6/8/2015
Matriks & Ruang Vektor
Ruang Vektor Umum
Start
Ruang Vektor Umum Misalkan u , v , w ∈ V dan k, l ∈ Riil V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan Untuk setiap u , v ∈ V maka u + v ∈ V 2. u + v = v + u 3. u + (v + w ) = (u + v ) + w 4. Terdapat 0 ∈ V sehingga untuk setiap u ∈ V berlaku u + 0 = 0 + u = u 5. Untuk setiap u ∈ V
terdapat (− u ) sehingga
u + (− u ) = (− u ) + u = 0
3
1
6/8/2015
6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar. Untuk setiap u ∈ V
dan k ∈ Riil maka k u ∈ V
7. k (u + v ) = ku + kv 8.
(k + l ) u = ku + lu
9. k (l u ) = l (k u ) = (kl ) u 10. 1. u = u
4
Ruang Euclides orde n Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides: • Penjumlahan u + v = (u1 + v1 , u 2 + v 2 , ..., u n + v n )
• Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)
ku = (ku1 , ku 2 ,..., ku n ) • Perkalian Titik (Euclidean inner product)
u • v = u1v1 + u 2 v 2 + ... + u n v n • Panjang vektor didefinisikan oleh : u = (u • u )
1
2
= u1 + u 2 + ... + u n 2
2
2
• Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh : d (u , v ) = u − v
=
(u1 − v1 )2 + (u 2 − v 2 )2 + ... + (u n − v n )2 5
2
6/8/2015
Contoh : Diketahui u = (1, 1, 2, 3) dan v = (2 , 2, 1, 1) Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut Jawab: Panjang vektor : 1 2 2 2 2 u = (u • u ) 2 = 1 + 1 + 2 + 3 = 15 v = 2 2 + 2 2 + 12 + 12 = 10
Jarak kedua vektor d (u , v ) = u − v
=
=
(1 − 2)2 + (1 − 2)2 + (2 − 1)2 + (3 − 1)2
(− 1)2 + (− 1)2 + 12 + 22
= 7 6
SubRuang (subspace) Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V W dinamakan subruang (subspace) V jika W juga merupakan ruang vektor yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Syarat W disebut subruang dari V adalah : 1. W ≠ { } 2. W ⊆ V
u ∈ W maka k u ∈ W 4. Jika u , v ∈W dan k ∈ Riil maka u + v ∈ W 3. Jika
7
3
6/8/2015
Contoh : Tunjukkan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2x2 Jawab : 0 0 ∈ W maka W ≠ 1. O = 0 0 2. Jelas bahwa W ⊆ M2 x 2
{}
3. Ambil sembarang matriks A, B ∈ W Tulis
0 A = a2
a1 0 dan B = 0 b2
b1 0
06/06/2015 7:35
8
Perhatikan bahwa : 0 A + B = a2
a1 0 b1 + 0 b2 0 a1 + b1 0 = 0 a2 + b2
Ini menunjukan bahwa A + B ∈ W 4. Ambil sembarang matriks A ∈ W dan k ∈ Riil maka 0 ka1 ∈ W kA = ka2 0 Ini menunjukan bahwa kA∈ W Jadi, W merupakan Subruang dari M2 x 2 06/06/2015 7:35
9
4
6/8/2015
Contoh : Periksa apakah himpunan D yang berisi semua matriks orde 2x2 yang determinan-nya nol, merupakan subruang dari ruang vektor M2 x 2 Jawab : Ambil sembarang matriks A, B ∈ W Pilih a ≠ b :
a b , jelas bahwa det (A) = 0 A = 0 0
0 0 , jelas bahwa det (A) = 0 B = b a 10
06/06/2015 7:35
Perhatikan bahwa :
A+ B
a b b a
=
Karena a ≠ b Maka det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0 Jadi D bukan merupakan subruang karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan
11
5
6/8/2015
Kombinasi Linear Sebuah vektor u dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor v1, v2 , … , vn jika vektor – vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :
u = k1v1 + k 2v2 + ... + k n vn dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil.
12
06/06/2015 7:35
Contoh Misal u = (2, 4, 0), dan
v = (1, –1, 3)
adalah vektor-vektor di R3. Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor–vektor di atas a.
a = (4, 2, 6)
b. b = (1, 5, 6) c.
c
= (0, 0, 0)
06/06/2015 7:35
13
6
6/8/2015
Jawab : a. Tulis k1u + k 2 v = a akan diperiksa apakah ada k1, k2, sehingga kesamaan tersebut dipenuhi. 2 1 k1 4 + k 2 - 1 0 3
4 = 2 6
Ini dapat ditulis menjadi: 2 1 4 -1 0 3
k1 4 = 2 k 6 2
2 1 4 4 -1 2 0 3 6
14
06/06/2015 7:35
dengan OBE (Operasi Baris Elementer), diperoleh: 2 1 4 4 -1 2 0 3 6
1 1 2 2 1 12 1 -3 -6 ~ 0 1 0 3 6 0 0
2 1 0 2 ~ 0 1 0 0 0
1 2 0
k1 = 1; k 2 = 2 a merupakan kombinasi linear dari vektor u dan v atau
r r r a = u + 2v
06/06/2015 7:35
15
7
6/8/2015
b. Tulis : r r v k1u + k 2 v = b 2 k1 4 + k 2 0
1 1 = 1 5 3 6
ini dapat ditulis menjadi: 2 1 4 -1 0 3
1 k1 = 5 k2 6
16
06/06/2015 7:35
dengan OBE dapat kita peroleh : 2 1 4 -1 0 3
1 1 12 5 ~ 0 -3 6 0 3
0 1 3 ~ 0 6 0
1
2
1 0
1
2 3 2
Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa SPL tersebut adalah tidak konsisten (tidak mempunyai solusi). Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari u dan v
06/06/2015 7:35
17
8
6/8/2015
c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0, maka dapat ditulis
r r r k1u + k 2 v = c artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun.
18
06/06/2015 7:35
Membangun dan Bebas Linear Himpunan vektor
S = {v1 , v 2 , ... , v n }
dikatakan membangun suatu ruang vektor V jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor–vektor di S. Contoh : Tentukan apakah
v1 = (1, 1, 2), v2 = (1, 0, 1), dan
v3 = (2, 1, 3) 06/06/2015 7:35
membangun V???
19
9
6/8/2015
Jawab : Ambil sembarang vektor di R2 Misalkan: .
Tulis :
u1 u = u2 u 3
u = k1 v1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 .
Sehingga dapat ditulis dalam bentuk : 1 1 2 k1 u1 1 0 1 k = u 2 2 u 2 1 3 k3 3
06/06/2015 7:35
20
Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear, maka SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten) Dengan OBE diperoleh : 1 1 2 k1 u1 1 0 1 k = u 2 2 u 2 1 3 k3 3
Agar SPL itu konsisten haruslah u3 – u2 – u1 = 0 Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang (unsur–unsurnya bebas, tak bersyarat) Dengan demikian vektor – vektor tersebut tidak membangun R3 06/06/2015 7:35
21
10
6/8/2015
Bebas Linear Misalkan S = {u1 , u 2 ,..., u n } adalah himpunan vektor di ruang vektor V S dikatakan bebas linear (linearly independent) JIKA SPL homogen :
k1u1 + k 2 u1 + ... + k n u n = 0 hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni k1 = 0 , k 2 = 0 ,..., k n = 0
Jika solusinya tidak tunggal maka S kita namakan himpunan tak bebas linear (Bergantung linear /linearly dependent) 22
06/06/2015 7:35
Contoh : Diketahui u = (− 1, 3, 2) dan a = (1, 1, − 1) Apakah saling bebas linear di R3 Jawab : Tulis
r r r k1u + k 2 a = 0
atau -1 1 k 1 1 = 3 2 − 1 k2
06/06/2015 7:35
0 0 0
23
11
6/8/2015
-1 1 k 1 1 = 3 2 −1 k2
0 0 0
dengan OBE dapat diperoleh : -1 1 0 1 1 0 ~ 0 3 2 −1 0 0
− 1 0 1 0 0 4 0 ~ 0 1 0 0 0 0 1 0
dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu : k1 = 0, dan k2 = 0. Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.
24
06/06/2015 7:35
Contoh : Misalkan
, − 1 a = 3 2
2 1 b = 1 c = − 6 − 1 − 4
,
Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3 Jawab : Tulis : 0 = k1 a + k 2 b + k 3 c
atau 2 k1 −1 1 3 1 − 6 k 2 = 2 − 1 − 4 k3
06/06/2015 7:35
0 0 0
25
12
6/8/2015
2 k1 −1 1 3 1 − 6 k 2 = 2 − 1 − 4 k3
0 0 0
dengan OBE diperoleh : 1 1 − 1 − 2 0 4 0 ~ 0 0 1 0 0
− 1 − 2 1 0 0 0
Ini menunjukan bahwa k1, k2, k3 mrp solusi tak hingga banyak Jadi
a , b , c adalah vektor-vektor yang bergantung linear 26
06/06/2015 7:35
Basis dan Dimensi Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū1, ū2, … , ūn } merupakan himpunan berhingga dari vektor–vektor di V, maka S dinamakan basis bagi V jika kedua syarat berikut dipenuhi : • S membangun/merentang (span) V
(S spans V)
• S bebas linear
06/06/2015 7:35
27
13
6/8/2015
Contoh : Tunjukkan bahwa himpunan matriks berikut : M =
3 6 , 3 − 6
− 8 1 0 0 − 1 0 , , − 1 0 − 12 − 4 − 1 2
merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2 Jawab : Tulis kombinasi linear :
3 6 0 −1 0 − 8 1 0 a b k1 + k2 + k3 + k4 = 3 − 6 − 1 0 − 12 − 4 − 1 2 c d atau 3k1 + k 4 6k1 − k 2 − 8k 3 a b = − 6k1 − 4k 3 + 2k 4 c d 3k1 − k 2 − 12k 3 − k 4 28
06/06/2015 7:35
dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks, diperoleh SPL : 0 0 1 k1 a 3 6 − 1 − 8 0 k b 2 = 3 − 1 − 12 − 1 k3 c − 6 0 − 4 2 k 4 d
Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48 • det (MK) ≠ 0 SPL memiliki solusi untuk setiap a,b,c,d Jadi, M membangun M2 x 2 • Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0, det (MK) ≠ 0
SPL homogen punya solusi tunggal.
Jadi, M bebas linear. 06/06/2015 7:35
29
14
6/8/2015
Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2 maka M merupakan basis bagi M2 x 2. Ingat… Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal. Contoh : Untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks :
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0, 0 0, 1 0, 0 1
juga merupakan basisnya.
30
06/06/2015 7:35
Basis Ruang Baris & Kolom Misalkan matriks : −1 − 2 −1 1 A= 1 2 3 −1 1 2 2 − 1
Vektor baris
Vektor kolom dengan melakukan OBE diperoleh :
Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE 06/06/2015 7:35
31
15
6/8/2015
matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu : − 1 − 1 1 , 3 1 2
basis ruang baris diperoleh dengan cara, Mentranspose-kan terlebih dahulu matriks A, lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh : A=
−1
1
1
−2 2 −1 3
2 2
1
−1 −1
32
06/06/2015 7:35
Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A). Ini berarti, matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris : − 1 1 − 2 2 , − 1 3 1 − 1
Dimensi basis ruang baris = ruang kolom dinamakan rank. Jadi rank dari matriks A adalah 2. 06/06/2015 7:35
33
16
