melalui sudut tetap disebut operator rotasi pada R2. • Untuk menunjukkan bagaimana hasil-hasil ini diturunkan, tinjau operator rotasi yg merotasikan setiap vektor berlawanan dgn jarum jam pd suatu sudut tetap . Untuk mencari persamaan yang menghubungkan x dan w = T (x), Anggap adalah sudut sumbu-x positif ke x dan anggap panjang x dan w masing-masing adalah r.
Transformasi Linier Rn to Rm Rotation Operators Maka dari trigonometri dasar x r cos , y r sin w1
r cos(θ
),
w2
(14) r sin (θ
)
(15)
dengan menggunakan identitas trigoneometri pada (15) didapat, r cosθ cos
r sin θ sin
w1 r sin θ cos
r cosθ sin
w1
dan mensubtitusi (14) menghasilkan w1
x cosθ
y sin θ
w2
x sin θ
y cosθ
Matriks standar untuk T adalah [T ]
cosθ sin θ
sin θ cosθ
(16)
Transformasi Linier Rn to Rm Rotation Operators
Transformasi Linier Rn to Rm
Vektor rotasi pada R3 Rotasi vektor pada R3 diuraikan sebagai sinar yang berasal dari titik asal yang disebut sumbu rotasi. Sudut rotasi diukur searah jarum jam atau berlawanan arah dengan jarum jam . Misal vektor w dihasilkan dengan merotasi vektor x berlawanan arah jarum jam terhadap sumbu l dengan sudut . Sudut positif jika rotasi berlawanan arah jarum jam dan negatif jika searah dengan jarum jam.
Vektor rotasi pada R3 • Operator Rotasi R3 merupakan operator linier yang merotasikan setiap vektor dalam R3 terhadap beberapa sumbu rotasi dengan suatu sudut tetap
Transformasi Linier Rn to Rm Gunakan perkalian matriks untuk mencari bayangan vektor (−2, 1, 2) jika dirotasikan berlawanan arah jarum jam 45o terhadap sumbu y
Transformasi Linier Rn to Rm Vektor rotasi pada R3 • Standard matriks untuk suatu rotasi berlawanan arah jarum jam dengan sudut terhadap suatu sumbu R3, yang ditentukan oleh suatu vektor satuan u (a, b, c) yang memiliki titik pangkal di pusat, adalah:
(simpelnya : tabel 7, dirotasikan thdp sumbu, bila dirotasikan terhadap vektor u, maka persamaannya spt diatas.
Transformasi Linier Rn to Rm Operator Penyempitan dan Pelebaran Jika k adalah suatu skalar nonnegatif, maka operator pada R2 atau R3 disebut suatu penyempitan dengan faktor jika dan suatu 0 k 1 pelebaran dengan faktor, jika k 1 .
Transformasi Linier Rn to Rm Operator Penyempitan dan Pelebaran
Transformasi Linier Rn to Rm Operator Penyempitan dan Pelebaran
Transformasi Linier Rn to Rm Komposisi Transformasi Linear Jik a TA
Rn
R k dan TB
Rk
R m adalah transformasi linear,mak auntuk
setiapx pd R n k itadapat menghitungdulu TA ( x ), yang merupak anvek tordalam Rk , dan k emudiank itabisa menghitungTB (TA ( x )), yang merupak anvek tordlm R m . Jadi, penerapan TA diik utioleh TB yang menghasilkan transformasi Rn k e R m . Tranformasi ini disebut KOMPOSISI TB DENGAN TA dan dinyatak andengan TB TA (baca " TB lingk aranTA " ). Thus (TB TA )(x)
TB (TA ( x ))
Komposisi TB TA adalah linear k arena (TB TA )(x ) TB TA
TB (TA ( x)) B( Ax) (BA )x
TBA
Rumus ini dapat juga ditulisk andengan : [T2 T1 ] [T2 ][T1 ]
Transformasi Linier Rn to Rm Contoh : Komposisi 2 Rotasi Let T1 : R2 R2 and T2 : R2 R2 be the linear operators that rotate vectors through the angles θ1 and θ2 respectively. Thus the operation first rotates x through the angle θ1 , then rotates through the angle θ2 . It follows that the net effect of T2 0 T1 is to rotate each vector in R2 through the angle θ1 + θ2
Transformasi Linier Rn to Rm The standard matrices for these linear operators are:
With the help of some basic trigonometric identities, we can show that this is so as follows:
Transformasi Linier Rn to Rm Contoh : Composition is not Comunicative Jika T1 : R2R2 adalah operator pencerminan terhadap y=x , dan T2: R2 R2 adalah proyeksi orthogonal terhdap y-axis. Gambar disamping menunjukkan T2 0 T1 dan T1 0 T2 mempunyai dampak yang berbeda pada suatu vektor x. Artinya matriks – matriks standar untuk T1 dan T2 tidak komunitatif.
Transformasi Linier Rn to Rm Contoh : Composition of Two Reflection Jika T1 : R2 R2 adalah pencerminan terhadap y-axis, dan T2 : R2 R2 pencerminan terhadap sumbu x. T1 oT2 and T2 o T1 sama, keduanya memetakan setiap vektor x=(x,y) menjadi negatifnya –x=(-x.-y)
Transformasi Linier Rn to Rm Kesamaan T1 oT2 dan T2 o T1 bisa juga didapatkan dengan menunjukkan bahwa matriks-matriks standard untuk T1 dan T2 komunitatif:
Operator T(x)=-x pada R2 atau R3 disebut pencerminan terhadap titik asal. Matriks standar untuk operator ini pada R2 adalah
Transformasi Linier Rn to Rm Compositions of Three or More Linear Transformations
We define the composition
by
If the standard matrices for T1, T2 , and T3 are denoted by A, B, and C
Transformasi Linier Rn to Rm Contoh : Composition of Three Transformation Find the standard matrix for the linear operator T: R3 R3 that first rotates a vector counterclockwise about the z-axis through an angle θ, then reflects the resulting vector about the yz-plane, and then projects that vector orthogonally onto the xy- plane.
T1 is the rotation about the z-axis, T2 is the reflection about the yz-plane, and T3 is the orthogonal projection on the xy-plane
Transformasi Linier Rn to Rm Find the standard matrix for the stated composition of linear operators on R2 a rotation of 60°, followed by an orthogonal projection on the x-axis, followed by a reflection about the line y=x .
Transformasi Linier Rn to Rm Find the standard matrix for the stated composition of linear operators on R3: - A rotation of 270° about the x-axis, - Ffollowed by a rotation of 90° about the y-axis, - Followed by a rotation of 180° about the z-axis.
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LINIER DARI Rn ke Rm
Transformasi Linear Satu-Satu Transformasi linear T=Rn →Rm disebut satu satu jika T memetakan vektor-vektor (titik-titik) yang berbeda pada Rn ke vektor-vektor (titiktitik) yang berbeda pada Rm
Figure 4.3.2 The distinct points P and Q are mapped into the same point M.
Figure 4.3.1 Distinct vectors u and v are rotated into distinct vectors T(u)and T(v).
Untuk setiap vektor w dalam daerah hasil transformasi linear satusatu T, tepat ada satu vektor x sedemikian sehingga T(x)=w.
Properties of Linear Transformations from Rn to Rm
Jika A adalah nxn matrix dan TA: Rn→Rn adalah perkalian dengan A, maka pernyataan berikut ini ekuivalen: (a) A dapat dibalik (memiliki A-1) (b) Daerah hasil dari TA adalah Rn (c) TA adalah satu-satu ( untuk setiap vektor w dalam daerah hasil transformasi linear satu-satu T, tepat ada satu vektor x sedemikian sehingga T(x)=w)
Invers Operator Linier Satu Satu Jika TA: Rn Rn adalah operator linier satu-satu, maka matriks A dapat diinvers. Jadi TA-1: Rn Rn adalah sebuah operator linier dan disebut Invers dari TA; dimana :
Secara equivalen ; ,
Jika w adalah bayangan x dibawah TA, maka TA-1 memetakan kembali w ke x karena :
Properties of Linear Transformations from Rn to Rm Standard Matrix for T-1 Show that the linear operator T:R2 is one-to-one, and find
R2 defined by the equations
Properties of Linear Transformations from Rn to Rm Transformasi T : RnRm adalah linier jika dan hanya jika hubungan u dan v pada Rn dan setiap skalar c
a. T(u+v) = T(u) + T(v) b. T (cu) = cT(u)
Properties of Linear Transformations from Rn to Rm Jika T : Rn Rm adalah suatu transformasi linear, dan e1, e2 , …,en adalah vektor basis standar untuk Rn, maka matriks standart untuk T adalah: Digunakan untuk mencari matriks-matriks standar dan menganalisis dampak geometris dari suatu operator linear.
Properties of Linear Transformations from Rn to Rm Example T: R3 R3 adalah proyeksi orthogonal pada bidang xy, dan terbukti secara geometris bahwa :
Interpretasi Geometris Vektor Eigen Jika A(nxn) , λ = eigenvalue dari A dimana ; Ax=λx (λ = skalar), λx-Ax=0 by inserting identity matrix: λx-Ax=0 (λI-A)x=0 Jika T: Rn Rn adalah suatu operator linier, maka suatu skalar λ disebut eigenvalue dari T jika ada suatu x tidak nol pada Rn sedemikian sehingga T(x) = λx Vektor-vektor tak nol x yang memenuhi persamaan ini disebut vektor eigen dari T yang berpadanan dengan λ.
Interpretasi Geometris Vektor Eigen
Jika A adalah matriks standar untuk T, maka : T(x) = λx A(x) = λx Dimana: 1. Nilai eigen T tepat merupakan nilai eigen dari matrik standarnya A. 2. X adalah suatu vektor eigen dari T yang berpadanan dengan λ jika dan hanya jika x adalah suatu vektor eigen dari A yang berpadanan dengan λ .
Properties of Linear Transformations from Rn to Rm Jika λ adalah nilai eigen dari A an x adalah vektor eigen , maka A(x) = λx sehingga perkalian dengan A memetakan x kesuatu penggandaan dirinya sendiri. Pada R2 dan R3 perkalian dengan A memetakan setiap vektor eigen x ke suatu vektor yang terletak pada garis yang sama dengan x.
Eigenvalues of a Linear Operator Contoh :
T:R3 R3 be the orthogonal projection on the xy-plane (λI-A)x=0
Persamaan Karakteristik dari A adalah:
λ=0 :
λ=1
Properties of Linear Transformations from Rn to Rm Vektor Eigen dari matriks A yang bersepadanan dengan nilai eigen λ adalah penyelesain tidak nol dari :
Jika λ=0
Jika λ=1
