GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG EUCLID BERDIMENSI N
SKRIPSI Diajukan dalam rangka menyelesaikan Studi Strata Satu untuk mencapai gelar Sarjana Sains
Oleh Nama
: M SOLIKIN ADRIANSAH
NIM
: 4150402019
Program Studi
: Matematika S1
Jurusan
: Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2006
ABSTRAK
M Solikin Adriansah, Garis dan Bidang Dalam Ruang Euclid Berdimensi N, Semarang, Skripsi, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Semarang 2006
Sistem geometri yang dipelajari dari sekolah dasar hingga sekolah menengah merupakan suatu sistem geometri yang dikembangkan oleh Euclides, sehingga dinamakan Geometri Euclid atau dapat disebut dengan Geometri seperti yang kita kenal sekarang. Meskipun pada tingkatan universitas diperkenalkan sistem lain dari geometri yaitu geometri non-euclid. Gagasan digunakannya pasangan bilangan terurut lebih dari tiga atau dalam ruang dimensi-3, karena para ahli matematika dan fisika menyadari bahwa tidak harus berhenti pada ganda tiga. Diakui bahwa bahwa bilangan – bilangan ganda empat ( a1 , a 2 , a 3 , a 4 ) dapat dikorespondensikan sebagai titik – titik dalam ruang dimensi-4 dan seterusnya. Garis dan bidang merupakan obyek yang cukup penting untuk dibahas dan menjadi pijakan awal dari geometri, sehingga konsep garis dan bidang sering digunakan dalam geometri. Perluasan garis dan bidang pada ruang yang melebihi dimensi-3 dapat dilakukan yaitu dengan bekerja melalui sifat – sifat analitisnya dan bukan melalui sifat – sifat geometris. Simpulan dari penulisan ini adalah bahwa persamaan garis lurus (real line) n di R merupakan suatu persamaan parametrik yang berbentuk X n = a n + α n t . Bidang datar dalam R n merupakan suatu bidang datar-n (hyperplane) yang 2 memiliki persamaan x , a = a .
ii
HALAMAN PENGESAHAN
iii
MOTTO dan PERSEMBAHAN
MOTTO ª Ilmu itu lebih cantik dari mangkuk yang cantik, orang
yang
menuntut
ilmu
itu
lebih
manis
dari
madu, dan ber’amal dengan ilmu yang dimiliki itu lebih sulit dari meniti sehelai rambut. (Usman bin Affan) ª Sebaik – baik isteri adalah jika kamu memandangnya membuat
hatimu
senang,
jika
kamu
perintah
dia
mentaatimu, dan jika kamu tinggal maka dia akan menjaga untukmu harta dan dirinya. ( Ibnu Jahir)
PERSEMBAHAN ª Bapak dan Mamah yang memberikan doa dan kasih sayangnya. ª M’Lel, Bekti, Drajat dan Ayu . ª Someone in Somewhere, Wait me. ª Adit,
Pirlo,
Bira,
dan
Pilar
“capek”. ª Fina, Asih, Isti, Diana, Cahya dan Dewi. ª M’ Tamie dan Ida. ª Raras thanks for everything. ª Teman – teman ’02. Ayo berjuang!
iv
KATA PENGANTAR
Segala puji hanya bagi ALLAH SWT atas segala limpahan rahmat dan hidayah-Nya, sehinggga dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “ GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG EUCLID BERDIMENSI N “. Terselesaikannya skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak, oleh karena itu disampaikan ucapan terima kasih kepada: 1. Prof. Dr. A. T. Soegito, SH, MM, Rektor Universitas Negeri Semarang. 2. Drs. Kasmadi Imam S, M. S, Dekan FMIPA UNNES. 3. Drs. Supriyono, M. Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA UNNES. 4. Drs. Suhito, M. Pd, Dosen pembimbing utama yang telah membimbing dan memberikan masukan dalam penulisan skripsi. 5. Drs. Amin Suyitno, M. Pd, Dosen pembimbing pendamping yang telah membimbing dan memberikan masukan dalam penulisan skripsi ini. 6. Bapak dan Mamah yang selalu mendoakan. 7. Kakakku terima kasih atas bantuannya semoga aku dapat melakukan hal yang sama. 8. Teman – teman angkatan 2002 yang memberikan semangat untuk terus berjuang dalam menyelesaikan skripsi ini. 9. Semua pihak yang tidak dapat kami sebutkan satu persatu yang telah membantu terselesaikannya skripsi ini.
v
Bagaimanapun penulisan skripsi ini setidaknya dapat membantu bagi pembaca, oleh karena itu dengan segala kerendahan hati penulis menerima kritik dan saran. Semoga penulisan skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca. Semarang,
September 2006
Penulis
vi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ..............................................................................................i ABSTRAK .............................................................................................................ii HALAMAN PENGESAHAN ..............................................................................iii MOTTO dan PERSEMBAHAN .........................................................................iv KATA PENGANTAR ...........................................................................................v DAFTAR ISI ........................................................................................................vii BAB I PENDAHULUAN .........................................................................1
A. Latar Belakang Masalah ............................................................1 B. Permasalahan .............................................................................4 C. Tujuan Penulisan .......................................................................3 D. Manfaat Penulisan .....................................................................5 E. Penegasan Istilah .......................................................................6 F. Sistematika Skripsi ....................................................................7 BAB II LANDASAN TEORI .................................................................10
A. Ruang Linear ...........................................................................11 1. Ruang Linear .....................................................................11 2. Ruang Bagian dari Ruang Linear ......................................23 3. Ruang Linear Bernorma ....................................................23 4. Ruang Inner Product .........................................................25 B. Ruang Vektor .........................................................................12 1. Ruang Vektor ....................................................................11
vii
2. Hasil Kali Dalam dan Norm ..............................................23 C. Ruang Metrik ..........................................................................13 BAB III METODE PENELITIAN ...........................................................20
A. Kajian Pustaka .........................................................................11 B. Perumusan Masalah ................................................................12 C. Pemecahan Masalah ................................................................23 D. Penarikan Simpulan ................................................................56 BAB IV PEMBAHASAN ...........................................................................40
A. Titik .........................................................................................11 B. Garis Lurus Real .....................................................................12 1. Persamaan Garis lurus-n ...................................................22 2. Sudut Antara Dua Garis Lurus-n .......................................33 3. Jarak Titik terhadap Garis Lurus-n ...................................36 4. Jarak Antara Dua garis Lurus-n ........................................36 C. Bidang Datar-n ........................................................................13 1. Persamaan Bidang Datar-n ................................................22 2. Persamaan Hesse Bidang Datar-n .....................................33 3. Jarak Titik terhadap Bidang Datar-n .................................23 4. Kedudukan Dua Bidang Datar-n .......................................23 BAB V PENUTUP ......................................................................................45
A. Simpulan ...........................................................................11 B. Saran ..................................................................................22 DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................................22
viii
BAB I PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang Masalah Kata “ geometri ” berasal dari bahasa Yunani yang berarti “ ukuran bumi “. Maksudnya mencakup segala sesuatu yang ada di bumi. Geometri kuno sebagian dimulai dari pengukuran praktis yang diperlukan untuk pertanian orang-orang Babylonia dan Mesir. Kemudian hal tersebut diperluas untuk perhitungan panjang ruas garis, luas dan volum. Hasilhasil ini sering dinyatakan sebagai deret arimetika yang secara empiris tidak benar (Wallace dalam Mulyati, 1). Menurut tradisi, mempelajari geometri penting karena geometri telah menjadi alat utama untuk mengajar seni berpikir. Dengan berjalannya waktu, geometri telah berkembang menjadi pengetahuan yang disusun secara menarik dan logis. Geometri terutama terdiri dari serangkaian pernyataan tentang titik-titik, garis-garis, dan bidang-bidang, dan juga planar (proyeksi bidang) dan benda-benda padat. Geometri dimulai dari istilah-istilah yang tidak terdefinisikan, definisi-definisi, aksioma-aksioma, postulat-postulat dan selanjutnya teorema-teorema. Berdasarkan
sejarah,
geometri
telah
mempunyai
banyak
penerapan yang sangat penting, misalnya dalam mensurvei tanah, pembangunan jembatan, pembangunan stasiun luar angkasa dan lain sebagainya.
2
Geometri adalah sistem pertama untuk memahami ide. Dalam geometri beberapa pernyataan sederhana diasumsikan, dan kemudian ditarik menjadi pernyataan-pernyataan yang lebih kompleks. Sistem seperti ini disebut sistem deduktif. Geometri mengenalkan tentang ide konsekuensi deduktif dan logika yang dapat digunakan sepanjang hidup. Dalam mendefinisikan sebuah kata, pertama digunakan kata yang lebih sederhana kemudian kata yang lebih sederhana ini pada gilirannya didefinisikan menjadi kata yang lebih sederhana lagi, sehingga pada akhirnya, proses tersebut akan berakhir. Pada beberapa tingkatan, definisi harus menggunakan sebuah kata yang artinya sudah sangat jelas, ini dikarenakan agar artinya diterima tanpa memerlukan definisi lagi, dengan kata lain dapat disebut dengan istilah tak terdefinisikan (undefined term). Garis dan bidang merupakan salah satu contoh dari istilah tak terdefinisikan yang menjadi pijakan awal dari geometri, sehingga konsep garis dan bidang sering digunakan dalam geometri. Misalnya adalah perpotongan dari dua bidang akan menghasilkan sebuah garis yang terletak pada dua bidang yang saling berpotongan. Kubus, balok dan lain sebagainya merupakan kumpulan dari bidang – bidang, walaupun bidang merupakan perpotongan dari beberapa garis. Dari contoh di atas dapat dipahami bahwa garis dan bidang merupakan faktor dasar geometri, tentunya dengan tidak melupakan bahwa titik juga merupakan dasar dari geometri.
3
Sistem dari geometri yang dipelajari dari sekolah dasar hingga menengah merupakan geometri yang didasarkan atas postulat ataupun aksioma yang dikemukakan oleh Euclides yang biasa disebut geometri euclid, meskipun pada tingkat universitas diperkenalkan sistem lain dari geometri yaitu geometri non-euclid. Gagasan digunakannya pasangan bilangan terurut lebih dari tiga, karena para ahli matematika dan fisika menyadari bahwa tidak harus berhenti pada ganda tiga. Diakui bahwa bilangan ganda empat
( a1 , a 2 , a 3 , a 4 )
ruang dimensi-4, ganda lima
dapat dianggap sebagai titik pada
( a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 )
sebagai titik pada ruang
dimensi-5 dan seterusnya. Walaupun visualisasi geometrik tidak melebihi ruang dimensi tiga. Perluasan garis dan bidang pada ruang yang melebihi dimensi-3 dapat dilakukan yaitu dengan bekerja melalui sifat – sifat analitisnya dan bukan melalui sifat – sifat geometris. Dari latar belakang di atas maka judul dari skripisi ini adalah GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG
EUCLID BERDIMENSI N
B.
Permasalahan Permasalahan yang dikaji dalam penulisan ini adalah 1.
Bagaimana bentuk dari persamaan garis lurus-n dan bidang datar-n?
2.
Bagaimana persamaan kedudukan dua garis lurus-n dan dua bidang datar-n?
4
3.
Bagaimana persamaan sudut dua garis lurus-n dan dua bidang datarn?
4.
Bagaimana persamaan jarak antara sebuah titik dengan garis lurus-n dan jarak antara dua garis lurus-n?
5.
Bagaimana persamaan jarak antara sebuah titik dengan bidang datarn?
C.
Tujuan Penulisan Tujuan penulisan ini adalah untuk mengetahui persamaan dari garis lurus-n dan didang datar-n serta relasi yang terkait dengan gair lurusn dan bidang datar-n
D.
Manfaat Penulisan Dari hasil penulisan ini diharapkan dapat digunakan sebagai sumbangan pemikiran bagi mahasiswa Universitas Negeri Semarang, khususnya Jurusan Matematika yang ingin mengembangkan penulisan ini.
E.
Penegasan Istilah 1. Garis Sebuah garis (garis lurus) dapat dibayangkan sebagai kumpulan dari titik – titik yang memanjang secara tak terhingga ke kedua arah. ( Kohn, 2003 : 4 )
5
2. Bidang Sebuah bidang dapat dianggap sebagai kumpulan titik yang jumlahnya tak terhingga yang membentuk permukaan rata yang melebar ke segala arah sampai tak terhingga. ( Kohn, 2003 : 4 )
3. Ruang Euclid Dimensi N Jika n bilangan bulat positif maka himpunan dari n bilangan real (x 1 ,x 2 ,...,x n ) adalah sebuah titik atau vektor pada dimensi n yang dinotasikan dengan R n = { (x1 , x 2 , ... , x n ) x1 , x 2 , ... , x n ∈ R }. Ruang linear R n dan ruang vektor R n yang dilengkapi oleh suatu inner
product dan dinotasikan dengan
{R
n
, x,y
} disebut
ruang Euclid
dimensi n (Euclidean n-space). ( Ruckle, 1961 : 31 )
F.
Sistematika Skripsi Bab I
Pendahuluan Bab ini berisi tentang latar belakang masalah, penegasan istilah, permasalahan, tujuan, manfaat dan sistematika dari penulisan skripsi.
Bab II Landasan Teori Pada bab ini berisi pokok-pokok, dasar-dasar dan teorema yang akan digunakan sebagai pedoman dalam pembahasan.
6
Bab III Metode Penelitian Bab
ini
berisi
langkah-langkah
yang
digunakan
dalam
penyusunan skripsi ini.
Bab IV Pembahasan Bab ini berisi garis dan bidang yang terdiri dari persamaan garis dan bidang, kedudukan dua garis dan dua bidang serta jarak garis dan bidang dalam ruang Euclid berdimensi n
Bab V Penutup Bab ini beisi simpulan dan saran yang diperoleh dari hasil pembahasan.
BAB II LANDASAN TEORI
A.
Ruang Linear 1. Ruang Linear Definisi A.1 Sebuah ruang linear atas lapangan F adalah sebuah himpunan E yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan E × E → E dan operasi perkalian F × E → E dimana kedua operasi tersebut harus memenuhi aksioma-aksioma berikut. a. Untuk semua x, y, z di E berlaku x + (y + z ) = (x + y ) + z. b. Untuk semua x,y di E berlaku x + y = y + x. c. Ada elemen identitas 0 di E sehingga x + 0 = x untuk setiap x di E. d. Untuk semua x di E, ada elemen –x di E sehingga x + (- x ) = 0 . e. Untuk semua a, b di F dan x di E berlaku a (bx ) = (ab )x.
f. Untuk semua a, b di F dan x di E berlaku (a + b )x = ax + bx. g. Untuk semua a di F dan x, y di E berlaku a (x + y ) = ax + ay. h. Untuk semua x di E berlaku 1x = x. ( Ruckle, 1961 : 31 )
8
Contoh A.1.1 Selidiki apakah Rn dengan operasi penjumlahan dan perkalian merupakan ruang linear atas lapangan R. Penyelesaian : Rn = R × R × R × ... × R =
{ (x , x 1
2
,..., x n ) x 1 , x 2 ,..., x n ∈ R}.
Ambil sembarang x = (x 1 , x 2 ,..., x n ), y = (y 1 , y 2 ,..., y n ) dan z = ( z 1 , z 2 ,..., z n ) ∈ R n a). Jelas x + (y + z) = (x 1 , x 2 ,..., x n ) + (y 1 , y 2 ,..., y n + z 1 , z 2 ,..., z n ) = (x 1 + y 1 + z 1 , x 2 + y 2 + z 2 , ... , x n + y n + z n ) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + y n ) + (z 1 , z 2 ,..., z n ) = (x + y) + z . b). Jelas x × y = (x 1 , x 2 ,..., x n ) × (y 1 , y 2 ,..., y n )
= (x 1 × y 1 , x 2 × y 2 ,..., x n × y n ) = (y 1 × x 1 , y 2 × x 2 ,..., y n × x n ) = y× x . c). Pilih 0 = (0 1 , 0 2 ,..., 0 n ) ∈ R n Jelas x + 0 = (x 1 , x 2 ,..., x n ) + (0 1 , 0 2 ,..., 0 n ) = 0 + (x 1 , x 2 ,..., x n ) = x. d). Pilih (-x 1 , -x 2 ,..., -x n ) ∈ R n Jelas x + (− x ) = (x 1 , x 2 ,..., x n ) + (-x 1 , -x 2 ,..., -x n ) = (x 1 - x 1 , x 2 - x 2 ,..., x n - x n ) = 0.
9
Ambil sembarang a, b ∈ R e). a (bx ) = a × (bx1 , bx 2 ,..., bx n ) = a × (b(x1 , x 2 ,..., x n )) = (ab )x . f). (a + b )x = (a + b )× (x 1 , x 2 ,..., x n ) = a × (x 1 , x 2 ,..., x n ) + b × (x 1 , x 2 ,..., x n ) = ax + bx. g). a(x+y) = a { (x1 , x 2 ,..., x n ) + (y1 , y 2 ,..., y n ) } = a × (x 1 , x 2 ,..., x n ) + a × (y 1 , y 2 ,..., y n ) = ax + ay. h). 1x = 1(x 1 , x 2 ,..., x n ) = (x 1 , x 2 ,..., x n ) =x Jadi ∀ (x 1 , x 2 ,..., x n ), (y 1 , y 2 ,..., y n ) dan ( z 1 , z 2 ,..., z n ) ∈ R n dan a, b ∈ R maka Rn merupakan ruang linear atas R.
2. Ruang Bagian dari Ruang Linear
Jika V ruang linear atas F. Jika B ≠ φ dan B ⊂ V. B dengan sifat, untuk setiap vektor x , y di V dan skalar α, β di F berlaku αx + βy di B maka B disebut ruang bagian dari ruang linear. ( Wuryanto, 2003 : 36 )
10
Contoh A.1.2 Tunjukan untuk setiap bilangan asli m, n dengan m ≤ n maka Rm merupakan ruang bagian dari ruang linear terhadap Rn. Penyelesaian : Dipunyai Rm = R × R × R × ... × R =
{ (x , x 1
2
,..., x m ) x 1 , x 2 ,..., x m ∈ R }.
Ambil sembarang x = (x 1 , x 2 ,..., x m ), y = (y 1 , y 2 ,..., y m ) ∈ R m dan ambil sembarang skalar α, β di R Jelas Rm merupakan ruang vektor atas Rn sendiri dan untuk setiap x, y di Rm dan a, b di R sehingga berlaku α(x 1 , x 2 ,..., x m ) + β(y 1 , y 2 ,..., y m )
= (α x 1 + β y 1 , α x 2 + β y 2 , ... , α x m + β y m ) ∈Rn. Jadi Rm merupakan subruang dari Rn. 3. Ruang Linear Bernorma
Dipunyai V ruang Linear atas R. Jika terdapat fungsi . :V → R yang memenuhi : a.
αx = α x
b.
x ≥ 0 dan x = 0 ⇔ x = θ dengan θ vektor nol di V
c.
x+y ≤ x + y
maka fungsi . disebut norma pada V. ( Wuryanto, 2003 : 36 )
11
Contoh A.1.3 12
⎛ n 2⎞ Di punyai fungsi R → R yang didefinisikan x = ⎜ ∑ x i ⎟ untuk setiap ⎝ i =1 ⎠ n
vektor x = (x 1 , x 2 ,..., x n )∈ Rn adalah suatu norm pada ruang euclid Rn. Tunjukkan fungsi tersebut merupakan suatu norm pada ruang euclid Rn? Penyelesaian : Ambil sembarang vektor x = (x 1 , x 2 ,..., x n ), y = (y 1 , y 2 ,..., y n ), z = (z 1 ,z 2 ,..., z n ) ∈ R n dan skalar α ∈ R memenuhi:
a. Jelas αx = α x ⎛ n 2⎞ Karena αx = ⎜ ∑ αx i ⎟ ⎝ i =1 ⎠
12
n ⎛ 2⎞ = ⎜α 2 ∑ x i ⎟ ⎝ i =1 ⎠
⎛ n 2⎞ = α⎜∑ xi ⎟ ⎝ i =1 ⎠
b.
12
12
=α x
⎛ n 2⎞ x ≥ 0 dan x = 0 ⇔ x = 0 sebab, x = ⎜ ∑ x i ⎟ ⎝ i =1 ⎠
12
≥ 0.
(⇐) jika x = 0 maka x i = 0 untuk setiap i (i = 1, 2,...,n), yang berakibat 12
⎛ n 2⎞ x = ⎜ ∑ x i ⎟ = 0. ⎝ i =1 ⎠ 12
n (⇒ ) jika x = 0 maka dipunyai 0 = x = ⎛⎜ ∑ x i 2 ⎞⎟ , sehingga untuk ⎝ i =1 ⎠ 2
setiap i dan 1 ≤ i ≤ n, haruslah xi = 0 yang berakibat x i = 0. Karena x i = 0 untuk setiap i (i = 1, 2,...,n) ini berarati x = 0.
12
c.
x+y ≤ x + y . Ditunjukan sebagai berikut Karena untuk setiap i (i = 1, 2,...,n) berlaku
(x i + yi )2 = (x i + yi )(x i + yi ) ≤ (x i + yi )((x i ) + (yi )) = (x i + yi )x i +(x i + yi )yi maka dengan memanfaatkan teorema Cauchy-Shcwarstz didapat n
∑ (x i =1
n
n
i =1
i =1
2 i + y i ) ≤ ∑ (x i + y i )x i + ∑ (x i + y i )y i
12
12
12
12
n n ⎛ n ⎛ n 2⎞ ⎛ 2⎞ 2⎞ ⎛ 2⎞ ≤ ⎜ ∑ (x i + y i ) ⎟ ⎜ ∑ x i ⎟ + ⎜ ∑ (x i + y i ) ⎟ ⎜ ∑ y i ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠
dalam hal x i + y i ≠ 0 maka diperoleh ⎛ n 2⎞ ⎜ ∑ (x i + y i ) ⎟ 12 12 n n ⎝ i =1 ⎠ ≤ ⎛⎜ x 2 ⎞⎟ + ⎛⎜ y 2 ⎞⎟ ∑ i ⎠ ⎝∑ i 12 i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎛ n 2⎞ ⎜ ∑ (x i + y i ) ⎟ ⎝ i =1 ⎠ 12
⎛ n 2⎞ ⇔ ⎜ ∑ (x i + y i ) ⎟ ⎝ i =1 ⎠
12
⎛ n 2⎞ ≤ ⎜ ∑ xi ⎟ ⎝ i =1 ⎠
12
⎛ n 2⎞ + ⎜ ∑ yi ⎟ ⎝ i =1 ⎠
Dengan kata lain diperoleh x + y ≤ x + y . Berdasarkan ketiga point a, b dan c maka fungsi Rn → R yang 12
⎛ n 2⎞ didefinisikan x = ⎜ ∑ x i ⎟ untuk setiap vektor x = (x 1 , x 2 ,..., x n ) ∈ Rn ⎝ i =1 ⎠
adalah ruang linear bernorma.
13
4. Ruang Hasil Kali Dalam (Inner Product Space)
Dipunyai V ruang linear atas lapangan real R. Jika terdapat fungsi
, :V × V → R sehingga untuk setiap vektor x,y,z ∈ V dan
skalar α∈R memenuhi: a.
x, y = y, x
b.
αx, y = α x, y
c.
x, y + z = x, y + x, z
d.
x, x ≥ 0 dan x, x = 0 ⇔ x = θ (θ vektor nol di V)
Sehingga , merupakan ruang inner product. ( Wuryanto, 2003 : 36 )
Contoh A.1.4 n
R n terhadap perkalian titik yang didefinisikan x, y = ∑ x i y i merupakan i =1
ruang inner product. Ditunjukan bahwa perkalian titik tersebut adalah suatu
inner
product.
Dibentuk
R n × R n → R yang
fungsi , dari
n
didefinisikan x, y = ∑ x i y i untuk setiap vektor x = (x 1 ,x 2 ,...,x n ), y = i =1
(y 1 , y 2 ,..., y n ) di R n . Fungsi tersebut merupakan suatu inner product pada R n sebab, untuk setiap vektor x = (x 1 ,x 2 ,...,x n ), y = (y 1 , y 2 ,..., y n ) di R n dan skalar real α memenuhi: n
n
i =1
i =1
a. Jelas x, y = y, x oleh sebab, x, y = ∑ x i y i = ∑ y i x i = y, x .
14
b. Jelas αx, y = α x, y oleh sebab, n
n
i =1
i =1
αx, y = ∑ αx i yi = α ∑ x i y i = α x, y . c. Jelas x, y + z = x, y + x, z n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
karena x, y + z = ∑ x i (y i + z i ) = ∑ (x i y i + x i z i ) =∑ x i y i + ∑ x i z i = x, y + x, z .
d.
n
x, x ≥ 0 oleh sebab x, x = ∑ x i > 0. 2
i =1
Jadi berdasarkan a, b dan c maka R n terhadap perkalian titik yang n
didefinisikan x, y = ∑ x i y i untuk i = 1, 2, ... , n. i =1
B.
Ruang Vektor 1. Ruang Vektor Definisi B.1
Sebuah ruang vektor V adalah sebuah himpunan dari objek x, y, z, .... yang disebut vektor. Satu vektor yang dikenal dinamakan vektor nol yang dinotasikan dengan θ. Untuk setiap vektor x dimana dikenal sebuah vektor –x, dinamakan invers dari x. Aksioma – aksioma yang mengikuti agar asumsi dari ruang vektor terpenuhi adalah a. Untuk setiap sepasang vektor x, y dimana penjumlahan vektor dari x, y dinotasikan x + y. Penjumlahan dari vektor harus memenuhi: i).
_
_
_
_
x + y= y + x.
15
_
_
_
_
_
_
ii). ( x + y ) + z = x +( y + z ). _
_
iii). x + 0 = x _
_
iv). x +(- x ) = 0. b. Untuk setiap skalar k dan setiap vektor x dimana perkalian vektor dari x oleh k dinotasikan kx. Perkalian vektor oleh skalar harus memenuhi: _
_
_
_
i). k( x + y )= k x + k y _
_
_
ii). (k + j) x = k x + j x _
_
iii). (kj) x = k(j x ) _
_
iv). 1 x = x Pada b.i) simbol + memiliki dua arti yaitu untuk penjumlahan skalar dan vektor. Pada b.iii) memiliki dua arti yaitu perkalian dua skalar atau perkalian sebuah skalar dan sebuah vektor. ( Berberian, 1961 : 1 ) Contoh B.1.1 Tunjukan R n merupakan ruang vektor. Penyelesaian : Ambil sembarang x = (x 1 , x 2 ,..., x n ), y = (y 1 , y 2 ,..., y n ) dan z = (z 1 , z 2 ,..., z n ) ∈ R n _
_
(a) Jelas x + y = (x 1 , x 2 ,...,x n ) + (y 1 , y 2 ,...,y n )
16
= (x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n ) = (y 1 x 1 + y 2 x 2 + ... + y n x n ) = (y 1 , y 2 ,...,y n ) + (x 1 , x 2 ,...,x n ) _
_
= y+ x. _
_
_
(b) ( x + y ) + z =
( (x1 , x 2 ,..., x n ) + (y1 , y 2 ,..., y n ) ) + (z1 , z 2 ,..., z n )
=
( (x1 , x 2 ,..., x n ) + (y1 , y 2 ,..., y n ) + (z1 , z 2 ,..., z n ) )
= (x1 , x 2 ,..., x n ) + ( (y1 , y 2 ,..., y n ) + (z1 , z 2 ,..., z n ) ) _
_
_
= x +( y + z ). (c) Pilih 0 = (0 1 , 0 2 ,..., 0 n ) ∈ R n _
_
_
Jelas x + 0 = 0 + x = (0 1 , 0 2 ,..., 0 n ) + (x 1 , x 2 ,..., x n ) = x . (d) Pilih − x = (-x 1 , -x 2 ,..., -x n ) ∈ R n
( )
_
Jelas x + - x = (x 1 , x 2 ,..., x n ) + (-x 1 , -x 2 ,..., -x n ) = (x 1 - x 1 , x 2 - x 2 ,..., x n - x n ) = 0. Ambil sembarang k, j ∈ R _
_
(e) k( x + y ) = k { (x1 , x 2 ,..., x n ) + (y1 , y 2 ,..., y n ) } _
_
= k × (x 1 , x 2 ,...,x n ) + k × (x 1 , x 2 ,...,x n ) = k x + k y . _
(f) (k + j) x = (k + j) × (x 1 , x 2 ,...,x n ) = k × (x 1 , x 2 ,...,x n ) + j × (x 1 , x 2 ,...,x n ) _
_
= kx + jx.
17
_
(g) (kj) x = (kj) × (x 1 , x 2 ,...,x n ) = k ( j× (x1 , x 2 , ... , x n )) _
= k(j x ). _
_
(h) 1 × x = 1 × (x 1 , x 2 ,...,x n ) = (x 1 , x 2 ,...,x n ) = x . Karena aksioma ruang vektor R n dipenuhi, maka R n merupakan ruang vektor. Teorema B.1 _
_
_
Jika x , y , z adalah vektor-vektor dalam R n dan k adalah sebarang skalar, maka: _
_
_
_
a.
x . y = y . x
b.
(x + y) . z = x . y + y . z
c.
(k x ) . y = k( x . y )
d.
x . x ≥ 0. Selanjutnya x . x = 0, jika dan hanya jika x = 0
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
Bukti : _
_
_
Ambil sembarang x= (x 1 ,x 2 ,...,x n ), y = (y 1 , y 2 ,..., y n ) dan w = (w 1 , w 2 ,..., w n ) _
_
(a). Jelas x . y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n = y 1 x 1 + y 2 x 2 + ... + y n x n _
_
= y. x _
_
_
(b). Jelas ( x + y ) . z = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + y n ) . (z 1 , z 2 ,..., z n ) = (x 1 + y 1 ) z 1 + (x 2 + y 2 ) z 2 ,...,( x n + y n ) z n
18
=(x 1 z 1 +x 2 z 2 +...+x n z n )+(y 1 z 1 +y 2 z 2 +...+y n z n ) _
_
_
_
= x .z + y .z _
_
(c). Jelas (k x ) . y = (kx 1 , kx 2 , ... , kx n ) . (y 1 , y 2 , ... , y n ) = k(x 1 , x 2 , ... , x n ) . (y 1 , y 2 , ... , y n ) = k(x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n ) _
_
= k( x . y ) _
_
(d). Kita mempunyai x . x = x12 + x 22 + ... + x nn ≥ 0 . Selanjutnya kesamaan tersebut benar jika dan hanya jika x1 = x 2 = ... = x n = 0 , _
yaitu jika dan hanya jika x = 0. 2. Hasil Kali Dalam (Inner Product) dan Norm Definisi B.2
Jika V suatu ruang vektor, maka inner product adalah fungsi dari V×V
ke
R,
didefinisikan
dengan
memenuhi aksioma berikut. a.
x , y ≥ 0 , ∀ x ∈ V.
b.
x , x = 0 jika dan hanya jika x = 0 .
c.
x , y = y . x ∀ x , y ∈ V.
d.
x + y , z = x , z + y , z ∀ x , y , z ∈ V.
e.
a x, y = a x, y = x, a y .
_
_
_
_
( x , y ) → x, y , ∀ x , y ∈V
19
Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam (inner
product) dinamakan ruang hasil kali dalam. ( Rochmad, 2000 : 24 ) Contoh B.1.2 _
k
_
R n terhadap perkalian titik yang didefinisikan x . y = ∑ x i y i merupakan i =1
ruang hasil kali dalam. Ditunjukkan perkalian titik tersebut adalah suatu
inner product. Dibentuk suatu fungsi R n × R n → R yang didefinisikan _
_
x , y = x. y untuk setiap vektor x= (x 1 ,x 2 ,...,x n ), y = (y 1 , y 2 ,..., y n ) dan skalar a di R n maka fungsi tersebut merupakan suatu inner product sebab memenuhi aksioma dari ruang inner product. Bukti a.
x , y = y . x sebab x , y = x . y =
k
i =1
b.
k
∑ x y =∑ y x i
i
i =1
i
i
= y. x = y , x .
a x , y = a x , y sebab,
(
)
k
k
i =1
i =1
( )
a x , y = a x.y = ∑ a x i y i = a ∑ x i y i = a x.y = a x , y . c.
x + y , z = x , z + y , z sebab
(
)
k
k
i =1
i =1
x , y + z = x. y + z = ∑ x i (y i + z i ) = ∑ (x i y i + x i z i ) k
k
i =1
i =1
= ∑ x i yi +∑ x i zi = x.y + x.z = x.y + x.z
20
d. Jelas x , x = (x.x ) = 0 jika dan hanya jika x = 0 . e.
k
x , y > 0, andaikan x bukan vektor nol karena x , x = x.x = ∑ x i2 > 0 i =1
_
_
k
Jadi R n perkalian titik yang didefinisikan x . y = ∑ xi yi merupakan ruang i =1
hasil kali dalam. Definisi B.3
Jika V suatu ruang vektor, maka norm pada V adalah fungsi dari _
V ke R dinyatakan dengan x → x yang memenuhi _
a.
x ≥ 0 dan x = 0 ⇔ x = θ dengan θ vektor nol di V.
b.
α x =α x
c.
x+y ≤ x + y Ruang vektor yang dilengkapi dengan norm dinamakan ruang
bernorm. Panjang suatu vektor x sering disebut sebagai norm x dan dinyatakan dengan x = x , x
1
2
=
x, x
( Rochmad, 2000 : 24 ) Teorema B.2 ( Ketaksamaan Cauchy – Schwartz )
Misalkan V suatu ruang inner product dalam R. Untuk setiap _
_
vektor x dan y di V berlaku x , y ≤ x y . Bukti: _
a. Untuk y = 0 dipunyai x , y = 0 = x y .
21
_
b. Untuk y ≠ 0 _
Ambil vektor y dengan y = 1 dan vektor z = x − x , y y 2
Sehingga didapat 0 ≤ z = z, z = x − x , y y, x − x , y y = x, x − x, y Diperoleh x , y
2
2
2
≤ x ⇔ x, y ≤ x
_
Untuk vektor y dengan y > 0, sehingga diperoleh
. x,
y y
≤ x atau x, y ≤ x y
Jadi teorema diatas terbukti. Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy – Schwartz diatas _
_
dapat didefinisikan cosinus sudut antara dua vektor. Misalkan x , y di
R n maka bilangan cos θ =
_
_
x, y x . y
disebut cosinus sudut antara vektor
_
_
x dan vektor y dan θ disebut sudut antara vektor x dan vektor y
Dari pengertian cosinus sudut diatas dapat didefinisikan, jika dua _
_
vektor x dan y dikatakan saling tegak lurus jika x , y = 0 .
22
Telah diketahui jika dua vektor di R n tetap dapat dilihat sebagai dua vektor yang terletak dalam sebuah bidang di R n . Maka dari itu dipunyai teorema sebagai berikut. Teorema B.3 (Ketaksamaan Segitiga) _
_
Misalkan x dan y dua vektor yang terletak di R n . Maka berlaku x+y ≤ x + y Bukti: Dengan menggunakan teorema B.2 diperoleh 2
x+y = x+y . x+y _
_
_
_
_
_
= x.x + 2 x.y + y.y ≤ x . x + 2 x . y + y.y 2
= x +2 x . y + y 2
(
Atau x + y ≤ x + y
2
)
2
Dengan mengambil akarnya diperoleh ketaksamaan segitiga. Definisi B.4
Dua titik (vektor) x,y ∈ R n dikatakan searah (sejajar) jika ada bilangan k ∈ R, k ≠ 0 sehingga y = kx. Dengan kata lain x dan y tak bebas linear. Pasangan n bilangan real {α 1 , α 2 ,..., α n } disebut bilangan arah vektor x ≠ 0 jika
α1 : α 2 : Λ : α n = x 1 : x 2 : Λ : x n .
23
Dengan kata lain, ada bilangan l = ±
(α
x 2 1
+ α 2 + ... + α n 2
2
)
1
2
Sehingga, terdapat vektor α = (α 1 , α 2 ,..., α n ) yang komponennya terdiri dari bilangan arah vektor x yang disebut vektor arah bagi vektor x. Secara khusus, pasangan n bilangan real {λ1 , λ 2 ,..., λ n } disebut cosinus arah vektor x jika λk = cosθk =
x, ek x ek
=
x, ek x
untuk setiap k
= 1, 2, ... , n dan (θ1 , θ 2 ,..., θ n ) disebut sudut arah vektor x.
Teorema B.4
Jika (λ1 , λ2 ,..., λn ) cosinus arah vektor x ≠ 0 maka n
∑λ k =1
2 k
= λ1 + λ2 + ... + λn = l. 2
2
2
Bukti : Diketahui
n
x = ∑ x, e k e k
dengan
k =1
(e1 , e 2 ,..., e n )
dengan
orthonormal standart pada R n , didapat
x
2
= x, x =
n
∑ k =1
n
n
x, e k e k , ∑ x, e k e k
= ∑ x, e k
k =1
2
k =1
⎛ x, e k Karena x ≠ 0 ( x ≠ 0 ) diperoleh l = ∑ ⎜⎜ x k =1 ⎝ n
2
n ⎞ ⎟ = ∑ (λ1 )2 ⎟ k =1 ⎠
basis
24
Atau
n
∑λ k =1
2 k
= λ1 + λ2 + ... + λn = l. 2
2
2
Selanjutnya vektor λ = {λ1 , λ 2 ,..., λ n } disebut vektor cosinus arah bagi vektor x. Jika vektor λ = {λ1 , λ 2 ,..., λ n } merupakan vektor cosinus arah, maka
λ = l. Jadi untuk setiap x ∈ R n , x ≠ 0 berlaku x1 : x 2 : ... : x n = λ1 : λ2 : ... : λn . Selanjutnya ada bilangan h sehingga
x1
λ1
=
x2
λ2
= ... =
xn
λn
= h , dengan
h=±x .
Dari pemahaman tersebut diatas, disimpulkan sebagai berikut: (a). Dua titik (vektor) x, y ∈ R n searah (sejajar) jika dan hanya jika x dan y mempunyai sudut arah yang sama jika dan hanya jika bilangan arah x sebanding dengan bilangan arah y. (b). Terlihat bahwa (vektor) x ∈ R n mempunyai banyak sekali bilangan arah, tetapi setiap dua bilangan arah sebanding. Oleh karena itu, jika vektor x = (x 1 , x 2 ,...,x n ) dengan salah satu bilangan arahnya adalah (α 1 , α 2 ,..., α n ) dan cosinus arah vektor x adalah {λ1 , λ 2 ,..., λ n } dengan λk = cos θ k =
α , ek λ = k berarti α α e k
α1 : α 2 : Λ : α n = λ1 : λ2 : Λ : λn .
25
Definisi B.5
Himpunan x = {x1 , x 2 ,..., x k } ⊂ R n dari ruang inner product
disebut himpunan orthonormal jika himpunan tersebut adalah himpunan orthogonal dan x i = 1, ∀i di x. ( Arifin, 2001 : 106 )
Definisi B.6
Himpunan x = {x1 , x 2 ,..., x k } ⊂ R n dengan x i ≠ 0 dari ruang inner product disebut himpunan orthogonal jika x i ≠ y j , untuk setiap i ≠ j.
( Arifin, 2001 : 106 ) Teorema B.5
Setiap himpunan orthogonal, bebas linear Bukti: Bentuk α1x1 + α 2 x 2 + ... + α n x n = 0, dengan α1 , α 2 ,..., α n ∈ R . Ambil sembarang Li, dengan (1 ≤ i ≤ n ) , diperoleh: x (i ) , α1x (1) + α 2 x (2 ) + ... + α n x (n ) = x,0 = 0 Karena x (i ) , x j = 0, untuk i ≠ j dan x (i ) , x ( j) = x (i )
2
2
= 0, untuk i = j.
Diperoleh α i x (i ) = 0 dan berakibat α i = 0 untuk L diatas. Karena i sembarang, diperoleh α1 , α 2 ,..., α n = 0
{
}
Dengan kata lain x (1) , x (2 ) ,..., x (n ) bebas linear.
26
Akibat dari teorema B. 5 Setiap himpunan orthonormal bebas linear. Bukti: Bentuk himpunan orthonormal
(e1 , e 2 ,..., e n ) terdiri
dari n vektor
dengan e k = (0,0,...,1,0,...,0) ∈ R n . Komponen ke-k sama dengan L. Diperoleh pengertian bahwa untuk setiap vektor x = (x 1 , x 2 ,...,x n ) ∈ R n . Sehingga x = (x 1 , 0,...,0) + (0, x 2 ,...,0) + ...+ (0, 0,...,x n ) ⇔ x = x 1(1, 0,...,0) + x 2 (0, 1,...,0) + ...+ x 2 (0, 0,...,1) n
⇔ x = x1e1 , x 2 e 2 ,..., x n e n = ∑ x i ei i =1
Jadi himpunan orthonormal (e1 , e 2 ,..., e n ) membangun Rn. Oleh karena
(e1 , e 2 ,..., e n ) bebas linear, maka dia merupakan basis bagi Rn. Karena himpunan orthonormal ini mempunyai elemen sebanyak n maka diperoleh bahwa ruang vektor Rn berdimensi n. Selanjutnya himpunan orthonormal
(e1 , e 2 ,..., e n )
disebut basis
orthonormal standart bagi ruang vektor Rn. Akibat Setiap (n+1) vektor di dalam Rn tak bebas linear.
Teorema B.6 Untuk setiap vektor x = (x 1 , x 2 ,...,x n ) ∈ R n , dengan (e1 , e 2 ,..., e n ) basis orthonormal standart, maka x k = x, e k , ∀k .
27
Bukti: Diambil sebarang ek (1 ≤ k ≤ n ) Dengan inner product x ∈ R n , diperoleh
x, e k = x1e1 + x 2 e 2 + ... + x n e n , e k = 0 + 0 + ... + x k e k , e k + 0 + ... + 0 = x k ek , ek = x k
Teorema B.7 n
Setiap x ∈ R n dapat dituliskan menjadi x = ∑ x k , e k e k k =1
Bukti: Diket (e1 , e 2 ,..., e n ) basis orthonormal standart Rn, maka untuk setiap x = (x 1 , x 2 ,...,x n ) ∈ R n dengan x 1 , x 2 ,...,x n ∈ R berlaku n
x = x1e1 + x 2 e 2 + ... + x n e n = ∑ x i ei i =1
Karena
x k = x, e k untuk
setiap
k (1 ≤ k ≤ n ) .
Diperoleh
n
x = ∑ x k , ek x k k =1
Telah diketahui bahwa di dalam ruang berdimensi n, sebarang vektor (titik) dapat dihadirkan sebagai kombinasi linear dari n vektor (titik) yang termasuk di dalam basis ruang Rn. Berikut ini akan dihadirkan mengenai vektor (titik) yang dihadirkan sebagai kombinasi linear dari dua vektor (titik). Hal ini dituangkan dalam teorema berikut.
28
Teorema B.8
Jika diberikan dua vektor (titik) x, y ∈ R n tidak sama dengan nol maka
x ada vektor-vektor y1 , y 2 ∈ R n sehingga y1 = k y untuk suatu skalar k, y1 ⊥ y 2
y2 = x -
dan
x, y y
x = y1 + y 2
y1 =
lebih lanjut dengan
x, y y
2
y dan
y.
2
y2
y y1 Gambar 2.1 Bukti : Diasumsikan teorema diatas berlaku Jadi akan ditentukan bilangan k ∈ R dengan y1 = k y dan vektor-vektor y1 , y 2 ∈ R n
yang saling orthogonal sehingga
x
dapat ditulis
sebagai x = y1 + y 2 , berarti didapat y 2 = x − y1 . Selanjutnya dilakukan inner product antara vektor x vektor y, didapat x , y = y1 + y 2 , y = ky + y2 , y 2
= k y + y2 , y
29
Karena y 2 ⊥ y maka y 2 , y = 0 , sehingga persamaan ini menghasilkan
k=
x, y y
2
Karena y1 = k y diperoleh y1 =
x, y y
2
y
Dengan demikian diperoleh juga y 2 = x -
C.
x, y y
2
y.
Ruang Metrik
Definisi C.1. Misalkan X ≠ φ . Fungsi d : X × X disebut metrik pada X jika memenuhi aksioma - aksioma sebagai berikut. (M1) d(x,y) ≥ 0, untuk setiap x, y∈ X, d(x,y) = 0 ⇔ x = y. (M2) d(x,y) = d(y,x), untuk setiap x, y ∈ X. (M3) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y), untuk setiap x, y, z ∈ X. ( Ruckle, 1961 : 47 ) Contoh C.1.1 Buktikan
bahwa
⎛ n 2⎞ d(x,y)= ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟ ⎠ ⎝ i =1
fungsi
d: R n × R n → R
yang
12
memenuhi semua sifat metrik.
Penyelesaian : 1. d memenuhi M1, sebab
didefinisikan
30
⎛ n 2⎞ d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟ ⎝ i =1 ⎠
1
2
≥ 0 , jelas karena (x i − y i ) ≥ 0 2
(⇒ ) dipunyai d(x,y) = 0, ditunjukkan x = y. ⎛ n 2⎞ karena d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟ ⎝ i =1 ⎠ n
∑ (x
berakibat
i =1
1
2
− yi ) = 0 2
i
berakibat (x i − y i ) = 0 ∀i = 1, 2, ... , n 2
sebab andaikan ∃ i ∋ (x i − y i ) > 0 2
n
berakibat 0 = ∑ (x i - y i ) > 0 2
i =1
diperoleh fakta 0 > 0, kontradiksi. jadi x i − y i = 0 ∀i = 1,2,..., n Jadi x = y.
(⇐) dipunyai x = y, ditunjukkan d(x,y) = 0 karena x = y maka x i = y i ∀i = 1,2,..., n berakibat x i − y i = 0 ∀i = 1,2,..., n berakibat (x i − y i ) = 0 ∀i = 1,2,..., n 2
n
berakibat
∑ (x i =1
− yi ) = 0 2
i
12
⎛ n 2⎞ berakibat ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟ = 0 ⎝ i =1 ⎠ jadi d(x,y) = 0.
31
Jadi d memenuhi M1. 2. Ditunjukkan d memenuhi M2 d(x,y) = d(y,x) untuk setiap x,y di R ⎛ n 2⎞ dipunyai d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟ ⎝ i =1 ⎠
12
12
12
⎛ n ⎛ n 2⎞ 2⎞ maka d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟ = ⎜ ∑ (− (x i − y i )) ⎟ ⎝ i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎠ 12
⎛ n 2⎞ = ⎜ ∑ (y i − x i ) ⎟ ⎝ i =1 ⎠
= d(y,x). 3. Ditunjukkan d memenuhi M3 d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y), untuk setiap x, y, z ∈ R ⎛ n 2⎞ dipunyai d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟ ⎝ i =1 ⎠
12
= x i − yi = x i − z + z − yi
≤ x-z + z-y 12
12
⎛ n ⎛ n 2⎞ 2⎞ = ⎜ ∑ (x i − z i ) ⎟ + ⎜ ∑ (z i - y i ) ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ i =1 ⎝ i =1 = d(x, z) + d(z, y). Jadi d memenuhi M3. 12
⎛ n 2⎞ Jadi d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟ merupakan suatu metrik. ⎝ i =1 ⎠
BAB III METODE PENELITIAN
A.
Kajian Pustaka Terdapat materi yang menarik terkait dengan bidang geometri yang mungkin pernah disinggung dalam perkuliahan tapi tidak diangkat dalam bentuk tulisan yaitu mengenai garis dan bidang dalam ruang berdimensi n. Dengan melakukan telaah pustaka dari berbagai referensi yang ada dan melakukan konfirmasi dan konsultasi dengan dosen
yang
membidangi masalah tersebut membuahkan gagasan untuk menuliskannya dalam bentuk skripsi.
B.
Perumusan Masalah Dengan menemukan tema yang cocok, langkah selanjutnya adalah merumuskan masalah dari tema yang diangkat tersebut sesuai dengan bahasan yang akan digunakan dengan bantuan dosen pembimbing. Perumusan masalah dinyatakan dalam bentuk pernyataan yang singkat dan jelas sehingga mudah untuk dipahami.
C.
Pemecahan Masalah Pada tahap ini, dilakukan analisis dari permasalahan yang telah dirumuskan dengan didasari teori dan argumentasi yang tepat. Pemecahan
34
masalah ini meliputi penjelasan tema yang telah ditetapkan dan pembahasan mengenai masalah yang telah diungkapkan sebelumnya secara lengkap dengan landasan teori yang ada, tentunya dengan menggunakan referensi yang ada di samping hasil olahan kajian penulis sendiri disertai konsultasi dengan dosen pembimbing. Dalam proses pemecahan masalah ini, diterangkan berbagai cara menyelesaikan masalah dengan pendekatan yang ditetapkan sebelumnya berdasarkan landasan teori yang sudah ada.
D.
Penarikan Kesimpulan Hasil dari pembahasan ini dituangkan dalam bentuk simpulan akhir yang menyimpulkan secara umum pemecahan masalah tersebut. Simpulan ini dijadikan sebagai hasil kajian akhir dan merupakan hasil akhir dari proses penulisan skripsi.
BAB IV PEMBAHASAN
A.
Titik Titik adalah bentuk yang paling sederhana dari geometri, ini dikarenakan titik hanya digunakan untuk menunjukkan posisi. Dalam ruang euclid dimensi n titik disimbolkan sebagai pasangan terurut bilangan real yang biasa dinotasikan dengan, misalkan titik A pada Rn yaitu A (x1 , x 2 ,..., x n ) . Telah ditunjukkan bahwa d: R n × R n → R yang didefinisikan ⎛ n 2⎞ d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟ ⎝ i =1 ⎠
12
memenuhi semua sifat metrik. Jadi jarak antara
⎛ n 2⎞ dua titik x i ∈ R dan y i ∈ R adalah d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟ ⎝ i =1 ⎠ n
12
n
=
(x1 − y1 )2 + (x 2 − y 2 )2 + ... + (x n − y n )2 .
Contoh A.4.1 1. Misal A(2, 5, 8) dan B(4, 5, 6) hitung jarak antara titik A dan B. Penyelesaian : 12
⎛ n 2⎞ d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟ = ⎝ i =1 ⎠
=
(x1 − y1 )2 + (x 2 − y 2 )2 + (x 3 − y3 )2 (2 − 4)2 + (5 − 5)2 + (8 − 6)2
= 5.
2. Misal A(4, 6, 8, 10) dan B(3, 2, 5, 4) hitung jarak antara dua titik tersebut.
36
Penyelesaian :
⎛ n 2⎞ d(x,y) = ⎜ ∑ (x i − y i ) ⎟ ⎝ i =1 ⎠
B.
12
=
(x1 − y1 )2 + (x 2 − y 2 )2 + (x 3 − y3 )2 + (x 4 − y 4 )2
=
(4 − 3)2 + (6 − 2)2 + (8 − 5)2 + (10 − 4)2
=
62 .
Garis Lurus Real (Real Line) 1. Persamaan Garis Lurus-n
Diberikan X adalah ruang Euclid dan x 1 , x 2 ∈ X atas lapangan R. Himpunan G = {x ∈ X : x - x1 = t (x 2 − x1 ) dan t ∈ R} disebut garis lurus (real line), dengan syarat keanggotaannya adalah x - x1 = t (x 2 − x1 ) dan t ∈ R
Jadi x = x1 + t (x 2 − x1 ) dan t ∈ R . Jika
X
=
Rn,
x (1) = (a1 , a 2 , ..., a n ) ∈ R n dan x (2 ) = (b1 , b 2 , ..., b n ) ∈ R n maka persamaan garis real yang melalui x (1) dan x (2 ) adalah
(
)
x - x (1) = t x (2 ) − x (1) ⇔ (x1 ,..., x n ) − (a1 ,..., a n ) = t{ (b1 ,..., b n ) − (a1 ,..., a n ) }
⇔ (x 1 - a 1 ,..., x n − a n ) = t{(b1 − a 1 ,..., b n − a n )} ⇔ t=
(x1 − a1 ,..., x n − a n ) (b1 − a1 ,..., b n − a n )
⇔t=
(x1 − a1 ) = (x 2 − a 2 ) = ... = (x n − a n ) . (b1 - a1 ) (b 2 - a 2 ) (b n - a n )
37
Dari persamaan di atas dapat dipahami bahwa garis lurus-n yang melalui
atau
memuat
titik
x (1) dan
mempunyai
bilangan
arah {α1 , α 2 ,..., α n } mempunyai persamaan dalam bentuk parametrik adalah x1 = a 1 + α1t
x 2 = a 2 + α2t ...................... Xn = an + αnt .
Jadi persamaan parametrik garis lurus di R n adalah X n = a n + α n t .
Contoh B.4.1 a. Tulis persamaan parametrik untuk garis h yang melalui titik A(3, 0, -1, 2) dan titik B(2, -1, 4, 6). Penyelesaian : Karena bilangan arah α = AB = (-1, -1, 5, 4) sejajar g dan A(3, 0, -1, 2) terletak pada g, maka persamaan parametriknya garis g adalah x = 3 – t,
y = – t,
z = –1 – 5t dan w = 2 + 4t
b. Tulis persamaan parametrik untuk garis g yang melalui titik A(2, 4, -1) dan titik B(5, 0, 7). Penyelesaian : Karena bilangan arah α = AB = (3, -4, 8) sejajar garis g dan A(2, 4, -1) terletak pada garis g, maka persamaan parametriknya x = 2 + 3t, y = 4 – 4t dan z = –1 + 8t
38
2. Sudut Antara Dua Garis Lurus-n
Diberikan dua garis lurus-n g dan h dengan bilangan arahnya berturut-turut adalah (α 1 , α 2 ,..., α n ) dan (β1 , β 2 ,..., β n ) . Selanjutnya, jika x, y ∈ g dan u, v ∈ h maka vektor x-y dan vektor u-v berturut-turut sejajar dengan bilangan arah (α 1 , α 2 ,..., α n ) dan (β1 , β 2 ,..., β n ) . Oleh karena itu, sudut antara g dan h sama dengan sudut antara vektor x-y dan vektor u-v. Jadi, jika θ sudut antara g dan h diperoleh rumus cos θ =
α, β α β + α 2 β 2 + ... + α n β n . = 1 1 α β α β
⎛ n 2⎞ Dengan α = ⎜ ∑ α i ⎟ ⎝ i =1 ⎠
1
2
⎛ n 2⎞ dan β = ⎜ ∑ β i ⎟ ⎝ i =1 ⎠
1
2
Dengan demikian diperoleh hubungan sebagai berikut a. Garis lurus-n g dan garis lurus-n h sejajar (g // h) jika dan hanya jika mempunyai bilangan arah yang sebanding.
α1 α 2 α = = ... = n . β1 β 2 βn b. Garis lurus-n g dan garis lurus-n h saling tegak lurus (g ⊥ h) jika dan hanya jika
α , β = 0 atau α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0 . Contoh B.4.2 1). Tentukan besar sudut dua garis lurus-n, jika diketahui g: x = 2 + 3t, y = 4 – 4t, z = –1 + 8t, w = 3 + 6t h: x = 1 + 4t, y = 2 + 5t, z = – 3 – 7t, w = 5 + 2t
39
Penyelesaian: Karena bilangan arah g: (3, –4, 8, 6) dan garis h: (4, 5, –7, 2)
α,β α β + α 2 β 2 + ... + α n β n = 1 1 α β α β
maka cos θ =
(3 × 4) + ((− 4)× 5) + (8 × (− 7 )) + (6 × 2) 2 2 32 + (− 4 ) + 82 + 6 2 + 4 2 + 52 + (− 7 ) + 2 2
= =
− 52 = −0,48 = 118,69 0. 11,18 × 9,69
2). Diberikan persamaan parameter garis g: x = 3 – t, y = – t, z = –1 – 5t, w = 2 + 4t dan garis h: x = 2 – 5t, y = – 1 – 2t, z = 4 + 3t, w = 6 + t. Tentukan besar sudut antara kedua garis tersebut? Penyelesaian: Bilangan arah g: (-1, -1, 5, 4) dan garis h: (-5, -2, 3, 1) sehingga cos θ =
=
= =
α, β α β
α 1 β1 + α 2 β 2 + ... + α n β n α β
((− 1)× (− 5)) + ((− 1)× (− 2)) + (5 × 3) + (4 ×1) (− 1)2 + (− 1)2 + 52 + 42 + (− 5)2 + (− 1)2 + 32 + 12 26 = 0,66 = 48,66 0. 6,56 × 6
3). Tunjukan garis g dan h sejajar jika x = 6 + 3t, y = 4 – 2t, z = –2 + 4t, w = 4 – 6t adalah persamaan parametrik garis h dan persamaan parametrik garis g adalah x = 2 – 6t, y = 4 + 4t, z = –2 – 8t, w = 6 + 12t.
40
Penyelesaian: Bilangan arah dari g adalah (3, –2, 4, –6) dan h adalah (–6, 4, –8, 12). Maka
−2 4 −6 3 = = = . Jadi kedua bilangan arah tersebut 4 − 8 12 −6
sebanding sehingga garis g dan h sejajar. 4). Tunjukan garis g dan h tegak lurus jika x = 1 + t, y = 4 + 8t, z = 3 – 9t adalah persamaan parametrik garis h dan x = 2 – 6t,
y=4+
3t, z = –2 + 2t persamaan parametrik garis g. Jawab: Bilangan arah dari g adalah (1, 8, –9) dan h adalah (–6, 3, 2). Kedua garis tersebut tegak lurus jika α , β = 0 .
Diperoleh α , β = (1× (− 6 )) + (8 × 3) + ((− 9 )× 2 ) = 0 Jadi kedua garis tersebut saling tegak lurus. 3. Jarak Titik terhadap Garis Lurus-n
Jarak antara sebuah titik a ∈ Rn dengan sebuah garis lurus-n g adalah jarak terdekat antara titik a dengan setiap titik x ∈ g, yang
( )
{( )
}
dinotasikan d a , g = inf d a , x : x ∈ g . 1
( )
( ) 1
Jadi terdapat x ∈ g sehingga d a , g = d a , x . Perlu diingat 1
bahwa vektor a – x saling tegak lurus dengan arah g.
41
a
. .
( )
d = a, g
g
b
x
1
Gambar 4.1
Teorema 3.1
Jika diberikan sebuah titik a ∈ Rn dengan sebuah garis lurus-n g dengan bilangan arah (α 1 , α 2 ,..., α n ) dan suatu titik b ∈ g, maka jarak antara titik a dan g adalah
( ) ( )
d a, g = a - b −
a - b, α
α
2
α
Bukti Akan ditentukan jarak antara titik a dan garis lurus-n g (ditulis: d( a ,g)). Diketahui titik b ∈ g. Dibentuk vektor a − b ≠ 0 , maka d( a ,g) adalah besar (norm) dari komponen orthogonal vektor a − b terhadap vektor arah α dengan a − b = α1 + α 2 , α1 = kα , k ≠ 0.
Dengan kata lain diperoleh
( ) ( )
d a, g = a - b −
Terbukti.
a - b, α
α
2
α .
42
4. Jarak Antara Dua Garis Lurus-n
Definisi Jarak antara dua garis lurus-n adalah jarak terpendek antara titik – titik pada salah satu garis lurus-n dengan titik – titik pada garis lurus-n lainya. Dari definisi diatas jika diketahui dua garis lurus-n g dan h, maka jarak antara g dan h dapat ditulis
{( )
d(g,h) = inf d x, y : x ∈ g, y ∈ h
}
a. Jarak antara dua garis lurus-n yang sejajar
Ambil dua garis lurus-n yang sejajar g dan h. Misal g : x = a + t α , t ∈ R h : y = b + t α , t ∈ R. Ambil satu titik di g dan h, misal a ∈ g dan b ∈ h. Dibentuk vektor b – a dengan vektor arah α diperoleh
( ) ( )
d a, h = b - a −
b - a,α
α
2
α .
Dengan kata lain, didapat jarak antara garis lurus-n g dan h adalah d(g,h) = d( a ,h). b. Jarak antara dua garis lurus-n yang bersilangan
Ambil dua garis lurus-n yang bersilangan g dan h. Misal g : x = a + t α , t ∈ R dan h : y = b + t β , t ∈ R. Ambil satu titik di g, misal a ∈g
43
Karena pada setiap titik di garis lurus-n h dapat dibuat garis lurus-n yang sejajar g dan melalui titik b i sehingga dapat dibentuk himpunan sebagai berikut
{
h i = y ∈ R n : y = b i + tα , t ∈ R
}
Dimana h i untuk setiap i = (i = 1, 2, 3,...) adalah garis lurus-n yang memotong h dan sejajar g. Sehingga jarak garis lurus-n g dan garis lurus-n h adalah
( )
(
)
d (g, h i ) = d a , h i = a - b i −
a - bi , α
α
2
α
{ ( ) }.
Dengan kata lain d (g, h i ) = inf d a , h i
Contoh B.4.3 z H E
G F
D x
A
C
y
B Gambar 4.2
1). Pada sebuah balok pada gambar 4.1 hitung (a). Jarak titik A terhadap garis BC. (b). Jarak garis BC terhadap garis AD.
A(4, 0, 0)
E(4, 0, 8)
B(4, 6, 0)
F(4, 6, 8)
C(0, 6, 0)
G(0, 6, 8)
D(0, 0, 0)
H(0, 0, 8)
44
Penyelesaian: (a). Misal garis BC ≡ g Maka bilangan arah g = (0, 6, 0) - (4, 6, 0) = (–4, 0, 0) = α .
(
)
(
)
Karena a − b ≡ AC ⇒ a − b = (0, 6, 0) − (4, 0, 0) = (− 4, 6, 0 )
( ) ( )
Jadi d(A, BC) = d a , g = a - b −
a - b, α
= (− 4,6,0 ) −
= (− 4,6,0 ) −
α
2
α
(− 4,6,0), (− 4,0,0) ⎛⎜ ⎝
(− 4) + 0 + 0 ⎞⎟ ⎠ 2
2
2
2
× (− 4,0,0 )
16 + 0 + 0 × (− 4,0,0 ) 16
= (− 4,6,0 ) − (− 4,0,0 ) = (0,6,0 ) = 62
= 6.
(b). Misal BC ≡ g dan AD ≡ h Sehingga bilangan arah g = (0, 6, 0) - (4, 6, 0) = (–4, 0, 0) (1)
= α dan bilangan arah h = (0, 0, 0) - (4, 0, 0) = (–4, 0, 0) = (2 )
α . Ambil satu titik di g dan h, misal a ∈g dan b ∈h
(
)
(
)
Karena b − a ≡ AB ⇒ b − a = (4, 6, 0 ) − (4, 0, 0 ) = (0, 6, 0 )
( ) ( )
Jadi d a , h = b - a −
b - a,α
α
2
α
45
= (0,6,0 ) −
(0,6,0), (- 4, 0, 0) ⎛⎜ ⎝
(− 4) + 0 + 0 ⎞⎟ ⎠ 2
2
2
2
× (− 4,0,0 )
= (0,6,0 ) = 02 + 62 + 02 = 6
C.
Bidang Datar-n 1. Persamaan Bidang Datar-n
( )
Diberikan x ∈ R n , dan x - a , dengan a adalah vektor tetap di Rn.
{
( ) }
{
( )
Himpunan V = x ∈ R n , x - a ⊥ a
= x ∈Rn : x - a ,a = 0 Karena
} Disebut hyperplane di R
n
x - a, a = 0 ⇔ x, a − a, a = 0 ⇔ x, a = a, a 2
⇔ x , a = a ......... disebut
persamaan
bidang
(hyperplane). Jika x = (x1 , x 2 ,..., x n ) dan a = (a 1 , a 2 ,..., a n ) maka persaman bidang datar-n berbentuk n
a1x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = a1 + a 2 + ... + a n ⇔ ∑ a i x i = γ . 2
2
2
i =1
datar-n
46
Contoh C.4.1 (a) Tulis persamaaan bidang datar di R 3 , R 4 , R 5 Penyelesaian: Persamaan bidang datar di R 3 , artinya n = 3 diperoleh a1x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = γ ⇔ Ax + By + Cz = D . Persamaan bidang datar di R 4 , artinya n = 4 diperoleh a1x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 = γ ⇔ Ax + By + Cz + Dw = E . Persamaan bidang datar di R 5 , artinya n = 5 diperoleh a1x1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 = γ ⇔ Ax + By + Cz + Dw + Eu = F .
2. Persamaaan Hesse Bidang Datar-n Persamaan Hessee bidang datar-n adalah persamaan bidang datar-n dengan norm vektor arah sama dengan satu. Jika bidang datar-n V dengan persamaan a , x = c ⇔
⇔
1 1 a, x = c a a
c a ,x = a a
⇔ λ,x =p Jadi persamaan Hesse : λ , x = p dengan λk = cosθ k =
a , ek a
3. Jarak Titik terhadap Bidang Datar-n
Jika a adalah vektor arah dan sekaligus titik yang termuat di V, maka persamaan bidang datar-n V menjadi
47
V : a , x − a = 0 atau V : a , x = a a
Jadi persamaan Hesse dari V adalah
a ,x = a a
Hal ini menunjukkan bidang jarak titik O terhadap bidang datar-n d (O, V ) = a . a. Jarak titik O terhadap bidang datar-n V
Jika bidang datar-n V mempunyai persamaan umum a , x = c , maka jarak V terhadap titik O adalah d (O, V ) =
c a
b. Jarak titik a ∈ Rn terhadap bidang datar-n V
Diberikan sebarang titik a ∈ Rn dan bidang datar-n V: α , γ = c Maka jarak antara titik a dengan V adalah d(a, v ) =
α,a −γ α
Bukti: Bidang datar-n V : α , γ = c ⇔ λ , γ − p = 0 a
V1 a–x
d(a,V) = d α x gambar 4.3
V
dengan λ =
c α dan p = α α
48
Ditentukan d(a,V) Melalui a dibuat bidang datar-n V1 // dengan V Jarak V dan V1 terhadap O sebut d Jadi persamaan bidang datar-n V1 adalah V1 = λ , x − p ± d = 0 Bidang datar-n melalui a, diperoleh V1 = λ , a − p ± d = 0 Karena d(a,V) = d, diperoleh d=
λ , x − p ⇔ d(a, V ) =
α,a − c a
. Terbukti
di R3 : V ≡ Ax +By + Cz + D = 0 dan P(x1, y1, z1) maka jarak P terhadap V d(P,V) =
Ax1 + By1 + Cz1 + D A 2 + B2 + C 2
di R4 : V ≡ Ax1 +Bx2 + Cx3 + Dx4 + E = 0 dan P(v1, x1, y1, z1) maka jarak P terhadap V d(P,V) =
Av1 + Bx1 + Cy1 + Dz1 + E A 2 + B2 + C 2 + D 2
49
Contoh C.4.3 z
G
H
E
F
D
C
A
x
y
A(4, 0, 0)
E(4, 0, 4)
B(4, 4, 0)
F(4, 4, 4)
C(0, 4, 0)
G(0, 4, 4)
D(0, 0, 0)
H(0, 0, 4)
B
Gambar Kubus 4.4 (a) Tentukan jarak titik E terhadap bidang BDG pada kubus 4 satuan ? Penyelesaian: Persamaan Bidang BDG a = CE = ( 4, -4, 4 ) = ( 1, -1, 1 ) dan a ⊥ BDG
(
)
Sehingga a , x − b = 0 ⇔
(a , x ) − (a , b)
=0
⇔ a,x = a,b ⇔
( 1, - 1, 1 ) , x
=
⇔
( 1, - 1, 1 ) , x
=0
( 1, - 1, 1 ) , ( 4, 4, 0 )
Jarak titik E terhadap bidang BDG : d( E, BDG ) =
(1, - 1, 1) , (4, 0, 4) − 0 2 12 + (− 1) + 12
=
8 3 . 3
50
(b) Tentukan jarak titik A terhadap bidang BDG pada kubus 4 satuan ? Jawab: Persamaan Bidang BDG BD = (-4, -4, 0), BG = (4, 0, 4) dan DG = (0, 4, 4) Misalkan a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) dan a ⊥ BDG a , BD = 0
Sehingga berlaku
a , BG = 0 a , DG = 0 Maka a , BD =
(- 4, - 4, 0) , (a 1 , a 2 , a 3 )
a , BG =
(4, 0, 4) , (a 1 , a 2 , a 3 )
= 4a 1 + 4a 3 = 0 …………….(2)
a , DG =
(0, 4, 4) , (a 1 , a 2 , a 3 )
= 4a 2 + 4a 3 = 0 ……...….…(3)
= −4a 1 − 4a 2 = 0 ….……..(1)
Dari (1), (2) dan (3) diperoleh a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) = (1, -1, 1)
(
)
Sehingga a , x − d = 0
⇔
(a , x ) − (a , d )
⇔ a,x = a,d
=0
51
⇔
( 1, - 1, 1 ) , x
=
⇔
( 1, - 1, 1 ) , x
=0
( 1, - 1, 1 ) , ( 0, 0, 0 )
Jarak titik A terhadap bidang BDG :
(1, - 1, 1) , (4, 0, 0) − 0 2 12 + (− 1) + 12
d( A, BDG ) =
4 3 . 3
=
(c) Tentukan jarak A(2, 4, -3, 0) terhadap bidang yang melalui empat titik yaitu B(1, 3, -5, 2), C(3, 4, -1, 4), D(4, -2, 1, 0) dan E(2, 4, -3, 0)? Penyelesaian: Persamaan bidang datar-n di R4 BC = (2, 1, 4, 2), BD = (3, -1, 6, 2) CD = (1, -2, 2, -4), BE = (1, 1, 2, 2)
Misalkan a = ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) dan a ⊥ BCDG Sehingga berlaku
a , BC = 0
a , DE = 0
a , BE = 0
a , BD = 0
Maka 1.
a , BC =
(2, 1, 4, 2) , (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 )
2.
a , BD =
(3, - 1,
3.
a , BE =
(1, 1, 2, 2) , (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 )
4.
a , CD =
(1, - 2, 2, - 4) , (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 )
= 2a 1 + a 2 + 4a 3 + 2a 4 = 0
6, 2 ) , (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) = 3a 1 − 1a 2 + 6a 3 + 2a 4 = 0
= a 1 + a 2 + 2a 3 + 2a 4 = 0 = a 1 − 2a 2 + 2a 3 − 4a 4 = 0
52
Dari (1), (2), (3) dan (4) diperoleh a = ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) = (2, -2, -1, 1) Bidang BCDG: a, x = C ⇔
⇔
(2, - 2, - 1, 1) ,
x =
(2, - 2, - 1, 1), x
( 2, - 2, - 1, 1 ) , ( 2, 4, - 3, 0 )
= -1
Jarak titik A terhadap bidang BCDG di R4 : d(A, BCD) =
(2, 4, - 3, 0) , (2, - 2, - 1, 1) − (− 1) 10
4. Kedudukan dua bidang datar-n
Misal diberikan dua bidang datar-n V : x, a = α U : x, b = β
θ adalah sudut antara U dan V sehingga cos θ = cos (π - θ ) =
a, b a . b
a. Dua bidang tegak lurus U ⊥ V ⇒θ =π 2
⇒ cos π 2 = cos (π - π 2 ) = ⇒ a, b = 0 ⇔ a ⊥ b .
a, b a . b
= 0.
53
b. Dua bidang sejajar U / / V ⇒θ = 0
⇒ cos 0 = cos (π ) =
a, b a . b
⇒ a, b = a . b
Ambil sebarang α a = b sehingga ⇒ a, α a = a . α a 2
2
2
⇒ α a, a = α . a ⇔ α a = α . a .
BAB V PENUTUP
A.
Simpulan Dari hasil pembahasan dapat ditarik simpulan sebagai berikut. 1. Persamaan garis lurus-n dan bidang datar-n (hyperplane) a. Garis lurus-n adalah X n = a n + α n t . b. Bidang datar-n adalah x , a = a
2
.
2. Kedudukan antara dua garis lurus-n dan dua bidang datar-n (hyperplane) a. Kedudukan antara dua garis lurus-n i). Dua garis lurus-n g dan h dikatakan sejajar jika dan hanya jika mempunyai bilangan arah yang sebanding.
α1 α 2 α = = ... = n . β1 β 2 βn ii). Gais lurus-n g dan h dikatakan saling tegak lurus jika dan hanya jika α , β = 0 atau α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0 . b. Kedudukan antara dua bidang datar-n i). Dua bidang datar-n tegak lurus U ⊥ V ⇒θ =π 2
⇒ cos π 2 = cos (π - π 2 ) = ⇒ a, b = 0 ⇔ a ⊥ b .
a, b a . b
54
ii). Dua bidang sejajar U / / V ⇒θ = 0
⇒ cos 0 = cos (π ) =
a, b a . b
⇒ a, b = a . b
Ambil sebarang α a = b sehingga ⇒ a, α a = a . α a
⇒ α a, a = α . a ⇔ α a = α . a . 2
2
2
3. Persamaan sudut antara dua garis lurus-n dan bidang datar-n a. Sudut antara dua garis lurus-n cos θ =
α,β α β + α 2 β 2 + ... + α n β n = 1 1 . α β α β
b. Sudut antara dua bidang datar-n
cos θ = cos (π - θ ) =
a, b a .b
.
4. Persamaan jarak antara sebuah titik dengan garis lurus-n dan jarak antara dua garis lurus-n i). Jarak antara sebuah titik dengan garis lurus-n adalah
( ) ( )
d a, g = a - b −
a - b, α
α
2
α .
( ) ( )
ii). Jarak antara dua garis lurus-n adalah d a , g = a - b −
a - b, α
α
2
α .
55
5. Persamaan
jarak
adalah d(a, v ) =
B.
sebuah
α,a −γ α
titik
terhadap
bidang
datar-n
.
Saran
1. Diharapkan penulisan ini dapat digunakan untuk membantu dalam pemecahan soal – soal geometri pada ruang dimensi 3 khususnya garis dan bidang. 2. Dari hasil penulisan ini diharapkan dapat digunakan sebagai sumbangan pemikiran bagi mahasiswa Universitas Negeri Semarang, khususnya Jurusan Matematika yang ingin mengembangkan penulisan ini.
DAFTAR PUSTAKA
ARIFIN, Achmad. 2001. Aljabar Linear. Bandung : ITB BERBERIAN, Sterling. K. 1961. Introduction to Hilbert Space. New York : Oxford University Press CARICO, Charles. C. 2005. Analytic Geometry. New York : John Wiley & Sons CHOW, Wung Yung. 1997. Linear Geometry in Euclidean 4-Space. Singapore : SEAMS CLEMENTS, Stanley. R. 1984. Geometry With Application and Problem Solving. USA : Addison-Wesley Publishing Company GANS, David. 1973. An Introduction to non-Euclidean Geometry. New York : Academic Press Inc KOHN, Ed. 2003. Cliffs Quick Review Geometry. Bandung : Pakar Karya MARSDEN, Jerrold. E. 1993. Basic Multivariabel Calculus. New York : SpringerVerlag MULYATI, Sri. . Geomeri Euclid. Malang : JICA SUHITO. 2004. Geometri Analit Rangkuman Hasil Penelitian / Magang. Yogyakarta. UGM ROCHMAD. 2001. Analisis Real II. Semarang : UNNES RUCKLE, William. H. 1960. Modern Analysis. Boston : PWS – KENT Publishing Company WURYANTO. 2003. Analisis Real I. Semarang : UNNES
56
