erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3

Perkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan :  Dapat menghitung perkalian silang dari suatu vektor dan mengetahui contoh aplikasinya

Perkalian silang (cross product) vektor u dan vektor v di Ruang-3 dan mengapit sudut ,

u = (u1, u2, u3)

v = (v1, v2, v3)

maka u  v = w di mana w ortogonal terhadap u dan v

uv=

u2 u3 , – u1 u3 , v2 v3 v1 v3 w1

w2

u1 u2 v1 v2 w3

w= uv

Aturan tangan kanan:

Arah genggaman = arah u ke v Arah ibu jari = arah w

u

 v

Perkalian silang (cross product)

uv =

u1

u2

u3

v1

v2

v3

Perkalian silang (cross product) Teorema 3.4.1 Jika u, v dan w adalah vektor dalam dimensi 3: u . (u  v) = 0 (skalar) v . (u  v) = 0 (skalar) || u  v ||2= || u ||2 || v ||2 – (u . v)2 u  (v  w) = (u . w)v – (u . v)w

(u  v)  w = (u . w)v – (v . w)u

Perkalian silang (cross product) Teorema 3.4.2 Jika u, v dan w adalah vektor dalam dimensi 3: u  v = – (v  u) u  (v + w) = (u  v) + (u  w)

(u + v)  w = (u  w) + (v  w) k (u  v) = (ku)  v = u  (kv)

u0=0u=0 uu=0

Vektor Satuan Standar (dalam ruang dimensi 3) Vektor-vektor satuan di Ruang-3 : i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1) k

i

i

j j

i

j

k

k

i  i = j  j = k  k = 0 (vektor nol)

ij = k

jk = i

ki = j

ji =–k

kj =–i

ik =–j

Dengan demikian jika u dan v dinyatakan dalam i, j, k, maka uv =

i

j

k

u1

u2

u3

v1

v2

v3

Catatan: u = (u1, u2, u3) = (u1, 0, 0) + (0, u2, 0) + (0, 0, u3) = (u1, 0, 0) + (0, u2, 0) + (0, 0, u3) = u1i + u2j + u3k

Teorema 3.4.1 & 3.4.2:

Teorema 3.4.3 & 3.4.4:

u . (u  v) = 0 (skalar)

Jika u dan v merupakan vektor

v . (u  v) = 0 (skalar)

di Ruang-3 maka || u  v || adalah

|| u  v ||2= || u ||2 || v ||2 – (u . v)2

luas jajaran genjang yang

u  (v  w) = (u . w)v – (u . v)w

dibentuk oleh u dan v.

(u  v)  w = (u . w)v – (v . w)u

u = (u1, u2, u3); v = (v1, v2, v3); w = (w1, w2, w3)

u  v = – (v  u)

u1 u2 u3

u  (v + w) = (u  v) + (u  w)

v1 v2 v3

(u + v)  w = (u  w) + (v  w)

w1 w2 w3

k (u  v) = (ku)  v = u  (kv)

adalah volume parallelepipedum

u0=0u=0

yang dibentuk u, v, w (ambil harga mutlaknya)

uu=0

 i  u  v   u1 v  1 u =i  2  v2 Contoh :

j u2 v2

k   u3  v3  

u3   u1  j   v3   v1

u3   u1  k   v3   v1

i u  (1, 2, 2)    u  v   1 v  (3, 0,1)   3 

u  (1,1,2), v  (0,3,1) vu  i

3 1 0 1 0 3 j k 1 2 1 2 1 1

v  u  7i  j  3k

j 2 0

u2   v2 

k   2   2i  7 j  6k 1  

Contoh (3) : Carilah luas segitiga yang dibentuk titik P1(2,2,0), P2(-1,0,2), P3(0,4,3) Penyelesaian : P1P2 = (-3,-2,2), P1P3 = (-2,2,3) 1 ( P1P 2  P1P3) 2 i j k 1 1 Luas segitiga A   3  2 2   10i  5 j  10k 2 2 2 2 3 Luas segitiga A 

Luas segitiga A 

1 1 15 100  25  100  225  2 2 2

Teorema : Jika u dan v adalah vektor berdimensi 3, maka ||u x v|| merupakan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh u dan v Contoh : hitung luas jajaran genjang yang dibentuk oleh 3 titik dicontoh sebelumnya Penyelesaian : Luas = 2 x luas segitiga = 2 x 15/2 = 15

Teorema : jika u,v, dan w merupakan vektor dimensi 3, maka sebagai hasil skalar ganda tiga dari u,v, dan w

u1 u  (v  w)  v1

u2 v2

u3 v3

w1

w2

w3

u.(v × w ) disebut

Contoh: hitung u.(v × w ) dengan u = 3i – 2j – 5k, v = i +4j – 4k, w = 3j + 2k Penyelesaian :

3 2 5 u  (v  w)  1

4

4

0

3

2

u  (v  w)  3

4 4 3

2

2

1 4 0

2

5

1 4 0 3

 49

Garis dan Bidang di Ruang-3

Bidang Datar: Persamaan normal-titik (point normal form): Titik Po(xo,yo,zo) dan titik P(x, y, z) terletak di bidang datar  Vektor normal n = (a, b, c) ortogonal terhadap bidang  Vektor PoP = (x – xo, y – yo, z –zo) n = (a, b, c) Karena n ortogonal terhadap , maka n juga ortogonal terhadap vektor PoP, sehingga

P 

Po

n . Po P = 0 Bidang Datar  dinyatakan dengan persamaan:

a(x – xo) + b(y – yo) + c(z –zo) = 0

Bidang Datar: a(x – xo) + b(y – yo) + c(z –zo) = 0 Contoh : Tentukan persamaan bidang yang melewati titik (3,-1,7) dan tegak lurus terhadap vektor n = (4,2,-5) Penyelesaian : 4(x-3) + 2(y+1) – 5(z-7) = 0 Jadikan bentuk ax + by + cz + d = 0 Maka persamaan bidang adalah  4x + 2y – 5z + 25 = 0

Bidang Datar:

a(x – x ) + b(y – y ) + c(z –z ) = 0

o o o Contoh : Tentukan persamaan suatu bidang yang melewati titik-titik P1(1,2,-1), P2(2,3,1), dan P3 (3,-1,2).

Penyelesaian : Karena ketiga titik terletak pada satu bidang, maka tentukan P1P2 dan P1P3 Berdasarkan hal tersebut, maka P1P2 x P1P3 adalah normal terhadap bidang tersebut x , y , z boleh dipilih dari salah satu titik P , P , atau P 0

0

0

P1P2 = (2-1, 3-2, 1+1) = (1,1,2) P1P3 = (3-1, -1-2, 2+1) = (2,-3,3)

1

2

P1P2 x P1P3 = (9,1,-5)

3

Persamaan bidang 9(x-1) + (y-2) – 5(z+1) = 0

Bentuk umum Persamaan Bidang Datar: Dari Persamaan Normal-titik (point normal form):

a(x – xo) + b(y – yo) + c(z –zo) = 0 ax + by + cz + (– axo – byo – czo) = 0 ax + by + cz +

n = (a, b, c)

Po

=0

Bidang Datar  dinyatakan dengan persamaan : P



d

ax + by + cz + d = 0

Bidang Datar: Bentuk vektor Persamaan Bidang Datar:

Dalam Persamaan normal-titik P dan Po dianggap sebagai titik. Jika r = vektor OP dan ro = vektor OPo, maka vektor PoP = r – ro (di sini titik O adalah titik awal koordinat Cartesius) P

r – ro

r O

ro

Po

Dari n . PoP = 0 diperoleh n . (r – ro) = 0

Persamaan Garis Lurus di Ruang-3: Bentuk Parametrik Persamaan Garis Lurus: P(x, y, z)

Vektor PoP sejajar dengan vektor v



PoP = (x – xo, y – yo, z – zo)

Po(xo, yo, zo)



(a, b, c) PoP = tv (t skalar)

v

(x – xo, y – yo, z – zo) = t(a, b, c)

x – xo= ta

x = xo+ ta

y – yo = tb

y = yo + tb

z – zo = tc

z = zo + tc

Persamaan Parametrik

Persamaan Garis Lurus di Ruang-3: Contoh Garis yang melewati titik (1,2,-3) dan sejajar dengan vektor v= (4,5,-7) memiliki persamaan parametrik :

x = 1 + 4t

y = 2 + 5t

z = -3 - 7t

Contoh Tentukan persamaan parametrik untuk garis l yang melewati titik P1 (2,4,-1) dan P2 (5,0,7), dan dimanakah garis tersebut memotong bidang xy? Penyelesaian : a) Persamaan parametrik : P1P2 = (5-2, 0-4, 7+1) = (3,-4,8)

x = 2 + 3t, y = 4-4t, z = -1+8t

b) Memotong bidang xy, maka z = -1+8t = 0  t = 1/8  (x,y,z) = (19/8, 7/2, 0)

Persamaan Garis Lurus di Ruang-3 Bentuk vektoris Persamaan Garis Lurus: r - ro



P(x, y, z)

r



Po(xo, yo, zo)

(a, b, c)

ro v

r – ro sejajar v r – ro = tv

r = ro + tv

Jarak dari sebuah titik ke bidang datar n = (a, b, c)

.

Po(xo, yo, zo)

D

D = || projn QPo || = | QPo . n | / || n || = | n . QPo | / || n || n = (a, b)

.

Q(x1, y1, z1)

Persamaan bidang: ax + by + cz + d = 0 n . QPo

= a(xo – x1) + b(yo – y1) + c(zo – z1) = axo – ax1 + byo – by1 + czo – cz1 = axo + byo + czo – ax1 – by1 – cz1

QPo = (xo – x1, yo – y1, zo – z1)

Jarak dari sebuah titik ke bidang datar n = (a, b, c)

.

Po(xo, yo, zo)

D

.

Q(x1, y1, z1)

Persamaan bidang: ax + by + cz + d = 0 Karena Q terletak di bidang ini, maka ax1 + by1 + cz1 + d = 0 atau

d = – ax1 – by1 – cz1

|| n || =  a2 + b2 n . QPo = a(xo – x1) + b(yo – y1) + c(zo – z1) = axo – ax1 + byo – by1 + czo – cz1 = axo + byo + czo – ax1 – by1 – cz1

= axo + byo + czo + d

D = | n . QPo | / || n ||

= |a xo + byo + czo + d | / a2 + b2+c2

Jarak dari sebuah titik ke bidang datar

Jarak dari sebuah titik ke bidang datar

Tentukan jarak D antara titik (1,-4,-3) dengan bidang 2x -3y +6z = -1 Penyelesaian Bidang : 2x – 3y + 6z + 1 = 0 𝐷=

2 1 + −3 −4 + 6 −3 + 1 22 + (−3)2 +62

Jarak antara bidang-bidang sejajar Bidang x + 2y -2z =3 dan 2x + 4y -4z = 7 Adalah sejajar karena normalnya adalah (1,2,-2) dan (2,4,-4). Tentukan jarak antara kedua bidang tersebut. Penyelesaian : Pilih salah satu titik dari sebarang bidang  hitung jaraknya terhadap bidang lain Misal masukkan y = z = 0 ke x + 2y -2z =3 maka diperoleh titik P(3,0,0).  Hitung jarak antara titik P(3,0,0) dengan bidang 2x + 4y -4z = 7

𝐷=

2 3 + 4 0 + −4 0 − 7 22 + 42 + (4)2

1 = 6

.. end of slide ..

THANK YOU *(^_^)*