Perkalian Titik dan Silang

Buku Kerja 2

Perkalian Titik dan Silang PERKALIAN TITIK DAN SILANG

Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik

URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor titik ).

dan

dinyatakan oleh

(baca:

Untuk lebih jelas, berikut didefinisikan perkalian titik pada bidang: Secara geometri: didefinisikan sebagai perkalian antara besarnya vektor-vektor dan cosinus sudut antara keduanya.

dan

.... 2.1 Secara analitik: Misalkan dan dengan sistem koordinat x dan y, maka

adalah dua vektor pada bidang didefinisikan: ... 2.2

Sedangkan vektor pada bidang dengan sistem koordinat x, y, dan z, dimana dan , maka didefinisikan: ... 2.3

“Hasil kali titik dari dua vektor menghasilkan skalar”

Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 24 STKIP PGRI SUMBAR

Buku Kerja 2

Perkalian Titik dan Silang

Coba Anda perhatikan gambar berikut!

Apa yang Anda lihat pada gambar tersebut? Pada gambar tampak seorang anak sedang mendorong meja. Jika meja yang didorongnya bergerak, maka anak tersebut telah melakukan usaha. Namun, bagaimana dengan gambar di samping? Tampak pada gambar tersebut, seseorang sedang mendorong tembok. Apakah temboknya bergeser? Jika kita manusia biasa bukan superman, pastinya tembok tersebut tidak akan bergeser. Karena temboknya tidak bergeser, maka kita tidak melakukan usaha. Jadi, usaha adalah energi yang disalurkan gaya ke sebuah benda sehingga benda tersebut bergerak. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini!

s B

A

Apa yang dapat Anda lihat dari gambar tersebut? Gambar tersebut menunjukkan sebuah objek yang diberi gaya . Objek tersebut bergerak lurus sejauh dari titik A ke titik B . Usaha untuk gaya konstan tersebut dirumuskan sebagai berikut.

,

: sudut antara gaya

dan

Dengan menggunakan definsi perkalian titik 2.1, maka diperoleh


Buku Kerja 2


Jadi, usaha merupakan hasil dari perkalian titik antara gaya perpindahan .

dengan

Perkalian Vektor-vektor Satuan Dengan menggunakan definisi 2.1, didapatkan: z

y

x

Hasil perkalian titik dari vektor satuan-vektor satuan pada bidang dengan menggunakan definisi di atas dapat disimpulkan dalam bentuk tabel di bawah ini. Tabel 1. Hasil perkalian titik dari vektor-vektor satuan. . 1

0

0

0

1

0

0

0

1

Sifat-sifat Perkalian Titik Vektor Berikut adalah sifat-sifat perkalian titik vektor.


Buku Kerja 2


Sifat-sifat perkalian titik: Misalkan

,

, dan

adalah tiga buah vektor dan

adalah bilangan real,

maka berlaku:  

hukum komutatif



hukum distributif

  

Jika

, dimana



dan

adalah vektor-vektor tak nol, maka

(ketaksamaan Schwarz)

Bukti:  Berdasarkan definisi 2.2, diperoleh

 Berdasarkan definisi 2.2, diperoleh Karena ,

adalah bilangan real, maka , dan

Sehingga

 Berdasarkan definisi 2.2, diperoleh


Buku Kerja 2


Berdasarkan definisi 2.2, maka Pembuktian iv, v, dan vi dijadikan tugas untuk Anda.

CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1 Buktikan bahwa i i = j j = k k = 1, i j = 0, j k =0, k i = 0. (Gunakan definisi perkalian titik) Penyelesaian Perhatikan gambar berikut

Dari gambar terlihat bahwa sudut yang dibentuk oleh dua vektor yang sama adalah . . Sedangkan vektor yang berbeda membentuk sudut Berdasarkan definisi vektor, maka


Buku Kerja 2


Contoh 2 Jika A = A1i + A2j + A3k dan B =

, maka tunjukkan bahwa

Penyelesaian

Karena

dan semua hasil kali titik lainnya nol, maka

Contoh 3 Jika , tentukan a. b. Sudut yang dibentuk oleh A dan B Penyelesaian a. b. Berdasarkan definisi A B = |A||B| cos , dengan dibentuk oleh A dan B. Maka

adalah sudut yang

LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1 Jika a. b. c.

dan

, carilah:


Buku Kerja 2


d. e. Penyelesaian a. b. c. d.

maka e.

Latihan 2 Diketahui A dan B

dan

, carilah sudut yang dibentuk oleh

Penyelesaian Berdasarkan definisi A B = |A||B| cos dibentuk oleh A dan B. Maka

, dengan

adalah sudut yang

Latihan 3 Tentukan usaha yang dilakukan oleh seorang anak dengan untuk memindahkan benda dari titik P(-1, 2, 3) ke Q(5, 6, 7) Penyelesaian


Buku Kerja 2


F s Q

P

r dari gambar diperoleh bentuk umum usaha maka,

Latihan 4 Untuk harga a manakah lurus?

dan

saling tegak

Penyelesaian Dua vektor saling tegak lurus jika ... . ... = 0 Sehinggga ... - ... - 4 = 0 (a + ...) (... - ...) = 0 a = ... dan a = ... Latihan 5 Carilah proyeksi vektor

pada vektor

Penyelesaian

Proyeksi A pada B = GH = EF =

, b adalah vektor satuan. Maka


Buku Kerja 2


LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1 Hitunglah (a) , (b) (c)

,

Penyelesaian

Latihan 2 Carilah sudut antara (a) dan

dan

, (b)

Penyelesaian


Buku Kerja 2


Latihan 3 Carilah sudut lancip yang dibuat oleh garis yang menghubungkan titik-titik (1, -3, 2) dan (3, -5, 1) dengan sumbu koordinat Penyelesaian

Latihan 4 Dua buah sisi sebuah segitiga dibentuk oleh vektor-vektor dan . Tentukan sudut-sudut dari segitiga ini. Penyelesaian Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 33 STKIP PGRI SUMBAR

Buku Kerja 2


Latihan 5 Carilah proyeksi vektor dan (-2, -4, 3)

pada garis yang melalui titik-titik (2, 3,-1)

Penyelesaian


Buku Kerja 2


Kunci Jawaban Latihan 1 : (a) 0, (b) -6, (c) 1 Latihan 2 : (a) , (b) Latihan 3 : Latihan 4 : Latihan 5 : 1

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah


Buku Kerja 2


Materi pokok pertemuan ke 4: 2. Perkalian silang 3. Perkalian rangkap tiga

URAIAN MATERI Perkalian Silang Perkalian silang dua vektor ).

dan

dituliskan dengan

(dibaca

silang

Coba lihat gambar di samping ini! Coba tebak gambar apakah itu? Ya, kincir air. Tahukah Anda, kecepatan linear dari kincir air tersebut sama dengan kecepatan sudut kali jari-jari kincir tersebut.

Gambar . Kecepatan Kincir Air

Perhatikan gambar berikut!

r

s

Tinjau rotasi sebuah partikel dalam lintasan dengan jari-jari r. Jarak yang telah ditempuh dalam selang waktu adalah dengan sudut yang dibentuk adalah (dalam radian). Hubungan dan diberikan oleh . Untuk selang waktu yang sangat kecil, maka besar kecepatan linier diberikan oleh

Besaran

disebut sebagai kecepatan sudut yang arahnya diberikan

oleh arah putar tangan kanan, tegak lurus bidang lingkaran. Jadi, hubungan antara kecepatan linier dengan kecepatan sudut diberikan oleh


Buku Kerja 2


Jadi, kecepatan linier dari rotasi sebuah partikel sama dengan kecepatan sudut kali silang vektor kedudukan dari jari-jari lingkaran. Berikut ini didefinisikan perkalian silang. Secara geometri Perkalian silang dari dua vektor dan adalah sebuah vektor (baca silang ), yang besarnya adalah hasil kali antara besarnya dan sinus sudut antara keduanya. s

Dimana

dan

... 2.6

adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari

Secara analisis Misalkan dari dua vektor dan

dan didefinisikan dengan

, maka perkalian silang

... 2.7

Dengan menggunakan definisi 2.6, maka diperoleh: z

y

x

Hasil perkalian silang dari vektor-vektor satuan pada bidang dengan menggunakan definisi dapat disimpulkan dalam bentuk tabel di bawah ini.


Buku Kerja 2


Tabel 2. Hasil perkalian silang dari vektor-vektor satuan 0 0 0 Sifat-sifat Perkalian Silang Vektor Berikut sifat-sifat perkalian silang: Sifat-sifat perkalian silang Misalkan , , dan

adalah vektor-vektor dan

adalah bilangan real,

maka berlaku: a.

tidak berlaku hukum komutatif

b.

hukum distributif

c.

, m skalar

d. e.

Hasil dari

sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi

dan f.

Bukti: Pertama,

Jika

kita

dan

dan

bukan vektor nol, maka

misalkan . Maka

,

,

dan

ii. Dengan menggunakan definisi 2.7, diperoleh


Buku Kerja 2


iv. Berdasarkan definisi perkalian silang 2.7, maka

Pembuktian i, iii, v, dan vi dijadikan tugas untuk Anda. Perkalian Rangkap Tiga Perkalian titik dan perkalian silang pada tiga buah vektor dapat menghasilkan hasil kali yang mempunyai arti dalam bentuk-bentuk berikut, yaitu , dan . Berikut sifat-sifat perkalian tripel pada vektor.


Buku Kerja 2


Sifat-sifat perkalian rangkap tiga Misalkan , , dan

adalah vektor-vektor, maka berlaku:

a. b. Hasil dari

merupakan volume

sebuah paralelepipidum dengan , , dan

sebagai rusuk-rusuknya

atau negatif dari volume tersebut. Positif atau negatif dari volume tersebut sesuai dengan apakah , , dan

membentuk sistem

tangan kanan atau tidak. Jika

,

, dan

, maka

c.

tidak berlaku hukum asosiatif

d.

sering disebut hasil kali tripel skalar dan dapat

Hasil kali dinyatakan dengan Hasil kali

atau

.

disebut hasil kali tripel vektor

CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1 Jika A = A1i + A2j + A3k dan B = B1i + B2j + B3k, buktikan bahwa

Penyelesaian


Buku Kerja 2


Contoh 2 Jika dibentuk oleh

dan a .

. Tentukan

(a)

(b) Sudut yang

Penyelesaian a

(b)

s s s s s Jadi sudut antara

dan

adalah

.

Contoh 3 Hitunglah luas jajaran genjang yang sisi-sisinya adalah

dan

Penyelesaian Luas jajaran genjang s


Buku Kerja 2


=

Jadi luas jajar genjang adalah 35. Contoh 4 Jika

a

.

Buktikanlah bahwa Penyelesaian

Contoh 5 Jika

a

.

Tentukan

Penyelesaian

= 28 Contoh 6 Tentukanlah volume paralelepipidum dengan rusuk-rusuknya adalah vektorvektor : a . Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 42 STKIP PGRI SUMBAR

Buku Kerja 2

Perkalian Titik dan Silang Penyelesaian volume paralelepipidum= (tinggi )(luas jajaran genjang )

LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1 Jika

dan

. Carilah

Penyelesaian

=

Latihan 2 Jika

,

, dan

. Carilah

Penyelesaian

=


Buku Kerja 2


Latihan 3 Carilah luas segitiga yang titik-titik sudutnya (3,-1,2), (1,-1,-3), dan (4,-3,1) Penyelesaian B

C

A

Gambar 12

AB x AC

Luas segitiga ABC = ½ (Luas jajaran genjang)

Latihan 4 Carilah

volume paralelepipedum yang , , dan

sis-sisinya .

dinyatakan

oleh

Penyelesaian


Buku Kerja 2


LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1 Hitunglah masing-masing (a)

Penyelesaian

Latihan 2 Jika

,

, dan

Carilah

Penyelesaian


Buku Kerja 2


Latihan 3 Carilah luas jajar genjang yang memiliki diagonal-diagonal dan Penyelesaian

Latihan 4 Sederhanakanlah (A + B) (B + C) x (C + A) Penyelesaian


Buku Kerja 2


Latihan 5 Buktikan bahwa (A x B) (C x D) + (B x C) (A x D) + (C x A) (B x D) Penyelesaian


Buku Kerja 2


Kunci Jawaban Latihan 1 : (a) Latihan 2 : Latihan 3 : Latihan 4 : 2A B x C

, (b)

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah


Perkalian Titik dan Silang

Recommend Documents