PD Orde 2 Lecture 3 Rudy Dikairono
Today’s Outline • PD Orde 2 Linear Homogen • PD Orde 2 Linear Tak Homogen – Metode koefisien tak tentu – Metode variasi parameter
Beberapa Pengelompokan Persamaan Diferensial
Order of ODE’s
PD Orde 2 Linear Homogen • Bentuk umum persamaan diferensial linear orde 2
y + p( x) y + q( x) y = r ( x) ''
'
• Bentuk umum persamaan diferensial linear homogen orde 2
y + p( x) y + q( x) y = 0 ''
'
PD Orde 2 Linear Homogen y + p( x) y + q( x) y = 0 ''
'
Dengan
y=e , rx
y =r e ''
y = re , '
rx
2 rx
Dengan substitusi, didapatkan
r 2 e rx + p (re rx ) + q (e rx ) = 0 ⇔ e rx (r 2 + pr + q ) = 0
⇔ r + pr + q = 0 2
Persamaan bantu
Penyelesaian umum persamaan bantu r + pr + q = 0 2
1 2 r1 = (− p + p − 4q ) 2 1 2 r2 = (− p − p − 4q ) 2 Terdapat 3 kemungkinan penyelesaian yang mungkin.
Penyelesaian dengan kemungkinan 1 Jika r1 dan r2 adalah akar-akar riil berlainan dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari:
y + a1 y + a 2 y = 0 ''
'
adalah:
y = C1e + C 2 e r1 x
r2 x
Penyelesaian dengan kemungkinan 2 Jika r1 dan r2 adalah akar-akar kembar dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari:
y + a1 y + a2 y = 0 ''
'
adalah:
y = C1e + C 2 xe rx
rx
Penyelesaian dengan kemungkinan 3 Jika persamaan bantu memiliki akar-akar bilangan kompleks, a + bi dan a – bi, maka penyelesaian umum dari:
y + a1 y + a 2 y = 0 ''
'
adalah:
y = C1e
( a + bi ) x
+ C2e
( a −bi ) x
= e (C1e + C 2 e ax
bix
−bix
)
y = e ax (C1 cos bx + C1i sin bx + C2 cos bx − C2i sin bx) y = e (C1 + C2 ) cos bx + (C1 − C2 )i sin bx ax
y = e ( A cos bx + B sin bx) ax
Contoh1: Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan:
y + 7 y + 12 y = 0 ''
'
Penyelesaian:
r + 7r + 12 = 0 2
⇔ (r + 3)(r + 4) = 0 ⇒ r1 = −3, r2 = -4
y = C1e
−3 x
+ C2e
−4 x
Contoh2: Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan:
y '' − 6 y ' + 9 y = 0 Penyelesaian:
r 2 − 6r + 9 = 0 ⇔ (r − 3)(r − 3) = 0 ⇔ (r − 3) 2 = 0 ⇒ r1 = r2 = 3
y = C1e 3 x + C 2 xe 3 x
Contoh3: Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan:
y − 4 y + 13 y = 0 ''
'
Penyelesaian:
r 2 − 4r + 13 = 0 ⇒ r1 = 2 + 3i, r2 = 2 − 3i
y = Ae cos 3x + Be sin 3x 2x
2x
PD Orde 2 Linear Tak Homogen • Persamaan Diferensial dikatakan linear jika dapat ditulis menjadi: dimana p,q, dan r adalah fungsi kontinyu dari x. • Dan dikatakan homogen jika r(x) = 0; • Dan jika r(x) /= 0, maka persamaan PD 2 tersebut dikatakan tidak homogen.
• Penyelesaian untuk persamaan (1) adalah:
yp adalah penyelesaian partikular untuk (1)
• Untuk menyelesaikan yh dilakukan dengan penyelesaian PD 2 homogen. • Untuk penyelesaian yp dilakukan dengan dua cara yaitu: – Metode koefisien tak tentu – Metode variasi parameter
Metode Koefisien Tak Tentu • Rubah (1) menjadi: • Pilih bentuk penyelesain yp berdasarkan bentuk r(x) sesuai tabel berikut:
• Metode ini mempunyai 3 aturan: 1. Jika r(x) dalam (4) masuk dalam tabel, maka yp dapat diselesaikan berdasarkan nilai tabel yang sesuai. 2. Jika salah satu fungsi dari yp adalah suatu penyelesaian terhadap penyelesaian homogen, maka kalikan penyelesaian yp dengan x (atau dengan x2 jika persamaan homogennya adalah akar kembar). 3. Jika r(x) adalah penjumlahan dari fungsifungsi pada kolom pertama, maka penyelesaian yp adalah penjumlahan dari kolom ke dua.
Contoh aturan 1 • Selesaikan persamaan berikut: • Penyelesaian: Penyelesaian umum untuk yh adalah: r(x) = 0.001x2
Dengan substitusi didapatkan
Berdasarkan tabel
Penyelesaian untuk initial value
Contoh Aturan 2 • Selesaikan persamaan berikut:
Penyelesaian: Penyelesaian homogen
Penyelesaian non homogen Berdasarkan tabel, persamaan sebelah kanan e-1.5x menghasilkan Ce-1.5x. Tetapi fungsi ini juga merupakan penyelesaian untuk yh(akar kembar), sehingga kita kalikan dengan x2.
Dengan substitusi kita dapatkan: Dengan membandingkan koefisien x2, x1, x0 kita dapatkan 2C = -10, C = -5.
Penyelesaian untuk initial value
Contoh Aturan 3 • Selesaikan persamaan berikut: Penyelesaian: Penyelesaian homogen
Penyelesaian non homogen
Substitusi ke dalam persamaan diferensial kita dapatkan
Substitusi ke dalam persamaan diferensial kita dapatkan: Persamaan 1
Persamaan 2
Didapatkan
Hasil akhir
Penyelesaian untuk initial value
Metode Variasi Parameter • Persamaan linear non homogen Untuk r(x) yang tidak ada dalam tabel metode koefisien tak tentu, dapat diselesaikan dengan metode Lagrange
Dimana y1 dan y2 adalah penyelesaian homogen dari (1). Dan W adalah Wornskian dari y1 dan y2.
Contoh • Selesaikan persamaan berikut: Penyelesaian: Penyelesaian basis homogennya adalah Wornskian
Dari (2) kita dapatkan
Hasil akhirnya
Ide dari metode ini Penyelesaian umum PD adalah
Kita substitusikan yp dan turunannya berdasarkan (5), (7) dan (8) ke dalam (1)
y1 dan y2 adalah penyelesaian homogen persamaan di atas berubah menjadi
dan persamaan (6)
Untuk menghilangkan v’ kita kalikan (9a) dengan –y2 dan (9b) dengan y2’ dan ditambahkan, sehingga kita dapatkan
Untuk menghilangkan u’ kita kalikan (9a) dengan y1 dan (9b) dengan –y1’ dan ditambahkan, sehingga kita dapatkan
dan kita dapatkan
dan dengan integrasi kita dapatkan
Kita masukkan persamaan ini ke (5) kita dapatkan (2).
Thank you
