JARAK DUA TITIK KEGIATAN BELAJAR 2

Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom

KEGIATAN BELAJAR 2

JARAK DUA TITIK Setelah mempelajari kegiatan belajar 2 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menghitung jarak dua titik di bidang, 2. menghitung jarak dua titik di ruang, 3. menentukan koordinat titik pada ruas garis dengan perbandingan m:n. A. Jarak Dua Titik di Bidang Agar anda dapat memahami bagaimana cara menentukan jarak dua titik di bidang, bacalah ilustrasi di bawah ini. Ilustrasi 2.1 Perhatikanlah gambar 2.1 berikut ini.

Gambar 2.1. Tiga anak berdiri membentuk segitiga sikusiku-siku Pada gambar 2.1 tersebut pernahkan anda mengukur berapa jarak yang antara orang A dengan orang B? Untuk menjawab pertanyaan ilustrasi 2.1 tersebut bias diselesaikan dengan menggunakan rumus jarak dua titik di bidang. Untuk menemukan rumus jarak dua titik di bidang, lakukanlah kegiatan 2.1 di bawah ini.

[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

1


Kegiatan 2.1. Menentukan jarak dua titik di bidang Untuk menentukan jarak antara titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) lakukanlah langkahlangkah berikut ini. 1. Buatlah sistem koordinat kartesius pada bidang XY (dimensi 2). 2. Buatlah tiga titik berupa segitiga siku-siku, yang semua titik tersebut berada pada kuadran I. 3. Beri nama segitiga tersebut segitiga PQR, dimana titik tersebut yaitu titik P(x1, y1), titik Q yaitu Q(x2, y2) dan titik R adalah titik R(x2, y1) atau R(x1, y2) dengan titik R sebagai titik sudut siku-siku. 4. Kita akan peroleh || = | − | | | = | − | 5. karena ∆ PRQ merupakan segitiga siku-siku di R maka kita bisa menggunakan Teorema Phytagoras yaitu: | | = || + | | | | = − + −

= − + − 6. sehingga kita peroleh jarak antara titik P(x1,y2) ke Q(x2,y2) adalah

= − + − …(1) Dari kegiatan 2.1 tersebut anda telah memperoleh rumus jarak antara dua

buah titik di bidang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.1 berikut ini. Masalah 2.1 Tentukan jarak antara titik A(4,-7) dan B(-1,5). Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari kegiatan 2.1 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.1 dengan menggunakan rumus pada persamaan (1) tersebut, sehingga diperoleh = − + −

= −1 − 4 + 5 − −7

= √25 + 144 = √169 = 13 Jadi, jarak antara titik A ke B adalah 13.


2


B. Jarak Dua Titik di Ruang Lakukanlah kegiatan 2.2 di bawah ini agar anda dapat menetukan jarak dua titik di ruang. Kegiatan 2.2. Menentukan jarak dua titik di ruang Untuk menentukan jarak antara titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2) lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1. Buatlah sistem koordinat kartesius pada bidang XYZ (dimensi 3). 2. Buatlah bangun datar berupa balok, yang semua titik tersebut berada pada oktan I. 3. Beri nama titik balok tersebut dengan titik ABCPQDEF dengan titik P terhubung pula dengan titik B dan titik Q. 4. Kita akan peroleh || = | − | || = | − | | | = |" − " | 5. Berdasarkan Teorema Phytagoras maka diperoleh PB2 = PA2 + AB2, karena QB ⊥ bidang ABCP, berarti QB ⊥ PB sehingga diperoleh: PQ2 = PB2 + BQ2

PQ2 = PA2 + AB2 + BQ2 PQ2 = − + − + " − "

6. Sehingga diperoleh jarak antara titik P(x1,x2,x3) dan Q(y1,y2,y3) adalah

…(2) = − + − + $ − $ 7. selanjutnya jika jarak antara titik asal O(0,0,0) ke titik P(x1,x2,x3) maka diperoleh persamaan:

% = + + $

…(3)

Dari kegiatan 2.2 tersebut anda telah memperoleh rumus jarak antara dua buah titik di ruang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.2 berikut ini. Masalah 2.2 Tentukan jarak antara titik P(1,2,2) dan Q(3,5,4) pada gambar di bawah ini.


3


Gambar 2.2. Balok pada ruang (dimensi 3) Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari kegiatan 2.2 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.2 dengan menggunakan rumus pada persamaan (2) tersebut, sehingga diperoleh Titik A(1,2,2) dan B(3,5,4) Jarak PA = 2, jarak AB = 3 dan jarak BQ = 2 PQ2 = PB2 + BQ2 PQ2 = PA2 + AB2 + BQ2 PQ2 = 22 + 32 + 22 PQ2 = 4 + 9 + 4

= √17 Jadi, jarak antara titik P ke Q adalah √17. C. Koordinat Titik yang Membagi Ruas Ruas Garis PQ Atas Perbandingan m : n 2.1 Pembagian Luas Garis dalam Bidang lakukanlah kegiatan 2.3 di bawah ini agar anda dapat menetukan pembagian luas garis dalam bidang. Kegiatan 2.2. Pembagian luas garis dalam bidang Untuk menentukan koordinat suatu titik T yang terletak pada garis AB sehingga AT : TB = m : n, maka lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1. Buatlah sistem koordinat kartesius di bidang XY (dimensi 2). 2. Buatlah 3 titik ATB dengan A(x1,y1) dan B(x2,y2) dan T(xt,yt) terletak pada garis AB sehingga AT : TB = m : n, seperti terlihat pada gambar dibawah ini.


4


Gambar 2.3. Garis AB pada bidang (dimensi 2) 3. Selanjutnya, Perhatikan ∆AT1T dan ∆AB1B. Karena ∆AT1T sebangun dengan

∆ AB1B maka mengakibatkan AT : AB = RR1 : BB1, sehingga & − = − &+' & − = & + ' − & − & = & − & + ' − ' & + ' = & + ' & + ' = & + ' & + ' = &+' 4. Selanjutnya dengan cara yang sama, AT : AB = AT1 : AB1 & − = &+' − & − = & + ' − & − & = & − & + ' − ' & + ' = & + ' & + ' = & + ' & + ' = &+' 5. Dari langkah 3 dan 4 diperoleh koordinat titik T adalah (, = *

+,- . /,0 +1- . /10 +./

,

+./

2

…(4)

6. Jika T’ berada di tengah-tengah garis AB maka T membagi AB atas perbandingan m : n = 1 : 1 sehingga diperoleh koordinat titik T adalah (, = *

,- . ,0 1- . 10

,

2

…(5)

Dari kegiatan 2.3 tersebut anda telah memperoleh rumus koordinat titik T di bidang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.3 berikut ini. Masalah 2.3 Tentukan titik P yang terletak pada AB dengan A(-5, 1) dan B(3, -5), sehingga AP : PB = 3 : 5.


5


Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari kegiatan 2.3 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.3 dengan menggunakan rumus pada persamaan (4) tersebut, dengan diketahui m = 3 dan n = 5 sehingga diperoleh & + ' & + ' = 3 , 4 &+' &+' 33 + 5−5 3−5 + 51 = 5 , 6 3+5 3+5 −16 −10 = 3 , 4 8 8 5 = 3−2, − 4. 4 Setelah memahami masalah di atas, lanjutkanlah dengan mempelajari pembagian luas garis dalam ruang di bawah ini. 2.2. 2.2. Pembagian Luas Garis dalam Ruang lakukanlah kegiatan 2.4 di bawah ini agar anda dapat menetukan pembagian luas garis dalam ruang. Kegiatan 2.3. Pembagian luas garis dalam ruang Untuk menentukan koordinat suatu titik R yang terletak pada garis PQ sehingga PR : RQ = m : n, maka lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1.

Buatlah sistem koordinat kartesius di bidang XYZ (dimensi 3).

2.

Buatlah dua buah titik sembarang yaitu titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2). Titik R terletak pada garis PQ, sedemikian sehingga PR : RQ = m : n, seperti terlihat pada gambar di bawah ini.


6


Gambar 2.4. Titik R memotong garis AB 3. Proyeksikan garis PQ terhadap bidang XOY dengan hasil proyeksinya P’Q’. 4. Buat garis yang melalui R sejajar dengan P’Q’ (AB // P’Q’).

5. Perhatikan ∆ PAR dan ∆ BQR. Karena ∆ PAR sebangun dengan ∆ BQR maka

mengakibatkan PA : BQ = PR : RQ, sehingga diperoleh ": − " & = " − ": ' &" − ": = '": − " &" − &": = '": − '" &": + '": = &" + '" ": & + ' = &" + '" &" + '" ": = &+' 6. Dengan cara yang sama, jika garis PQ diproyeksikan ke bidang ZOX maka diperoleh persamaan

& + ' &+' 7. Dan jika garis PQ diproyeksikan ke bidang YOZ maka diperoleh persamaan: & + ' : = &+' 8. Sehingga diperoleh koordinat titik R adalah & + ' & + ' &" + '" : , : , ": = 3 , , 4 &+' &+' &+' 9. Jika R’ berada di tengah-tengah garis PQ maka R membagi PQ atas : =

perbandingan m : n = 1 : 1 sehingga diperoleh koordinat titik R adalah : , : , ": = *

,- . ,0 1- . 10 ;- . ;0

,

,

2

…(6)


7


10. Jika m : n = k, maka m = nk sehingga diperoleh persamaan koordinat titik R adalah

: , : , ": = *

CATATAN (1)

<,- . ,0 <1- . 10 <;- . ;0 .<

,

.<

,

.<

2 , =>&?'? @ ≠ −1

…(7)

Syarat : • Jika k > 0 maka R terletak di antara P dan Q. • Jika -1 < k < 0 maka R terletak di perpanjangan QP (pada pihak P). • Jika k = -1 maka menunjukkan suatu titik di tak berhingga. • Jika k < -1 maka R terletak di perpanjangan PQ (pada pihak Q). Dari kegiatan 2.4 tersebut anda telah memperoleh rumus koordinat titik R di ruang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.4 berikut ini. Masalah 2.4 Tentukan koordinat titik R sehingga membagi PQ dengan P(-4, 2,1), Q(6,4,2) dibagi atas -2 : 1 Penyelesaian Dari kegiatan 2.4 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.4 dengan menggunakan rumus pada persamaan (6) tersebut, dengan diketahui m = -2 dan n = 1 sehingga diperoleh & −2 @= = = −2 ' 1 @ + @ + @" + " = 3 , , 4 1+@ 1+@ 1+@ −26 + −4 −24 + 2 −22 + 1 = 5 , , 6 1 + −2 1 + −2 1 + −2 −16 −6 −3 = 3 , , 4 −1 −1 −1 = 16, 6, 3. Karena k = -2 berarti titik R terletak di perpanjangan PQ (pada pihak Q).

Selanjutnya, kerjakanlah latihan 2 di bawah ini untuk mencoba menyelesaikan sendiri persoalan yang diberikan.

Rangkuman 1. Jarak antara 2 titik, misalkan titik , ke , adalah

= − + − 2. Jarak antara 2 titik, misalkan titik , , $ ke , , $ adalah [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

8


= − + − + $ − $ 3. Jika titik asal O(0,0,0) ke titik , , B diperoleh persamaan

% = + + $ 4. Koordinat titik T yang terletak pada garis AB sehingga AT : TB = m : n

adalah

& + ' & + ' , 4 &+' &+' 5. Jika T’ berada di tengah-tengah garis AB maka T membagi AB atas (, = 3

perbandingan m : n = 1 : 1 sehingga diperoleh koordinat titik T adalah + + (, = 3 , 4 2 2 6. Koordinat titik R yang terletak pada garis PQ sehingga PR:RQ=m:n adalah & + ' & + ' &" + '" : , : , ": = 3 , , 4 &+' &+' &+' 7. Jika R’ berada di tengah-tengah garis PQ maka R membagi PQ atas perbandingan m : n = 1 : 1 sehingga diperoleh koordinat titik R adalah + + " + " : , : , ": = 3 , , 4 2 2 2 8. Jika m : n = k, maka m = nk sehingga diperoleh persamaan koordinat titik R adalah : , : , ": = 3

@ + @ + @" + " , , 4 , =>&?'? @ ≠ −1 1+@ 1+@ 1+@


9

JARAK DUA TITIK KEGIATAN BELAJAR 2

Recommend Documents