si
AS
Se
VEKTOR 2 A.
DEFINISI PERKALIAN TITIK Misal a = [a1 a2 a3 ] dan b = [b1 b2 b3 ] dua vektor di R3. Perkalian titik dari a dan b , dinotasikan a • b adalah a • b = a1b1 + a2b2 + a3b3 Pada R2 dengan definisi serupa adalah a • b = a1b1 + a2b2 Di mana a = [ a1 a2 ] dan b = [b1 b2 ]
CONTOH SOAL 1.
Bila diketahui a = 2i − 3 j + 5k dan b = i − 4 j + 2k maka a • b = …. Pembahasan: a = 2i − 3 j + 5k → a = [2 −3 5] b = i − 4 j + 2k → b = [1 −4 2] ab = [2 −3 5][1 −4 2] = 2 ⋅1+ ( −3) ⋅ ( −4 ) + 5 ⋅ 2 = 24 Hasil dari perkalian titik berupa angka (konstanta) bukan berupa vektor.
2.
Bila a = [ x 3 x − 1] dan b = [ x −5 3] jika nilai dari a.b = 0 maka nilai x yang memenuhi adalah ….
1
GAN
12
BUN
KEL
A - K U RIKUL I IP UM GA
MATEMATIKA
XI
Pembahasan: a⋅b = 0
[x
3 x − 1][ x −5 3] = 0 x 2 − 15 + 3( x − 1) = 0 x 2 + 3x − 18 = 0 ( x + 6 )( x − 3) = 0
x = −6 atau x = 3
B.
SIFAT-SIFAT PERKALIAN TITIK Apabila a , b dan c adalah vektor-vektor di R3 (atau di R2) dan k ∈ R konstanta sembarang, maka a.a ≥ 0 dan a.a = 0 jika dan hanya jika a = 0 1. 2. a.b = b.a 3. a. b + c = a.b + a.c ka .b = k a.b = a. kb 4.
(
)
( )
( ) ( )
CONTOH SOAL 1.
Jika diketahui vektor a = 2i − 7 j + k dan b = 4i − k maka hasil dari a + 3b . 2a adalah ….
(
)( )
Pembahasan: a = 2i − 7 j + k → a = [2 −7 1] b = 4i − k → b = [ 4 0 −1] Maka a + 3b . 2a = 2a.a + 6a.b
(
)( )
= 2[2 −7 1].[2 −7 1] + 6 [2 −7 1].[ 4 0 −1] = 2 ( 4 + 49 + 1) + 6 ( 8 + 0 − 1) = 108 + 42 = 150
2.
Diketahui a = [ 4 1] , b = [1 −3] dan c = [5 1] vektor-vektor pada R2. Hitunglah a.b c dan a b.c kemudian tarik kesimpulan kedua operasi tersebut!
( )
( )
2
Pembahasan: a.b c = ([ 4 1].[1 −3])[5 1]
( )
= 1.[5 1]
= [5 1] a b.c = [ 4 1]([1 −3].[5 1])
( )
= [ 4 1].2 = [ 8 2]
Kesimpulannya a.b c ≠ a b.c
( )
( )
Teorema Apabila a dan b adalah dua vektor tidak nol di R3 (atau R2) yang digambar dengan pangkal berimpit, misal θ, di mana 0 ≤ θ ≤ π, adalah sudut antara a dan b , maka berlaku a.b = a b cos θ
CONTOH SOAL 1.
Diketahui persegi panjang OABC dengan panjang OA = 12 dan AB = 5. Jika OA = u dan OB = v maka u ⋅ v = .... Pembahasan: Misal ilustrasinya sebagai berikut C
B
5 θ O
12
A
Dimana panjang OB dengan rumus pythagoras adalah 13, sehingga kita bisa mendapatkan nilai cos θ dengan memperhatikan segitiga siku-siku OAB dan menggunakan definisi cosinus
3
cosθ =
OA 12 = OB 13
Maka u ⋅ v = u v cosθ 12 = OA OB 13 12 = 12 ⋅13 ⋅ 13 = 144 2.
Diketahui titik-titik A(2, -1, 4), B (4, 1, 3), dan C (2, 0, 5). Kosinus sudut antara AB dan AC adalah .... Pembahasan: AB = b − a
= [ 4 1 3] − [2 −1 4 ]
= [2 2 −1] AC = c − a
= [2 0 5] − [2 −1 4 ]
= [ 0 1 1]
AB.AC = AB AC cos θ
[2
2 −1].[ 0 1 1] = 22 + 22 + ( −1)
2
02 + 12 + 12 cos θ
0 + 2 − 1 = 3 2 cos θ 1 = 3 2 cos θ 1 1 maka cos θ = = 2 3 2 6
3.
2 1 Diketahui vektor a = 1 dan b = x . Sudut antara vektor a dan vektor b adalah 60°. 1 2 Nilai x = .... Pembahasan:
2 1 a = 1 , b = x 1 2
4
a.b = a b cos ∠a, b 2 1 1 x = 22 + 12 + 12 12 + x 2 + 22 cos 60o 1 2 1 x + 4 = 6 x2 + 5. 2 1 = 6 x2 + 5. 2 2 6( x + 5) x 2 + 8 x + 16 = 4 4 x 2 − 32x + 64 = 6 x 2 + 30
(x + 4)
2
2
2x 2 + 32x − 34 = 0 x 2 + 16 x − 17 = 0 ( x + 17)( x − 1) = 0 x = -17 atau x = 1
4.
−3 −2 Vektor-vektor a = 1 dan b = 4 adalah saling tegak lurus. Nilai x adalah .... −2 x A. -5 B.
-1
C.
0
D.
1
E.
5
Pembahasan: a.b = a b cos ∠a, b −3 −2 2 2 2 2 2 2 1 4 = ( −3) + 1 + ( −2) ( −2) + 4 + x cos 90 −2 x 6 + 4 − 2x = 0 10 − 2x = 0 x=5 5.
Jika vektor a dan b membentuk sudut 60°, a = 2 dan b = 5 , maka a ⋅ (b + a) sama dengan ....
5
A.
5
B.
7
C.
8
D.
9
E.
10
Pembahasan: a ⋅ (b + a) = a ⋅ b + a ⋅ a = a ⋅ b cos ∠ a ⋅ b + a ⋅ a cos ∠ a ⋅ a = a ⋅ b cos 60° + a ⋅ a cos 0° 1 = 2 ⋅ 5 ⋅ + 2 ⋅ 2 ⋅1 2 =9 6.
Segitiga PQR dengan P(1, 5, 1), Q (3, 4, 1), dan R (2, 2, 1). Besar sin PQR adalah .... Pembahasan: Misal bentuk segitiganya ∠PQR = ∠QP , QR Maka QP = p − q 1 3 = 5 − 4 1 1 −2 = 1 0 QR = r − q 2 3 = 2 − 4 1 1 −1 = −2 0
6
QP ⋅ QR = QP QR cosθ −2 −1 2 2 2 2 2 2 1 −2 = ( −2) + 1 + 0 ( −1) + ( −2) + 0 cos θ 0 0 0 = 5 5 cos θ cos θ = 0 θ = 90° Maka sinθ = sin90o = 1
Teorema dengan Apabila a dan b adalah dua vektor tidak nol di R3 (atau R2) yang digambar a dan b , maka pangkal berimpit, misal θ di mana 0 ≤ θ ≤ π adalah sudut antara berlaku: 2 2 2 a + b = a + b + 2. a b cos θ 2 2 2 a − b = a + b − 2. a b cos θ Atau dapat ditulis 2 2 2 a + b = a + b + 2.a.b 2 2 2 a − b = a + b − 2.a.b Bila rumus di atas dijumlah atau dikurangkan akan didapat 2 2 2 2 a+b + a−b = 2 a +2 b 2 2 a + b − a − b = 4.a.b
CONTOH SOAL 1.
Diketahui a + b = 2 19 , jika a = 4 dan b = 6 maka a − b adalah ....
7
Pembahasan: 2 2 2 a+b = a + b +2 a 2 2 2 a−b = a + b −2 a
b cos 60° b cos 60° +
2 2 2 2 a+b + a−b = 2 a +2 b 2 2 2 19 + a − b = 2( 4 )2 + 2(6 )2
(
)
2 76 + a − b = 32 + 72 2 a − b = 28 a−b = 2 7
C.
PROYEKSI VEKTOR PADA VEKTOR Apabila a dan b adalah dua vektor tidak nol di R3 (atau R2) yang digambar dengan pangkal berimpit, misal θ dimana 0 ≤ θ ≤ π adalah sudut antara a dan b , maka berlaku
a ab
θ ab
b
Proyeksi a dan b ,dinotasikan ab adalah vektor pada b yang merupakan hasil proyeksi tegak lurus a dan b , di mana a.b ab = 2 b b
Sedangkan panjang proyeksi a pada b dinotasikan ab , dapat dicari dengan rumus panjang vektor atau a.b ab = b
8
CONTOH SOAL 1.
Suatu vektor a = [2 3 1] dan b = [ −1 3 2] . Vektor proyeksi orthogonal a pada b adalah …. Pembahasan: a.b ab = 2 b b [2 3 1][ −1 3 2] −1 3 2 = ] 2 [ ( −1)2 + 32 + 22
)
(
−2 + 9 + 2 [ −1 3 2] 14 9 = [ −1 3 2] 14 9 27 9 = − 14 14 7 =
2.
Suatu vektor u = 3i − 4k , v = i + 2 j + 2k panjang proyeksi orthogonal u pada v adalah .... Pembahasan: u = 3i − 4k = [3 0 −4 ] v = i + 2 j + 2k = [1 2 2] Panjang proyeksi orthogonal u pada v adalah u.v uv = v =
[3
0 −4 ][1 2 2]
12 + 22 + 22 3+0−8 = 3 5 = 3 3.
Diketahui vektor AB = [ a 1 −1] dan CD = [ 4 −4 2] . Bila proyeksi skalar AB pada CD adalah 1, maka nilai a adalah ....
9
Pembahasan: Diketahui AB = 1 CD
[a
1 −1][ 4 −4 2] 4 2 + ( −4 )2 + 22
=1
4a − 4 − 2 =1 6 4a − 6 = 6 Maka 4a − 6 = 6 4a − 6 = 6 4 a = 12 4a = 0 a = 3 atau a=0
D.
PERKALIAN SILANG a dan b adalah dua vektor tidak nol di R3 di mana a = [ x1 y1 z1 ] dan Apabila b = [ x 2 y 2 z2 ] maka perkalian silang (cross product) dinotasikan a × b adalah vektor atau dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk determinan i a × b = x1 x2
j y1 y2
k z1 z2
CONTOH SOAL 1.
Diketahui a = [2 3 5] dan b = [ 6 7 9 ] , bandingkan a × b dengan b × a Pembahasan: i j k 3 5 2 5 2 3 a×b = 2 3 5 = i− j+ k = −8i + 12 j − 4k 7 9 6 9 6 7 6 7 9 i j k 7 9 6 9 6 9 i− j+ k = 8i − 12 j + 4k b × a = 6 7 9 = a× a = 0 3 5 2 5 2 5 2 3 5
10
Bisa dilihat dan bisa dibuktikan berlaku sifat pada cross product yaitu a × b = − b × a
(
)
LATIHAN SOAL 1.
2.
3.
Diketahui vektor-vektor u = i + 2 j + 5 k ; v = i − 2 j + 5 k . Sudut antara vektor u dan v adalah .... (Soal UN) A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
90°
E.
120°
Diketahui vektor a = i − x j + 3k ; b = 2i + j − k , dan . Jika a tegak lurus b maka 2a b − c adalah .... (Soal UN)
(
A.
-20
B.
-12
C.
-10
D.
-8
E.
-1
Diketahui vektor u = 3i + 2 j − k dan v = 3i + 9 j − 12k . Jika vektor 2u − av tegak lurus terhadap v maka a adalah .... (Soal UN) A.
-1
B.
-
C.
1
D. E. 4.
)
1 3
1 3 3
Diketahui titik A (5, 1, 3); B (2, -1, -1), dan C (4, 2, -4). Besar sudut ABC = .... (Soal UN) A. B.
π π 2
11
C. D. E. 5.
6.
7.
8.
π 3 π 6 0
a = 4i − 2 j + 2k dan vektor b = 2i − 6 j + 4k . Proyeksi vektor orthogonal Diketahui vektor vektor a pada b adalah .... (Soal UN) A. i− j+k B. i − 3 j + 2k C. i − 4 j + 4k D. 2i − j + k E. 6i − 8 j + 6k Diketahui vektor-vektor a = (1, 3, 3 ) , b = ( 3, 2,1) , dan c = (1, −5, 0 ) . Sudut antara a − b dan a + c adalah .... (Soal SPMB/SNMPTN)
(
)
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
90°
E.
120°
(
)
Diketahui vektor u = 2i − 4 j − 6k dan v = 2i − 2 j + 4k . Proyeksi vektor orthogonal u pada v adalah .... (Soal UAN) A. −4i + 8 j + 12k B. −4i + 4 j + 8k C. −2i + 2 j − 4k D. −i + 2 j + 3k E. −i + j − 2k Jika proyeksi vektor u = 3i + 4 j ke vektor v = −4i + 8 j adalah vektor w maka w adalah .... (Soal UM UGM)
12
A. B.
5 5
C.
9.
3
D.
3
E.
1
−2 x Diketahui vektor a = 3 dan b = 0 . Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 4 3 maka salah satu nilai x adalah ....
10.
A.
6
B.
4
C.
2
D.
-4
E.
-6
1 2 Diketahui vektor a = x , b = 1 dan panjang proyeksi a pada b adalah 2 6 . Sudut 2 −1 antara a dan b adalah α maka .... A.
2 3 6
B.
1 3
C.
2 3
D. E.
2 6 6 3
13
