BAB 6 : GEOMETRI KOORDINAT. Sesi 1. Jarak dan titik tengah antara dua titik. Contoh 1. Cari jarak di antara titik P( 6, 2) dan titik Q(6, 3)

BAB 6 : GEOMETRI KOORDINAT Sesi 1 Jarak dan titik tengah antara dua titik 𝑦 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 )

𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑥 Jarak 𝐴𝐵 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 𝑥1 +𝑥2 𝑦1 +𝑦2

Titik tengah 𝐴𝐵 = (

2

,

2

)

Contoh 1 Cari jarak di antara titik 𝑃(−6 , −2) dan titik 𝑄(6 , 3). Penyelesaian Jarak 𝑃𝑄 = √(6 + 6)2 + (3 + 2)2 = √122 + 52 = √144 + 25 = √169 = 13 unit Contoh 2 Jarak di antara titik 𝐴(−4 , 2) dan titik 𝐵(2 , 𝑘) ialah 10 unit. Cari nilai-nilai 𝑘. Penyelesaian Jarak 𝐴𝐵 = 10 √(2 + 4)2 + (𝑘 − 2)2 = 10 √62 + (𝑘 − 2)2 = 10 62 + (𝑘 − 2)2 = 100 36 + (𝑘 − 2)2 = 100 (𝑘 − 2)2 = 100 − 36 (𝑘 − 2)2 = 64 𝑘 − 2 = ±√64 𝑘 − 2 = ±8 40

⇒𝑘−2=8 𝑘 = 10

atau

𝑘 − 2 = −8 𝑘 = −6

Contoh 3 Cari koordinat titik tengah 𝑀 bagi garis lurus yang menyambungkan titik 𝑃(−7 , 5) dan 𝑄(3 , 1). Penyelesaian −7+3

𝑀=(

2 4

,

5+1 2

)

6

= (− 2 , 2) = (−2 , 3)

Contoh 4 Titik tengah bagi 𝐴(ℎ , −2) dan 𝐵(−6 , 𝑘) ialah (−1 , 3). Cari nilai ℎ dan 𝑘. Penyelesaian Titik tengah 𝐴𝐵 = (−1 , 3) (

ℎ−6 2

⇒

,

−2+𝑘

ℎ−6 2

2

) = (−1 , 3)

=

ℎ − 6 = −2 ℎ= ∴

−2+𝑘 2

=

−2 + 𝑘 = 6 𝑘=

41

Sesi 2 Koordinat titik yang membahagikan tembereng garis dengan nisbah 𝒎: 𝒏

𝑦 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 ) 𝑛 𝑚 𝑃(𝑥, 𝑦) 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑥 𝑛𝑥1 + 𝑚𝑥2 𝑛𝑦1 + 𝑚𝑦2 𝑃(𝑥 , 𝑦) = ( , ) 𝑚+𝑛 𝑚+𝑛

Contoh 1 Titik 𝐴(1 , −2), 𝑃 dan 𝐵(4 , 7) terletak pada suatu garis lurus. Jika 𝑃 membahagikan 𝐴𝐵 dengan nisbah 2: 1, cari koordinat 𝑃. Penyelesaian 𝐵(4,7) 1 𝑃 2 𝐴(1, −2) 2(4)+1(1)

𝑃=(

,

2+1 8+1 14−2

=(

,

3 9

3

2(7)+1(−2) 2+1

)

)

12

= (3 , 3 ) =( , )

Contoh 2 Titik 𝐴(7 , −5), 𝑃(3 , −1) dan 𝐵 terletak pada satu garis lurus. Jika 𝑃 membahagikan 𝐴𝐵 dengan nisbah 2: 3, cari koordinat 𝐵.

42

Penyelesaian 𝐵(𝑥, 𝑦) 3 𝑃(3, −1) 2 𝐴(7, −5) Katakan 𝐵(𝑥 , 𝑦) (

3(7)+2𝑥

3(−5)+2𝑦

,

3+2 21+2𝑥

(

,

5

3+2 −15+2𝑦

⇒

5

) = (3 , −1)

) = (3 , −1)

21+2𝑥 5

=3

21 + 2𝑥 = 2𝑥 = −6 𝑥= ∴

−15+2𝑦 5

=

−15 + 2𝑦 = −5 2𝑦 = 10 𝑦= ⇒ 𝐵(−3 , 5)

Contoh 3 Titik 𝐿(𝑝 , 3) membahagikan 𝐾𝑀 dengan nisbah 𝑚: 𝑛. Koordinat 𝐾 dan 𝑀 masing-masing ialah (−10 , 6) dan (−2 , −6). Cari a) 𝑚: 𝑛 , b) nilai 𝑝 Penyelesaian 𝐾(−10, 6) 𝐿(𝑝, 3) 𝑀(−2, −6)

43

a) ( (

𝑚(−2)+𝑛(−10) 𝑚+𝑛 −2𝑚−10𝑛

,

,

𝑚(−6)+𝑛(6)

𝑚+𝑛 −6𝑚+6𝑛

𝑚+𝑛 −6𝑚+6𝑛 𝑚+𝑛

𝑚+𝑛

) = (𝑝 , 3)

) = (𝑝 , 3)

=

−6𝑚 + 6𝑛 = 3𝑚 + 3𝑛 −6𝑚 − 3𝑚 = 3𝑛 − 6𝑛 −9𝑚 = −3𝑛 𝑚 = 𝑛 𝑚 𝑛

=

⇒ 𝑚: 𝑛 = ∶ b) 𝑝 =

−2𝑚−10𝑛

= =

𝑚+𝑛 −2(1)−10(3) 1+3 −2−30 4

=

44

Sesi 3 Luas segitiga 𝑦 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 )

𝐵(𝑥2 , 𝑦2 )

𝐶(𝑥3 , 𝑦3 ) 𝑥 Luas ∆𝐴𝐵𝐶 1 𝑥1 𝑥2 = |𝑦 𝑦 2 1 2

𝑥3 𝑥1 𝑦3 𝑦1 |

1

= 2 |𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦3 + 𝑥3 𝑦1 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑦2 𝑥3 − 𝑦3 𝑥1 | Contoh 1 Cari luas segitiga 𝑃𝑄𝑅 dengan 𝑃, 𝑄 dan 𝑅 masing-masing ialah (5 , −2), (3 , 4) dan (−6 , −1). Penyelesaian Luas ∆𝑃𝑄𝑅 1

= 2 |20 + (−3) + 12 − (−6) − (−24) − (−5)| 1

= 2 |20 − 3 + 12 + 6 + 24 + 5| 1

= 2 |64| 1

= 2( =

) 𝑢𝑛𝑖𝑡 2

Contoh 2 Diberi titik (−2 , −1), (2 , 𝑘) dan (10 , 5) adalah segaris, cari nilai 𝑘. Penyelesaian 1 2 1 2 1 2

−2 2 10 −2 | |=0 −1 𝑘 5 −1 |−2𝑘 + 10 + (−10) − (−2) − 10𝑘 − (−10)| = 0 |−2𝑘 + 10 − 10 + 2 − 10𝑘 + 10| = 0 45

1 2

|−12𝑘 + 12| = 0 |−12𝑘 + 12| = 0 −12𝑘 + 12 = 0 −12𝑘 = −12 ∴𝑘=1

Contoh 3 Titik-titik (−1 , −3), (5 , 𝑘) dan (−4 , −1) ialah bucu-bucu sebuah segitiga. Diberi luas segitiga itu ialah 15 𝑢𝑛𝑖𝑡 2 , cari nilai-nilai 𝑘. Penyelesaian 1 2 1 2 1 2 1 2

−1 5 −4 −1 | | = 15 −3 𝑘 −1 −3 |−𝑘 + (−5) + 12 − (−15) − (−4𝑘) − 1| = 15 |−𝑘 − 5 + 12 + 15 + 4𝑘 − 1| = 15 |

| = 15

|3𝑘 + 21| = 30 ⇒ 3𝑘 + 21 = 3𝑘 = 𝑘=

atau

3𝑘 + 21 = 3𝑘 = 𝑘=

46

Sesi 4 Pintasan-𝒙 dan pintasan-𝒚 𝑦

𝐵(0, 3)

𝐴(2, 0) 𝑥 Pintasan-𝑥 = 2 Pintasan-𝑦 = 3

Kecerunan garis lurus 𝑦

𝑄(𝑥2 , 𝑦2 )

𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ) 𝑥 𝑦 −𝑦

Kecerunan, 𝑚 = 𝑥2 −𝑥1 2

1

𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛−𝑦

Juga, 𝑚 = − (𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛−𝑥 )

Contoh 1 Cari kecerunan garis lurus yang menyambungkan titik 𝑅(−5 , 6) dan titik 𝑆(−4 , −2). Penyelesaian −2−6

𝑚𝑅𝑆 = −4−(−5) =

−8 1

= −8

47

Contoh 2 Kecerunan bagi garis yang menyambungkan titik (−2 , 𝑘) dan (1 , 9) ialah 2. Cari nilai 𝑘. Penyelesaian 𝑚=2 9−𝑘 1+2 9−𝑘 3

=2 =2

9−𝑘 = −𝑘 = −3 𝑘=

Contoh 3 Diberi titik (−1 , −2), (2 , 𝑘) dan (4 , 8) terletak pada satu garis lurus. Cari nilai 𝑘. Penyelesaian (4, 8)

(2, 𝑘) (−1, −2) 8−(−2)

𝑚1 = 4−(−1) =

10 5

= 8−𝑘

𝑚2 = 4−2 =

8−𝑘 2

𝑚1 = 𝑚2 =

8−𝑘 2

4= 8−𝑘 −4 = −𝑘 ∴𝑘=4

48

Contoh 4 𝑦 𝐴

-2

𝑥

0

-5 𝐵 Cari kecerunan garis lurus 𝐴𝐵. Penyelesaian 𝑚=

−(−5) −2 5

= −2

5

= −2

49

Sesi 5 Persamaan garis lurus 1. 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 2. Bentuk pintasan : 𝑥 𝑦 + 𝑏 = 1, dengan 𝑎 ialah pintasan-𝑥, 𝑎 𝑏 ialah pintasan-𝑦 3. Bentuk am : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

Contoh 1 1

Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (7 , −2) dan mempunyai kecerunan − 3. Penyelesaian 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 1

𝑦 − (−2) = − 3 (𝑥 − 7) 1

7

𝑦 + 2 = −3𝑥 + 3 1

7

1

1

6

𝑦 = −3𝑥 + 3 − 3 𝑦 = −3𝑥 + 3 3𝑦 = −𝑥 + 1

Contoh 2 Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (−3 , 5) dan (1 , −7). Penyelesaian 𝑚= =

−7−5 1+3 −12 4

= −3 𝑦 − 5 = −3(𝑥 + 3) 𝑦 − 5 = −3𝑥 − 9 𝑦 = −3𝑥 − 4

50

Contoh 3 Cari persamaan garis lurus dengan pintasan-𝑥 dan pintasan-𝑦 masing-masing ialah 2 dan −6. Penyelesaian 𝑥 𝑎 𝑥

𝑦

+𝑏 =1 𝑦

+ (−6) = 1 2

𝑥 2

𝑦

−6=1

Contoh 4 Tukarkan persamaan berikut kepada bentuk am. 2

a) 𝑦 = 3 𝑥 − 2 b)

𝑥

6

𝑦

+ 12 = 1

Penyelesaian 2

a) 𝑦 = 3 𝑥 − 2 (× 3) ∶ 3𝑦 = 2𝑥 − 6 0 = 2𝑥 − 3𝑦 − 6 2𝑥 − 3𝑦 − 6 = 0 b)

𝑥 6

𝑦

+ 12 = 1 𝑥

𝑦

(× 12) ∶ (12) ( ) + (12) ( ) = (12)(1) 6 12 2𝑥 + 𝑦 = 12 2𝑥 + 𝑦 − 12 = 0

51

Sesi 6 Kecerunan dan pintasan garis lurus Contoh 1 Cari kecerunan dan pintasan-𝑦 bagi yang berikut : a) 3𝑥 + 4𝑦 = 2 b) 𝑦 − 5 = 2𝑥 Penyelesaian a) 3𝑥 + 4𝑦 = 2 4𝑦 = −3𝑥 + 2 𝑦= 𝑦=

−3𝑥

2

+4

4 −3𝑥

1

+2

4

⇒𝑚=

−3 4 1

𝑐=2

b) 𝑦 − 5 = 2𝑥 𝑦 = 2𝑥 + 5 ⇒𝑚= 𝑐=

Contoh 2 Tulis persamaan garis lurus berikut dalam bentuk pintasan. Seterusnya, cari pintasan-𝑥, pintasan-𝑦 dan kecerunan garis lurus tersebut. a) 𝑥 − 𝑦 = 2 b) 𝑦 = 8 − 4𝑥 c) 𝑦 − 2𝑥 = 4 d) 2𝑦 = 5𝑥 + 10 Penyelsaian a) 𝑥 − 𝑦 = 2 𝑥 𝑦 (÷ 2) ∶ − = 1 2 2 𝑥

2

𝑦

+ (−2) = 1

∴ 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑥 = 2 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑦 = −2

52

𝑚=

−(−2) 2 2

=2 =1 b) 𝑦 = 8 − 4𝑥 4𝑥 + 𝑦 = 8 4

𝑦

8

(÷ 8): 𝑥 + = 8 8 8 𝑥

2

𝑦

+8=1

∴ 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑥 = 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑦 = 𝑚= = c) 𝑦 − 2𝑥 = 4 𝑦

2

𝑦

𝑥

4

(÷ 4): − 𝑥 = 4 4 4 −2=1 4

−𝑥

𝑦

2

+4=1

(−2)

+4=1

𝑥

𝑦

∴ 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑥 = 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑦 = 𝑚= = d) 2𝑦 = 5𝑥 + 10 −10 = 5𝑥 − 2𝑦 5𝑥 − 2𝑦 = −10 (÷ −10):

5 −10

2

−10

𝑥 − −10 𝑦 = −10 𝑥 (−2)

𝑦

+5=1

∴ 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑥 = −2 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 − 𝑦 = 5 −5

𝑚 = −2 5

=2

53

Titik persilangan dua garis Contoh Cari titik persilangan bagi garis lurus 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0 dan 2𝑥 + 𝑦 = 3. Penyelesaian 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 1 2𝑥 + 𝑦 = 3

2

Daripada 2 : 2𝑥 + 𝑦 = 3 𝑦 = 3 − 2𝑥

3

1

Gantikan 3 ke dalam 1 : ⇒ 𝑥 + 2(3 − 2𝑥) + 3 = 0 𝑥 + 6 − 4𝑥 + 3 = 0 −3𝑥 + 9 = 0 −3𝑥 = −9 𝑥=3 ⇒ 𝑦 = 3 − 2(3) = 3−6 = −3 Titik persilangan ialah ( , )

54

Sesi 7 Garis selari Garis lurus 𝑦 = 𝑚1 𝑥 + 𝑐1 adalah selari dengan garis lurus 𝑦 = 𝑚2 𝑥 + 𝑐2 jika dan hanya jika 𝑚1 = 𝑚2 .

Contoh 1 Tentukan sama ada

𝑥 3

𝑦

+ 2 = 1 dan 9𝑦 + 6𝑥 = 5 selari atau tidak.

Penyelesaian 𝑥 3

𝑦

+2=1

𝑚1 =

−𝑦

=

𝑥 −2 3 2

= −3 9𝑦 + 6𝑥 = 5 9𝑦 = −6𝑥 + 5 𝑦= 𝑦=

−6

5

𝑥+9 9

−2 3

5

𝑥+9 2

𝑚2 = − 3 𝑚1 = 𝑚2 ⇒ Selari

Contoh 2 𝑘

Diberi bahawa garis lurus 2𝑦 + 4𝑥 = 5 adalah selari dengan garis lurus 𝑦 = − 3 𝑥 − 4. Cari nilai 𝑘. Penyelesaian 2𝑦 + 4𝑥 = 5 2𝑦 = −4𝑥 + 5 𝑦=

−4 2

5

𝑥+2 5

𝑦 = −2𝑥 + 2

55

𝑚1 = −2 𝑦=

−𝑘 3

𝑚2 =

𝑥−4

−𝑘 3

𝑚1 = 𝑚2 ⇒ −2 =

−𝑘 3

−6 = −𝑘 𝑘=6

Contoh 3 Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (−3 , 6) dan selari dengan garis 2𝑥 − 4𝑦 = 3. Penyelesaian 2𝑥 − 4𝑦 = 3 2𝑥 − 3 = 4𝑦 4𝑦 = 2𝑥 − 3 1

3

𝑦 = 2𝑥 − 4 ⇒𝑚= 1

𝑦 − 6 = 2 (𝑥 + 3) 1

3

𝑦 − 6 = 2𝑥 + 2 (× 2): 2𝑦 − 12 = 𝑥 + 3 0 = 𝑥 − 2𝑦 + 15 𝑥 − 2𝑦 + 15 = 0

56

Sesi 8 Garis serenjang Dua garis lurus dengan kecerunan 𝑚1 dan 𝑚2 adalah berserenjang jika dan hanya jika 𝑚1 𝑚2 = −1.

Contoh 1 𝑥

𝑦

Tentukan sama ada garis 3 + 2 = 1 dan 5𝑦 − 3𝑥 = 10 berserenjang atau tidak. Penyelesaian 𝑥 3

𝑦

+3=1 −2

⇒ 𝑚1 =

3

5𝑦 − 3𝑥 = 10 5𝑦 = 3𝑥 + 10 3

𝑦 = 5𝑥 + 2 3

𝑚2 = 5 𝑚1 𝑚2 =

−2 3

=

( )

3 5 −6 15 2

= −5 ⇒ Tidak berserenjang.

Contoh 2 Diberi garis lurus

𝑘 2

𝑥 + 𝑦 = 7 berserenjang dengan garis lurus 5𝑥 + 10𝑦 = 3. Cari nilai 𝑘.

Penyelesaian : 𝑘 2

𝑥+𝑦 =7 𝑘

𝑦 = −2𝑥 +7 𝑘

𝑚1 = − 2 5𝑥 + 10𝑦 = 3 10𝑦 = −5𝑥 + 3 5

3

𝑦 = − 10 𝑥 + 10 57

5

𝑚2 = − 10 𝑚1 𝑚2 = −1 𝑘

5

− 2 (− 10) = −1 𝑘 4

= −1

∴ 𝑘 = −4

Contoh 3 Cari persamaan garis lurus yang melalui (−1 , 2) dan berserenjang dengan garis 3𝑥 − 2𝑦 = 7 Penyelesaian 3𝑥 − 2𝑦 = 7 −2𝑦 = −3𝑥 + 7 3

7

𝑦 = 2𝑥 − 2 𝑚1 𝑚2 = −1 3 2

𝑚2 = −1 2

𝑚2 = −1 × 3 2

𝑚2 = − 3 2

𝑦 − 2 = − 3 (𝑥 + 1) (× 3) ∶ 3𝑦 − 6 = −2(𝑥 + 1) 3𝑦 − 6 = −2𝑥 − 2 2𝑥 + 3𝑦 − 4 = 0

Contoh 4 Diberi 𝐴(3 , −6) dan 𝐵(−2 , 4). Cari persamaan pembahagi dua sama serenjang 𝐴𝐵. Penyelesaian 4+6

𝑚𝐴𝐵 = −2−3 10

= −5 = −2 −2𝑚2 = −1 −1

𝑚2 = −2 1

=2 58

3−2

Titik tengah 𝐴𝐵 = (

2

,

−6+4 2

)

1

= (2 , 1) 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 1

1

𝑦 + 1 = 2 (𝑥 − 2) 1

1

𝑦 + 1 = 2𝑥 − 4 (× 4) ∶ 4𝑦 + 4 = 2𝑥 − 1 4𝑦 = 2𝑥 − 5 1

5

𝑦 = 2𝑥 − 4

Sesi 9 Lokus Contoh 1 Cari persamaan lokus bagi titik 𝑃 yang bergerak supaya jaraknya dari titik 𝐴(2 , 4) sentiasa 2 unit. Penyelesaian Katakan 𝑃 ialah (𝑥 , 𝑦), 𝑃𝐴 = 2 √(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 2 (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 4 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦 2 − 8𝑦 + 16 − 4 = 0 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 8𝑦 + 16 = 0

Contoh 2 Titik 𝐴 ialah (0 , 1) dan 𝐵(3 , 4). Titik 𝑃 bergerak dengan keadaan 𝑃𝐴: 𝑃𝐵 = 1: 2. Cari persamaan lokus titik 𝑃.

59

Penyelesaian Katakan 𝑃 ialah (𝑥 , 𝑦), 𝑃𝐴: 𝑃𝐵 = 1: 2 𝑃𝐴

1

=2 𝑃𝐵 2𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 ⇒ 2√(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 1)2 = √(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2 4[(𝑥)2 + (𝑦 − 1)2 ] = (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2 4(𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑦 + 1) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦 2 − 8𝑦 + 16 4𝑥 2 + 4𝑦 2 − 8𝑦 + 4 = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 8𝑦 + 25 3𝑥 2 + 3𝑦 2 + 6𝑥 − 21 = 0 (÷ 3) ∶ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 7 = 0

60