Perkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat menghitung perkalian silang dari suatu vektor dan mengetahui contoh aplikasinya
Perkalian silang (cross product) vektor u dan vektor v di Ruang-3 dan mengapit sudut ,
u = (u1, u2, u3)
v = (v1, v2, v3)
maka u v = w di mana w ortogonal terhadap u dan v
uv=
u2 u3 , – u1 u3 , v2 v3 v1 v3 w1
w2
u1 u2 v1 v2 w3
w= uv
Aturan tangan kanan:
Arah genggaman = arah u ke v Arah ibu jari = arah w
u
v
Perkalian silang (cross product)
uv =
u1
u2
u3
v1
v2
v3
Perkalian silang (cross product) Teorema 3.4.1 Jika u, v dan w adalah vektor dalam dimensi 3: u . (u v) = 0 (skalar) v . (u v) = 0 (skalar) || u v ||2= || u ||2 || v ||2 – (u . v)2 u (v w) = (u . w)v – (u . v)w
(u v) w = (u . w)v – (v . w)u
Perkalian silang (cross product) Teorema 3.4.2 Jika u, v dan w adalah vektor dalam dimensi 3: u v = – (v u) u (v + w) = (u v) + (u w)
(u + v) w = (u w) + (v w) k (u v) = (ku) v = u (kv)
u0=0u=0 uu=0
Vektor Satuan Standar (dalam ruang dimensi 3) Vektor-vektor satuan di Ruang-3 : i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1) k
i
i
j j
i
j
k
k
i i = j j = k k = 0 (vektor nol)
ij = k
jk = i
ki = j
ji =–k
kj =–i
ik =–j
Dengan demikian jika u dan v dinyatakan dalam i, j, k, maka uv =
i
j
k
u1
u2
u3
v1
v2
v3
Catatan: u = (u1, u2, u3) = (u1, 0, 0) + (0, u2, 0) + (0, 0, u3) = (u1, 0, 0) + (0, u2, 0) + (0, 0, u3) = u1i + u2j + u3k
Teorema 3.4.1 & 3.4.2:
Teorema 3.4.3 & 3.4.4:
u . (u v) = 0 (skalar)
Jika u dan v merupakan vektor
v . (u v) = 0 (skalar)
di Ruang-3 maka || u v || adalah
|| u v ||2= || u ||2 || v ||2 – (u . v)2
luas jajaran genjang yang
u (v w) = (u . w)v – (u . v)w
dibentuk oleh u dan v.
(u v) w = (u . w)v – (v . w)u
u = (u1, u2, u3); v = (v1, v2, v3); w = (w1, w2, w3)
u v = – (v u)
u1 u2 u3
u (v + w) = (u v) + (u w)
v1 v2 v3
(u + v) w = (u w) + (v w)
w1 w2 w3
k (u v) = (ku) v = u (kv)
adalah volume parallelepipedum
u0=0u=0
yang dibentuk u, v, w (ambil harga mutlaknya)
uu=0
i u v u1 v 1 u =i 2 v2 Contoh :
j u2 v2
k u3 v3
u3 u1 j v3 v1
u3 u1 k v3 v1
i u (1, 2, 2) u v 1 v (3, 0,1) 3
u (1,1,2), v (0,3,1) vu i
3 1 0 1 0 3 j k 1 2 1 2 1 1
v u 7i j 3k
j 2 0
u2 v2
k 2 2i 7 j 6k 1
Contoh (3) : Carilah luas segitiga yang dibentuk titik P1(2,2,0), P2(-1,0,2), P3(0,4,3) Penyelesaian : P1P2 = (-3,-2,2), P1P3 = (-2,2,3) 1 ( P1P 2 P1P3) 2 i j k 1 1 Luas segitiga A 3 2 2 10i 5 j 10k 2 2 2 2 3 Luas segitiga A
Luas segitiga A
1 1 15 100 25 100 225 2 2 2
Teorema : Jika u dan v adalah vektor berdimensi 3, maka ||u x v|| merupakan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh u dan v Contoh : hitung luas jajaran genjang yang dibentuk oleh 3 titik dicontoh sebelumnya Penyelesaian : Luas = 2 x luas segitiga = 2 x 15/2 = 15
Teorema : jika u,v, dan w merupakan vektor dimensi 3, maka sebagai hasil skalar ganda tiga dari u,v, dan w
u1 u (v w) v1
u2 v2
u3 v3
w1
w2
w3
u.(v × w ) disebut
Contoh: hitung u.(v × w ) dengan u = 3i – 2j – 5k, v = i +4j – 4k, w = 3j + 2k Penyelesaian :
3 2 5 u (v w) 1
4
4
0
3
2
u (v w) 3
4 4 3
2
2
1 4 0
2
5
1 4 0 3
49
Garis dan Bidang di Ruang-3
Bidang Datar: Persamaan normal-titik (point normal form): Titik Po(xo,yo,zo) dan titik P(x, y, z) terletak di bidang datar Vektor normal n = (a, b, c) ortogonal terhadap bidang Vektor PoP = (x – xo, y – yo, z –zo) n = (a, b, c) Karena n ortogonal terhadap , maka n juga ortogonal terhadap vektor PoP, sehingga
P
Po
n . Po P = 0 Bidang Datar dinyatakan dengan persamaan:
a(x – xo) + b(y – yo) + c(z –zo) = 0
Bidang Datar: a(x – xo) + b(y – yo) + c(z –zo) = 0 Contoh : Tentukan persamaan bidang yang melewati titik (3,-1,7) dan tegak lurus terhadap vektor n = (4,2,-5) Penyelesaian : 4(x-3) + 2(y+1) – 5(z-7) = 0 Jadikan bentuk ax + by + cz + d = 0 Maka persamaan bidang adalah 4x + 2y – 5z + 25 = 0
Bidang Datar:
a(x – x ) + b(y – y ) + c(z –z ) = 0
o o o Contoh : Tentukan persamaan suatu bidang yang melewati titik-titik P1(1,2,-1), P2(2,3,1), dan P3 (3,-1,2).
Penyelesaian : Karena ketiga titik terletak pada satu bidang, maka tentukan P1P2 dan P1P3 Berdasarkan hal tersebut, maka P1P2 x P1P3 adalah normal terhadap bidang tersebut x , y , z boleh dipilih dari salah satu titik P , P , atau P 0
0
0
P1P2 = (2-1, 3-2, 1+1) = (1,1,2) P1P3 = (3-1, -1-2, 2+1) = (2,-3,3)
1
2
P1P2 x P1P3 = (9,1,-5)
3
Persamaan bidang 9(x-1) + (y-2) – 5(z+1) = 0
Bentuk umum Persamaan Bidang Datar: Dari Persamaan Normal-titik (point normal form):
a(x – xo) + b(y – yo) + c(z –zo) = 0 ax + by + cz + (– axo – byo – czo) = 0 ax + by + cz +
n = (a, b, c)
Po
=0
Bidang Datar dinyatakan dengan persamaan : P
d
ax + by + cz + d = 0
Bidang Datar: Bentuk vektor Persamaan Bidang Datar:
Dalam Persamaan normal-titik P dan Po dianggap sebagai titik. Jika r = vektor OP dan ro = vektor OPo, maka vektor PoP = r – ro (di sini titik O adalah titik awal koordinat Cartesius) P
r – ro
r O
ro
Po
Dari n . PoP = 0 diperoleh n . (r – ro) = 0
Persamaan Garis Lurus di Ruang-3: Bentuk Parametrik Persamaan Garis Lurus: P(x, y, z)
Vektor PoP sejajar dengan vektor v
PoP = (x – xo, y – yo, z – zo)
Po(xo, yo, zo)
(a, b, c) PoP = tv (t skalar)
v
(x – xo, y – yo, z – zo) = t(a, b, c)
x – xo= ta
x = xo+ ta
y – yo = tb
y = yo + tb
z – zo = tc
z = zo + tc
Persamaan Parametrik
Persamaan Garis Lurus di Ruang-3: Contoh Garis yang melewati titik (1,2,-3) dan sejajar dengan vektor v= (4,5,-7) memiliki persamaan parametrik :
x = 1 + 4t
y = 2 + 5t
z = -3 - 7t
Contoh Tentukan persamaan parametrik untuk garis l yang melewati titik P1 (2,4,-1) dan P2 (5,0,7), dan dimanakah garis tersebut memotong bidang xy? Penyelesaian : a) Persamaan parametrik : P1P2 = (5-2, 0-4, 7+1) = (3,-4,8)
x = 2 + 3t, y = 4-4t, z = -1+8t
b) Memotong bidang xy, maka z = -1+8t = 0 t = 1/8 (x,y,z) = (19/8, 7/2, 0)
Persamaan Garis Lurus di Ruang-3 Bentuk vektoris Persamaan Garis Lurus: r - ro
P(x, y, z)
r
Po(xo, yo, zo)
(a, b, c)
ro v
r – ro sejajar v r – ro = tv
r = ro + tv
Jarak dari sebuah titik ke bidang datar n = (a, b, c)
.
Po(xo, yo, zo)
D
D = || projn QPo || = | QPo . n | / || n || = | n . QPo | / || n || n = (a, b)
.
Q(x1, y1, z1)
Persamaan bidang: ax + by + cz + d = 0 n . QPo
= a(xo – x1) + b(yo – y1) + c(zo – z1) = axo – ax1 + byo – by1 + czo – cz1 = axo + byo + czo – ax1 – by1 – cz1
QPo = (xo – x1, yo – y1, zo – z1)
Jarak dari sebuah titik ke bidang datar n = (a, b, c)
.
Po(xo, yo, zo)
D
.
Q(x1, y1, z1)
Persamaan bidang: ax + by + cz + d = 0 Karena Q terletak di bidang ini, maka ax1 + by1 + cz1 + d = 0 atau
d = – ax1 – by1 – cz1
|| n || = a2 + b2 n . QPo = a(xo – x1) + b(yo – y1) + c(zo – z1) = axo – ax1 + byo – by1 + czo – cz1 = axo + byo + czo – ax1 – by1 – cz1
= axo + byo + czo + d
D = | n . QPo | / || n ||
= |a xo + byo + czo + d | / a2 + b2+c2
Jarak dari sebuah titik ke bidang datar
Jarak dari sebuah titik ke bidang datar
Tentukan jarak D antara titik (1,-4,-3) dengan bidang 2x -3y +6z = -1 Penyelesaian Bidang : 2x – 3y + 6z + 1 = 0 𝐷=
2 1 + −3 −4 + 6 −3 + 1 22 + (−3)2 +62
Jarak antara bidang-bidang sejajar Bidang x + 2y -2z =3 dan 2x + 4y -4z = 7 Adalah sejajar karena normalnya adalah (1,2,-2) dan (2,4,-4). Tentukan jarak antara kedua bidang tersebut. Penyelesaian : Pilih salah satu titik dari sebarang bidang hitung jaraknya terhadap bidang lain Misal masukkan y = z = 0 ke x + 2y -2z =3 maka diperoleh titik P(3,0,0). Hitung jarak antara titik P(3,0,0) dengan bidang 2x + 4y -4z = 7
𝐷=
2 3 + 4 0 + −4 0 − 7 22 + 42 + (4)2
1 = 6
.. end of slide ..
THANK YOU *(^_^)*