5. INTERPOLASI PENDAHULUAN Bentuk umum persamaan polinomial orde n adalah: f(x) = a0 + a1.x + a2.x2 + ….. + an.xn Untuk n+1 titik data, hanya terdapat satu polinomial orde n atau kurang yang melalui semua titik.
orde 1 menghubungkan 2 titik
orde 2 menghubungkan 3 titik
orde 3 menghubungkan 4 titik
Gambar 5.1
INTERPOLASI POLINOMIAL NEWTON Bentuk umum interpolasi polinomial orde n adalah: fn(x)=b0+b1.(x-x0)+b2.(x-x0).(x-x1)+...+bn.(x-x0).(x-x1)…(x-xn-1)
(5.1)
Persamaan interpolasi polinomial Newton orde 1, ditulis dalam bentuk, f1(x) = b0 + b1.(x-x0) (5.2) Berdasarkan titik data yang ada, kemudian dihitung koefisien b0 dan b1. Koefisien b0 dihitung dari pers. (5.2) dengan memasukkan nilai x = x0, f(x0) = b0 + b1.(x0-x0) b0 = f(x0) (5.3) Pers. (5.3) disubstitusikan ke pers. (5.2) dan kemudian dimasukkan nilai x = x1, maka diperoleh b1, f(x1) = f(x0) + b1.(x1-x0) f(x1 ) − f(x0 ) b1 = (5.4) x1 − x0 Persamaan interpolasi polinomial Newton orde 2, ditulis dalam bentuk, f2(x) = b0 + b1.(x-x0) + b2.(x-x0).(x-x1) (5.5) Berdasarkan titik data yang ada, kemudian dihitung koefisien b0, b1 dan b2. Koefisien b0 dihitung dari pers. (5.5) dengan memasukkan nilai x = x0, f(x0) = b0 + b1.(x0-x0) + b2.(x0-x0).(x0-x1) b0 = f(x0) (5.6) Pers. (5.6) disubstitusikan ke pers. (5.5) dan kemudian dimasukkan nilai x = x1, maka diperoleh b1, f(x1) = f(x0) + b1.(x1-x0) + b2.(x1-x0).(x1-x1) Ferianto Raharjo
Analisa Numerik
Interpolasi – 1
f(x1 ) − f(x0 ) (5.7) x1 − x0 Pers. (5.6) dan (5.7) disubstitusikan ke pers. (5.5) dan kemudian dimasukkan nilai x = x2, maka diperoleh b2, f(x1 ) − f(x0 ) f(x2) = f(x0) + .(x2-x0) + b2.(x2-x0).(x2-x1) x1 − x0 f(x1 ) − f(x0 ) .(x2 − x1 ) f(x2 ) − f(x1 ) − x1 − x0 b2 = (x2 − x0 ).(x2 − x1 ) atau f(x2 ) − f(x1 ) f(x1 ) − f(x0 ) − x2 − x1 x1 − x0 b2 = (5.8) x2 − x 0 b1 =
Persamaan interpolasi polinomial Newton orde n, ditulis dalam bentuk, fn(x)=b0+b1.(x-x0)+b2.(x-x0).(x-x1)+...+bn.(x-x0).(x-x1)…(x-xn-1) (5.9) Seperti yang dilakukan dengan orde 1 dan 2, titik-titik data dapat digunakan untuk mengevaluasi koefisien b0, b1, b2, ….. dan bn. Untuk interpolasi polinomial orde n, diperlukan n+1 titik data x0, x1, x2, ….., xn. Dengan menggunakan titik-titik data tersebut, persamaan berikut digunakan untuk mengevaluasi koefisien, b0 = f(x0) b1 = f[x1, x0] b2 = f[x2, x1, x0] (5.10) M bn = f[xn, xn-1, ….., x1, x0] dengan evaluasi fungsi berkurung ([…..]) adalah pembagian beda hingga. Bentuk pembagian beda hingga tersebut dapat digunakan untuk mengevaluasi koefisien-koefisien pada pers. (5.10), yang kemudian disubstitusikan ke dalam pers. (5.9) untuk mendapatkan interpolasi polinomial Newton. Pembagian beda hingga yang lebih tinggi terdiri dari pembagian beda hingga yang lebih rendah, seperti pada tabel 5.1. Tabel 5.1. Bentuk grafis pembagian beda hingga
i 0 1 2 3
xi x0 x1 x2 x3
Ferianto Raharjo
f(xi) f(x0) f(x1) f(x2) f(x3)
Satu f[x1, x0] f[x2, x1] f[x3, x2]
Dua f[x2, x1, x0] f[x3, x2, x1]
Analisa Numerik
Tiga f[x3, x2, x1, x0]
Interpolasi – 2
Contoh 5.1: Dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton orde 1, hitunglah nilai ln 4, apabila diketahui: ln 2=0,69314718 dan ln 6=1,791759469. Nilai eksak ln 4 = 1,386294361 Penyelesaian: i xi f(x1) Satu 0 2 0,69314718 0,274653072 1 6 1,791759469 f1(4) = 0,69314718 + 0,274653072.(x-2) = 1,242453324 Kesalahan, 1,386294361 − 1,242453324 εe = x100% = 10,38% 1,386294361 Contoh 5.2: Dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton orde 2, hitunglah nilai ln 4, apabila diketahui: ln 2 = 0,69314718, ln 3 = 1,098612289 dan ln 6 = 1,791759469. Nilai eksak ln 4 = 1,386294361 Penyelesaian: i xi f(xi) Satu Dua 0 2 0,69314718 0,405465109 -0,043604012 1 3 1,098612289 0,23104906 2 6 1,791759469 f2(4) = 0,69314718 + 0,405465109.(x-2) – 0,043604012.(x-2).(x-3) = 1,416869374 Kesalahan, 1,386294361 − 1,416869374 εe = x100% = -2,21% 1,386294361 Contoh 5.3: Dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton orde 3, hitunglah nilai ln 4, apabila diketahui: ln 2 = 0,69314718, ln 3 = 1,098612289, ln 5 = 1,609437912 dan ln 6 = 1,791759469. Nilai eksak ln 4 = 1,386294361 Penyelesaian: i xi f(xi) Satu Dua Tiga 0 2 0,69314718 0,405465109 -0,050017432 0,00641342 1 3 1,098612289 0,255412811 -0,024363751 2 5 1,609437912 0,182321557 3 6 1,791759469 Ferianto Raharjo
Analisa Numerik
Interpolasi – 3
f3(4) = 0,69314718 + 0,405465109.(x-2) – 0,050017432.(x-2).(x-3) + 0,00641342.(x-2).(x-3).(x-5) = 1,391215694 Kesalahan, 1,386294361 − 1,391215694 εe = x100% = -0,35% 1,386294361 Contoh 5.4: Misalkan anda memenangkan suatu undian, dan kepada anda diberikan pilihan untuk menerima Rp. 2.000.000,00 sekarang atau Rp. 700.000,00 setiap tahun selama 5 tahun. Hubungan antara nilai sekarang (P) dan sederetan pembayaran tahunan (A) diberikan oleh informasi berikut dari tabel bunga. Tingkat Suku Bunga (%) A/P (n = 5 tahun) 15 0,29832 20 0,33438 25 0,37185 30 0,41058 di mana A/P adalah perbandingan pembayaran tahunan terhadap keuntungan sekarang. Jadi bila tingkat suku bunga 15%, pembayaran 5 tahunan (A) yang ekivalen dengan pembayaran sekarang (P) Rp. 2.000.000,00 dihitung sebagai: A = (A/P).P = 0,29832.(Rp. 2.000.000,00) = Rp. 596.640,00 Gunakan interpolasi polinomial Newton orde 3 untuk menentukan tingkat suku bunga, di mana menerima Rp. 2.000.000,00 sekerang menjadi keputusan yang lebih baik. Penyelesaian: A = (A/P).P (Rp. 700.000) = (A/P).(Rp. 2.000.000,00) (A/P) = 0,35 i 0 1 2 3
xi 0,29832 0,33438 0,37185 0,41058
f(xi) 15 20 25 30
Satu 138,6577926 133,4400854 129,0988897
Dua -70,96024979 -56,97107218
Tiga 124,6140888
f3(0,35) = 15 + 138,6577926.(x-0,29832) – 70,96024979.(x-0,29832).(x-0,33438) + 124,6140888. (x-0,29832).(x-0,33438).(x-0,37185) = 22,10635468%
Ferianto Raharjo
Analisa Numerik
Interpolasi – 4
INTERPOLASI POLINOMIAL LAGRANGE Interpolasi polinomial Lagrange hampir sama dengan interpolasi polinomial Newton, tetapi tidak menggunakan bentuk pembagian beda hingga. Interpolasi polinomial Lagrange dapat diturunkan dari persamaan Newton. Interpolasi polinomial Lagrange orde 1 f1(x) = f(x0) + (x-x0).f[x1, x0] (5.11) Pembagian beda hingga yang ada pada pers. (5.11) mempunyai bentuk, f(x1 ) − f(x0 ) f[x1, x0] = x1 − x0 atau f(x1 ) f(x0 ) + (5.12) f[x1, x0] = x1 − x0 x0 − x1 Substitusi pers. (5.12) ke dalam pers. (5.11) memberikan hasil, x − x0 x − x0 f1(x) = f(x0) + .f(x1) + .f(x0) x1 − x0 x0 − x1 Dengan mengelompokkan suku di ruas kanan, maka persamaan di atas menjadi, x − x1 x − x0 x − x0 + .f(x0) + f1(x) = 0 .f(x1) x1 − x0 x0 − x1 x0 − x1 atau
x − x1 x − x0 .f(x0) + .f(x1) x0 − x1 x1 − x0 Pers. (5.13) dikenal sebagai interpolasi polinomial Lagrange orde 1. f1(x) =
(5.13)
Interpolasi polinomial Lagrange orde 2 Dengan prosedur yang sama, untuk interpolasi polinomial Lagrange orde 2 akan didapat: x − x1 x − x2 x − x0 x − x2 x − x0 x − x1 f2(x)= .f(x0)+ .f(x1)+ .f(x2) (5.14) x0 − x1 x0 − x2 x1 − x0 x1 − x2 x2 − x0 x2 − x1 Interpolasi polinomial Lagrange orde n Secara umum bentuk interpolasi Lagrange orde n adalah: fn(x) =
n
∑ L (x).f(x ) i
i =0
i
(5.15)
dengan Li(x) =
n
x − xj i − xj
∏x j=0
(5.16)
j≠i
di mana simbol ∏ merupakan perkalian. Dengan pers. (5.15) dan (5.16) dapat dihitung interpolasi Lagrange orde yang lebih tinggi. Misalnya untuk interpolasi Lagrange orde 3, persamaannya adalah: Ferianto Raharjo
Analisa Numerik
Interpolasi – 5
3
f3(x) = ∑ L i(x).f(xi ) = L0(x).f(x0)+L1(x).f(x1)+L2(x).f(x2)+L3(x).f(x3) i =0
dengan
x − x1 x − x2 x − x3 . . x0 − x1 x0 − x2 x0 − x3 x − x 0 x − x2 x − x3 L1(x) = . . x1 − x0 x1 − x2 x1 − x3 x − x0 x − x1 x − x3 L2(x) = . . x2 − x0 x2 − x1 x2 − x3 x − x0 x − x1 x − x2 . . L3(x) = x3 − x0 x3 − x1 x3 − x2 L0(x) =
Contoh 5.5: Dengan menggunakan interpolasi polinomial Lagrange orde 1, hitunglah nilai ln 4, apabila diketahui: ln 2=0,69314718 dan ln 6=1,791759469. Nilai eksak ln 4 = 1,386294361 Penyelesaian: x0 = 2 ð f(x0) = 0,69314718 x1 = 6 ð f(x1) = 1,791759469 x−6 x−2 f1(4) = .0,69314718 + .1,791759469 2−6 6−2 = 1,242453325 Kesalahan, 1,386294361 − 1,242453325 x100% = 10,38% εe = 1,386294361 Contoh 5.6: Dengan menggunakan interpolasi polinomial Lagrange orde 2, hitunglah nilai ln 4, apabila diketahui: ln 2 = 0,69314718, ln 3 = 1,098612289 dan ln 6 = 1,791759469. Nilai eksak ln 4 = 1,386294361 Penyelesaian: x0 = 2 ð f(x0) = 0,69314718 x1 = 3 ð f(x1) = 1,098612289 x2 = 6 ð f(x2) = 1,791759469 x−3 x−6 x−2x−6 f2(4) = . 0,69314718+ .1,098612289 2−32−6 3−2 3−6 x −2 x −3 + .1,791759469 6 −2 6 −3 = 1,416869373 Kesalahan, 1,386294361 − 1,416869374 εe = x100% = -2,21% 1,386294361 Ferianto Raharjo
Analisa Numerik
Interpolasi – 6
Contoh 5.7: Dengan menggunakan interpolasi polinomial Lagrange orde 3, hitunglah nilai ln 4, apabila diketahui: ln 2 = 0,69314718, ln 3 = 1,098612289, ln 5 = 1,609437912 dan ln 6 = 1,791759469. Nilai eksak ln 4 = 1,386294361 Penyelesaian: x0 = 2 ð f(x0) = 0,69314718 x1 = 3 ð f(x1) = 1,098612289 x2 = 5 ð f(x2) = 1,609437912 x3 = 6 ð f(x3) = 1,791759469 x −3 x −5 x −6 . . 2−3 2−5 2−6 x −2 x−5 x −6 . . L1(4) = 3−2 3−5 3−6 x −2 x−3 x −6 L2(4) = . . 5−2 5−3 5−6 x −2 x−3 x −5 L3(4) = . . 6 −2 6−3 6−5 L0(4) =
= -0,166666667 =
0,666666667
=
0.666666667
= -0,166666667
f3(4) = (-0,166666667).0,69314718 + 0,666666667.1,098612289 + 0.666666667.1,609437912 + (-0,166666667).1,791759469 = 1,391215693 Kesalahan, 1,386294361 − 1,391215693 εe = x100% = -0,35% 1,386294361
Ferianto Raharjo
Analisa Numerik
Interpolasi – 7
