PARABOLA Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke satu titik tertentu sama dengan jaraknya ke sebuah garis tertentu (direktriks). Persamaan Parabola 1.
Persamaan Parabola dengan Puncak O(0,0) Perhatikan gambar berikut ini !
g
Y P(x0,y0)
A
O(0.0)
X
F(p,0)
x= p Misalkan titik P(x0,y0) terletak pada parabola, maka menurut definisi Jarak PF = jarak PA (x P x F )2 ( y P y F )2 = (x P xA )2 ( y P y A )2
( x 0 p) 2 ( y 0 0 ) 2 = 𝑥0
2
Kedua ruas dikuadratkan
( x 0 p))2 ( y 0 y 0 ) 2
𝑥0 − 𝑝 2 + 𝑦0 2 = 𝑥0 + 𝑝 2 + 02 − 2𝑝𝑥0 + 𝑝2 + 𝑦0 2 = 𝑥0 2 + 2𝑝𝑥0 + 𝑝2 𝑦0 2 = 4𝑝𝑥0 𝑦 2 = 4𝑝𝑥
Persamaan parabola dengan puncak (0,0)
Perlu diperhatikan bahwa p adalah parameter atau jarak antara puncak ke fokus atau jarak antara puncak ke garis direktriks.
Persamaan parabola dengan titik puncak O(0,0) dan titik fokus F(p,0) adalah : 2 y = 4px Keterangan:
- Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola - Titik F(p,0) adalah titik fokus parabola - Garis x = -p adalah garis direktriks - Sumbu X adalah sumbu simetri - L1L2 adalah laktus rektum = 4p Parabola terbuka ke kanan
Contoh: 2
Diketahui peramaan parabola y = 16x. Tentukan koordinat puncak, titik fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks, dan sketsa gambarnya ! Jawab: a. b. c. d.
koordinat puncak O(0,0) titik fokus (4,0) sumbu simetri pada sumbu X, dengan persamaan y = 0 persamaan garis direktriksnya x = -4 atau x + 4 = 0 x= - 4
y 15 10 5
-5
P(0,0)
F(4,0)
5
10
15
x
-5 -10 -15
Untuk parabola yang puncaknya di O(0,0) dan fokusnya di F(-p,0) persamaannya adalah :
y2 = -4px Keterangan:
- Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola - Titik F(-p, 0) adalah titik fokus parabola - Garis x = p adalah garis direktriks - Sumbu X adalah sumbu simetri
Parabola terbuka ke kiri. Untuk parabola yang puncaknya di O(0,0) dan fokusnya di F(0,p) persamaannya adalah : 2
x = 4py Keterangan: - Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola - Titik F(0, p) adalah titik fokus parabola - Garis y = -p adalah garis direktriks - Sumbu Y adalah sumbu simetri Parabola terbuka ke atas.
Untuk parabola yang puncaknya di O(0,0) dan fokusnya di F(-p,0) persamaannya adalah : 2 x = -4py Keterangan: - Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola - Titik F(0, -p) adalah titik fokus parabola - Garis y = p adalah garis direktriks - Sumbu Y adalah sumbu simetri Parabola terbuka ke bawah. 2.
Persamaan Parabola dengan Puncak P(a,b) Perhatikan gambar berikut ini !
Y
Y’
M(a,b)
X’ F(a+p,b)
O(0.0)
X
Gambar di atas menunjukkan gambar parabola dengan puncaknya M(a,b) dan fokusnya F(a+p,b). Jika digunakan sumbu baru 2 dengan translasi x’ = x a dan y’ = y a; maka akan didapat persamaan parabola y’ = 4px’. Jika digunakan sumbu lama, maka akan 2 didapat persamaan parabola (y – b) = 4p(x – a) yang puncaknya pada titik M(a,b) dan fokusnya di F(a+p, b). Sehingga dapat disimpulkan Persamaan parabola yang berpuncak di titik (a, b) adalah : 2
(y - b) = 4p(x - a) Keterangan : titik puncak P(a, b) titik fokus F(a + p, b) persamaan direktriks : x = a - p persamaan sumbu simetri : y = b
-
Parabola terbuka ke kanan. Contoh 1: Tentukan persamaan parabola jika titik puncaknya (2, 3) dan titik fokusnya (6, 3) ! Jawab: Puncak (2, 3) dan focus (6, 3), maka : p = 6 – 2 = 4 Persamaan parbolanya : 2
(y - b) = 4p(x - a) (y - 3) = 4.4(x - 2) 2
y – 6y + 9 = 16(x – 2) 2
y – 6y + 9 = 16x – 32 2
y – 6y – 16x + 41 = 0 2
Contoh 2: 2
Diketahui persamaan parabola sebagai berikut : y + 4y – 4x + 8 = 0. Tentukan koordinat puncak , koordinat focus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks, dan sketsa gambarnya ! Jawab: 2
y + 4y – 4x + 8 = 0 y + 4y = 4x - 8 2
(y + 2) – 4 = 4x - 8 2
(y + 2) = 4x - 4 2
(y + 2) = 4(x – 1) (y - ) = 4p(x - ) 2
2
Berarti : b = -2; a = 1; p = 1 Jadi, koordinat puncaknya (1, -2), koordinat fokusnya (a + p, b) = (2, -2), persamaan sumbu simetrinya y = -2, dan persamaan garis direktriksnya : x = - p x = 1 – 1 x = 0 Grafiknya :
y 4 2
Y
-4
-2
P(1,-2)
-2
2
4
F(2,-2)
6
8
x
-4 -6 -8 -10
Untuk parabola yang berpuncak di P(a, b) dan terbuka ke kiri persamaannya adalah : 2 (y - b) = -4p(x -a) Keterangan : -
titik puncak P(a, b) titik fokus F(a - p, b) direktriks x = a + p persamaan sumbu simetri : y = b
Untuk parabola yang berpuncak di P(a, b) dan terbuka ke atas persamaannya adalah : 2 (x - a) = 4p(y - b)
Keterangan : titik puncak P(a,b) titik fokus F(a, b + p) direktriks y = b - p persamaan sumbu simetri : x = a
-
Untuk parabola yang berpuncak di P(a, b) dan terbuka ke bawah persamaannya adalah : 2 (x - a) = -4p(y - b) Keterangan : titik puncak P(a,b) titik fokus F(a, b- p) direktriks x = b + p persamaan sumbu simetri : x = a
-
1.
2.
3. 4. 5. 6.
Tentukan persamaan parabola jika diketahui : a. puncak O(0,0) dan fokusnya F(2,0) b. PuncakO (0,0) dan Fokus F(0,4) c. Puncak O(0,0) dan persamaan garis direktriks x = 3 d. Puncak O(0,0) dan persamaan garis direktriks y = - 3 e. Koordinat titik fokus F( 4,0) dan persamaan garis direktriks x = - 4 f. Puncak P(2, 3) dan Fokus ( 4,3) g. Puncak P(-2,0) dan persamaan garis direktriks x = 1 h. Puncak (2, - 1) dan Fokus F(2, 1) i. Puncak P(0,3) dan persamaan garis direktriks y = 5 Tentukan koordinat puncak dan fokus parabola dengan persamaan: 2 (a) y = 12x 2 (b) y = 16x 2 (c) x = 12y 2 (d) ) x = 12y. Buatlah kesimpulan dari kegiatan pengerjaan soal nomor 2 di atas! Tentukan persamaan parabola dengan puncak (2,-5) dan nilai p = 3, sumbu simetri sejajar sumbu x! 2 Tentukan koordinat puncak dan fokus dari parabola y – 2y – 8x – 39 = 0! Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus , persamaan garis direktriks, persamaan sumbu simetri dan panjang latus rectum dari persamaan berikut : 2 a. 2x – 12y = 0 2 b. (x+1) = 8(y+3) 2 c. y – 8y +4x +20 = 0 d. e.
2
y – 2y – 8x – 39 = 0 2 X + 4x + 12y+ 16 = 0
ELIPS Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tersebut adalah titik focus / titik api. Persamaan Elips 1. Persamaan Elips dengan P O(0,0) Perhatikan gambar berikut ini !
Y D(0, b)
P(x0,y0)
A(-a,0) F1(c,0)
O
X
B(a,0)
F2(c,0)
C(0,b) Jika dimisalkan titik P(x0,y0) adalah titik yang terletak ada ellips, maka menurut definisi PF1 + PF2 = 2a 2 2 ( x 0 c) y 0 2 + ( x0 c) 2 y0 = 2a Kedua ruas dikuadratkan
( x 0 c) 2 y 0 2
= 2a ( x 0 c) 2 y 0 2 (x0 + c) + y0 = 4a – 4a 2
2
2
( x0 c) 2 y 0
2
x0 + 2cx0 + c + y0 = 4a – 4a ( x0 c) y 0 2
4a
2
( x0 c) 2 y 0 = 4a2 - 4cx0 2
2
2
2
2
2
+ (x0 - c) + y0 2
2
+ x0 - 2cx0 + c
2
Kedua ruas dikuadratkan
( x0 c) 2 y 0 = (a2 - cx0) 2
a
a (x0 – c) + y0 = (a cx0) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 a x0 – 2a cx0 + a c + a y0 = a - 2cx0a + c x0 2 2 2 2 2 2 2 2 (a c )x0 + a y0 = a (a c ) 2
2
2
2
2
y02 x0 2 1 a2 (a 2 c 2 ) 2
2
Kedua ruas dibagi dengan a2(a2 - c2)
2
Pada ellips ada ketentuan bahwa a – c = b , sehingga persamaan di atas menjadi x02 y02 1 yang jika titik P(x0,y0) dijalankan a2 b2 akan didapat
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
x2 a2
y2 b2
1
Persamaan Elips dengan pusat O(0,0)
Pusatnya adalah titik O(0,0). Fokusnya adalah titik F1(c,0) dan F2(c,0) Sumbu X adalah sumbu mayor dan dan sumbu Y adalah sumbu minor jika a > b. Persamaan sumbu mayor adalah y = 0 dan persamaan sumbu minor adalah x`= 0 jika a > b. Sumbu X dan sumbu Y merupakan sumbu-sumbu simetri. Ellips ini memotong sumbu X di titik-titik A(a,0) dan B(a,0) dan memotong sumbu Y di titik-titik C(0,b) dan D(0,b). Keempat titik itu masing-masing disebut puncak ellips. AB = 2a disebut sumbu-panjang dan CD = 2b disebut sumbu-pendek.
Ttik-titik pada parabola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik dan suatu garis tetap. Dengan demikian, perbandingan jarak ke suatu titik dan suatu garis adalah tetap nilainya, yaitu = 1. Pada ellips, ternyata bahwa
c c nilainya adalah tetap dengan 0 1 , dan disebut eksentrisitet ellips (e). a a
Fokus F1(c,0) memiliki kawan direktriks f x =
a2 , c
sedangkan fokus F2(c,0) memiliki kawan direktriks g x =
a2 . c
Contoh 1 : Tentukan unsur-unsur persamaan elips :
𝑥2
+
25
𝑦2 9
= 1, kemudian sketsa grafiknya !
Jawab : 𝑎2 = 25 → 𝑎 = ±5 𝑏 2 = 9 → 𝑏 = ±3 𝑐 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 = 25 − 9 = 16 → 𝑐 = ±4 Koordinat titik pusat (0,0) Koordinat titik fokus (4,0) dan ( - 4,0) Koordinat titik puncak (5,0) , ( -5,0) , (0,3) dan (0, - 3) Sumbu mayor adalah sumbu X atau y = 0 Sumbu minor adalah sumbu Y atau x = 0 Sumbu simetrinya adalah sumbu X dan sumbu Y Eksentrisitas 𝑒 =
𝑐 𝑎
=
4 5
Persamaan direktriks 𝑥 = ±
𝑎2 𝑐
=±
25 y
4 4
2
-6
-4
-2
2
4
6
x
-2
-4
2.
Persamaan Elips dengan Pusat P(α,β) 2 x2 y Ellips 1 dengan pusat di O(0,0) telah digeser sehingga pusatnya a2 b2
A berada di P(,). Jika menggunakan sumbu baru x’ = x dan y’ = y ; maka • 2 F1 x' 2 y' 1 yang jika digunakan sumbu lama, akan didapat persamaan ellips 2 2 O(0,0) a b maka akan didapat persamaan ellips 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
(x α) 2 a2
( y β) 2 b2
1
Y’
Y D •
P(,)
F2
B • X’ X
• C
Pusatnya adalah titik O(α, β). Fokusnya adalah titik F1(c+α,β) dan F2(c+α,β) Persamaan sumbu mayor adalah y = β dan persamaan sumbu minor adalah x= α jika a > b. Sumbu-sumbu simetrinya adalah x = α dan y = β. Ellips ini memotong sumbu X di titik-titik A(a + α,β) dan B(a + α,β) dan memotong sumbu Y di titik-titik C(α,b+β) dan D(α,b+β). Keempat titik itu masing-masing disebut puncak ellips. AB = 2a disebut sumbu-panjang dan CD = 2b disebut sumbu-pendek. 𝑐 Eksentrisitas : 𝑒 = 𝑎
8.
Persamaan direktriks : 𝑥 − 𝛼 = ±
𝑎2 𝑐
Contoh 2: Tentukan unsur-unsur dari persamaan elips :
𝑥−1 2 100
+
𝑦 +2 2 16
= 1 kemudian sketsalah grafiknya!
Jawab : 𝛼 = 1; 𝛽 = −2; 𝑎2 = 100 → 𝑎 = ±10; 𝑏 2 = 64 → 𝑏 = ±8; 𝑐 2 = 100 − 64 = 36 → 𝑐 = ±6 Koordinat titik pusat (α,β) = (1, - 2) Koordinat titik fokus F1(c+α,β) dan F2(c+α,β) (-5,- 2) dan (7,-2) Koordinat titik puncak A(a + α,β) dan B(a + α,β) (-9,-2) dan (11,-2) C(α,b+β) dan D(α,b+β) (1,- 10) dan (1, 6) Sumbu mayor adalah garis y = - 2 Sumbu minor adalah garis x = 1 Sumbu simetrinya adalah garis y = - 2 dan x = 1 Eksentrisitas 𝑒 =
𝑐 𝑎
=
6 10
Persamaan direktriks 𝑥 − 𝛼 = ±
𝑎2 𝑐
→ 𝑥−1 =±
100 6
y 10
5
- 15
- 10
-5
5
-5
- 10
10
15
x
1. Diketahui elips dengan persamaan
x2 y2 1. 16 9
Tentukan : a) Koordinat titik puncak
d) Persamaan direktriks
b) Koordinat titik fokus
e) Nilai eksentrisitas
c) Panjang sumbu mayor dan sumbu minor
2. Diketahui elips dengan persamaan
x2 y2 1. 16 25
Tentukan : a) Koordinat titik puncak
d) Persamaan direktriks
b) Koordinat titik fokus
e) Nilai eksentrisitas
c) Panjang sumbu mayor dan sumbu minor
( x 2) 2 ( y 1) 2 1. 3. Diketahui elips dengan persamaan 625 49 Tentukan : a) Koordinat titik pusat b) Koordinat titik puncak c) Koordinat titik fokus
d) Panjang sumbu mayor dan sumbu minor e) Persamaan direktriks f) Nilai eksentrisitas
4. Gambarlah sketsa garafik ellips dengan persamaan:
x2 52
y2 32
1
5. Tentukan persamaan ellips dengan pusat O(0,0), a. panjang sumbu-panjang 10 dan panjang sumbu-pendek 6. b. Jarak kedua fokus pada sumbu-x adalah 6, dan puncaknya (4,0) dan (4,0). 6. Tentukan persamaan ellips dengan pusat O(2,3), panjang sumbu-panjang 10 dan panjang sumbu-pendek 6! 7. Tentukan pusat, folus-fokus, puncak-puncak serta direktriks dari ellips dengan 2 2 persamaan 9x + 25y – 54x + 50y – 119 = 0!
HIPERBOLA Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jarak titik itu terhadap dua buah titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tertentu itu disebut fokus dari hiperbola. Selisih jarak yang sama dinyatakan dengan 2a. Persamaan Hiperbola 1. Persamaan Hiperbola dengan Pusat O(0,0) Perhatikan gambar berikut ini !
Y • P(x0,y0) X • F2(c,0)
• F1(c,0)
O
Dimisalkan titik P(x0,y0) adalah sebuah titik yang terletak pada hiperbola. Menurut definisi didapat PF2 PF1 = 2a
( x 0 c) 2 y 0 2 ( x 0 c) 2 y 0 2 = 2a Kedua ruas dikuadratkan ( x 0 c) 2 y 0 2
=
2a + ( x 0 c) 2 y 0 2
(x0 + c) + y0 = 4a + 4a ( x 0 c) 2 y 0 2 + (x0 c) + y0 2
2
2
2
2
x0 + 2cx0 + c + y0 = 4a + 4a ( x0 c) y 0 2
2
4a ( x 0 c) 2 y 0 2 = 4cx0 4a
2
2
2
2
2
2
+ x0 - 2cx0 + c
2
Kedua ruas dikuadratkan
a ( x 0 c) 2 y 0 2 = (cx0 a ) 2
a (x0 – c) + y0 = (cx0 a ) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 a x0 – 2a cx0 + a c + a y0 = a 2cx0a + c x0 2 2 2 2 2 2 2 2 (c a ).x0 a .y0 = a (c – a ) y02 x0 2 1 a2 (c 2 a 2 ) 2
2
2
2 2
2
2
Kedua ruas dibagi dengan a2(a2 - c2)
2
Pada hiperbola ada ketentuan bahwa (c – a ) = b , dan jika titik P(x0,y0) dijalankan akan didapat
1. 2. 3.
Sumbu simetri : sumbu X (sumbu nyata) dan sumbu Y (sumbu imajiner) Koordinat titik puncak yaitu titik (a, 0) dan (a, 0) Koordinat titik fokus adalah F1(c, 0) dan F2(c, 0).
4.
Persamaan asimtot adalah y
b b x dan y x dengan (c2 – a2) = b2. a a
Contoh 1 : Tentukan unsur-unsur persamaan hiperbola :
𝑥2 16
−
𝑦2 9
= 1, kemudian sketsa grafiknya !
𝑥2 𝑎2
−
𝑦2 𝑏2
=1
Persamaan hiperbola
Jawab : 𝑎2 = 16 → 𝑎 = ±4 𝑏 2 = 9 → 𝑏 = ±3 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 = 16 + 9 = 25 → 𝑐 = ±5 Koordinat titik pusat (0,0) Koordinat titik fokus (5,0) dan ( - 5,0) Koordinat titik puncak (4,0) , ( -4,0) Sumbu simetri : sumbu X (sumbu nyata) dan sumbu Y (sumbu imajiner) 3
Persamaan asymtot : 𝑦 = ± 𝑥 4
y
4
2
-5
x
5 -2
-4
2. Persamaan Hiperbola dengan Pusat P(α,β) Hiperbola
x2 y2 1 dengan pusat di O(0,0) telah digeser sehingga pusatnya a2 b2
berada di P(,). Jika menggunakan sumbu baru x’ = x dan y’ = y ;
Y’
M(, ) 2
maka akan didapat persamaan hiperbola
2
x' y' 2 1 2 a b
yang jika digunakan sumbu lama, maka akan didapat persamaan hiperbola
(x ) (y ) 1 2 a b2 2
Y
• F2 O
Persamaan hiperbola dengan pusat (α,β)
Sumbu simetri : y = β (sumbu nyata) dan x = α (sumbu imajiner) Koordinat titik puncak yaitu titik (a+α, β) dan (a+α, β) Koordinat titik fokus adalah F1(c+α, β) dan F2(c+α, β).
4.
Persamaan asimtot adalah y
b b ( x ) dan y ( x ) dengan (c2 – a2) = b2. a a
Contoh 2: Tentukan unsur-unsur dari persamaan elips :
𝑥−1 2 16
−
𝑦 +2 2 9
= 1 kemudian sketsalah grafiknya!
Jawab : 𝛼 = 1; 𝛽 = −2; 𝑎2 = 16 → 𝑎 = ±4; 𝑏 2 = 9 → 𝑏 = ±3; 𝑐 2 = 16 + 9 = 25 → 𝑐 = ±5 Koordinat titik pusat (α,β) = (1, - 2) Koordinat titik fokus F1(c+α,β) dan F2(c+α,β) (-4,- 2) dan (6,-2)
X’
X
2
1. 2. 3.
• F1
Koordinat titik puncak A(a + α,β) dan B(a + α,β) (-3,-2) dan (5,-2) Sumbu nyata adalah garis y = - 2 Sumbu imajiner adalah garis x = 1 Persamaan direktriks 𝑦 − 𝛽 = ±
𝑏 𝑎 3
𝑥−𝛼
𝑦 + 2 = ± (𝑥 − 1) 4
y
4 2
-5
5
10
x
-2 -4 -6 -8
1.
Tentukan persamaan hiperbola dengan pusat O(0,0); dan: a. Jarak kedua puncaknya 8 dan jarak kedua fokusnya 10 dan fokus terletak pada sumbu X b. Titik puncak (4,0) dan (-4,0), salah satu titik fokusnya (7,0) c.
2.
Jarak kedua puncaknya 16, persamaan asimtot-asimtotnya
Tentukan unsur – unsur persamaan Hiperbola berikut : a. b. c.
𝑥2 144 𝑥2 9 𝑦2 36
−
− −
𝑦2 25
𝑦2 16 𝑥2 9
=1
=1 =1
d.
(𝑥+3)2 64
e.
−
(𝑦−1)2 36
(𝑥−2)2 32
=1
−
𝑦2 16
3 y x , sumbu utama sumbu Y 4
