KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG DALAM RUANG
1. Pengertian Titik, Garis Dan Bidang Tiga unsur dasar dalam geometri, yaitu titik, garis, dan bidang. Ketiga unsur tersebut, dapat juga disebut sebagai tiga unsur yang tak didefinisikan. a. Titik Menurut Stanley R. Clemens et al., (1984: 10-11), Point : location, no lenght, width or height. A point as a part of a a physical object. A point as the smallest dot you can draw. A point is an idea, or abstraction. Since a point cannot be defined using simpler terms, it is an undefined term. Sebuah titik hanya dapat ditentukan oleh lokasi/letaknya, tidak mempunyai ukuran (panjang, lebar, dan tinggi). Sebuah titik merupakan titik terkecil yang bisa digambar. Titik merupakan sebuah ide atau abstraksi. Karena titik tidak dapat didefinisikan dengan istilah sederhana, maka sebuah titik digambarkan menggunakan noktah dan ditulis menggunakan huruf kapital seperti P, Q, M, N, atau O. Titik merupakan komponen bangun ruang yang tidak berbentuk dan tidak mempunyai ukuran. Suatu titik digambarkan atau dimodelkan sebagai noktah dan penamaannya menggunakan huruf besar. Contoh : Titik A Titik M
A M
b. Garis Menurut Stanley R. Clemens et al., (1984: 10-11), Line : unlimited length, straight, no thickness, no endpoints. A line as part of a physical situation. A line as the thinnest streak you can draw. A line is an idea or abstraction. Since a line cannot be defined using simpler term it is an undefined term. Sebuah garis mempunyai panjang tak terbatas, lurus, tidak tebal, tidak ada titik akhir. Namun mengingat terbatasnya bidang tempat gambar, sebuah garis hanya dilukiskan sebagian saja/sangat tipis. Bagian ini disebut wakil garis. Garis hanya mempunyai ukuran panjang tetapi tidak mempunyai ukuran lebar. Garis merupakan sebuah gagasan atau abstraksi. Karena titik tidak dapat didefinisikan dengan istilah sederhana, maka nama sebuah garis dapat dinyatakan dengan menyebutkan wakil dari garis tersebut menggunakan huruf kecil: l, g, k atau menyebutkan nama segmen garis dari titik pangkal ke titik ujung. Garis merupakan komponen bangun ruang yang hanya mempunyai ukuran panjang. Garis dapat dipandang sebagai himpunan titik-titik. 1
Selain itu untuk memberi nama sebuah garis, dapat memanfaatkan dua buah titik pada garis tersebut, atau dengan sebuah huruf kecil. Cara menuliskannya: ⃖ ⃗, ⃖ ⃗, ⃖ ⃗ , ⃖ ⃗ , ⃖ ⃗ atau g. Misalnya seperti gambar berikut: A
B Gambar 1
C
Pada gambar di atas garis g dapat dinyatakan sebagai garis ⃖ ⃗
g , ⃖ ⃗, ⃖ ⃗ , ⃖ ⃗ , ⃖ ⃗ ,
karena garis g melalui titik A, titik B, dan titik C. Lambang “⃖ ⃗,” artinya garis yang melalui titik A dan titik B, atau garis yang memuat titik A dan titik B. Lambang “⃖ ⃗ ” artinya garis yang melalui titik A dan titik C, atau garis yang memuat titik A dan titik C. Lambang “⃖ ⃗ ” artinya garis yang melalui titik B dan titik C, atau garis yang memuat titik B dan titik C. Lambang “⃖ ⃗ ” dan lambang “⃖ ⃗” maknanya sama, yaitu garis yang melalui titik A dan titik B, atau garis yang memuat titik A dan titik B. c. Bidang Menurut Stanley R. Clemens et al., (1984: 10-11), Plane : no boundary, continues in all directions, flat, not thickness. A plane as a part of a physical object. A plane as the thinnest slice you can cut. Sebuah bidang dapat diperluas seluas-luasnya/tidak ada batas, terus kesegala arah, datar, tidak tebal. Pada umumnya sebuah bidang hanya dilukiskan sebagian saja yang disebut sebagai wakil bidang. Wakil suatu bidang mempunyai ukuran panjang dan lebar. Gambar dari wakil bidang dapat berbentuk persegi atau bujur sangkar, persegi panjang, atau jajargenjang. Nama dari wakil bidang dituliskan di sudut bidang dengan memakai huruf α, β, γ atau H, U, V, W atau dengan menyebutkan titik-titik sudut dari wakil bidang itu.
U U
Sebuah bidang difikirkan sebagai suatu himpunan titik berderet dan berjajar secara rapat dan tak terbatas, tetapi tidak memiliki ketebalan. Sebuah bidang direpresentasikan dengan gambar sebuah jajargenjang, dan nama sebuah bidang dapat menggunakan sebuah huruf kapital atau huruf Yunani. Bidang merupakan komponen bangun ruang yang mempunyai luas. Bidang dapat dipandang sebagai himpunan titik-titik. Yang disebut bidang di sini adalah bidang datar, yaitu bangun yang dapat digambarkan sebagai suatu yang datar dan mempunyai luas tidak terbatas. Bidang 2
digambarkan dengan model terbatas yang mewakilinya. Bidang tersebut dinamakan bidang α atau bidang ABC. Harus diingat, penamaan bidang dengan titik-titik yang dilaluinya minimal menggunakan tiga titik.
Gambar 2
Pada gambar di atas bidang α memuat titik-titik A, B, C, D, E, F, G, (dikatakan ketujuh titik tersebut terletak pada bidang-α); ⃖ ⃗ dan ⃖ ⃗ keduanya pada bidang- α dan berpotongan di F. ⃖ ⃗ memotong (menembus) bidang- α di titik D. Dari Gambar 2 tersebut, dapat dituliskan antara lain: artinya titik A pada bidang- α ; F ⃖ ⃗ , artinya titik F pada ⃖ ⃗ ; ⃖ ⃗
artinya ⃖ ⃗ pada bidang- ;
F = ⃖ ⃗ ∩ ⃖ ⃗ , artinya titik F adalah titik potong ⃖ ⃗ D=
⃖ ⃗;
∩ ⃖ ⃗ , artinya titik D adalah titik potong (titik tembus) ⃖ ⃗ pada bidang ;
= bidang( ⃖ ⃗ , ⃖ ⃗ ), artinya bidang
adalah bidang yang memuat ⃖ ⃗ dan ⃖ ⃗ , dan
sebagainya.
2. Aksioma dan Teorema Garis dan Bidang Aksioma 1 Melalui dua buah titik sebarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus g
Aksioma 2 Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua buah titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang. K
L
3
R
Aksioma 3 Melalui tiga buah titik sebarang
P
hanya dapat dibuat sebuah bidang
Q
Teorema 1 R
Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sebarang. P
Q
Teorema 2 Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (titik tidak terletak di garis).
Teorema 3
g
Sebuah bidang ditentukan
h
oleh dua buah garis berpotongan. g
Teorema 4
h
Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar.
3. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang a. Kedudukan Titik Terhadap Garis dan Titik Terhadap Bidang 1. Kedudukan Titik Terhadap Garis i). Titik terletak pada garis
S
Jika titik S dilalui oleh garis g, g
maka titik S dikatakan terletak pada garis g. ii). Titik tidak terletak pada garis
T
Titik T tidak dilalui oleh garis h, g
maka titik T dikatakan tidak terletak pada garis h. 2. Kedudukan Titik Terhadap Bidang i) Titik terletak pada bidang Jika titik A dilalui oleh bidang U, A
maka dikatakan titik A terletak pada bidang U.
B
ii) Titik tidak terletak pada bidang Jika Titik B tidak dapat dilalui oleh bidang V, maka dikatakan titik B tidak terletak pada bidang V.
V 4
b. Kedudukan Garis Terhadap Garis dan Garis Terhadap Bidang g
1. Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain
A
i) Berpotongan h
Dua buah garis dikatakan berpotongan jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan mempunyai tepat satu titik persekutuan. ii)
g
Berimpit
Garis g berimpit dengan garis h jika tiap titik di garis g juga terletak di garis h, dan sebaliknya.
h
Syarat cukup untuk dua garis berimpit adalah memiliki dua titik persekutuan. iii)
Sejajar
Dua buah garis dikatakan sejajar jika kedua garis itu terletak pada satu bidang dan tidak mempunyai satupun titik persekutuan. g h h
iv)Bersilangan
g
Dua garis dikatakan bersilangan (tidak berpotongan dan tidak sejajar) jika kedua garis tersebut tidak terletak pada suatu bidang.
Aksioma dua garis sejajar Aksioma 4 Melalui sebuah titik
g h
yang tidak terletak pada sebuah garis hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu. Teorema-teorema tentang dua garis sejajar Teorema 5 Jika garis k sejajar dengan garis l, garis l sejajar dengan garis m, maka garis k sejajar dengan garis m. Teorema 6 Jika garis k sejajar dengan garis l dan memotong garis g,
g
garis l sejajar garis k dan juga memotong garis g, maka garis-garis k, l dan g terletak pada sebuah bidang. 5
Teorema 7 Jika garis k sejajar dengan garis l dan garis l menembus bidang α, maka garis k juga menembus bidang α.
a) Kedudukan Garis Terhadap Bidang 1.
g
Garis terletak pada bidang Sebuah garis g dikatakan terletak pada bidang α, jika garis g dan bidang α sekurang-kurangnya mempunyai dua titik persekutuan.
2.
Garis sejajar bidang Sebuah garis m dikatakan sejajar pada bidang β, jika garis m dan bidang β tidak mempunyai satupun titik persekutuan.
3.
Garis memotong atau menembus Sebuah garis l dikatakan memotong atau menembus bidang γ, jika garis l dan bidang γ tersebut hanya mempunyai sebuah titik persekutuan.
b) Kedudukan Dua Bidang 1. Dua bidang berimpit Bidang α dan bidang β dikatakan berimpit,
α, β
jika setiap titik yang terletak pada bidang α juga terletak pada bidang β, atau sebaliknya . 2. Dua bidang sejajar Bidang α dan bidang β dikatakan sejajar jika kedua bidang itu tidak mempunyai satu pun titik persekutuan. ( , ) 3. Dua bidang berpotongan Bidang α dan bidang β dikatakan berpotongan jika kedua bidang itu tepat memiliki sebuah garis persekutuan.
6
Teorema-teorema bidang terhadap bidang lain 1. Jika dua garis berpotongan, yang terletak pada suatu bidang, sejajar dengan dua buah garis berpotongan pada bidang lain, maka kedua bidang itu adalah sejajar. 2. Suatu bidang yang memotong salah satu dari dua bidang yang sejajar, maka bidang tersebut memotong bidang yang satu lagi. 3. Suatu bidang yang memotong dua bidang yang sejajar, maka garis – garis potong bidang tersebut a
adalah sejajar. Teorema-teorema dalam kesejajaran Teorema 1 Jika garis a sejajar dengan garis b
V
dan garis b terletak pada bidang V,
b
maka garis a sejajar dengan bidang α.
Teorema 2
α
Jika bidang α melalui garis a dan garis a sejajar bidang V,
a
maka garis a sejajar dengan
V
garis perpotongan bidang α dengan bidang V.
(α,V
Teorema 3 Jika bidang U dan bidang V sejajar dengan garis a, maka garis perpotongan kedua bidang tersebut sejajar dengan garis a.
U
a
V (U,V) Teorema 4 Jika garis a berpotongan dengan garis b, garis c berpotongan dengan garis d,
b a
dan garis a sejajar garis c, garis b sejajar garis d,
α
maka bidang (a,b) sejajar bidang (c,d).
d c
β
7
α
(α,U)
Teorema 5 Jika bidang U sejajar bidang V (α,V)
U
dan keduanya dipotong oleh bidang α, maka garis (α,U) sejajar garis (α,V).
V a Teorema 6 Jika garis a menembus bidang U
U
yang sejajar dengan bidang V, maka garis a juga menembus bidang V. V 4. Garis Tegak Lurus pada bidang Definisi: Jika garis h tegak lurus pada bidang α maka garis h tegak lurus dengan semua garis m yang terletak pada bidang α.
Teorema: sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang jika garis itu tegak lurus pada dua buah garis berpotongan dan
U
l
k k
Syarat garis k ⊥ bidang a. Ada dua buah garis yang terletak pada bidang α (misal garis m dan l) b. Dua garis tersebut saling berpotongan c. Masing-masing
garis
tegak
lurus
m
dengan garis k ( m⊥ k dan l ⊥ k ) Akibat:
α
l
1. Untuk membuktikan garis tegak lurus garis diusahakan salah satu garis itu tegak lurus pada bidang yang mengandung garis lain. 2. Untuk melukiskan garis tegak lurus garis kita pertama-tama melukis bidang tegak lurus yang diketahui. 8
Contoh :
H
G
E
F
D
C
A
B
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan : a. Titik yang berada pada garis DF b. Titik yang berada diluar bidang BCHE c.
Garis yang sejajar dengan CF
d. Garis yang berpotongan dengan BE e. Garis yang bersilangan dengan FG f. Bidang yang sejajar dengan bidang BDG Jawab : a. Titik D dan F b. Titik A, D, F, G c. DE d. EA, EF, ED, EH e. AB, DC, AE, DH f. AFH
5. Proyeksi pada Bangun Ruang 1) Proyeksi titik pada garis P
Titik ′ adalah proyeksi titik P pada garis g.
P’ 2) Proyeksi garis pada garis Q P
g
′ ′ adalah proyeksi
pada garis g.
g Q
9
3) Proyeksi titik pada bidang P
Proyeksi titik P pada bidang adalah titik tembus garis yang tegak lurus dari P pada bidang (Titik P’ adalah hasil proyeksi titik P).
P’ U 4) Proyeksi garis pada bidang a)
Jika garis sejajar bidang B ′ ′ merupakan proyeksi A
pada bidang .
B’
A’ α b)
Jika garis tegak lurus bidang P
tegak lurus terhadap bidang . Proyeksi pada bidang merupakan sebuah titik yaitu titik Q. Jadi, titik Q adalah proyeksi pada bidang .
Q c)
Jika garis memotong bidang N bidang M
memotong bidang adalah ′ .
di M. Proyeksi
pada
N’
6. Jarak Pada Bangun Ruang (1) Jarak Titik ke Titik Menentukan jarak titik A ke titik B dalam suatu ruang dengan cara menghubungkan titik A dan titik B dengan ruas garis AB. Panjang ruas garis AB adalah jarak titik A ke titik B. (2) Jarak Titik ke Garis Jarak titik ke suatu garis ada jika titik tersebut terletak di luar garis. Langkah-langkah menentukan jarak titik A ke garis g
g
(titik A tidak terletak pada garis g) adalah sebagai berikut: a. Buatlah bidang α yang melalui titik A dan garis g 10
b. Buatlah garis AP yang tegak lurus dengan garis g pada bidang α c. Panjang ruas garis AP = jarak titik A ke garis g. (3) Jarak Titik ke Bidang Jarak titik ke suatu bidang ada jika titik tersebut terletak di luar bidang. Langkah-langkah menentukan jarak titik A ke bidang α (titik A tidak terletak pada bidang α) adalah sebagai berikut.
g
a. Buatlah garis g melalui titik A dan tegak lurus bidang α b. Garis g menembus bidang α di titik D c. Panjang ruas garis AD = jarak titik A ke bidang α.
(4) Jarak dua garis sejajar Jarak antara dua garis sejajar (misal garis g dan garis h) dapat digambarkan sebagai berikut. 1.
Buatlah bidang α yang melalui garis g dan garis h (Teorema 4)
2.
Buatlah garis l yang memotong tegak lurus terhadap garis g dan garis h, misal titik potongnya berturut-turut di titik A dan B
3.
Panjang ruas garis AB = jarak antara garis g dan garis h yang sejajar. g
α
l
h
(5) Jarak garis dan bidang yang sejajar Jarak antara garis dan bidang yang saling sejajar adalah panjang ruas garis yang masingmasing tegak lurus terhadap garis dan bidang tersebut. Jarak antara garis g dan bidang V yang sejajar dapat digambarkan sebagai berikut: O 1. Buatlah titik O pada garis g.
g
2. Buatlah garis l yang melalui titik O dan tegak lurus bidang V. 3. Garis l memotong atau menembus bidang V di titik P.
P
4. Panjang ruas garis OP = Jarak antara garis g dan bidang V yang sejajar.
V l 11
(6) Jarak dua bidang sejajar Jarak antara bidang U dan bidang V yang sejajar dapat digambarkan sebagai berikut. A
1.
Buatlah titik A pada bidang V.
2.
Buatlah garis k yang melalui titik A dan tegak lurus bidang V.
B
k
3.
Garis k menembus bidang V di titik B.
4.
Panjang ruas garis AB= Jarak antara bidang U dan bidang V yang sejajar.
(7) Jarak dua garis bersilangan Jarak antara dua garis yang bersilangan (misal garis a dan garis b) dapat digambarkan sebagai berikut. Cara I 1. Buatlah garis a’, garis yang sejajar a dan memotong garis b. 2. Melalui garis a’ dan garis b dapat dibuat sebuah bidang, yaitu bidang α. 3. Menentukan titik A yang terletak pada garis a. 4. Buatlah ruas garis AB yang tegaklurus dengan garis a dan bidang α, titik B terletak pada bidang α. 5. Panjang ruas garis AB merupakan jarak garis a ke bidang α. 6. Buatlah ruas garis A’B’ yang sejajar ruas garis AB, titik A’ terletak pada garis a dan titik B’ terletak pada bidang α. 7. Panjang ruas garis A’B’ merupakan jarak garis a ke garis b.
P
A’
a
α Q
a ’
B’
b
Cara II 1. Buatlah garis b’, garis yang sejajar b dan memotong garis a, sehingga melalui garis b’ dan garis a dapat ditentukan satu bidang, yaitu bidang α. 2. Buatlah garis a’, garis yang sejajar a dan memotong garis b, sehingga melalui garis a’ dan garis b dapat ditentukan satu bidang, yaitu bidang β. 3. Garis a’ sejajar garis a, garis b’ sejajar garis b, sehingga bidang α sejajar dengan bidang β. 4. Buatlah ruas garis PQ yang tegaklurus terhadap bidang α dan bidang β, titik P terletak pada bidang α, sedangkan titik Q terletak pada bidang β. 5. Panjang ruas garis PQ merupakan jarak bidang α ke bidang β. 6. Buatlah ruas garis P’Q’ yang sejajar ruas garis PQ, titik P’ terletak pada garis a dan titik Q’ terletak pada garis b. 7. Panjang ruas garis P’Q’ merupakan jarak garis a ke garis b.
a
P’ P b’
α
Q
Q’ a’
b β 12
CONTOH Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah jarak antara : a. Titik A ke H b. Titik A ke P (P adalah perpotongan diagonal ruang) c. Titik A ke garis CE d. Titik A ke bidang BCGF e. Titik A ke bidang BDHF f. Titik A ke bidang BDE g. Garis AE ke garis CG h. Garis AE ke garis CG i. Bidang ABCD ke EFGH Jawab :
H
G a. Jarak titik A ke H = AH
E
AH = AD 2 DH 2 = 100 100 = 200
F
D
P C
R
A
10
B
= 10 2 cm b. Jarak titik A ke P = AP = ½ AG 10 = 3 cm 2
c. Jarak A ke CE = AK E
G
Pada segitiga siku-siku CAE L CAE = ½.AC.AE = ½.CE.AK 1 .10 2 .10 2 .10 3. AK 2 A C 1 .10 2 .10 2 AK 1 .10 3 2 10 2 AK 3 10 AK 6 3 d. Jarak titik A ke bidang BCGF = AB = 10 cm e. Jarak titik A ke bidang BDHF = AR (R titik tengah garis BD) K
13
AR = ½ AC = ½ 10 2 = 5 2 cm g. Jarak titik A ke bidang BDE H
G
E
F T D
C R
A
B
Perhatikan persegi panjang ACGE sbb : E
G
T
C
A R L.
Garis AG berpotongan tegak lurus dengan Garis ER dititik T, sehingga jarak A ke Bidang BDE adalah AT. ER = AR 2 AE 2 = 50 100 = 150 = 5 6 cm.
ARE = ½. AR. AE = ½. RE. AT ½. 5 2 .10 = ½ . 5 6 . AT
50 2 = 5 6 . AT AT
=
50 2 5 6
=
10 3 cm 3
h. Jarak AE ke CG = AC = 10 3 i. Jarak ABCD dan EFGH = AC = 10 cm
Tugas I 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH denan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah jarak antara : a. Titik H ke garis AC b. Titik B ke garis AG c. Titik C ke BDG 14
d. garis AE dan CG e. garis AB dan CDHG f. bidang HFC dan DBE 2. Diketahui balok PQRS.TUVW dengan PQ = 4 cm, QR = 3 cm, PT = 6 cm Hitung jarak antara : a. V ke RSTU b. Q ke PRVT 3. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan AB = 10 cm, TA = 12 cm. Hitung jarak antara : a. titik B ke AT b. titik T ke ABCD c. titik A ke TBC 4. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak T ke bidang ABC.
C. PROYEKSI 1. Proyeksi titik pada bidang Jika titik A diluar bidang H, maka proyeksi A pada bidang H ditentukan sebagai berikut : a. Dari titik A dibuat garis g yang tegak lurus bidang H b. Tentukan titik tembus garis g terhadap bidang H, misalnya titik B. Proyeksi titik A pada bidang H adalah B. A
B
2. Proyeksi garis pada bidang Menentukan proyeksi garis pada bidang sama dengan menentukan proyeksi dua buah titik yang terletak pada garis ke bidang itu, dan proyeksi garis tadi pada bidang merupakan garis yang ditarik dari titik-titik hasil proyeksi. a. Jika sebuah garis tegak lurus pada bidang maka proyeksi garis ke bidang itu berupa titik. b. Jika garis sejajar bidang maka proyeksi garis ke bidang merupakan garis yang sejajar dengan garis yang diproyeksikan. 15
Contoh : Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan AB = 5 cm dan TA = 8 cm. Hitunglah panjang proyeksi : a. TB pada bidang ABCD b. TB pada bidang TAC T
D
C O
A
B
a. Proyeksi T pada bidang ABCD adalah titik O. Jadi proyeksi TB pada bidang ABCD = BO BO = ½ .AC =½
AB 2 BC 2
=½
25 25
=½ 5 2 =
5 2 cm 2
b. Proyeksi TB pada bidang TAC = TO TO =
TB 2 BO 2
=
64
=
103 2
=
25 2
1 206 cm 2
Tugas II 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Tentukan dan hitung panjang proyeksi : 16
a. BG pada EFGH b. HF pada ACH c. GO pada BDE (O titik potong AC dan BD) 2. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan AB = 10 cm dan tinggi limas 8 cm. Tentukan dan hitung panjang proyeksi : a. TC pada ABCD b. TA pada TBD 3. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk 6 cm. Titik P ditengah-tengah AB. Hitung panjang proyeksi : a. TB pada ABC b. TP pada ABC c. TB pada TPC
D. SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG 1.
Sudut antara dua garis berpotongan Sudut antara dua garis berpotongan diambil sudut yang lancip. Garis g berpotongan dengan garis h di titik A, sudut yang dibentuk adalah . g
A
h
2. Sudut antara dua garis bersilangan Sudut antara dua garis bersilangan ditentukan dengan membuat garis sejajar salah satu garis bersilangan tadi dan memotong garis yang lain dan sudut yang dimaksud adalah sudut antara dua garis berpotongan itu. h
g h1
Garis g bersilangan dg h Garis h1 sejajar dengan h Memotong g Sudut antara g dan h sama dg Sudut antara g dan h1
3. Sudut antara garis dan bidang Sudut antara garis dan bidang hanya ada jika garis menembus bidang. 17
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis dan proyeksinya pada bidang itu. g
Garis g menembus bidang H dititik A. Proyeksi garis g pada bidang H adalah g1 Sudut antara garis g dengan bidang H Adalah sudut yang dibentuk garis g dg g1 A
g1 H
4. Sudut antara bidang dengan bidang Sudut antara dua bidang terjadi jika kedua bidang saling berpotongan. Untuk menentukannya sbb : a. Tentukan garis potong kedua bidang b. Tentukan sebarang garis pada bidang pertama yang tegak lurus garis potong kdua bidang c. Pada bidang kedua buat pula garis yang tegak lurus garis potong kedua bidang dan berpotongan dengan garis pada bidang pertama tadi. d. Sudut antara kedua bidang sama dengan sudut antara kedua garis tadi g G
(G,H)
H h Bidang G dan H berpotong pada garis (G,H). Garis g pada G tegak lurus gais (G,H). Garis h pada H tegak lurus garis (G,H) Sudut antara bidang G dan H sama dengan sudut antara garis g dan h Contoh
:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang H
rusuk 5 cm. Tentukan :
G
a. Besar sudut antara BG dan bidang ABCD b. Cosinus sudut antara BH dan ABCD
E
F
Jawab : a. Sudut antara BG dengan ABCD adalah sudut CBG = 450 b. Cosinus sudut antara BH dengan ABCD 6 BD 5 2 adalah Cos DBH = = = 3 BH 5 3
D
A
5 cm
C
B 18
Tugas III 1. ABCD.EFGH adalah sebuah balok. Nyatakan dan gambarkan kemudian beri nama sudut antara: a. CH dan ABCD b. AG dan EFGH c. BH dan CDHG 2. T. ABCD adalah limas tegak beraturan. Panjang rusuk alas 4 cm dan panjang rusuk tegak 8 cm. Hitunglah : a. Tan sudut antar TC dan ABCD b. Cos sudut antara TQ dan ABCD dimana Q titik tengah AD 3. Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan AB = 6 cm dan TC = 3 5 cm. Hitung : a. Cosinus sudut antara bidang ABCD dan TDC b. Sinus sudut antara TAB dan TCD 4. Diketahui limas segitiga T.ABC. TA tegak lurus bidang alas. Segitiga ABC siku-siku di B. Panjang AB = 6 cm, BC = 8 cm. Panjang TA = 24 cm. O titik tengah BC. Hitunglah : a. Panjang AC, TC, AO b. tan sudut antara TO dan bidang ABC
19
LEMBAR KERJA SISWA Kelompok: 1. 2. 3. 4. JARAK TITIK KE TITIK DALAM BANGUN RUANG
Masalah diatas merupakan salah satu contoh soal problem solving dalam menentukan jarak titik ke titik. Bagaimanakah menentukan jarak titik ke titik? Untuk mengetahui bagaimana menentukan jarak titik ke titik lengkapi dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini! Jarak Titik ke Titik 1. Tentukan dua titik sebarang pada bidang , misalkan titik-titik tersebut adalah titik …. dan …. 2. Gambarlah beberapa garis/jalur yang menghubungkan kedua titik tersebut.
3. Garis/jalur manakah yang menurutmu mewakili jarak antara titik ….. dan titik …...? Mengapa? …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… Jadi, apa yang dimaksud dengan jarak titik ke titik?
20
Untuk lebih memahami dan terampil dalam menghitung jarak titik ke titik. Perhatikan contoh berikut!
6 cm
Suatu kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk dengan panjang 6 cm. Tentukan: a. Jarak C ke D b. Jarak F ke H c. Jarak E ke C
6 cm 6 cm Penyelesaian: a. Jarak C ke D sama dengan panjang ………….. kubus = …. cm b. Jarak F ke H sama dengan panjang ………………….……….. kubus, yaitu:
+ = √… . . + … . . = √… . . + … . . = √… . . = ….√… . . cm
FH = √
Jadi, jarak F ke H adalah …………. cm c. Jarak E ke C sama dengan panjang ………………………….... kubus, yaitu: Perhatikan ∆ !
+ = √… . . + … . . = √… . . + … . . = √… . . = ….√… . . cm
EC = √
Jadi, jarak E ke C adalah …………. cm
LATIHAN 1. Diketahui sebuah kubus dengan alas ABCD.EFGH Panjang rusuknya 6 cm. K dan L berturut-turut titik potong diagonal sisi ABCD dan EFGH. M adalah titik tengah rusuk BC. Tunjukkan dan hitunglah jarak antara: a. K dan L b. L dan C
21
LEMBAR KERJA SISWA Kelompok: 1. 2. 3. 4. JARAK TITIK KE GARIS DAN TITIK KE BIDANG DALAM BANGUN RUANG
22
Masalah diatas merupakan salah satu contoh soal problem solving dalam menentukan jarak titik ke garis dan jarak titik ke bidang. Bagaimanakah menentukan jarak titik ke garis dan jarak titik ke bidang? Untuk mengetahui bagaimana menentukan jarak titik ke garis dan jarak titik ke bidang lengkapi dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini! Jarak Titik ke Garis 1. Gambarlah garis g dan titik P pada bidang . Titik P terletak di luar garis g. 2. Tentukanlah kedudukan titik R, S, dan T pada garis g. Titik S dan T masing-masing terletak di ujung dan pangkal garis g, sedangkan titik R merupakan proyeksi titik P pada garis g. 3. Gambarlah garis yang melalui titik P dan titik R, titik P dan titik S, titik P dan titik T.
4. Garis manakah yang menurutmu mewakili jarak antara titik P dengan garis g? mengapa? ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… Jadi, apa yang dimaksud dengan jarak titik ke garis?
Untuk lebih memahami dan terampil dalam menghitung jarak titik ke garis. Perhatikan contoh berikut! Suatu kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk dengan panjang 6 cm. Titik P terletak ditengah-tengah rusuk CG. Tentukan: a. Jarak titik P ke garis FB b. Jarak titik B ke garis EG
6 cm 6 cm Penyelesaian: a. Jarak titik P ke garis FB sama dengan panjang ruas garis ….. = …. cm b.
Jarak titik B ke garis EG 23
Langkah-langkah: 1) Tentukan kedudukan titik B dan garis EG. 2) Tentukan titik O yang merupakan titik tengah garis EG. 3) Tariklah garis dari titik B yang melalui titik O. Maka jarak titik B ke garis EG adalah panjang ruas garis …… Perhatikan ∆
siku-siku di O, maka untuk mencari panjang ruas garis …… digunakan
rumus pythagoras, yaitu: ….. = √… . . + … . .
= √… . . + … . . = √… . . + … . . = √… . . = …… cm Jadi, jarak titik B ke garis EG adalah …………. cm Jarak Titik ke Bidang 1. Gambarlah titik P yang terletak di luar bidang . 2. Tentukanlah kedudukan titik A, B, dan C pada bidang α. Titik A dan C merupakan titik sebarang pada bidang α, sedangkan titik B merupakan proyeksi titik P pada bidang α.
3. Hubungkanlah garis yang melalui titik P dan A, titik P dan B, titik P dan C. 4. Garis manakah yang menurutmu mewakili jarak antara titik P dengan bidang α? Mengapa? ………. …………………………………………………..... ……………………………………………………. Jadi, apa yang dimaksud dengan jarak titik ke bidang?
24
Untuk lebih memahami dan terampil dalam menghitung jarak titik ke bidang. Perhatikan contoh berikut! Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk bidang alas AB = 8 cm dan panjang rusuk sisi TA = 9 cm. Tentukan jarak titik puncak T ke bidang alas ABCD! Penyelesaian: Langkah-langkah: 1) Gambarlah garis yang melalui titik T dan menembus bidang ABCD. 2) Tentukan titik potong dari diagonal sisi AC dan BD. Maka jarak titik T ke bidang ABCD adalah panjang ruas garis ………. 3) Tentukanlah segitiga siku-siku mana yang akan digunakan untuk mencari panjang ruas garis…… Kemudian cari nilai panjang ruas garis itu dengan menggunakan rumus Pythagoras seperti pada contohcontoh sebelumnya. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………
LATIHAN 1.
Berapa meter tinggi tugu yang direncanakan dengan gambar khusus seperti pada Gambar 4.2 jika setiap “bola” berdiameter 50 cm?
2.
Berapa jarak terjauh dari permukaan air ke dasar air dalam bejana pada Gambar 4.3 jika ukuran bejana dan kemiringan serta air pengisi yang di dalamnya diketahui banyaknya?
25
LEMBAR KERJA SISWA Kelompok: 1. 2. 3. 4. JARAK GARIS KE GARIS, DAN GARIS KE BIDANG DALAM BANGUN RUANG Petunjuk: Lengkapi dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini! Jarak Garis ke Garis a) Jarak antara dua garis sejajar 1. Gambarlah dua garis g dan h yang sejajar. 2. Gambar garis k yang tegak lurus garis g dan h dan memotong g dan h masing-masing di titik …... dan titik ….. 3. Maka jarak antara garis g dan garis h adalah panjang ruas garis …… Jadi, apa yang dimaksud dengan jarak antara dua garis sejajar?
b) Jarak antara dua garis bersilangan Dua garis dikatakan bersilangan apabila garis tersebut tidak sejajar dan terletak pada dua bidang yang berbeda. Perhatikan kubus ABCD.EFGH ! 1. Tentukan garis AE dan HB yang saling bersilangan, sehingga ada jarak antara garis AE dan HB. 2. Buatlah bidang yang melalui HB dan sejajar AE sehingga diperoleh bidang ……. 3. Proyeksikan AE pada bidang …….. sehingga diperoleh garis ……… 4. Maka jarak antara AE dan HB adalah jarak antara AE dan garis ….. yaitu panjang ruas garis …….
26
Jadi, apa yang dimaksud dengan jarak antara dua garis bersilangan?
Untuk lebih memahami dan terampil dalam menghitung jarak garis ke garis. Perhatikan contoh berikut! ABCD.EFGH adalah kubus dengan panjang rusuk 4 cm. Tentukan jarak antara: a. CD dan EF b. AE dan CH Penyelesaian: a. Jarak antara CD dan EF Garis CD dan EF terletak pada bidang …………. Sehingga CD dan EF merupakan garis yang ………………. Maka jarak CD dan EF diwakilkan dengan ruas garis ……… atau …… Ruas garis ……… merupakan ……………………. kubus Sehingga jarak antara CD dan EF adalah …………. cm b. Jarak antara AE dan CH Garis AE dan CH adalah garis yang …………….. AE sejajar dengan garis …… dan memotong CH di titik H dan membentuk bidang ………….. Garis …… tegak lurus dengan garis CH, sehingga garis …… mewakili jarak AE dan CH. Jadi, jarak antara AE dan CH adalah ……… cm
Jarak antara Garis dan Bidang yang Sejajar 1. Gambarlah garis g yang sejajar bidang 2. Tentukan sebarang titik P pada garis g. Kemudian tariklah garis tegak lurus yang melalui titik P di g dan tegak lurus dengan bidang . 3. Misalkan titik tersebut menembus bidang di titik …..
4. Maka jarak antara garis g dan bidang adalah ruas garis……. Jadi, apa yang dimaksud dengan jarak antara garis dan bidang yang sejajar?
27
LEMBAR KERJA SISWA Kelompok: 1. 2. 3. 4. JARAK BIDANG KE BIDANG DALAM BANGUN RUANG Petunjuk: Lengkapi dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini! Jarak antara Dua Bidang yang Sejajar 1. Gambarlah bidang yang sejajar dengan bidang . 2. Pilih sebarang titik di , misalkan titik ……. 3. Gambarlah garis g yang melalui titik ….. dan tegak lurus bidang di titik …….. 4. Maka panjang ruas garis …… adalah jarak antara bidang dan bidang
Jadi, apa yang dimaksud dengan jarak antara dua bidang yang sejajar?
Untuk lebih memahami dan terampil dalam menghitung jarak antara garis ke bidang dan bidang ke bidang. Perhatikan contoh berikut! Balok ABCD.EFGH memiliki panjang 12 cm, lebar 4 cm, da tinggi 8 cm. Tentukan: a. Jarak FC dengan bidang ADHE b. Jarak bidang ABCD dengan bidang EFGH Penyelesaian: a. Jarak FC dengan bidang ADHE Garis FC sejajar dengan garis ……. pada bidang ADHE Maka jarak antara FC dengan bidang ADHE diwakilkan oleh panjang garis …….. atau ………. = ……. cm b. Jarak bidang ABCD dengan bidang EFGH ABCD dan EFGH merupaka bidang yang …………… Maka jarak antara bidang ABCD dan bidang EFGH diwakilkan oleh panjang garis …. =….. cm 28
LEMBAR KERJA SISWA Kelompok: 1. 2. 3. 4. BESAR SUDUT ANTARA DUA GARIS DAN GARIS DENGAN BIDANG DALAM BANGUN RUANG Petunjuk: Lengkapi dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini! Sudut antara Dua Garis 1. Gambarlah garis g dan garis h yang berpotongan di titik O. Titik P terletak pada garis g dan titik Q terletak pada garis h. 2. Sudut apa saja yang terbentuk oleh garis g dan garis h ? ..…………………………………………. ……………………………………………………. 3. Sudut manakah yang menurutmu merupakan besar sudut antara dua garis yang bersilangan? Mengapa? ………………………………………… …………………………………………………….. …………………………………………………….. Jadi, apa yang dimaksud dengan besar sudut antara dua garis?
Untuk lebih memahami dan terampil dalam menghitung besar sudut antara dua garis. Perhatikan contoh berikut! Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan besar sudut antara garis-garis: a. AB dengan BG b. AH dengan AF c. AB dengan DG Penyelesaian: a. Besar sudut antara garis AB dan garis BG 1) Tentukan kedudukan garis AB dan BG pada kubus ABCD.EFGH 2) Garis AB dan BG merupakan garis yang tegak lurus dan berpotongan di titik ….. Dengan demikian, besar sudut antara garis AB dan BG = …….. b.
Besar sudut antara garis AH dan AF 1) Tentukan kedudukan garis AH dan AF pada kubus ABCD.EFGH 2) Gambarlah garis FH, sehingga garis AH, AF dan FH 29
c.
membentuk bidang segitiga ………………… AFH Dengan demikian, besar sudut antara garis AH dan AF = ………. Besar sudut antara garis AB dan DG 1) Tentukan kedudukan garis AB dan DG pada kubus ABCD.EFGH 2) Garis AB dan DG adalah dua garis yang ………………… 3) DG sejajar dengan garis ……… pada bidang ABFE Dengan demikian, sudut antara garis AB dan DG = …………..
Sudut antara Garis dan Bidang 1. Pada gambar di samping, garis g menembus bidang di titik Q. Titik P terletak pada garis g dan berada di luar bidang .
g
2. Tentukan kedudukan titik P` pada bidang yang merupakan proyeksi dari titik P. 3. Maka sudut antara garis g dan bidang adalah sudut ….. Mengapa? ………………………………………… ……………………………………………………. …………………………………………………….. Jadi, apa yang dimaksud dengan sudut antara garis dan bidang?
Untuk lebih memahami dan terampil dalam menghitung besar sudut antara garis dan bidang. Perhatikan contoh berikut! Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Hitunglah sudut antara ACGE dengan garis BG. Penyelesaian: 1) Tentukan kedudukan bidang ACGE dan garis BG 2) Proyeksikan titik B pada bidang ACGE dengan cara mencari titik potong antara garis AC dan BC. Misalkan titik potong itu adalah titik O. 3) Maka besar sudut antara garis BG dan bidang ACGE adalah besar sudut ……... = Perhatikan ∆ siku-siku di O,
=
= …….. = …………… cm
BG = diagonal sisi kubus = …………….cm maka sin
=
= ………….. 30
= ………… ) = = ……. Jadi, ∠( , 1. Ali, seorang atlet panahan yang sedang mempersiapkan dirinya untuk mengikuti satu pertandingan besar pada akhir tahun 2013. Pada satu sesi latihan di sport center pencatat dan penghitung ketepatan menunjukkan bahwa anak panah Ali meleset dari sasaran yang seharus berjarak 100 m menjadi 110 m. Kemudian Ali mengulangi tembakannya, tetapi masih meleset menjadi 105 m. Hasil antara tembakan pertama, tengah target dan tembakan kedua pada papan target membentuk garis lurus a. Gambarkanlah posisi Ali, jaraknya dan tembakannya beserta ukurannya b. Berilah tanda pada sudut antara jarak tembakan pertama dengan jarak tembakan kedua dengan nama c. Berilah tanda pada sudut antara jarak tembakan pertama dengan jarak yang tepat sasaran dengan nama 2. Pada suatu hari ditemukan sebuah piramida yang alasnya berbentuk persegi dengan ukuran 15 m dan tingginya 10 m. Setelah diselidiki ternyata piramid itu peninggalan pada zaman purbakala berupa kuburan kuno untuk para bangsawan. Rudi ingin mengetahui sudut yang terbentuk antara sisi yang berhadapan yang bertemu pada puncaknya. Dapatkah kamu membantu Rudi ? Jelaskan bagaimana kamu menemukan sudut tersebut!
31
LEMBAR KERJA SISWA Kelompok: 1. 2. 3. 4. BESAR SUDUT BIDANG DENGAN BIDANG DALAM BANGUN RUANG Petunjuk: Lengkapi dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini! Sudut antara Bidang dan Bidang 1. Pada gambar di samping, bidang dan bidang β berpotongan di garis g. Pilihlah sebarang titik pada garis g, misalkan titik tersebut adalah titik ……..
β
2. Lukislah garis h pada bidang α yang tegak lurus garis g dan melalui titik P. 3. Lukislah garis k pada bidang β yang tegak lurus garis g dan melalui titik P.
g
4. Sehingga ∠( , ) = ………..
α
5. Sudut antara garis h dan garis k disebut sudut tumpuan, sedangkan bidang yang melalui garis h dan garis k adalah bidang tumpuan. Jadi, apa yang dimaksud dengan sudut antara garis dan bidang?
Untuk lebih memahami dan terampil dalam menghitung besar sudut antara dua bidang. Perhatikan contoh berikut! Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 5 cm. Titik O merupakan titik potong antara garis AC dan BD. Tentukan sudut yang terbentuk antara bidang ABCD dengan bidang BDG! Penyelesaian: Bidang ABCD beririsan dengan BDG di garis …… Garis pada ABCD yang tegak lurus adalah garis ………. Garis pada BDG yang tegak lurus BD adalah garis ……….. ) = ……………. = Jadi, ∠( , Perhatikan segitiga ………. siku-siku di C tan = ………………………. 32
