16. BARISAN FUNGSI
16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan membahas keluarga fungsi yang membentuk suatu barisan. Dalam aplikasi, barisan fungsi muncul ketika kita berupaya menghampiri sebuah fungsi dengan keluarga fungsi yang kita kenal baik. Sebuah barisan fungsi adalah suatu pengaitan n 7→ fn , n ∈ N, yang kita tuliskan sebagai hfn i. Di sini fn merupakan fungsi dan untuk tiap n ∈ N kita asumsikan bahwa fn mempunyai daerah asal yang sama, sebutlah A ⊆ R. Seperti pada pembahasan barisan bilangan real, ketika dihadapkan dengan sebuah barisan fungsi hfn i kita akan tertarik untuk membahas perilaku fn apabila n → ∞. Dalam perkataan lain, kita ingin mempelajari kekonvergenan barisan hfn i pada A. Mengingat bahwa untuk tiap x ∈ A, fn (x) membentuk suatu barisan bilangan real, maka kekonvergenan barisan fungsi hfn i dapat didefinisikan melalui kekonvergenan barisan bilangan hfn (x)i. Bila untuk tiap x ∈ A, barisan hfn (x)i konvergen ke suatu bilangan (yang secara umum bergantung pada x), sebutlah Lx , maka kita peroleh sebuah fungsi f : A → R dengan f (x) = Lx . Jadi, untuk tiap x ∈ A, kita mempunyai fn (x) → f (x),
n → ∞.
Dalam hal ini, kita katakan bahwa hfn i konvergen titik demi titik ke f , dan kita tuliskan fn → f (titik demi titik),
n → ∞.
Fungsi f di sini disebut sebagai limit (titik demi titik) barisan hfn i. 123
124
Hendra Gunawan
Contoh 1. Misalkan untuk tiap n ∈ N kita mempunyai fn (x) := xn ,
x ∈ [0, 1].
Maka, barisan fungsi hfn i konvergen titik demi titik ke fungsi f dengan 0, 0 ≤ x < 1; f (x) := 1, x = 1. Untuk mendapatkan gambaran tentang apa yang terjadi, gambarlah grafik beberapa buah fungsi fn dan juga grafik fungsi f , pada sebuah sistem koordinat yang sama. Dalam Contoh 1 kita melihat bahwa fn kontinu pada [0, 1] untuk tiap n ∈ N, namun f tidak kontinu pada [0, 1]. Jadi, kekonvergenan titik demi titik secara umum tidak mempertahankan sifat kekontinuan fungsi. Padahal, dalam aplikasinya, ini merupakan salah satu isu penting. Oleh karena itu, dalam pembahasan berikutnya, kita akan mempelajari jenis kekonvergenan barisan fungsi yang lebih kuat, yang mempertahankan antara lain sifat kekontinuan fungsi. Soal Latihan 1. Tinjau barisan fungsi hfn i yang dibahas dalam Contoh 1. Diberikan x ∈ [0, 1] dan > 0, tentukan N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku |fn (x) − f (x)| < . (Catatan. Kasus x = 1 perlu ditangani tersendiri.) 2. Untuk masing-masing barisan fungsi di bawah ini, tentukan sebuah fungsi f yang merupakan limitnya (titik demi titik). (a) fn (x) :=
xn n ,
x ∈ [0, 1].
(b) fn (x) := nx(1 − x2 )n , x ∈ [0, 1]. (c) fn (x) :=
x n,
(d) fn (x) :=
x2n 1+x2n ,
(e) fn (x) :=
sin√nx , n x
x ∈ R. x ∈ R. x > 0.
P∞ 3. Deret fungsi k=1 fk didefinisikan sebagai limit titik demi titik dari barisan
Pn jumlah parsial Jika k=1 fk , bila barisan jumlah parsial ini konvergen.
Pengantar Analisis Real
125
barisan jumlah parsial tersebut konvergen titik demi titik ke fungsi s pada A, maka s disebut sebagai jumlah deret pada A. Dalam hal ini, kita tuliskan ∞ X
fk (x) = s(x), x ∈ A.
k=1
Secara umum, indeks k dapat berjalan mulai dari sembarang k ∈ Z. Misalkan fk (x) := xk , k = 0, 1, 2, . . . . Tentukan untuk nilai x manakah barisan
Pn jumlah parsial k=0 fk (x) konvergen, dan tentukan pula jumlahnya.
16.2 Kekonvergenan Seragam Misalkan hfn i adalah suatu barisan fungsi yang, katakanlah, konvergen titik demi titik ke fungsi f pada A. Dalam hal ini, diberikan x ∈ A dan > 0, terdapat N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku |fn (x) − f (x)| < . Secara umum bilangan N di sini bergantung pada x, selain pada . Bila bilangan N tadi berlaku untuk tiap x ∈ A, maka hfn i dikatakan konvergen seragam ke f pada A. Jadi, barisan fungsi hfn i konvergen seragam ke f pada A apabila untuk setiap > 0 terdapat N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiap n ≥ N dan x ∈ A berlaku |fn (x) − f (x)| < . Dalam hal ini kita tuliskan fn → f (seragam),
n → ∞.
Jelas bahwa kekonvergenan seragam akan mengakibatkan kekonvergenan titik demi titik. (Dalam perkataan lain, kekonvergenan titik demi titik merupakan syarat perlu untuk kekonvergenan seragam.) Perhatikan bahwa ketaksamaan |fn (x) − f (x)| < setara dengan f (x) − < fn (x) < f (x) + . Bila ini berlaku untuk setiap n ≥ N dan x ∈ A, maka grafik fungsi fn pada A berada di antara ‘pita’ [f − , f + ] yang mempunyai lebar 2 dan median grafik fungsi f , sebagaimana diilustrasikan dalam Gambar 16.1.
126
Hendra Gunawan
Gambar 16.1 Pita dengan lebar 2 dan median grafik fungsi f Contoh 2. Barisan fungsi hfn i dengan fn (x) := xn , x ∈ [0, 1], tidak konvergen seragam ke f pada [0, 1], dengan 0, 0 ≤ x < 1; f (x) := 1, x = 1. Di sini, pita [f − 41 , f + 41 ] tidak akan memuat grafik fn untuk n berapa pun. Lemma berikut (yang merupakan negasi dari definisi kekonvergenan seragam) dapat dipakai untuk menyelediki ketidakkonvergenan seragam suatu barisan fungsi. Lemma 3. Barisan fungsi hfn i tidak konvergen seragam ke fungsi f pada A jika dan hanya jika untuk suatu 0 > 0 terdapat subbarisan hfnk i dari hfn i dan barisan bilangan hxk i di A sedemikian sehingga |fnk (xk ) − f (xk )| ≥ 0 . Dengan menggunakan Lemma 3, ketidakkonvergenan seragam barisan fungsi 1/k . dalam Contoh 2 dapat dibuktikan dengan mengambil 0 = 41 , nk = k dan xk = 12 Di sini kita mempunyai 1 1 |fnk (xk ) − f (xk )| = − 0 = > 0 . 2 2 Ketidakkonvergenan seragam barisan dalam Contoh 2 juga dapat dijelaskan dengan teorema di bawah ini (yang mengatakan bahwa kekonvergenan seragam mempertahankan sifat kekontinuan).
Pengantar Analisis Real
127
Teorema 4. Misalkan hfn i konvergen seragam ke f pada suatu interval I ⊆ R. Jika fn kontinu di c ∈ I untuk tiap n ∈ N, maka f juga kontinu di c. Bukti. Diberikan > 0, pilih N ∈ N sedmeikian sehingga untuk setiap n ≥ N dan x ∈ I berlaku |fn (x) − f (x)| < . 3 Karena fN kontinu di c, maka suatu interval Iδ (c) ⊆ I yang memuat c sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ Iδ (x) berlaku |fN (x) − f (x)| <
. 3
Jadi, untuk setiap x ∈ Iδ (c), kita mempunyai |f (x) − f (c)| ≤ |f (x) − fN (x)| + |fN (x) − fN (c)| + |fN (c) − f (c)| <
+ + = . 3 3 3
Ini membuktikan bahwa f kontinu di c. Soal Latihan 1. Selidiki apakah masing-masing barisan fungsi di bawah ini konvergen seragam ke limitnya. (a) fn (x) :=
xn n ,
x ∈ [0, 1].
(b) fn (x) := nx(1 − x2 )n , x ∈ [0, 1]. (c) fn (x) :=
x n,
(d) fn (x) :=
x2n 1+x2n ,
(e) fn (x) :=
sin√nx , n x
x ∈ R. x ∈ R. x > 0.
2. Buktikan jika hfn i dan hgn i konvergen seragam ke f dan g pada A (berturutturut), maka hfn + gn i konvergen seragam ke f + g pada A. 3. Misalkan fn (x) := x + n1 dan f (x) = x, x ∈ R. Buktikan bahwa hfn i konvergen seragam ke f pada R, namun hfn2 i tidak konvergen seragam ke f 2 pada R.
128
Hendra Gunawan
16.3 Kriteria Cauchy untuk Kekonvergenan Seragam Dalam membahas kekonvergenan seragam, seringkali kita terbantu dengan pengertian norma seragam berikut. Ingat bahwa untuk A ⊆ R, fungsi f : A → R dikatakan terbatas pada A apabila f (A) merupakan himpunan terbatas. Sekarang, jika f terbatas pada A, maka kita definisikan norma seragam f pada A sebagai kf kA := sup {|f (x)| : x ∈ A}. Perhatikan bahwa kf kA < setara dengan |f (x)| < untuk tiap x ∈ A. Menggunakan norma seragam, kita mempunyai lemma berikut tentang kekonvergenan seragam. Lemma 5. Misalkan fn terbatas pada A untuk tiap n ∈ N. Maka, barisan hfn i konvergen seragam ke f pada A jika dan hanya jika lim kfn − f kA = 0. n→∞
Dengan menggunakan Lemma 5, kita juga dapat membuktikan ketidakkonvergenan seragam barisan fungsi dalam Contoh 2, dengan menghitung bahwa kfn − f k[0,1] = 1 untuk tiap n ∈ N. Dengan menggunakan norma seragam, kita peroleh pula kriteria berikut untuk kekonvergenan seragam suatu barisan fungsi. Teorema 6 (Kriteria Cauchy untuk Kekonvergenan Seragam). Misalkan fn terbatas pada A untuk tiap n ∈ N. Maka, barisan hfn i konvergen seragam ke suatu fungsi terbatas f pada A jika dan hanya jika untuk setiap > 0 terdapat N ∈ N sedemikian sehingga untuk sembarang m, n ≥ N berlaku kfm − fn k < . Bukti. Misalkan hfn i konvergen seragam ke f pada A. Diberikan > 0 sembarang, pilih N ∈ N sedemikian sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku kfn − f kA < 2 . Akibatnya, jika m, n ≥ N , maka |fm (x) − fn (x)| ≤ |fm (x) − f (x)| + |fn (x) − f (x)| < + = 2 2 untuk tiap x ∈ A. Jadi kfm − fn kA < untuk m, n ≥ N . Sebaliknya, misalkan untuk setiap > 0 terdapat N ∈ N sedemikian sehingga untuk m, n ≥ N kita mempunyai kfm − fn kA < . Maka, untuk setiap x ∈ A, berlaku |fm (x) − fn (x)| ≤ kfm − fn kA < ,
Pengantar Analisis Real
129
untuk m, n ≥ N . Ini berarti bahwa hfn (x)i merupakan barisan Cauchy di R, dan karenanya ia merupakan barisan yang konvergen, katakanlah ke f (x). Selanjutnya, untuk setiap x ∈ A, kita mempunyai |fm (x) − f (x)| = lim |fm (x) − fn (x)| ≤ , n→∞
untuk m ≥ N . Ini menunjukkan bahwa hfn i konvergen seragam ke f pada A. Soal Latihan 1. Buktikan Lemma 5. 2. Misalkan hfn i dan hgn i adalah barisan fungsi terbatas pada A, yang konvergen seragam ke f dan g pada A (berturut-turut). Tunjukkan bahwa hfn gn i konvergen seragam ke f g pada A. 3. Misalkan hfn i adalah barisan fungsi pada A dan |fn (x)| ≤ Mn untuk tiap x ∈ A P∞ P∞ dan n ∈ N. Buktikan jika k=1 Mk konvergen, maka deret fungsi k=1 fk konvergen seragam pada A.
