PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290. Vol 2, November 2011
(MS.2) KEKONVERGENAN BARISAN FUNGSI TURUNAN BERORDE FRAKSIONAL Endang Rusyaman, Kankan Parmikanti, Iin Irianingsih Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jl. Raya Bandung Sumedang Km 21 Jatinangor Email :
[email protected]
Abstrak Misalkan adalah orde turunan fraksional suatu fungsi. Jika diambil dari suku-suku barisan bilangan real, maka fungsi turunan berorde akan membentuk barisan fungsi yang akan disebut sebagai barisan fungsi turunan fraksional. Dalam makalah ini akan disampaikan hasil penelitian yang menunjukkan bahwa jika barisan bilangan dari orde fraksional itu konvergen ke suatu bilangan, maka barisan fungsinya juga akan konvergen ke suatu fungsi turunan fraksional yang berorde sesuai dengan titik kekonvergenan barisan bilangan tersebut. Pembahasan kekonvergenan akan meliputi kekonvergenan pointwise dan kekonvergenan uniform. Kata Kunci : Barisan fungsi, kekonvergenan, turunan fraksional, pointwise, uniform.
1. PENDAHULUAN Konsep derivative atau turunan dari suatu fungsi, secara tradisional senantiasa dihubungkan dengan bilangan asli. Artinya jika kita mempunyai sebuah fungsi, maka kita dapat menentukan turunan ke-1 , ke-2 , ke-3 dan seterusnya. Ide generalisasi dari konsep ini adalah, bagaimana menentukan turunan ke- dari suatu fungsi dengan adalah suatu n
bilangan real. Jadi jika sebelumnya kita kenal notasi Dt f (x) = f (n) (x) sebagai turunan ke-n dari fungsi f(x) dengan n adalah bilangan asli, maka sebagai generalisasi dari bentuk
tersebut diperkenalkan notasi Dt f (x ) sebagai turunan ke- dari fungsi f(x), dengan suatu bilangan real.[4] Dalam [1, 2, 5] telah didefinisikan dan dibahas tentang turunan fraksional berorde dari fungsi f(x) , yaitu
D x f (x ) = lim h 0
1 hn
n
i
1 i 0
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
( 1) f ( x ih ) (i 1). ( i 1)
(1)
253
PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
dimana
=
ISSN : 2087-5290. Vol 2, November 2011
. Dengan demikian jika f(x) = x p , maka dengan menggunakan definisi (1)
di atas diperoleh
Dx x p
( p 1) x p . ( p 1 )
=
(2)
Selain itu, dalam [3] diperoleh hasil bahwa jika f(x) = sin x, maka turunan fraksional orde dari f(x) adalah =
+
.
(3)
Apabila dari turunan fraksional suatu fungsi ini dibentuk suatu barisan fungsi, berikut akan disampaikan hasil kajian tentang bagaimana hubungan kekonvergenannya dengan barisan orde fraksional itu sendiri.
2. PEMBAHASAN Misalkan diambil bilangan real
untuk n = 1, 2, 3, . . . dan f suatu fungsi sembarang. Dengan
mencari turunan fraksional dari f berorde =
, maka akan diperoleh barisan fungsi turunan
. Dalam pembahasan ini akan disampaikan hasil penelitian yang menunjukkan
bahwa dengan menambahkan syarat-syarat tertentu, jika barisan bilangan dari orde fraksional itu konvergen ke suatu bilangan, maka barisan fungsinya juga akan konvergen ke suatu fungsi turunan fraksional yang berorde sesuai dengan titik kekonvergenan barisan bilangan tersebut. Pernyataan tersebut secara formal adalah sebagai berikut. Teorema: Misalkan ( ( )=
) barisan bilangan real dan f suatu fungsi dengan
( ) ada nilainya untuk setiap n. Jika (
maka barisan fungsi (
Bukti: Diketahui (
( )) =
) konvergen ke dan
( ) konvergen ke
( ) ada,
( ).
) konvergen ke berarti untuk setiap > 0 terdapat bilangan asli N
sehingga untuk n > N berlaku |
− | < , atau lim
→∞
=
.
Dengan menggunakan sifat-sifat limit diperoleh lim
→∞
( ) = lim
→∞
( ) = lim
→∞
= ( + 1)
. lim
= ( + 1)
.
→∞
( + 1) ( + 1 − )
1 ( + 1 −
1 lim ( + 1 − →∞
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
). ) . lim
→∞
254
PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
=
( + 1) ( + 1 − ) .
=
( + 1) ( + 1 − ) ( )=
=
( )
Hal ini menunjukkan bahwa barisan fungsi ( (titik demi titik) ke
ISSN : 2087-5290. Vol 2, November 2011
( )) =
( )
konvergen pointwise
( ).
Sebagai ilustrasi, berikut diberikan dua contoh yang menunjukkan kekonvergenan yang ditunjukkan pada teorema di atas. Contoh 1: Diberikan sebuah barisan bilangan real (
)=
f(x) = x 2 . Dengan demikian diperoleh barisan fungsi (
yang konvergen ke = 1 dan fungsi ( )) =
yang berdasarkan
rumus (3) adalah: -
Turunan fraksional orde
=
dari f(x) = x 2 adalah
( )=
-
Turunan fraksional orde
=
dari f(x) = x 2 adalah
( )=
-
Turunan fraksional orde
=
dari f(x) = x 2 adalah
( )=
Jadi ketika (
)=
( ) ( ) ( )
konvergen ke = 1 , maka secara bersamaan barisan (
akan konvergen ke ( ) =
( ) ( )
= 2 yang tiada lain adalah (
)=
( )) ( ).
Pola kekonvergenan dari barisan fungsi tersebut terlihat dalam Gambar-1, mulai dari grafik di bawah menuju yang di atas.
Gambar-1
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
Gambar-2
255
PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290. Vol 2, November 2011
Contoh 2: Diberikan sepuluh buah bilangan real (
)=
Dengan demikian diperoleh barisan fungsi (
,
,
( )) =
, … , 1 dan fungsi f(x) = sin x . sin
yang berdasarkan rumus
(4) adalah: -
( )=
,
sin = sin
+
-
( )=
,
sin = sin
+
dan seterusnya sehingga diperoleh
, ,
( ) = sin
+
= cos
=
sin =
( ).
Pola kekonvergenan dari barisan fungsi tersebut terlihat dalam Gambar-2, mulai dari grafik sinus di bawah sebelah kiri menuju grafik cosinus di bawah sebelah kanan.
Dari kedua contoh di atas dapat dibuktikan bahwa ke
( ) konvergen uniform (seragam)
( ).
Keberadaan syarat perlu dari teorema di atas, yaitu
( )=
( ) dan
( ) ada
nilainya, benar-benar sangat penting, karena dapat ditunjukkan melalui contoh penyangkal bahwa bila syarat perlu tersebut dihilangkan, maka teorema tidak dijamin keberlakuannya.
Contoh 3: Diberikan sepuluh buah bilangan real (
)=
,
1 menunjukkan nilai turunan fraksional berorde
Dari Tabel 1 terlihat bahwa dalam hal barisan (
) yang genapnya saja maka
,
, … , 1 dan fungsi f(x) = | |. Tabel
dari f di bilangan real x.
( )=
( ) tidak ada nilainya, jika diambil ( )
tetap tidak konvergen. Hal ini
menunjukkan bahwa teorema tidak berlaku apabila syarat perlu tidak dipenuhi.
3. PENUTUP Mengingat keterbatasan fungsi yang menjadi kajian penelitian ini, maka perlu penelitian lebih lanjut dengan menggunakan fungsi yang lebih umum, sehingga keberlakuan teorema di atas akan lebih sahih.
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
256
PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290. Vol 2, November 2011
Tabel 1. Nilai Turunan Fraksional berorde Nilai ,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( ) ( )
di x < 0
di x = 0
Tidak ada nilai
Tidak ada nilai
−
(2) (1,8 )
,
Tidak ada nilai −
(2) (1,6)
,
Tidak ada nilai −
(2) (1,4 )
,
Tidak ada nilai −
(2) (1,2 )
,
0 Tidak ada nilai 0 Tidak ada nilai 0 Tidak ada nilai 0
Tidak ada nilai
Tidak ada nilai
-1
Tidak ada nilai
di x > 0 (2) (1,9 ) (2) (1,8 ) (2) (1,7 ) (2) (1,6 ) (2) (1,5 ) (2) (1,4 ) (2) (1,3 ) (2) (1,2) (2) (1,1 ) 1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
4. DAFTAR PUSTAKA [1] Eric Weisstein , 2007 , Fractional Derivative, http://mathworld. wolfram. Com /fractionalDerivative.html , Download 10/05/2007. [2] Grunwald-Letnikov, Fractional Differentiation, http://planetMath.Org ./ Fractional Differentiation.htm, Download 04/06/2007 [3] H. Gunawan, F. Pranolo, E. Rusyaman, 2007, An Interpolation Method That Minimizes an Energy Integral of Fractional Order. Singapore: Proceeding of Asian Symposium of Computer Mathematics. [4] Kankan Parmikanti dan Endang Rusyaman, 2008, Turunan Fraksional dan Aplikasinya, Seminar Nasional Matematika di Universitas Padjadjaran Bandung. [5] Mauro Bologna, Short Introduction to Fractional Calculus, http://www.uta.cl/charlas/ vol19 / Download 17/07/2007 [6] Oldham, K.B. and Spanier, J., 1974, The Fractional Calculus: Integration and Differentiation, York: Academik Press.
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
257
