BAB 7 Hiperbola
HHiippeerrbboollaa
7.1. Persamaan Hiperbola Bentuk Baku Hiperbola adalah himpunan semua titik (x, y) pada bidang sedemikian hingga selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik fokus (foci) adalah tetap. Untuk menentukan persamaan hiperbola, misalkan kita pilih titik-titik fokus F dan F terletak pada sumbu-x. Sedangkan sumbu-y diletakkan di tengah-tengah segmen garis FF . Misalkan kita tentukan titik fokusnya adalah F (-c, 0) dan F(c, 0) sedangkan selisih jarak konstan tertentu adalah 2a. (lihat gambar 5.1). y Q(x, y)
P(x, y)
F (-c, 0)
F(c, 0)
x
Gambar 6.1
Latihan 6 C
231
BAB 7 Hiperbola
Jika (x, y) merepresentasikan titik pada hiperbola, maka dari definisi diperoleh
PF '
PF = 2a
( x ( c)) 2
y2
( x c) 2
( x c) 2
y2
=
y2
= 2a
( x c) 2
y 2 + 2a
(x + c)2 + y2 = (x
c)2 + y2 + 4a ( x c) 2
x2 + 2cx + c2 + y2
= x2 2cx + c2 + y2 + 4a2 + 4a ( x c) 2
-4a2 + 4cx = 4a ( x c) 2
cx = a
-a +
( x c) 2
y2
x2 2cx + c2 + y2
c2
a2 a
x2 a2
2
x2
y2
y2 c2
a2
( x c) 2
= -a +
y 2 + 4a2
y2
y2 y2
cx a
= a2 2cx +
c2 x2 a2
= c2 a2
=1
Dalam segitiga PFF terlihat bahwa
PF ' < PF + FF ' PF '
PF < FF ' 2a < 2c Latihan 6 C
232
BAB 7 Hiperbola
a
0 Karena c2
a2 adalah positif, maka bisa diganti dengan bilangan positif lain,
sebut b2 sehingga x2 a2
y2 =1 b2
dimana b2 = c2 a2. Ini merupakan bentuk baku persamaan hiperbola. Kedua sumbu koordinat
sumbu-x dan sumbu-y adalah sumbu simetri pada
hiperbola dan ( a, 0) adalah titik-titik potong dengan sumbu-x. Dalam hal ini tidak memotong sumbu-y, sebab untuk x = 0 diperoleh y2 b2
= 1,
yang mana tidak ada bilangan real y yang memenuhi persamaan di atas. Sumbu-x (yang memuat dua titik dari hiperbola) disebut sumbu tranversal (transverse axis) dan sumbu-y disebut sumbu sekawan (conjugate axes). Titik potong hiperbola dengan sumbu trasversal disebut titik ujung (dalam hal ini ( a, 0)) dan perpotongan kedua sumbu simetri disebut pusat hiperbola. Jarak antara kedua titik ujung adalah 2a dan disebut sumbu mayor dan besaran 2b disebut sumbu minor. Dalam hal ini panjang sumbu mayor tidak harus lebih besar dari sumbu minor. Hal ini berbeda pada persamaan ellips. Sketsa grafik persamaan hiperbola
x2 a2
y2 =1 b2
dan posisi titik-titik ( a, 0), ( c, 0), dan (0, b) dapat dilihat pada gambar 6.2 berikut. Latihan 6 C
233
BAB 7 Hiperbola
y
(0, b) (-a, 0)
(a, 0)
F (-c, 0)
F(c, 0)
x
(0, -b)
Gambar 6.2 Garis ax
by = 0 disebut persamaan garis asimtotik dari hiperbola
x2 a2
y2 b2
= 1.
Teorema 6.1: Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai fokus ( c, 0) dan titik-titik ujung ( a, 0) jika dan hanya jika memenuhi persamaan
x2 a2
y2 =1 b2
Latihan 6 C
234
BAB 7 Hiperbola
dimana b2 = c2 a2. Peranan sumbu-x dan sumbu-y dalam bentuk grafik akan dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema 6.2: Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai fokus (0, c) dan titik-titik ujung (0, a) jika dan hanya jika memenuhi persamaan
y2 a2
x2 =1 b2
dimana b2 = c2 a2. Dari teorema 6.2 dan 6.2 di atas, bahwa sumbu mayor sejajar dengan sumbu yang variabelnya berharga positif. Contoh 1: Selidiki dan buat sketsa grafik dari persamaan
x2 9
y2 =1 16
Jawab: Jika kita perhatikan terlihat bahwa a2 = 9, b2 = 16, dan c2 = a2 + b2 = 25. Hiperbola ini mempunyai pusat (0, 0), titik-titik ujung ( 3, 0), dan titik fokus ( 5, 0). Persamaan garis asimtotik hiperbola di atas adalah 3x
4y = 0. Panjang
sumbu mayor = 6 sejajar sumbu-x dan panjang sumbu minor = 8. Sketsa grafik dapat dilihat pada gambar 6.3 dibawah ini.
Latihan 6 C
235
BAB 7 Hiperbola
y
(0, 4) (-3, 0) F (-5, 0)
(3, 0) F(5, 0)
x
(0, -4)
Gambar 6.3
Contoh 2: Selidiki dan buat sketsa grafik persamaan 16x2 9y2 + 144 = 0. Jawab: Kita ubah persamaan 16x2
9y2 + 144 = 0 ke dalam bentuk baku, yaitu
16x2 9y2 + 144 = 0 9y2 16x2 = 144
y2 16
x2 =1 9 Latihan 6 C
236
BAB 7 Hiperbola
Dari persamaan terakhir terlihat bahwa a2 = 16, b2 = 9, dan c2 = a2 + b2 = 25. Hiperbola ini mempunyai pusat (0, 0), titik-titik ujung (0, 4), dan titik fokus (0, 5). Persamaan garis asimtotik hiperbola di atas adalah 4x
3y = 0. Panjang
sumbu mayor = 8 sejajar sumbu-x dan panjang sumbu minor = 6. Sketsa grafik dapat dilihat pada gambar 6.4 dibawah ini.
y
F(0, 5) (0, 4) (-3, 0)
(3, 0) x (0, -4)
F (0, -5)
Gambar 6.4
Contoh 3: Tentukan persamaan hiperbola yang fokus ( 4, 0) dan titik-titik ujung ( 2, 0).
Latihan 6 C
237
BAB 7 Hiperbola
Jawab: Karena fokus yang diberikan terletak pada sumbu-x maka bentuk baku dari persamaan hiperbola yang dicari seperti pada teorema 6.1. Dari titik fokus yang diberikan maka diperoleh c = 4, titik ujung diperoleh a = 2 dan b2 = c2
a2 = 16
4 = 12. Jadi persamaan yang dicari adalah
x2 4
y2 =1 12
3x2 y2 = 12
Untuk memperoleh persamaan hiperbola yang lebih umum, misalkan diadakan translasi pusat sumbu koordinat ke titik (h, k), maka diperoleh persamaan hiperbola
x2 a2
y2 = 1 menjadi b2 (x
h )2 a2
( y k )2 =1 b2
Untuk c2 = a2 + b2, persamaan di atas adalah persamaan hiperbola dengan pusat di (h, k), titik-titik fokus (h
c, k) dan titik-titik ujung (h
a, k) Hal ini dinyatakan dalam
teorema berikut.
Latihan 6 C
238
BAB 7 Hiperbola
Teorema 6.3: Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai pusat (h, k), fokus (h
c, k) dan titik-titik ujung (h
a, k) jika dan hanya jika memenuhi
persamaan (x
h )2
( y k )2 =1 b2
a2
dengan b2 = c2
a2 (lihat gambar 6.5).
y
(h, k + b) (h - a, k) F (h -c, k)
(h + a, k) (h, k)
F(h+c, k) (h, k - b)
x
Gambar 6.5
Teorema 6.4: Latihan 6 C
239
BAB 7 Hiperbola
Titik (x, y) berada pada hiperbola yang mempunyai pusat (h, k), fokus (h, k
c) dan titik-titik ujung (h, k
a) jika dan hanya jika memenuhi
persamaan
( y h )2 a2 dengan b2 = c2
(x
k )2 b2
=1
a2 (lihat gambar 6.6).
Latihan 6 C
240
BAB 7 Hiperbola
y
F(h+c, k) (h, k + b) (h - a, k)
(h - a, k) (h, k) (h, k - b)
F (h -c, k)
x
Gambar 6.6
Contoh 4: Sebuah hiperbola mempunyai persamaan 9x2 4y2 36x 8y + 68 = 0 Tentukan pusat, titik ujung, titik fokus dan gambar grafik hiperbola tersebut.
Jawab:
Latihan 6 C
241
BAB 7 Hiperbola
Kita ubah bentuk persamaan di atas ke dalam bentuk baku seperti pada teorema 6.3 atau teorema 6.4. 9x2 4y2 36x 8y + 68 = 0 9x2 36x 4y2 8y = -68 9(x2 4x + 4) 4(y2 + 2y + 1) = -68 + 36 - 4 9(x 2)2 4(y + 1)2 = -36 4(y + 1) 2 9(x 2)2 = 36
( y 1)2 9
2 )2
(x 4
=1
Dari persamaan terakhir diperoleh informasi h = 2, k = -1, a2 = 9, dan b2 = 4. Dengan demikian c2 = a2 + b2 = 9 + 4 = 13. Menurut teorema 6.4 dapatlah disimpulkan bahwa hiperbola yang terjadi berpusat di (2, -1), titik-titik ujungnya (2, -1 + 3) = (2, 2) dan (2, -1 4), titik fokusnya adalah (2, -1 +
13 ) dan (2, -1
3) = (2, -
13 ). Sketsa grafik dapat
dilihat di gambar 6.7
y F(2,-1+ 13 )
(2, 2) x Latihan 6 C
242
BAB 7 Hiperbola
(0,-1) (2,-1) (4,-1) (2, -4) F (2,-1
13 )
Gambar 6.7
Latihan 6 C
243
BAB 7 Hiperbola
Soal-soal: Pada soal 1
4 tentukan pusat, titik ujung, titik fokus, dan buat sketsa
grafiknya. 1. 4x2 9y2 + 36 = 0 2. 4x2 5y2 10y 25 = 0 3. 9x2 12y2
36y 72 = 0
4. 18x2 16y2 + 180x 32y 396 = 0 5. 9x2 4y2 18x 24y 63 = 0 6. 4x2 y2 40x 2y + 95 = 0 7. 16x2 9y2 + 54y 225 = 0 8. 4x2 9y2 4x 18y 26 = 0 9. 9x2 16y2 + 36x + 32y 124 = 0 10. 9x2 4y2 + 90x + 32y + 125 = 0 Pada soal 11
13 tentukan persamaan hiperbola dengan informasi yang diberikan dan
buat sketsa grafiknya. 7. Tentukan persamaan hiperbola yang salah satu titik fokus (0, 0), jarak antara kedua titik fokus 10 dan sumbu mayor berjarak 6 serta sejajar dengan sumbu-x (ada dua jawaban) 8. Tentukan persamaan hiperbola yang mempunyai sumbu sekawan di x = 12, menyinggung sumbu-y di (0, -2), dan sumbu minor berjarak 10.
Latihan 6 C
244
BAB 7 Hiperbola
9. Tentukan persamaan hiperbola yang mempunyai titik ujung (0, 6), dan fokus (0, 10).
Latihan 6 C
245
